Capitolo 3 I TEST DI VITA ACCELERATA

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Capitolo 3

I TEST DI VITA ACCELERATA

L’analisi dei dati di vita di un prodotto permette di quantificarne il tempo al guasto o il valore dell’MTBF. I dati sono ottenuti in condizioni operative “normali”, il che in molti casi rende difficile, se non impossibile, ricavare le informazioni richieste a causa del lungo ciclo di vita di un sistema e del sempre pi`u ridotto time to market.

In seguito alla maggiore importanza ricoperta dagli studi di affidabilit`a, negli ultimi anni sono stati sviluppati numerosi modelli di prove per forzare i prodotti in esame al guasto in un tempo relativamente breve ed estrapolare matematicamente il tasso di guasto in condizioni di utilizzo normali.

Nei prossimi paragrafi saranno esaminate le tipologie di test accelerati di maggior utilizzo e i modelli matematici ad esse correlati. Infine si accenner`a al processo di pianificazione delle prove che, ad oggi, resta ancora in larga misura dipendente dall’esperienza accumulata.

3.1 I principali tipi di test accelerati

Per alcuni prodotti l’esecuzione di test accelerati per l’analisi di possibili guasti non pre-senta grosse difficoltà; prendiamo ad esempio un tostapane per uso domestico: se usato normalmente, esso è tenuto acceso circa dieci minuti al giorno per un totale di 3,650 minuti all’anno. Ne segue che in condizioni di uso continuato basterebbero poco meno di 13 giorni per simularne l’impiego di cinque anni. Un altro esempio è l’asciugacapelli per uso casalingo: supponendo che venga usato in media per 30 minuti al giorno, cioè 10,950 minuti in un anno, ricorrendo all’accelerazione d’uso sarebbero sufficienti poco meno di 23 giorni per ricoprire un periodo di tre anni1_.

I dati ottenuti mediante l’accelerazione d’uso del prodotto non sono significativi nel caso di sistemi che operano continuamente2_{. Ne segue la necessit`}_{a di ricorrere ad altri tipi di}

stress che non si limitino al solo uso continuato e che includono fattori come: • temperatura;

• umidit`a;

1_{Si noti che in questi casi vengono stimolati solo alcuni tipi di guasto: si pensi all’usura dell’interruttore}

che, per essere valutata, necessiterebbe di una prova a parte.

2_{I computer server sono un esempio di questa categoria.}

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• voltaggio; • amperaggio; • pressione; • vibrazioni.

Questi tipi di stress possono essere usati sia singolarmente che in combinazione anche se `

e preferibile non ricorrere a questa pratica: non solo la ricerca delle informazioni richieste potrebbe risultare pi`u difficile, ma si rischierebbe di indurre modi di guasto di scarsa reale eventualit`a, invalidando i risultati ottenuti.

Nel caso di prodotti studiati per essere particolarmente affidabili, il ricorrere a fattori acceleranti può richiedere un periodo di test elevato: per questo, dietro alla definizione delle metodologie di prova, risiede un mondo di possibilità e ipotesi da vagliare attentamente. Ad esempio si potrebbe fare largo uso di dati censurati nel tentativo di individuare il limite inferiore di affidabilità3 _{piuttosto che calcolare lo MTTF. Lo stesso criterio di individuazione}

del guasto in un provino sotto esame pu`o essere ricondotto a tecniche passa-non passa o ad un’analisi della degradazione in modo da poter interrompere il test nel momento in cui alcuni indici di qualit`a scendono al di sotto di un determinato livello piuttosto che attendere la rottura vera e propria.

Le prove accelerate sono riconducibili a tre tipi:

prove qualitative, che forniscono informazioni sul modo di guasto e che vengono eseguite su un numero ridotto di campioni;

prove quantitative volte a determinare il tempo medio al guasto;

prove di burn-in utilizzate per selezionare (ed eliminare) i prodotti di bassa qualit`a con potenziale tasso di guasto nel periodo di giovent`u.

Esistono diverse filosofie su come implementare questi tipi di test, tutte ugualmente va-lide, ma che si prestano ad essere messe in pratica in diversi momenti dello sviluppo del prodotto: si parlerà di prove High Accelerated Life Test (HALT) in sede di progettazione, quando la priorità è l’individuazione dei punti deboli del prodotto in sviluppo; si impieghe-ranno gli Accelerated Life Test (ALT), l’Environmental Stress Screening (ESS) e gli studi a fatica in fase di verifica delle specifiche di affidabilità mentre per la produzione vera e propria si farà affidamento sul burn-in.

3.2 Le prove qualitative

3.2.1 HALT & HASS

L’HALT applica stimoli ambientali singoli o multi-livello al fine di individuare i punti deboli nel progetto iniziale di un prodotto. Gli stimoli pi`u impiegati sono gli shock termici, le vibrazioni e l’uso di sollecitazioni elettriche superiori a quelle nominali.

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3.2. LE PROVE QUALITATIVE 63 L’organizzazione dell’HALT richiede l’applicazione gradualmente degli stress al fine di precipitare i difetti latenti nei primi prototipi in un periodo di tempo relativamente breve e con un numero ridotto di provini. Ottenuto il guasto, si procede ad una dettagliata analisi della sua causa per suggerire alla progettazione i miglioramenti necessari. Ulteriori test verranno effettuati in seguito per confermare la validità delle modifiche apportate e scoprire nuovi modi di guasto finché non si sarà ottenuto un ragionevole livello di robustezza o quando si saranno raggiunti i limiti della tecnologia disponibile e ulteriori interventi avranno un costo troppo elevato.

L’uso di questa metodologia concorre al miglioramento della robustezza del prodotto ed `

e per questo che ben si adatta alla fase di sviluppo: l’individuazione dei punti deboli dei prototipi permette di anticipare quei problemi latenti che si mostreranno con l’uso prolungato sul field. La metodologia HALT non ha come obiettivo la dimostrazione dell’affidabilit`a, ma quella della robustezza del prodotto: il test non simula i guasti, ma li stimola.

La conoscenza dei limiti di stress per cui il prodotto viene portato a rottura viene uti-lizzato per la definizione del programma High Accelerated Stress Screening (HASS) che è impiegato in fase di produzione per ottenere rapidi feedback circa la validità del processo e per validare le eventuali modifiche apportate al prodotto. L’HASS consiste in un test di controllo su prodotti la cui progettazione è stata caratterizzata dall’impiego dell’HALT: il profilo di stress impiegato è una versione “soft” di quello definito durante lo sviluppo, in modo da sottoporre i prodotti ad un livello di sollecitazione superiore a quanto previsto nelle specifiche di progetto, ma inferiore a quello che ne potrebbe causare la distruzione. Generalmente si applicano due cicli di stress successivi a due diversi gradi di intensità: precipitation, in cui si impiegano stress superiori ai limiti di progetto, ma inferiori a quelli

di distruzione, per precipitare difetti latenti causati da imperfezioni introdotte durante il processo produttivo;

detection, in cui si usano stress inferiori ai limiti operativi di modo da identificare i prodotti difettosi.

L’HASS non pu`o essere effettuato finch´e non sia stato condotto un corretto HALT: questo `

e necessario per poter specificare i limiti di precipitazione da impiegare nei test di produzione che devono essere scelti di modo da individuare i prodotti difettosi ma, al contempo, far s`ı che gli elementi ancora funzionanti non vengano sollecitati a livelli che potrebbero ridurre la durata della loro vita.

Tra i vantaggi delle metodologie HALT/HASS si possono annoverare: • riduzione del time to market;

• individuazione dei limiti funzionali superiore ed inferiore del prodotto; • determinazione dei limiti di distruzione e dei modi di guasto;

• lancio sul mercato di un prodotto gi`a maturo;

• riduzione dei costi e delle risorse necessari alla qualificazione del prodotto; • eliminazione dei ritorni dovuti a guasti giovanili subito dopo il lancio;

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• riduzione dei costi di garanzia;

• raggiungimento di una maggior robustezza del progetto.

La resistenza all’implementazione della metodologia HALT è dovuta all’elevato investi-mento richiesto per l’equipaggiainvesti-mento e alla diffidenza sull’utilità di correggere difetti che si sono manifestati solo a livelli di stress molto superiori a quelli di normale impiego del prodotto. Le stesse modifiche al progetto comportano costi non trascurabili che si scontrano con il fatto di essere basate sul vago concetto di “miglioramento dell’affidabilità” e non su una valutazione oggettiva del livello di robustezza effettivamente introdotto.

Riassumendo, tra gli aspetti negativi di questa metodologia si possono annoverare: • richiesta di un cambiamento nella mentalit`a della leadership delle industrie e dei reparti

di progettazione;

• impossibilit`a di stimare il MTBF;

• richiesta di forti investimenti per l’acquisto dei macchinari per l’esecuzione dei test; • difficolt`a nella valutazione della convenienza di un ulteriore affinamento del progetto; • rischio di apportare modifiche non indispensabili;

• possibilit`a di impiegare nel test stimoli non correlati all’uso reale del prodotto.

Anche nel caso dell’HASS l’ostacolo principale è dato dal costo delle attrezzature ne-cessarie, cosa che ha portato negli ultimi anni ad una sua applicazione solo nell’ambito di produzioni di medio-bassi volumi di prodotti per i quali è richiesta un’alta affidabilità. A questo si aggiunge la necessità di condurre un test HALT al fine di poter determinare il corretto profilo di stress da impiegare.

3.3 Le prove quantitative

3.3.1 Prove a fatica

Le prove di resistenza a fatica ricadono nell’ambito delle prove quantitative perch´e permet-tono di ottenere informazioni circa la durata di un componente in base all’entit`a dello stress meccanico applicato. Questo tipo di studio, condotto fin dal diciannovesimo secolo, ha ori-gine nell’analisi del comportamento dei materiali metallici sottoposti a carichi variabili che, inizialmente, erano trattati alla stregua di stress costanti tranne per l’impiego di maggiori coefficienti di sicurezza.

La fatica è l’equivalente meccanico dell’affidabilità: fino alla metà del ventesimo secolo, quando ancora non si era posta l’attenzione alle problematiche di garanzia della qualità dei sistemi complessi, l’unico metodo impiegato per poter assicurare una certa durata era dato dall’utilizzo, in fase progettuale, di opportuni coefficienti di sicurezza valutati in base alla stima dei carichi variabili che avrebbero caratterizzato la vita del prodotto e alle proprietà del materiale con cui sarebbe stato realizzato.

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3.3. LE PROVE QUANTITATIVE 65

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Le rotture per fatica hanno inizio con una microfrattura posta in una zona critica, carat-terizzata da elevati livelli di tensione, la cui formazione risulta esaltata nel caso di presenza, seppur minima, di discontinuità nel materiale o di fessure preesistenti. Un’ispezione delle superfici dopo la rottura finale mostra quasi sempre una zona in cui la fessura si è propagata gradualmente finché la sezione resistente residua non si è indebolita al punto da provocare la rottura finale in seguito l’applicazione dell’ultimo ciclo di carico (Figura 3.2).

Se per stimare l’affidabilit`a di un componente

Figura 3.2: Rottura per fatica su un albero a gomito [19]

elettrico è necessario ricorrere a stress termici o di vibrazione possibilmente costanti, per un com-ponente meccanico è invece significativa l’appli-cazione di carichi ciclici sfruttando le poche sem-plici prove sviluppate nel corso di oltre un secolo e mezzo di studi e sostenute da una solida teoria di base. La più famosa è quella di Moore in cui portando in rotazione, solitamente a 1,750 rpm, un provino di forma cilindrica e sottoponendolo ad un carico costante di flessione pura, si otterrà l’effetto di stimolare le fibre esterne a ripetuti ci-cli di trazione/compressione. In questo caso si parla anche di “flessione rotante”.

Figura 3.3: Curva S-N ottenuta su una lega di alluminio [46]

Una serie di prove effettuate con diversi valori di carico, ma utilizzando provini provenienti dalla stessa popolazione, produce risultati che vengono raccolti nelle cosiddette curve S-N o di W¨ohler4 _{che utilizzano una scala semi-logaritmica o bi-logaritmica. Il valore di tensione}

alternata che causa la rottura dopo un dato numero di cicli prende il nome di resistenza

4_{Dal nome dell’ingegnere che per primo le propose durante i suoi studi sulla rottura degli assi dei carrelli}

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3.3. LE PROVE QUANTITATIVE 67 a fatica corrispondente a quel numero di cicli di carico. Numerose prove hanno permesso di stabilire che i materiali ferrosi presentano un limite di fatica, definito come il livello pi`u alto di tensione alternata che pu`o essere sopportato in maniera indefinita senza rottura.

`

E preferibile l’uso delle coordinate logaritmiche perch´e si ottiene un andamento all’incirca lineare della curva che interpola i dati (Figura 3.3).

La curva S-N ha una particolarit`a: tra 106 _{e 10}7 _{cicli presenta un ginocchio, ossia un}

cambiamento di pendenza. Questo non vale per tutti i materiali, ma è più marcata nel caso dei materiali ferrosi al punto che la curva assume un andamento all’incirca parallelo all’asse delle ascisse permettendo di individuare il limite a fatica. Questo ha portato nel tempo ad introdurre l’assunzione cautelativa che tali tipi di materiali non debbano mai essere sollecitati oltre questo valore nel caso sia loro richiesta una durata di 106 o più cicli5.

Dato che le rotture per fatica hanno origine in punti a maggiore debolezza, i risultati delle prove sono caratterizzati da una dispersione maggiore rispetto a quella delle prove statiche. Il valore nominale, studiata la Gaussiana che descrive i dati raccolti, viene preso per convenzione pari alla media6 _{per assicurare che, per quanto riguarda i provini testati,}

esista una probabilit`a del 50% che essi si rompano prima del limite indicato se sottoposti al corrispondente livello di carico. Le deviazioni standard su questi limiti sono solitamente comprese tra il 4% e il 9% del valore nominale.

Essendo un argomento studiato da molto tempo, vi `e una vasta disponibilit`a di manuali con dati ed informazioni circa la stima dei limiti a fatica di molti materiali [24]. Inoltre, essendo standardizzate, le prove sono poco costose e spesso realizzabili in proprio anche con strumenti semplici. Per contro, i test a fatica sono limitati allo studio dei soli materiali che costituiscono un componente: l’analisi di sistemi complessi e di assemblati richiederebbe l’impiego di soluzioni specifiche, con conseguente aumento dei costi da sostenere. Non deve stupire che nei reparti di progettazione si continuino ad utilizzare coefficienti di sicurezza stimati in base ai manuali e che si preferiscano test accelerati basati su altri tipi di stress, che in aggiunta sono in grado di fornire anche ulteriori informazioni.

3.3.2 ALT

La metodologia ALT permette di valutare le caratteristiche di affidabilit`a di un prodotto sulla base di un suo utilizzo a livelli di stress ambientali ed operazionali superiori ai normali limiti di progetto previsti. Attorno a questo tipo di test sono stati sviluppati numerosi modelli matematici in base ai quali si pu`o prevedere il comportamento del prodotto in condizioni d’uso anche modificando gli stress impiegati.

Vi sono due ipotesi basilari che devono essere verificate preliminarmente all’effettuazione di prove di vita accelerate:

1. il modello di guasto osservato in ambiente accelerato deve essere lo stesso che caratte-rizza le normali condizioni di impiego;

5_{Impropriamente, questo limite `}_{e detto “limite a fatica per un numero infinito di cicli” o, anche, “limite}

a fatica per vita infinita”.

6_{Le la curva S-N pu`}_{o essere costruita anche in base ad altri valori della distribuzione come, ad esempio,}

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2. deve essere possibile estrapolare le condizioni d’uso reale da quelle dell’ambiente acce-lerato.

Il primo passo nella definizione di un test accelerato è la selezione, a partire dalle previsioni su quello che sarà l’ambiente in cui il prodotto andrà ad operare una volta immesso sul mercato, degli stress da applicare: essi possono essere utilizzati sia singolarmente che in modo combinato anche se quest’ultima scelta, sebbene sia considerata da molti come la più efficace, comporta l’impiego di modelli matematici complessi che richiedono l’ausilio di strumenti informatici per la loro definizione. Le tipologie di stress impiegate sono le più varie: si va da quelle ambientali (come le sollecitazioni termiche e vibrazionali) a quelle operazionali e cicliche (come le variazioni della pressione o della tensione applicate al sistema).

In seguito si dovranno scegliere i fattori di accelerazione necessari per correlare i risultati ottenuti con i livelli di normale utilizzo: ciò comporta la valutazione della durata degli stress che può essere basata sia su calcoli teorici che sui risultati acquisiti nel corso di prove effettuate in precedenza su prodotti analoghi e sui dati raccolti nelle analisi dei ritorni in garanzia (Figura 3.4). Spesso è necessaria un’ottimizzazione ottenibile solo con il continuo monitoraggio e con l’aiuto dei manuali presenti in letteratura che raccolgono l’esperienza accumulata su molte tipologie di componenti [9] [14] [15].

Tra i principali vantaggi della metodologia ALT si hanno: • riduzione dei tempi necessari per il test;

• risparmio sui costi di sviluppo del prodotto;

• valutazione della funzione di affidabilit`a e dei modi di guasto;

• esecuzione di test multipli per migliorare il prodotto prima del lancio; • possibilit`a di effettuare rapidi confronti tra differenti scelte progettuali; • rapida previsione dei problemi che si avranno su field;

• possibilit`a di un efficiente monitoraggio del prodotto per assicurare che gli iniziali obiettivi affidabilistici siano mantenuti;

Tra gli aspetti negativi possiamo riscontrare:

• difficolt`a nella determinazione dei fattori di accelerazione;

• rischio di una scarsa correlazione tra i test accelerati e il normale impiego del prodotto; • impiego di stress eccessivi;

• possibilit`a di introdurre modifiche progettuali non indispensabili; • costo dell’investimento iniziale per l’attrezzatura necessaria; • rischio di indurre modi di guasto non indicativi dell’uso normale.

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3.3. LE PROVE QUANTITATIVE 69

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La tendenza negli ultimi anni è quella di progettare nel minor tempo possibile prodotti che presentino una buona stabilità funzionale nel tempo: è su questo sfondo culturale che sono state introdotte le metodologie ALT che cercano di comprimere le durate dei test impiegati per valutare le caratteristiche di affidabilità sia di singoli componenti che di sistemi più complessi. Senza le prove accelerate sarebbe difficile ottenere in breve tempo una stima dei tassi di guasto.

La statistica, come nel caso degli studi a fatica, ricopre un ruolo fondamentale in quanto le prove accelerate sono caratterizzate da una grande variabilit`a: solo aumentando il livello di stress a cui il prodotto viene sottoposto si hanno a disposizione dati in numero sufficiente per la fase di estrapolazione.

3.3.3 ESS

L’ESS `e spesso confuso con il burn-in: entrambi consistono in un test eseguito durante il processo produttivo ma il burn-in, come lo stesso termine suggerisce, deriva dal fatto che questo tipo di prova `e limitato generalmente ai soli cicli di temperatura.

L’ESS è un processo in cui si applicano stimoli ambientali ad un prodotto al fine di precipitarne i difetti latenti e trasformarli in guasti giovanili: già in questo si pone in netto contrasto con il burn-in dove lo scopo principale è quello di eliminare i soli guasti giovanili. Un altro aspetto fondamentale del primo è il monitoraggio continuo delle unità in prova, volto all’individuazione delle imperfezioni che potrebbero portare ad un guasto durante la vita del prodotto.

Come le prove HALT/HASS, l’ESS `e una ricerca dei difetti, non dei guasti, che sono causati da leggere deviazioni del processo produttivo e dall’intrinseca variabilit`a dello stesso. I vantaggi principali sono due:

• riduzione del numero di guasti che potrebbero insorgere nel corso della vita operativa del prodotto;

• possibilit`a di individuare rapidamente deviazioni dal normale andamento della produ-zione (grazie al monitoraggio costante di alcuni parametri critici), in modo da poter intraprendere tempestivamente le opportune azioni correttive.

L’ESS è un test robusto basato su prove di tipo dinamico in cui vengono applicati stress ciclici come gli shock termici; gli stessi prodotti sono spesso attivati di modo da accelerare l’insorgenza dei guasti. Al contrario delle prove accelerate, i livelli di stress sono scelti a par-tire dai limiti di operatività e la stessa durata del test è a totale discrezione del responsabile del processo7_.

La definizione di un test ESS passa per diversi punti (Figura 3.5): • determinazione dei difetti iniziali contenuti nel componente; • preparazione di uno schema di test multi-livello;

• scelta, per ogni test, degli appropriati parametri per le vibrazioni random e i cicli termici;

7_{Spesso la sua durata `}_{e il risultato di un compromesso tra le necessit`}_{a di individuare la maggior parte}

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3.3. LE PROVE QUANTITATIVE 71 • calcolo della forza dello screening8 _{per le varie opzioni di cui al punto precedente;}

• determinazione, in base alle specifiche, del massimo numero ammissibile di difetti che possono superare il test.

Tutte queste informazioni, pur fornendo un primo schema di test, sono la base di partenza per il suo affinamento (Figura 3.6 e Figura 3.7):

• selezione del livello di assemblaggio del prodotto da testare9_;

• scelta dell’ESS a livello di sistema per individuare un numero di difetti sufficiente a consegnare al cliente un prodotto affidabile come da specifica;

• determinazione del costo del test;

• identificazione delle fasi pi`u costose e introduzione di modifiche per la riduzione del costo totale;

• iterazione dei punti precedenti fino al raggiungimento di una situazione ottimale. L’analisi economica non si deve limitare ai soli investimenti per i macchinari utilizzati nei test: vanno tenuti in considerazione anche i costi dovuti agli scarti nonch´e quelli relativi alle riparazioni in garanzia per i prodotti che, pur essendo caratterizzati da difetti, non vengono intercettati e passano nelle mani degli utenti finali. Questo studio richiede la determinazione della forza dello screening generalmente effettuata con l’ausilio di manuali che raccolgono l’esperienza accumulata su alcuni particolari componenti [8].

Rimane importante il monitoraggio continuo dell’andamento dei test ESS di modo da verificare la correttezza delle scelte fatte e per costruire una banca dati da impiegare co-me riferico-mento per piani di test successivi. Tale controllo `e utile anche per individuare il momento in cui la produzione diviene stabile: in questo caso l’ESS diventa antieconomico e si preferisce ridurre a poco a poco l’intensit`a dei controlli fino a passare ad un’analisi a campione con il solo intento di individuare degli scostamenti dalla normale linea di equilibrio.

L’ESS ha diversi aspetti negativi: • elevato investimento iniziale;

• necessit`a di definire il profilo del test e decidere i livelli di stress da applicare;

• influenza negativa sui tempi e i volumi di consegna in caso di elevato numero di guasti; • rischio di scartare prodotti funzionanti;

• costi di manutenzione delle apparecchiature;

• necessit`a di istituire un sistema di raccolta e gestione dati per l’analisi approfondita della modalit`a di guasto;

8_{La “forza dello screening” `}_{e un parametro che valuta la capacit`}_{a del test di rilevare i difetti contenuti in}

un prodotto. Metodi per la determinazione di questo valore possono essere trovati in [8].

9_{Il test sul singolo componente comporta la riduzione dei costi e dei tempi rispetto all’esame dell’intero}

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• necessit`a di istruire gli operatori per renderli in grado di identificare autonomamente i guasti e le loro cause;

• necessit`a di reperire lo spazio per le apparecchiature.

In virt`u dei pregi e dei difetti, la metodologia ha senso solo in un’ottica Total Quality Management (TQM) in cui un’organizzazione quantifica la soddisfazione del cliente in termini di affidabilit`a e traduce tali requisiti nelle specifiche dei prodotti realizzati.

3.4 Il rodaggio

3.4.1 Il burn-in

Le prove di burn-in (o anche “rodaggio”) sono un caso particolare delle metodologie ESS: il burn-in è un test statico usato nel processo produttivo che applica uno o più stimoli ambientali al componente o al sistema. Tali stress comprendono elevate tensioni e/o tem-perature anche se si possono impiegare altri fattori acceleranti quali umidità e vibrazioni. Generalmente, durante il test il prodotto non è attivato.

Lo scopo della prova è quello di selezionare ed eliminare i prodotti di bassa qualità con probabili difetti in grado di produrre una rottura nel periodo di giovinezza. Questi problemi possono essere legati a deviazioni nella produzione e alla mancanza di controlli di qualità efficaci. Il test di burn-in è per questo effettuato al 100%.

Il burn-in è riconosciuto come il metodo migliore per eliminare i guasti precoci: si può pensare che se tutti i componenti fossero perfetti all’origine e tutte le parti fossero costruite in modo perfetto, non ci sarebbe bisogno di effettuare il rodaggio o qualsiasi altra forma di controllo al termine della produzione. Se questo è vero per un gran numero di componenti elettronici e meccanici con una lunga storia di produzione, la stessa cosa non può essere detta in tempi di rapido sviluppo tecnologico e di impiego di sistemi di produzione sempre più innovativi. La procedura di burn-in è un metodo efficiente per ottenere un buon livello di affidabilità senza dover effettuare ingenti investimenti: tra tutti i metodi elencati finora, infatti, si tratta di quello più economico.

A livello di organizzazione, il burn-in si pone in netto contrasto con le altre metodologie di test in quanto viene progettato solo quando si ha a disposizione la specifica del prodotto e una prima valutazione dello MTBF.

Lo studio viene condotto su sei punti (Figura 3.8): 1. identificazione delle parti o dei componenti critici; 2. definizione di un ambiente di burn-in reale;

3. individuazione dei tempi fino al primo guasto dei componenti critici;

4. assunzione, per tutti i componenti del progetto, di un tasso di rischio costante da valutare attentamente anche con l’ausilio di manuali e standard internazionali;

5. utilizzo delle informazioni raccolte precedentemente per calcolare l’andamento dei tassi di guasto precoci;

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3.4. IL RODAGGIO 73 6. valutazione della percentuale media dei sistemi deboli e i parametri della distribuzione

che meglio si adatta a tali elementi.

Mentre il primo punto non presenta grosse difficoltà in quanto, dato il livello di svilup-po, si ha già una buona conoscenza del prodotto, il secondo è più arduo: sebbene esistano molti standard a cui fare riferimento, essi sono specializzati per componenti dell’industria elettronica e raramente si trovano manuali specifici per parti o assemblaggi meccanici. Seb-bene di poca utilità pratica, la raccomandazione di cercare di utilizzare dei livelli di stress tali da assicurare la rottura dei componenti più deboli è sempre valida e bene si presta al-l’organizzazione di una serie di test preliminari10 _{finalizzata ad ottimizzare i parametri del}

burn-in.

Definito il profilo degli stress, che sar`a frutto di una serie di compromessi, si prosegue con la definizione della distribuzione che meglio descrive l’andamento dei guasti precoci con l’obiettivo di ottenere una stima del tasso di guasto da cui poter trarre conclusioni circa il tempo necessario per individuare il maggior numero possibile di difetti giovanili. Il valore teorico di durata stimato dovr`a essere ridefinito tenendo conto sia del massimo ritardo di spedizione del lotto sia dei costi variabili dovuti alla conduzione della prova e al numero degli scarti.

Per effetto dei problemi riscontrabili in sede di produzione, anche il più accurato dei piani può risultare non idoneo: il progetto del burn-in non deve essere considerato come un qualcosa di statico, ma deve essere continuamente verificato. La produzione, infatti, non si mantiene mai costante e semplici modifiche al suo layout possono influire drasticamente sui risultati dei test ideati. Il monitoraggio continuo del test di burn-in progettato consente di verificare se la sua capacità di analisi sia ancora congrua con le specifiche definite. Qualora i risultati siano differenti, si dovrà procedere ad un esame critico sia del prodotto che della metodologia di test tenendo conto che:

• i componenti causa di guasto potrebbero non essere pi`u quelli critici individuati in precedenza;

• la percentuale dei guasti e/o la scala dei tempi possono essere sensibilmente diverse da quelle previste in sede di definizione delle prove o da quanto sperimentato in precedenza; • l’andamento dei guasti precoci pu`o discostarsi dalla distribuzione precedentemente

ipotizzata.

L’analisi dei guasti effettuata su tutti i prodotti che non hanno superato il test consente di verificare l’insorgere di nuove metodologie di guasto che potrebbero essere legate a variazioni condotte sul processo produttivo oppure a materie prime di bassa qualità: se la distribuzione dei valori dell’MTBF è paragonabile a quella ottenuta in fase di pre-produzione, il periodo di durata del burn-in può non essere cambiato, ma se i guasti cumulativi non mostrano una curva in via di appiattimento, la durata deve essere incrementata per i successivi lotti finché la causa di guasto non viene individuata ed eliminata.

La prova dell’efficienza del profilo di test definito sta nei guasti che vengono annotati nei primi due anni di vita dell’apparecchiatura: se il burn-in `e stato pianificato ed eseguito

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3.4. IL RODAGGIO 75

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3.4. IL RODAGGIO 77

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in maniera corretta, l’andamento dei guasti nel funzionamento continuato dei prodotti sul field deve seguire una distribuzione di tipo esponenziale, cio`e con tasso di guasto costante con rari guasti precoci. Qualora si riscontri una forte deviazione si deve procedere all’analisi accurata dei guasti e riesaminare in modo critico ed adeguato l’intero processo.

3.5 I modelli matematici di riferimento

L’analisi dei dati di vita di un prodotto permette di ricavare le sue caratteristiche di affida-bilit`a come la distribuzione dei tempo al guasto. Nota tale distribuzione, si possono ricavare molte altre caratteristiche quali:

• la percentuale di prodotti guasti in condizioni di garanzia; • la valutazione del rischio di guasto;

• la stima dell’andamento della degradazione del prodotto.

In condizioni d’uso normali la distribuzione dei tempi di guasto pu`o essere rilevata usando i dati ottenuti dalle prove e quindi analizzati secondo la loro distribuzione con il modello statistico pi`u adeguato mentre nelle prove accelerate si ha il problema di determinare la PDF relativa alle condizioni normali a partire da dati ricavati in altro modo.

L’aspetto critico delle prove accelerate consiste nella scelta di un metodo di estrapolazione che partendo dai dati ottenuti dal test consenta di stimare quali possano essere le caratteri-stiche di affidabilità in condizioni di esercizio normali: spesso esistono infinite possibilità di mappatura per cui, se si vuole semplificare il processo di calcolo, è necessario ricorrere ad opportune relazioni matematiche che leghino tra loro i livelli disponibili. La situazione mi-gliore è quella di avere tre o quattro punti disponibili in modo da ottenere un’interpolazione più affidabile (Figura 3.9).

In generale si deve determinare la distribuzione dei guasti alle sollecitazioni impiegate nei test ed applicare il modello della relazione da una serie di livelli di over-stress a un livello di stress d’uso. Esistono molti modelli matematici suddivisi in diverse categorie a seconda del numero di stress impiegati nelle prove. In quella “a stress singolo” si possono trovare le relazioni di:

• Arrhenius; • Eyring;

• Inverse Power Law (IPL).

Nel caso in cui le prove siano eseguite in presenza di due diverse sollecitazioni si pu`o invece ricorrere ai modelli:

• temperatura/umidit`a;

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3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 79 La scelta e il tipo di modello da utilizzare dipendono dal tipo di fattore di over-stress applicato che, a sua volta, è vincolato dal prodotto in esame. Per questi modelli l’analisi dei dati può diventare concettualmente più facile rappresentando i dati su opportune carte logaritmiche in modo simile a quanto visto nel secondo capitolo nella valutazione delle pro-prietà di una distribuzione. In alternativa, possono essere impiegati software commerciali che forniscono stime più accurate, con i relativi intervalli di confidenza, basate sulla stima a massima verosimiglianza.

Nei prossimi paragrafi si cercher`a, ove non lo si ritenga eccessivamente complicato, fornire un’idea del processo di stima MLE dei parametri mostrando le equazioni di base implementate negli attuali pacchetti applicativi.

Figura 3.9: Il problema della mappatura [45]

3.6 Relazioni a singolo stress

3.6.1 La relazione di Arrhenius

La relazione di Arrhenius è la legge matematica più impiegata nel campo delle prove acce-lerate: essa è usata quando lo stress accelerante è la temperatura. Le sue applicazioni più diffuse includono dispositivi elettromeccanici, batterie, lubrificanti e plastiche.

L’equazione che descrive il modello deriva dalla legge di Arrhenius utilizzata in chimica per calcolare l’energia richiesta per innescare le reazioni pi`u semplici, cio`e

R(T ) = AeKTEA

dove R(T ) rappresenta la velocità della reazione in base al livello di temperatura assoluta T , EAè l’energia di attivazione (in eV) delle molecole affinché partecipino alla reazione e K

`

e la costante di Boltzman. In termini affidabilistici, la relazione `e impiegata per descrivere i prodotti che si guastano per effetto di una degradazione dovuta a motivi chimici o alla diffusione di metalli ed `e riscrivibile come

(20)

Figura 3.10: Esempio di rappresentazione del modello di Arrhenius su scala lineare [45]

dove L rappresenta una caratteristica misurabile della vita del prodotto, V indica il livello di stress (temperatura in gradi Kelvin, in questo caso) mentre C e B sono due parametri da calcolare in base ai dati raccolti. La loro valutazione diventa banale effettuando l’operazione di logaritmo naturale su entrambi i membri dell’equazione 3.1

ln L(V ) = ln C + B V

cosa che comporta la linearizzazione della relazione: ln C diventa l’intercetta della retta di estrapolazione e B la sua pendenza. In questo modo i dati ottenuti dai test sono interpo-labili con una linea retta tramite la quale si possono ricavare i valori cercati (Figura 3.10 e Figura 3.11). In termini di scala, sebbene la variabile indipendente non sia lo stress ma la sua inversa, si preferisce utilizzarne una reciproca per motivazioni pratiche (Figura 3.12): ne segue che il valore della pendenza avr`a apparentemente valore negativo anche se tale valore dovr`a essere preso con segno positivo.

Il parametro B pu`o essere sostituito da

B = EA K

ma con questa formulazione l’energia di attivazione deve essere nota a priori. Osservando l’equazione 3.1, il legame tra B e l’energia di attivazione `e evidente: B `e la misura dell’effetto

(21)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 81

Figura 3.11: Esempio di rappresentazione del modello di Arrhenius su scala logaritmica [45]

che lo stress (in questo caso la temperatura) ha sulla vita (Figura 3.13). Questo parametro può avere anche valori negativi e in tal caso si avrà che la durata del prodotto aumenterà al crescere del livello di stress: sebbene tale situazione possa sembrare un controsenso, essa è comune in molte applicazioni come le lampadine al plasma dove uno stress maggiore è dato dalla riduzione della temperatura piuttosto che al suo aumento. Dato che nella maggior parte dei casi reali è raro conoscere l’energia di attivazione che caratterizza la prova accelerata di un particolare prodotto, nei prossimi paragrafi tutte le formulazioni verranno portate avanti come se tale energia sia incognita e B sarà considerato un normale parametro del modello.

Molti tecnici preferiscono impiegare, piuttosto che la 3.1, il cosiddetto “fattore di accele-razione”, ossia il rapporto tra il livello di stress d’uso e quello elevato (Figura 3.14):

AF =

LU SE

LACCELERAT ED

(22)

Figura 3.12: Esempio di rappresentazione del modello di Arrhenius con scala di temperature inverse: il grafico guadagna in leggibilit`a [45]

= Ce B VU CeVAB = e B VU eVAB = = e B VU− B VA .

Si noti che se B `e noto a priori, la sola energia di attivazione determina l’intero fattore. Conoscendo la distribuzione dei dati e la relazione di estrapolazione, si possono stimare le caratteristiche in condizioni di utilizzo normali a partire dalle informazioni raccolte nelle prove accelerate: si pu`o dunque combinare un modello vita/stress come quello di Arrhenius con le PDF esaminate nel capitolo precedente.

3.6.1.1 Arrhenius-esponenziale

Data l’equazione alla base della distribuzione a tasso di guasto costante, si ha λ = 1

(23)

Figura 3.13: Influenza del parametro B nel modello di Arrhenius [45]

da cui f (T ) = 1 me −T m. Ponendo m = L(V ) si ricava m = L(V ) = CeVB

e, procedendo con le sostituzioni, si trova

f (T, V ) = 1 CeBV e− T Ce B V .

Si possono ora riassumere tutte le principali propriet`a statistiche della distribuzione esponenziale di Arrhenius: media: ¯ T = Z ∞ 0 T f (T, V ) dT = = Z ∞ 0 T 1 CeVB e − T Ce B V dT = = CeBV;

(24)

Figura 3.14: Fattore di accelerazione per il modello di Arrhenius [45] mediana: ˘ T = 0.693 CeBV; moda: ˜ T = 0; deviazione standard: σT = Ce B V; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = 1 − Q(T, V ) = 1 − Z T 0 f (T, V ) dT = = 1 − Z T 0 1 CeBV e − T Ce B V dT = = e− T Ce B V ;

(25)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 85 funzione di affidabilit`a condizionale:

R(T, t, V ) = R(T + t, V ) R(T, V ) = e−λ(T +t) e−λT = e − t Ce B V ; vita affidabile: R(tR, V ) = e − tR Ce B V ln[R(tR, V )] = − tR CeBV tR = −Ce B V ln [R(t_R, V )].

Sebbene i parametri dell’equazione di Arrhenius che definiscono questa distribuzione siano calcolabili per mezzo di tecniche grafiche, sono disponibili numerosi software commerciali che utilizzano metodi di stima basati sulla massima verosimiglianza per ottenere dei risultati con un maggior grado di confidenza. Nel caso dell’esponenziale, ci si pu`o basare sulla seguente equazione di verosimiglianza: ln(L) = Λ = NF X i=1 Ni ln h λe−λTii ₋ NS X i=1 NSiλTSi (3.2)

dove NF `e il numero dei gruppi di dati di cui si conosce l’esatto tempo al guasto, Ni `e il

numero dei tempi al guasto dell’i-esimo gruppo di dati, λ `e il tasso di guasto (incognito), Ti `e

l’esatto tempo di guasto dell’i-esimo set di dati, NS`e il numero dei gruppi di dati sospesi, NSi

il numero di dati sospesi nell’i-esimo gruppo e TSi la durata accumulata dall’i-esimo gruppo

di dati sospesi. Sostituendo il modello Arrhenius-esponenziale nella funzione di somiglianza 3.2 si trova: Λ = NF X i=1 Ni ln   1 CeViB e − Ti Ce B Vi  − NS X i=1 NSi TSi CeViB . (3.3)

Proseguendo con le derivate parziali della 3.3 rispetto i parametri B e C si ottiene: ∂Λ ∂B = 1 C NF X i=1 Ni   Ti Vie B Vi − C Vi  + 1 C NS X i=1 NSi TSi Vie B Vi ∂Λ ∂C = 1 C NF X i=1 Ni Ti CeViB − 1 ! + 1 C2 NS X i=1 NSi TSi eViB .

Le stime desiderate si ottengono ponendo pari a zero le due derivate parziali appena calcolate. La stima degli intervalli di confidenza assume un’importanza notevole sia utilizzando gli stimatori a massima verosimiglianza sia quando si impieghino tecniche grafiche. Nel caso di una distribuzione esponenziale si avranno, come limiti superiore e inferiore della stima del valore dello MTTF ˆm, le seguenti espressioni:

mU = m eˆ Kα√V ar( ˆm) ˆ m (3.4) mL = m eˆ − Kα√V ar( ˆm) ˆ m (3.5)

(26)

dove Kα `e dato da α = √1 2π Z ∞ Kα e−t22 dt = 1 − Φ(K_α) (3.6)

con, dato δ pari al valore di rischio che si intende assumere, valore di confidenza pari a α = (1 − δ)/2 nel caso di intervallo bilaterale e α = 1 − δ nel caso di intervallo unilaterale.

La varianza si pu`o stimare a partire dall’espressione V ar( ˆm) = ∂m ∂C !2 V ar( ˆC) + ∂m ∂B !2 V ar( ˆB) + 2 ∂m ∂C ! ∂m ∂B ! Cov( ˆB, ˆC) oppure dalla V ar( ˆm) = e2 ˆVB " V ar( ˆC) + ˆ C2 V2 V ar( ˆB) + 2 ˆC V Cov( ˆB, ˆC) #

dove le varianze di B e C, se non note da una precedente stima, si valutano a partire dalla matrice di Fisher locale valutata su ˆB e su ˆC che si riporta a titolo di esempio:

" V ar( ˆB) Cov( ˆB, ˆC) Cov( ˆC, ˆB) V ar( ˆB) # = " −∂2_Λ ∂B2 − ∂2_Λ ∂B ∂C − ∂2_Λ ∂C ∂B − ∂2_Λ ∂C2 #−1 .

Sostituendo questi valori nelle espressioni delle caratteristiche di vita prima elencate si otter-ranno i limiti di confidenza voluti. Ad esempio, dato il tempo medio per una data funzione di affidabilit`a ottenuto come

ˆ

T = − ˆm ln(R) i limiti di confidenza sono dati da

TU = −mU ln(R)

TL = −mL ln(R)

mentre nel caso della funzione di affidabilit`a si pu`o scrivere: RU(T ) = e − T mU RL(T ) = e − T mL

dove, in entrambi i casi, mU e mL sono i valori forniti dalle 3.4.

3.6.1.2 Arrhenius-Weibull

Supponendo di impiegare come base la distribuzione di Weibull, si pu`o derivare una nuova PDF ponendo il parametro di scala η = L(V ). In questo modo

η = L(V ) = CeBV da cui f (T, V ) = β CeBV _T CeBV β−1 e − T Ce B V β . (3.7)

(27)

Figura 3.15: Esempio di stima dei parametri di una distribuzione Arrhenius-Weibull mediante metodi grafici [45]

media:

¯

T = CeBVΓ 1

β + 1

!

dove Γ_β1 + 1 `e la funzione Gamma valutata in _β1 + 1;

mediana: ˘ T = CeBV(ln 2) 1 β; moda: ˜ T = CeBV 1 − 1 β !_β1 ; deviazione standard: σT = Ce B V v u u tΓ 2 β + 1 ! − " Γ 1 β + 1 !#2 ;

(28)

funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = e − T Ce B V β

dove a parametro β positivo corrisponde un valore di affidabilit`a crescente al diminuire dello stress;

funzione di affidabilit`a condizionale:

R(T, t, V ) = e −₍T +t η ) β e−(Tη) β = = e − " T +t Ce B V β − T Ce B V β# ; vita affidabile: tR= Ce B V {− ln[R(t_R, V )]} 1 β _; tasso di guasto: λ(T, V ) = f (T, V ) R(T, V ) = β CeVB T CeBV β−1 .

Anche in questo caso i parametri possono essere stimati analiticamente grazie all’uso della massima verosimiglianza. La funzione da prendere in considerazione `e

Λ = NF X i=1 Ni ln     β CeViB Ti CeViB !β−1 e − Ti Ce B Vi β    − NS X i=1 NSi TSi CeViB !β

da cui, procedendo con le derivate parziali, si ricavano le espressioni ∂Λ ∂β = 1 β NF X i=1 Ni+ NF X i=1 Ni ln Ti CeViB ! − NF X i=1 Ni Ti CeViB !β ln Ti CeViB ! − NS X i=1 NSi TSi CeViB !β ln TSi CeViB ! ∂Λ ∂B = −β NF X i=1 Ni 1 Vi + β NF X i=1 Ni 1 Vi   Ti ˆ Ce ˆ B Vi   β + β NS X i=1 NSi 1 Vi   TSi ˆ Ce ˆ B Vi   β ∂Λ ∂C = − β C NF X i=1 Ni+ β C NF X i=1 Ni Ti CeViB !β + β C NS X i=1 NSi TSi CeViB !β

che, poste uguali a zero, possono essere risolte per ottenere una stima dei parametri β, B e C.

Nel caso specifico della distribuzione di Weibull, dato che β e C sono parametri positivi, ln(β) e ln(C) possono essere trattati come se fossero distribuiti secondo una normale. Ne

(29)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 89 segue che gli intervalli di confidenza possono essere stimati con:

βU = βeˆ Kα √ V ar( ˆβ) ˆ β βL = βeˆ −Kα √ V ar( ˆβ) ˆ β BU = B + Kˆ α q V ar( ˆB) BL = B − Kˆ α q V ar( ˆB) CU = Ceˆ Kα √ V ar( ˆC) ˆ C CL = Ceˆ −Kα √ V ar( ˆC) ˆ C

dove Kα `e dato dalla 3.6 e la varianza `e calcolata mediante l’ausilio della matrice di Fisher

corrispondente a questa distribuzione, cosa che richiede l’impiego di opportuni software di calcolo.

3.6.1.3 Arrhenius-lognormale

Come ultimo esempio di derivazione di una distribuzione dalla relazione di Arrhenius pos-siamo esaminare il modello lognormale. In questo caso, data

f (T ) = 1 T σT0 √ 2πe −1 2 T 0− ¯T 0 σ_{T 0} 2 dove T0 = ln(T ),

si pu`o ottenere l’equivalente distribuzione secondo Arrhenius sostituendo ˘ T = L(V ) = CeBV o eT¯0 = CeBV. Cos`ı ¯ T0 = ln(C) + B V da cui f (T, V ) = 1 T σT0 √ 2πe −1 2 T 0−ln(C)− B V σ_{T 0} 2 . (3.8)

Si noti che per ottenere questa relazione si `e fatta l’assunzione che la deviazione standard dei logaritmi naturali degli istanti di guasto sia indipendente dal tipo di stress, cosa che implica che la forma della distribuzione stessa non si modifichi a seconda della sollecitazione applicata.

(30)

media: la vita media del modello, ¯T , data da ¯ T = eT¯0+12σ 2 T 0 = = eln(C)+BV+ 1 2σ 2 T 0,

viene impiegata per calcolare la media del logaritmo naturale dei tempi al guasto: ¯ T0 = ln( ¯T ) − 1 2 ln σ_T2 ¯ T2 + 1 ! ; moda: ˜ T = eT¯0−σT 02 = = eln(C)+BV−σ 2 T 0;

deviazione standard: la deviazione standard σT = r e2 ¯T0+σ2T 0 eσT 02 − 1 = = s e2(ln(C)+BV)+σ 2 T 0 eσ2T 0 − 1

fornisce la base per il calcolo della deviazione standard dei logaritmi naturali dei tempi al guasto: σT0 = v u u tln σ2 T ¯ T2 + 1 ! ; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = Z ∞ T0 1 σT0 √ 2πe −1₂ T −ln(C)− B_V σ T 0 2 dT ;

si noti che questa espressione non `e risolvibile in forma chiusa e per questo si deve fare affidamento ad opportune tavole statistiche della distribuzione normale standard [25]; vita affidabile: t0_R= ln(C) + B V + zσT0 dove z = Φ−1[F (t0_R, V )] (3.9) e Φ(z) = √1 2π Z z(T0,V ) −∞ e −t2₂ dt; dato che T0 = ln(T ), la vita affidabile tR`e data da

tR = et 0 R;

(31)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 91 tasso di guasto: λ(T, V ) = 1 T σT 0 √ 2πe −1 2 T 0−ln(C)− B V σ T 0 2 R∞ T0 1 σT 0 √ 2πe −1 2 T 0−ln(C)− B V σ T 0 2 dT .

Per quanto riguarda la stima dei parametri con il metodo della massima verosimiglianza, ci si dovr`a basare sulla seguente espressione:

ln(L) = Λ = NF X i=1 Ni ln   1 σT0T_i Φ   ln(Ti) − ln(C) −_VB i σT0    + + NS X i=1 NSi ln  1 − Φ   ln(TSi) − ln(C) − _VB i σT0     (3.10) con φ(x) = √1 2πe −1 2(x)2 Φ(x) = √1 2π Z x −∞ e −t2 2 dt.

Derivando la 3.10 rispetto a σT0, B e C ed annullando le espressioni che si ricavano, si

ottengono le stime dei parametri.

Gli intervalli di confidenza possono essere stimati come: BU = B + Kˆ α q V ar( ˆB) BL = B − Kˆ α q V ar( ˆB) CU = Ceˆ Kα √ V ar( ˆC) ˆ C CL = Ceˆ −Kα √ V ar( ˆC) ˆ C σU = σˆT0e Kα√V ar( ˆσ T 0) ˆ σ_{T 0} σL = σˆT0e −Kα √ V ar( ˆσ_{T 0}) ˆ σ T 0

dove le varianze, quando una loro stima non sia disponibile, devono essere calcolate mediante l’ausilio di opportuni strumenti informatici.

3.6.2 La relazione di Eyring

Il modello di Eyring, formulato a partire dai principi della meccanica quantistica, è impiegato in sostituzione della relazione di Arrhenius quando la variabile di accelerazione sia uno stress di tipo termico ma il processo di degradazione sia di tipo chimico. Tale equazione viene usata anche quando lo stress è di tipo non termico come, ad esempio, nel caso di differenti tassi di umidità.

(32)

Figura 3.16: Esempio di rappresentazione del modello di Eyring su scala lineare [45]

La relazione `e data da

L(V ) = 1 V e

−₍A−B_V) _(3.11)

dove L rappresenta una misura quantificabile della vita del prodotto (ad esempio la vita media, la vita caratteristica o la vita mediana), V indica il livello di stress11 _{mentre A e B}

sono due parametri del modello da determinare grazie alla retta di estrapolazione dei dati ottenuti dalle prove accelerate.

La relazione di Eyring `e molto simile a quella di Arrhenius, somiglianza che diventa pi`u chiara riscrivendo l’equazione 3.11 come

L(V ) = 1 V e −₍A−B V) = e −A V e B V o anche L(V ) = 1 V × Const × e B V :

rispetto all’equazione di Arrhenius 3.1, l’unica differenza `e l’impiego del termine _V1.

Entrambe le equazioni portano a risultati molto simili ed `e per questo che si preferisce rappresentare anche questo modello in scala logaritmica di modo da linearizzare la retta di interpolazione e facilitare il calcolo dei parametri A e B quando si ricorre ai metodi grafici (Figura 3.16 e Figura 3.17).

(33)

Figura 3.17: Esempio di rappresentazione del modello di Eyring su scala logaritmica [45]

Nel caso si fosse pi`u interessati al fattore di accelerazione, questo `e dato da

AF = 1 VUe −A−B VU 1 VAe − A−B VA = eVUB eVAB = = VA VU eB 1 VU− 1 VA . 3.6.2.1 Eyring-esponenziale

La combinazione della distribuzione esponenziale con il modello di Eyring pu`o essere ottenuta ponendo m = L(V ) = 1 V e −₍A−B_V) da cui si ricava f (T, V ) = V e(A−BV)e−V e( A− B_V) T_.

(34)

Da questa equazione derivano immediatamente tutte le principali proprietà della distribu-zione: media: ¯ T = Z ∞ 0 T V e(A−BV)e−T V e( A− B V) dT = = 1 V e −₍A−B_V); mediana: ˘ T = 0.6931 V e −₍A−B_V); moda: ˜ T = 0; deviazione standard: σT = 1 V e −₍A−B_V_); funzione di affidabilità: R(T, V ) = 1 − Z T 0 V e(A−BV)e−T V e (A− B V) dT = = e−T V e( A− B V) ; affidabilità condizionale: R(T, t, V ) = e −λ(T +t) e−λT = e −tV e(A− BV) ; vita affidabile: R(tR, V ) = e−tRV e (A− B V) ln[R(tR, V )] = −tRV e(A− B V) tR = − 1 V e −₍A−B_V_{) ln[R(t} R, V )].

La stima dei parametri pu`o essere ottenuta con metodi grafici oppure tramite l’impiego di una stima per massima verosimiglianza. In tal caso ci si dovr`a basare sulla seguente equazione: ln(L) = Λ = NF X i=1 Niln " Vie A−B Vi e−Vie( A− B Vi)Ti # − NS X i=1 NSiVie A−B Vi TSi

(35)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 95 che, derivata rispetto ai parametri A e B, fornisce le due parziali:

∂Λ ∂A = NF X i=1 Ni 1 − Vie A−B Vi Ti ! − NS X i=1 NSiVie A−B Vi TSi ∂Λ ∂B = NF X i=1 Ni " e A−B Vi Ti− 1 Vi # + NS X i=1 NSie A−B Vi TSi .

Annullando le equazioni ottenute si ricavano le stime ottimali dei parametri cercati. Gli intervalli di confidenza sono calcolabili con le seguenti espressioni:

mU = meˆ Kα√V ar( ¯m) ¯ m mL = meˆ − Kα√V ar( ¯m) ¯ m

dove Kα `e data dall’equazione 3.6. La stima della varianza, se non disponibile, pu`o essere

ottenuta mediante l’impiego di appositi software commerciali. 3.6.2.2 Eyring-Weibull

La distribuzione di Weibull pu`o essere integrata con il modello di Eyring effettuando la sostituzione η = L(V ) = 1 V e −₍A−B_V) o anche 1 η = V e( A−B_V).

Sostituendo, si trova la funzione di densit`a di probabilit`a:

f (T, V ) = βV e(A−BV) T V e(A−BV) β−1 e − T V e(A− BV) β . Questa PDF `e caratterizzata dalle seguenti propriet`a:

media: ¯ T = 1 V e −₍A−B_V_)Γ 1 β + 1 !

dove Γ_β1 + 1 `e la funzione Gamma calcolata in _β1 + 1;

mediana: ˘ T = 1 V e −₍A−B_V_{)(ln 2)}_β1 ; moda: ˜ T = 1 V e −₍A−B_V) 1 − 1 β !1 β ;

(36)

deviazione standard: σT = 1 V e −₍A−B_V) v u u tΓ 2 β + 1 ! − Γ 1 β + 1 !!2 ; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = e − V T e(A− BV) β ; affidabilit`a condizionale: R(T, t, V ) = e − (T +t)V e(A− BV) β e − V T e(A− BV) β = = e − " (T +t)V e(A− BV) β − V T e(A− BV) β# vita affidabile: tR = 1 V e −₍A−B V){− ln[R(t R, V )]} 1 β; tasso di guasto: λ(T, V ) = β T V e(A−VB) β−1 .

Per quanto riguarda le equazioni relative alle stime di massima verosimiglianza e dei limiti di confidenza si rimanda alla bibliografia specifica [34] [42].

3.6.2.3 Eyring-lognormale

Per ottenere la distribuzione Eyring-lognormale si dovr`a operare la sostituzione eT¯0 = 1 V e −₍A−_VB) ¯ T0 = − ln(V ) − A + B V da cui si ricava la f (T, V ) = 1 T σT0 √ 2πe −1 2 T 0+ln(V )+A− B_V σ_{T 0} 2

le cui caratteristiche sono:

media: la vita media del modello, ¯ T = eT¯0+12σ 2 T 0 = = e− ln(V )−A+BV+ 1 2σ 2 T 0,

(37)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 97 `

e usata per calcolare la media del logaritmo naturale dei tempi al guasto ¯ T0 = ln( ¯T ) − 1 2ln σ2 T ¯ T2 + 1 ! ; mediana: ˘ T = eT¯0; moda: ˜ T = eT¯0−σ2T 0 = = e− ln(V )−A+BV−σ 2 T 0;

deviazione standard: l’espressione σT = r e2 ¯T0+σT 02 eσ2T 0 − 1 = = s e2(− ln(V )−A+VB)+σ 2 T 0 eσ2T 0 − 1

fornisce la base per il calcolo della deviazione standard dei logaritmi naturali dei tempi al guasto: σT0 = v u u tln σ_T2 ¯ T2 + 1 ! ; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = Z ∞ T0 1 σT0 √ 2πe −1 2 T +ln(V )+A− B V σ_{T 0} 2 dT ;

si noti come questa espressione non sia risolvibile in forma chiusa, per cui `e necessario ricorrere all’aiuto di opportune tavole statistiche della distribuzione normale standard; vita affidabile:

t0_R= − ln(V ) − A + B

V + zσT0

con z data dalla 3.9; dato che T0 = ln(T ), la vita affidabile `e data da tR= et 0 R; tasso di guasto: λ(T, V ) = 1 T σ_{T 0}√2πe −1 2 T 0+ln(V )+A− B V σ_{T 0} 2 R∞ T0 1 σ_{T 0}√2πe −1 2 T +ln(V )+A− B V σ T 0 2 dT .

Per quanto riguarda la stima dei parametri con il metodo della massima verosimiglianza nonch´e la definizione degli intervalli di confidenza, si rimanda alla letteratura citata [34] [42].

(38)

Figura 3.18: Esempio di rappresentazione del modello di IPL su scala lineare [45]

3.6.3 La relazione IPL

La legge della potenza inversa è impiegata quando gli stress applicati non sono di natura termica. Inoltre, data la sua validità in numerose applicazioni come l’analisi dell’usura dei cuscinetti a sfera e la fatica dei metalli, ne sono state proposte molteplici varianti adatte a casi specifici. Nella sua forma più generale, la relazione IPL è data da

L(V ) = 1

KVn (3.12)

dove L rappresenta il tempo al guasto, V è il livello di stress relativo mentre K ed n sono due parametri da calcolare. Detto in termini semplicistici, si può affermare che la legge IPL suppone che ogni prodotto possieda una durata di vita caratteristica e che ogni ciclo di sollecitazione ne sottragga una parte proporzionale all’intensità dello stress. A partire da questo concetto sono derivate numerose varianti: la più importante è la formula di Palmgren-Miner, molto nota negli ambienti dell’analisi a fatica dei materiali metallici, impiegata per stimare la durata di un componente meccanico sottoposto a carichi variabili [24] [42].

Nella forma originale della legge IPL, la valutazione di n pu`o essere ottenuta mediante l’ausilio di un’apposita carta logaritmica che linearizzi la relazione: effettuando l’operazione di logaritmo naturale su entrambi i membri dell’eq 3.12 si ottiene

ln[L(V )] = − ln(K) − n ln(V ),

dove n e K possono essere identificati come la pendenza e l’intercetta della retta di interpo-lazione dei dati ottenuti con le prove di vita accelerate (Figura 3.18 e Figura 3.19).

Il parametro n indica l’effetto che lo stress ha sulla vita del prodotto esattamente come B lo era per il modello di Arrhenius: all’aumentare di n corrisponde un incremento della

(39)

Figura 3.19: Esempio di rappresentazione dle modello di IPL su scala logaritmica [45]

vita. Se invece n → 0, la sollecitazione influisce sempre meno tanto che, per n = 0, la durata del prodotto `e insensibile alle variazioni di V (Figura 3.20).

Per il modello IPL, il fattore di accelerazione `e dato da

AF = 1 KVn U 1 KVn A = V A VU n

dove VU `e il livello di stress d’uso e VA il livello di stress accelerato.

3.6.3.1 IPL-esponenziale

La distribuzione IPL-esponenziale si ottiene ponendo m = L(V ) da cui

f (T, V ) = KVne−KVnT. (3.13)

Questo `e un modello a due parametri: uno dei due, il tasso di guasto, `e λ = KVn _{ed `}_{e solo}

funzione del livello di stress.

Di seguito si riportano le principali caratteristiche di questa distribuzione: media: ¯ T = Z ∞ 0 T KVne−KVnTdT = 1 KVn;

(40)

Figura 3.20: Influenza del parametro n sul modello IPL [45] mediana: ˘ T = 0.693 1 KVn; moda: ˜ T = 0; deviazione standard: σT = 1 KVn; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = 1 − Z T 0 KVne−KVnTdT = e−KVnT;

funzione affidabilit`a condizionale:

R(T, t, V ) = e

−λ(T +t)

e−λT = e −KVn_t

(41)

3.6. RELAZIONI A SINGOLO STRESS 101 vita affidabile: a partire da

R(tR, V ) = e−KV n_t R ln[R(tR, V )] = −KVntR si ricava tR= − 1 KVnln[R(tR, V )].

Si noti che lo MTTF `e funzione del solo stress ed `e uguale alla semplice relazione IPL. La stima alla massima verosimiglianza dei parametri si ottiene basandosi sulla funzione

ln(L) = Λ = NF X i=1 Niln h KV_ine−KVinTii₋ NS X i=1 NSiKVinTSi

da cui si ricavano le derivate parziali rispetto i parametri K ed n: ∂Λ ∂K = 1 K NF X i=1 Ni− NF X i=1 NiVinTi− NS X i=1 NSiVinTSi ∂Λ ∂n = NF X i=1 Niln(Vi) − K NF X i=1 NiVinln(Vi)Ti− K NS X i=1 NSiVinln(Vi)TSi.

Si rimanda alla letteratura specializzata per quanto riguarda gli intervalli di confiden-za [34] [42].

3.6.3.2 IPL-Weibull

Nel caso della distribuzione di Weibull, la sostituzione pi`u ovvia `e η = L(V )

che porta a

f (T, V ) = βKVn(KVnT )β−1e−(KVnT )β.

Ponendo β = 1, l’espressione si semplifica notevolmente, assumendo la forma della 3.13, ossia della distribuzione IPL-esponenziale.

Le caratteristiche principali di questo modello sono: media: ¯ T = 1 KVnΓ 1 β + 1 !

con Γ_β1 + 1`e la funzione Gamma valutata in_β1 + 1;

mediana: ˘ T = 1 KVn(ln 2) 1 β_;

(42)

moda: ˜ T = 1 KVn 1 − 1 β !1 β ; deviazione standard: σT = 1 KVn v u u tΓ 2 β + 1 ! − Γ 1 β + 1 !!2 ; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = e−(KVnT )β; affidabilit`a condizionale: R(T, t, V ) = e −[KVn_{(T +t)]}β e−(KVn_{T )}β = e −_[(KVn_{(T +t))}β_−(KVn_{T )}β ]; vita affidabile: tR= 1 KVn{− ln [R(tR, V )]} 1 β _; tasso di guasto: λ = βKVn(KVnT )β−1.

Per quanto riguarda la stima dei parametri mediante metodi MLE e il calcolo degli intervalli di confidenza si rimanda alla bibliografia gi`a citata [34] [42].

3.6.3.3 IPL-lognormale

Per ottenere il modello IPL-lognormale `e sufficiente effettuare la sostituzione ¯ T0 = − ln(K) − n ln(V ) da cui si ricava f (T, V ) = 1 T σT0 √ 2πe −1 2 T 0+ln(K)+n ln(V ) σ_{T 0} 2 .

Come da abitudine, si procede elencando le principali caratteristiche di questa distribu-zione: media: ¯ T = eT¯0+12σ 2 T 0 = e− ln(K)−n ln(V )+ 1 2σ 2 T 0 da cui ¯ T0 = ln( ¯T ) − 1 2ln σ2 T ¯ T2 + 1 ! ; moda: ˜ T = eT¯0−σ2T 0 = e− ln(K)−n ln(V )−σ 2 T 0;

(43)

3.7. RELAZIONI A DOPPIO STRESS 103 deviazione standard: σT = r e2 ¯T0+σT 02 eσ2T 0 − 1 = = r e2(− ln(K)−n ln(V ))+σT 02 eσ2T 0 − 1 da cui σT0 = v u u tln σ2 T ¯ T2 + 1 ! ; funzione di affidabilit`a: R(T, V ) = Z ∞ T0 1 σT0 √ 2πe −1₂ T +ln(K)+n ln(V ) σ_{T 0} 2 dT ; vita affidabile: da t0_R= − ln(K) − n ln(V ) + zσT0,

con z data dalla 3.9 e considerando che T0 = ln(T ), tR= et 0 R; tasso di guasto: λ(T, V ) = 1 T σT 0 √ 2πe −1 2 T 0+ln(K)+n ln(V ) σ_{T 0} 2 R∞ T0 1 σT 0 √ 2πe −1 2 T +ln(K)+n ln(V ) σ_{T 0} 2 dT .

Anche qui, per le equazioni alla base delle stime MLE dei parametri e delle definizioni degli intervalli di confidenza, si pu`o fare riferimento alla bibliografia citata [34] [42].

3.7 Relazioni a doppio stress

3.7.1 T-H

La relazione Temperature-Humidity (T-H) è una variante dell’equazione di Eyring ed è stata proposta per fare previsioni sulla durata in condizioni d’uso normali partendo da test che utilizzano temperatura ed umidità come fattori acceleranti. Il modello combinato è rappresentato da

L(V, U ) = AeVφ+ b U

dove φ, b ed A sono tre parametri da determinare in base ai dati ricavati dalle prove ac-celerate, U è la percentuale di umidità relativa e V è la temperatura in gradi Kelvin. Per facilitare il calcolo dei tre parametri conviene linearizzare la relazione eseguendo l’operazione di logaritmo naturale:

ln L(V, U ) = ln(A) + φ V +

b

(44)

(45)

3.7. RELAZIONI A DOPPIO STRESS 105

Figura 3.22: Andamento dei due fattori di accelerazione del modello T-H in dipendenza del valore degli stress applicati [45]

(46)

La stima dei parametri non è cos`ı immediata come accadeva nei modelli precedenti a causa dell’azione contemporanea di due stress differenti. La stessa rappresentazione sul grafico vita/stress può essere ottenuta solo mantenendo costante uno dei livelli e variando l’altro: in questo modo si ottiene una linea retta che consente di calcolare uno degli ultimi due addendi dell’equazione 3.14 con il quale si può procedere all’individuazione dell’altro mediante un nuovo grafico (Figura 3.21).

A seconda del tipo di stress mantenuto costante, sia φ che b possono indicare la pendenza della retta di regressione: maggiore risulta tale valore, maggiore è il legame tra lo stress e la durata del prodotto. In particolare, più elevato è il valore di φ, maggiore è l’effetto che la temperatura ha sulle caratteristiche di vita mentre all’aumentare di b, la durata risulta maggiormente dipendente dalle variazioni del tasso di umidità.

Nel caso in cui si voglia utilizzare una relazione a doppio stress come quella T-H, si dovr`a porre grande attenzione nella definizione delle prove accelerate: la valutazione degli effetti sia dello stress termico che del tasso di umidit`a deve essere effettuata in base a combinazioni dei valori assunti dai due fattori di accelerazione che consentano di poter determinare le relative rette di interpolazione.

Nell’ipotesi, ad esempio, di utilizzare due valori di temperatura (300K e 350K) e due valori del tasso di umidità (50% e 75%), l’esecuzione di due soli test con le combinazioni (300K, 0.5) e (350K, 0.75) non permette di ottenere nessun risultato attendibile, in quanto la variazione contemporanea di entrambi gli stress non porta alcun tipo di informazione circa gli effetti della temperatura e/o dell’umidità sulla durata del prodotto, perché non risulta possibile determinare quale delle due abbia causato l’accelerazione: in questo caso, uno schema ottimale di test prevederebbe l’impiego delle combinazioni (300K, 0.5), (350K, 0.5) e (350K, 0.75); dalla prima e dalla seconda si può ricavare l’effetto della temperatura, dalla seconda e dalla terza invece si può valutare l’influenza dell’umidità.

In termini di fattore di accelerazione, nel caso di prove T-H si pu`o fare riferimento alla seguente espressione: AF = Ae φ VU+ b UU Ae φ VA+ b UA = eφ 1 VU− 1 VA +b 1 UU− 1 UA

dove VU e VAsono i livelli di temperatura rispettivamente di uso e di accelerazione e UU e UA

i corrispettivi livelli di umidità relativa. Dato che in questo caso il fattore di accelerazione dipende da due livelli di stress anziché uno solo, la sua rappresentazione grafica non sarà più limitata ad una singola curva come accade con i modelli precedentemente esaminati, ma dovrà essere rappresentato nello stesso modo con cui si realizza la curva vita/stress, cioè mantenendo costante uno dei due tipi di stress e variando l’altro (Figura 3.22).

Per quanto riguarda l’integrazione del modello con le principali funzioni di distribuzione, ci si limiter`a a fornire le equazioni di base in quanto il suo uso non `e largamente diffuso. Le sostituzioni da compiere sono intuitive e permettono di ricavare:

per la distribuzione esponenziale

f (T, V, U ) = 1 Ae −₍φ V+ b U)e− T Ae −(φ V+ bU) ;

(47)

3.7. RELAZIONI A DOPPIO STRESS 107 per la distribuzione di Weibull

f (T, V, U ) = β Ae −₍_Vφ+_Ub)T Ae −₍_Vφ+_Ub) β−1 e − T Ae −(φ V+ bU) β ;

per la distribuzione lognormale

F (T, V, U ) = 1 T σT0 √ 2πe −1 2 T 0−ln(A)−φ V− bU σ T 0 2 .

L’utilizzo di questi modelli a doppio stress comporta la necessit`a di ricorrere, per la deter-minazione dei parametri, ad almeno due rappresentazioni su carte probabilistiche, e facendo ricorso a tecniche grafiche manuali si corre il rischio di cadere in problemi di propagazione degli errori commessi nel tracciare le rette di interpolazione.

3.7.2 T-NT

La relazione Temperature-Non Thermal (T-NT) comprende, come il modello T-H, due tipi di stress applicati contemporaneamente ed `e impiegata quando, oltre ad una sollecitazione di tipo termico, ne viene impiegata un’altra qualsiasi. La relazione pu`o essere vista come una derivazione dei modelli di Arrhenius e dell’IPL:

L(V, U ) = C Un_e−VB

dove V è la temperatura in gradi Kelvin, U è lo stress non termico mentre B, C ed n sono dei parametri da calcolare sulla base della retta di interpolazione dei dati raccolti. La relazione può essere linearizzata considerando il logaritmo naturale di entrambe le parti:

ln L(V, U ) = ln(C) − n ln(U ) + B

V . (3.15)

Come nel caso del modello T-H, per poter rappresentare graficamente la relazione T-NT `e necessario mantenere uno dei due stress costante e variare l’altro (Figura 3.23): ad esempio, mantenendo costante lo stress non termico, l’equazione 3.15 diventa

ln L(V ) = Const + B

V (3.16)

che `e l’equazione di Arrhenius. Se invece venisse mantenuto costante lo stress termico, si avrebbe:

ln L(U ) = Const − n ln(U ) (3.17)

che `e il modello IPL.

A seconda del tipo di stress mantenuto costante, dalle equazioni 3.16 e 3.17 si deduce che i parametri B e n rappresentano le pendenze delle rette di regressione. Se, ad esempio, lo stress non termico `e fissato, B rappresenter`a il legame tra la durata e la sollecitazione

(48)

(49)

3.7. RELAZIONI A DOPPIO STRESS 109

Figura 3.24: Andamento dei due fattori di accelerazione del modello T-NT in dipendenza del valore degli stress applicati [45]

(50)

dovuta alla temperatura: maggiore `e il suo valore, maggiore sar`a la dipendenza. Allo stesso modo n indica quanto lo stress termico influenza la vita del prodotto.

Il fattore di accelerazione`e dato da

AF = C Un U eVUB C Un A eVAB = _U A UU n eB 1 VU− 1 VA

dove VU e VA rappresentano le temperature a condizioni d’uso normale e accelerato, mentre

UU e UAindicano i corrispondenti livelli dello stress non termico utilizzato nelle prove. Come

visto nel caso del fattore di accelerazione relativo al modello T-H, anche in questo caso la rappresentazione grafica di questo fattore si ottiene mantenendo costante un tipo di stress e variando l’altro (Figura 3.24).

Per quanto riguarda la combinazione tra il modello T-NT e le principali PDF impiegate negli studi affidabilistici, ci si limiter`a a fornire le equazioni di base dato il ridotto uso che ancora oggi caratterizza questo tipo di relazioni multi-stress:

T-NT-esponenziale f (T, U, V ) = U n C e −B Ve −U n C e− BV T ; T-NT-Weibull f (T, V, U ) = βU n_e−B V C   T Un_e−B V C   β−1 e − T U ne− BV C β ; T-NT-lognormale F (T, U, V ) = 1 T σT0 √ 2πe −1₂ T 0−ln(C)+n ln(U )− B_V σ_{T 0} 2 .

3.8 Stress che variano nel tempo

I test accelerati che applicano stress varianti con il tempo sono usati per giungere più rapi-damente a situazioni di guasto. Tra le modalità possibili, la più semplice è quella in cui il livello di sollecitazione viene fatto variare a gradino, cioè dove il provino è sottoposto a stress via via più elevati seguendo un profilo predeterminato dipendente dal tempo (Figura 3.25). Si inizia con un livello piuttosto basso, molto vicino ai limiti di progetto, e si sale fino ad un livello massimo: il test si conclude quando tutte le unità in esame si sono guastate o quando si è giunti ad una condizione di stop che può essere data sia da un numero di guasti avvenuti predefinito o dal tempo trascorso per la prova.

Quando si ha a che fare con dati provenienti da test accelerati con stress variabili, il modello impiegato dovr`a tenere conto dell’effetto cumulativo dello stress applicato: questa relazione `e detta “modello di danno accumulato” o “di esposizione cumulata”.

Utilizzando un profilo a gradini, si avrà una distribuzione dei tempi di guasto le cui ca-ratteristiche variano a seconda del livello di stress a cui l’unità è sottoposta. In realtà si

(51)

3.8. STRESS CHE VARIANO NEL TEMPO 111

Figura 3.25: Esempio di stress a gradino [45]

preferirebbe avere delle informazioni relative ad un singolo stress costante ma questa “con-versione” non `e di facile esecuzione e necessita di assunzioni che non sempre sono verificate. Ad esempio, si dovr`a supporre che la vita rimanente dei provini dipenda dal solo stress “cor-rente” e non dall’affaticamento accumulato fino a quel momento e che il cambio di livello non implichi alcun effetto sulla vita del provino. Inoltre si deve ipotizzare che, al livello di stress applicato, i sopravvissuti si guastino secondo una distribuzione cumulata specifica per quel livello che ha origine non a n = 0, bens`ı al numero di provini che si sono guastati fino alla fine dell’intervallo precedente.

Supponiamo, nel caso di un particolare profilo di prova, che l’i-esimo gradino sia caratte-rizzato da un livello di stress Viapplicato a partire dall’istante Ti−1fino a Ti(con T0 = 0). La

distribuzione cumulata per i provini sottoposti allo stress costante Vi `e Fi(T ). Ad esempio,

supponendo di avere a che fare con una distribuzione di Weibull, Fi(T ) = 1 − e − T Vi V0 pβ

con p pari ad un parametro dipendente dal tipo di popolazione in esame12_.