Definizione
Un sistema lineare di n equazioni in m incognite `e un sistema di equazioni del tipo
a11x1+ a12x2+ · · · + a1mxm = b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2mxm = b2
· · ·
an1x1+ an2x2+ · · · + anmxm = bn.
Le incognite sono x1, . . . , xm; le quantit`a b1, . . . , bnprendono il nome di termini noti mentre le quantit`a aij sono chiamate i
coefficienti del sistema lineare. Il sistema si dice “lineare” perch´e le incognite non sono elevate a potenze superiori alla prima e non sono moltiplicate tra di loro.
Forma matriciale di un sistema lineare
Se indichiamo con A la matrice n × m dei coefficienti aij, con x ∈ Rm il vettore delle m incognite, e con b ∈ Rn il vettore degli n termini noti, vediamo che un sistema lineare pu`o essere scritto in modo sintetico come
Ax = b,
dove ciascuna equazione `e rappresentata da una riga della matrice A. Un sistema lineare si dice omogeneo se b = 0, cio`e se `e del tipo
Ax = 0.
Osserviamo subito che x = 0 `e sempre una soluzione di un sistema lineare omogeneo. In generale l’insieme delle soluzioni di un
sistema lineare omogeneo coincide con il nucleo di A, che avevamo proprio definito come
Ker A = {x ∈ Rm tali che Ax = 0}.
Il caso pi`u semplice `e quello in cui la matrice A `e una matrice quadrata n × n nonsingolare, che corrisponde a un sistema di n equazioni linearmente indipendenti in n incognite. Dato che A `e nonsingolare, sappiamo che `e anche invertibile, quindi da
Ax = b
moltiplicando a sinistra per la matrice inversa A−1 otteniamo A−1Ax = A−1b
cio`e
x = A−1b.
Il sistema in questo caso ha una soluzione unica che si ottiene moltiplicando la inversa A−1 per il vettore dei termini noti b.
Esempio
Consideriamo il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite
x1+ x2+ x3 = 3 x2+ x3= −1 x3 = 5 La matrice dei coefficienti `e data da
A =
1 1 1 0 1 1 0 0 1
,
e il vettore dei termini noti `e dato da
b =
3
−1 5
.
La matrice A `e nonsingolare, poich´e det A = 1.
Abbiamo gi`a calcolato la matrice inversa di A, che `e data da
A−1 =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
,
quindi il sistema ha soluzione unica data da
x = A−1b =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
3
−1 5
=
4
−6 5
.
Il teorema di Rouch´ e-Capelli
Nel caso generale in cui n 6= m, una condizione necessaria e sufficiente per la esistenza di soluzioni `e data dal teorema di Rouch´e-Capelli :
Teorema
Il sistema lineare Ax = b ammette soluzione se e solo se
rg (A) = rg (A|b), dove la cosiddetta “matrice completa” A|b si ottiene unendo a destra alla matrice A il vettore dei termini noti b.
Dimostrazione.
La dimostrazione `e immediata. Si ha che rg (A) = rg (A|b) se e solo se il vettore colonna b `e combinazione lineare delle colonne della matrice A; ma questo accade se e solo se esiste un vettore x tale che Ax = b, cio`e se e solo se il sistema lineare ha almeno una soluzione.
Consideriamo il sistema di 3 equazioni in 2 incognite
x1+ x2 = 1 x1+ 2x2 = 2 x1+ 3x2 = 2
.
Si ha
A =
1 1 1 2 1 3
, b =
1 2 2
, A|b =
1 1 1 1 2 2 1 3 2
.
Il rango di A `e pari a 2, in quanto le colonne di A sono linearmente indipendenti. In alternativa possiamo osservare che A ha un minore di ordine 2 non nullo:
det1 1 1 2
= 1 6= 0.
Esempio
Il rango della matrice A|b `e invece pari a 3, come possiamo vedere calcolando
det
1 1 1 1 2 2 1 3 2
= −1 6= 0.
Dato che rg (A) = 2 e rg (A|b) = 3, si ha rg (A) < rg (A|b) e quindi il sistema non ammette soluzione.
Se invece il vettore dei termini noti fosse stato
¯b =
2 3 4
, avremmo avuto
A =
1 1 1 2 1 3
, ¯b =
2 3 4
, A|¯b =
1 1 2 1 2 3 1 3 4
.
In questo caso rg (A) = 2 e rg (A|¯b) = 2, pertanto dal teorema di Rouch´e-Capelli il sistema questa volta ammette soluzione. E’ facile verificare infatti che ad esempio x1= 1, x2= 1 `e una soluzione.
Unicit` a della soluzione
Il teorema di Rouch´e-Capelli fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la esistenza della soluzione del sistema lineare Ax = b. Veniamo ora al problema della unicit`a della soluzione.
Teorema
Consideriamo il sistema lineare di n equazioni in m incognite Ax = b, con A ∈ Rn×m e b ∈ Rn. Sia rg (A) = rg (A|b) = k.
I Se k = m, il sistema ha soluzione unica
I se k < m, il sistema ha infinite soluzioni, dipendenti da m − k parametri che possono essere scelti arbitrariamente. In questo caso si dice che il sistema ha ∞m−k soluzioni.
Il rango k della matrice A rappresenta il numero di equazioni linearmente independenti. La soluzione `e quindi unica se e solo se il numero di equazioni linearmente independenti `e pari al numero delle incognite.
Abbiamo gi`a detto che un sistema lineare omogeneo `e del tipo Ax = 0,
e l’insieme delle sue soluzioni `e non vuoto e coincide con Ker A.
E’ possibile dimostrare che l’insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo
Ax = b, con b 6= 0
`e del tipo
¯
x + Ker A,
dove ¯x `e una qualsiasi soluzione del sistema non omogeneo.
In altri termini, la soluzione generale del sistema non omogeneo si ottiene sommando a una soluzione particolare ¯x del sistema non omogeneo la soluzione generale del sistema omogeneo associato, data da Ker A.
L’algoritmo di Gauss
Definizione
Una matrice si dice a gradini se partendo da sinistra il primo elemento non nullo di ciascuna riga si trova pi`u a destra del primo elemento non nullo della riga superiore.
Esempio La matrice
A =
"
1 2 1 0
0 0 −1 1
#
`e a gradini, mentre la matrice
B =
"
0 1 1 0
0 −1 −1 1
#
non `e a gradini.
Definizione
Le operazioni elementari di riga sono:
I scambio di due righe
I moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo I sostituzione di una riga con una combinazione lineare della
riga stessa e di un’altra riga.
Definizione
Siano A e B due matrici con lo stesso numero di righe e di colonne.
Si dice che B `e equivalente per riga ad A se B pu`o essere ottenuta da A attraverso una sequenza di operazioni elementari di riga.
Non `e difficile verificare che la equivalenza per riga di due matrici `e una relazione di equivalenza, nel senso che gode delle propriet`a riflessiva, simmetrica e transitiva.
L’algoritmo di Gauss
L’algoritmo di Gauss `e un metodo per ricondurre qualsiasi matrice in forma a gradini attraverso una sequenza di operazioni elementari di riga. Vediamolo su un esempio; sia
A =
1 2 1 1
2 −1 3 −2
−1 3 −1 0
.
Lasciamo la prima riga invariata; sostituiamo alla seconda riga la somma tra la seconda riga e la prima riga moltiplicata per −2;
sostituiamo alla terza riga la somma della terza riga e della prima riga. Otteniamo:
A =
1 2 1 1
0 −5 1 −4
0 5 0 1
A questo punto, lasciamo la prima e la seconda riga invariate, e sostituiamo alla terza riga la somma della terza riga con la seconda riga; otteniamo
A =
1 2 1 1
0 −5 1 −4
0 0 1 −3
,
che `e in forma a gradini. E’ quindi sempre possibile attraverso operazioni elementari di riga ricondurre una matrice in forma a gradini; questo pu`o essere fatto in molti modi diversi; la matrice a gradini che si ottiene non `e unica.
Soluzione di sistemi lineari con il metodo di Gauss
L’algoritmo di Gauss per portare una matrice in forma a gradini pu`o essere utilizzato per la soluzione dei sistemi lineari.
Consideriamo ad esempio il sistema
x1+ x2+ 2x3 = −2 2x1+ x2+ x3 = 1 2x1+ 2x2+ x3 = 3 con matrice dei coefficienti
A =
1 1 2 2 1 1 2 2 1
e vettore dei termini noti b =
−2 1 3
.
Dato che det A = 3 6= 0, la matrice `e non singolare, pertanto il sistema ha soluzione unica.
Per risolvere il sistema con il metodo di Gauss, applichiamo l’algoritmo di Gauss alla matrice completa A|b:
A|b =
1 1 2 −2
2 1 1 1
2 2 1 3
lasciamo la prima riga invariata, sostituiamo alla seconda la somma della seconda con la prima moltiplicata per −2, sostituiamo alla terza la somma della terza con la prima moltiplicata per −2, ottenendo
A|b =
1 1 2 −2
0 −1 −3 5
0 0 −3 7
, una matrice a gradini.
Soluzione di sistemi lineari con il metodo di Gauss
Osserviamo che le operazioni elementari di riga sulla matrice A|b corrispondono a moltiplicare entrambi i membri di una equazione per uno scalare, oppure a fare una combinazione lineare di due equazioni, operazioni che non cambiano l’insieme delle soluzioni.
La matrice completa in forma a gradini corrisponde al sistema
x1+ x2+ 2x3 = −2
−x2− 3x3 = 5
−3x3 = 7
che pu`o essere immediatamente risolto ottenendo
x1 = 23 x2 = 2, x3 = −73.
