Formulario 2

(1)

Prismi e piramidi

Per usare una formula tutte le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità di misura.

Prisma

𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 _𝑙 2𝑝 𝑆 _𝑡 = 2𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 2𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

2 𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ 𝑆 _𝑏 = 𝑉

ℎ ℎ = 𝑉 𝑆 _𝑏

Parallelepipedo

rettangolo 𝑑 = 𝑎 ² + 𝑏 ² + 𝑐 ²

Dove a, b e c sono le misure delle te dimensioni del solido.

𝑐 = 𝑑 ² − 𝑎 ² − 𝑏 ² … 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ = 2 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑐 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 _𝑙 2𝑝 𝑆 _𝑡 = 2𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 2𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

2 𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆 _𝑏 = 𝑉

ℎ ℎ = 𝑉 𝑆 _𝑏

Cubo

𝑑 = 3𝑠 ² = 𝑠 3 𝑠 = 𝑑

3 = 𝑑 3 3

𝑆 _𝑙 = 4𝑠 ² 𝑠 = 𝑆 _𝑙

4 𝑆 _𝑡 = 6𝑠 ² 𝑠 = 𝑆 _𝑡

6 𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ = 𝑠 ³ 𝑠 = 𝑉

³

Piramide 𝑎 → 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

Piramide retta

𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ 𝑎

2 = 𝑝 ∙ 𝑎 𝑝 = 𝑆 _𝑙

𝑎 𝑎 = 𝑆 _𝑙 𝑝

Piramide qualsiasi 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

Piramide qualsiasi

𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ

3 𝑆 _𝑏 = 3 ∙ 𝑉

ℎ ℎ = 3 ∙ 𝑉 𝑆 _𝑏

Tronco di

piramide 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ₁ + 2𝑝 ₂ ∙ 𝑎

2 𝑎 = 2𝑆 _𝑙

2𝑝 ₁ + 2𝑝 ₂ 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 _𝑙

𝑉 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 𝑏1 ∙ 𝑆 _𝑏2 ∙ ℎ 3

h = altezza; s = spigolo; d = diagonale; a = apotema; 2p = perimetro; p = semiperimetro

Sb = Area della superficie di base; ; St = Area della superficie laterale; St = Area della superficie totale; V = Volume

(2)

Solidi di rotazione

Per usare una formula tutte le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità di misura.

Cilindro

𝑆 _𝑏 = 𝜋𝑟 ² 𝑟 = 𝑆 _𝑏

𝜋 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ = 2𝜋𝑟 ∙ ℎ 𝑟 = 𝑆 _𝑙

2𝜋 ∙ ℎ 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 _𝑙 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

2𝜋𝑟 𝑆 _𝑡 = 2𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 2𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

2 𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ = 𝜋𝑟 ² ∙ ℎ 𝑟 = 𝑉

𝜋 ∙ ℎ ℎ = 𝑉 𝜋𝑟 ²

Cono

𝑆 _𝑏 = 𝜋𝑟 ² 𝑟 = 𝑆 _𝑏 𝜋 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ 𝑎

2 = 𝑝 ∙ 𝑎 = 𝜋𝑟 ∙ 𝑎 𝑟 = 𝑆 _𝑙

𝜋 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 𝜋𝑟 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ

3 = 𝜋𝑟 ² ∙ ℎ

3 = 𝑟 = 3 ∙ 𝑉

𝜋 ∙ ℎ ℎ = 3 ∙ 𝑉 𝜋𝑟 ²

Tronco di cono

𝑆 _𝑏1 = 𝜋𝑟 ₁ ²

𝑆 _𝑏2 = 𝜋𝑟 ₂ ² 𝑟 _𝑥 = 𝑆 _𝑏𝑥 𝜋 𝑆 _𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ ∙ 𝑎 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ = 𝑆 _𝑙

𝜋 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑆 _𝑙 𝜋 ∙ 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 _𝑙

𝑆 _𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑟 ₁ ² + 𝑟 ₂ ² + 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ ∙ 𝑎 𝑉 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 _𝑏1 ∙ 𝑆 _𝑏2 ∙ ℎ

3 𝑉 = 𝜋 ℎ

3 𝑟 ₁ ¹ + 𝑟 ₂ ² + 𝑟 ₁ ∙ 𝑟 ₂

Sfera

𝑆 = 4𝜋𝑟 ² 𝑟 = 𝑆

4𝜋

𝑉 = 𝜋𝑟 ³ 𝑟 = 3 ∙ 𝑉

4𝜋

3

h = altezza; r = raggio; s = spigolo; d = diagonale; a = apotema; 2p = perimetro; p = semiperimetro;

𝜋

= pi-greco = 3,14…

Sb = Area della superficie di base; ; St = Area della superficie laterale; St = Area della superficie totale; V = Volume

(3)

Poliedri regolari

Per usare una formula tutte le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità di misura.

f+v+s ()* Altezza Superficie Volume

Tetraedro (triangoli

equilateri) 4 + 4 + 6 (3) ℎ = 1

3 𝑠 6 𝑆 = 𝑠 ² 3 𝑉 = 1

12 𝑠 ³ 2

Cubo - Esaedro

(quadrati) 6 + 6 + 12 (3) 𝑆 = 6𝑠 ² 𝑉 = 𝑠 ³

Ottaedro (triangoli

equilateri) 8 + 6 + 12 (4) 𝑆 = 2𝑠 ² 3 𝑉 = 1

3 𝑠 ³ 2

Dodecaedro (pentagono

regolare) 12 + 20 + 30 (3) 𝑆 = 15𝑠 ² 5 + 2 5

5 𝑉 = 𝑠 ³

15 + 7 5 4

Icosaedro (triangoli

equilateri) 20 + 12 + 30 (5) 𝑆 = 𝑠 ² 5 3

𝑉 = 𝑠 ³ 5(3 + 5) 12

(*) numero di spigoli concorrenti in un vertice

h = altezza; s = spigolo; d = diagonale; S = Area della superficie totale; V = Volume

Formulario 2

Prismi e piramidi

Per usare una formula tutte le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità di misura.

Prisma

𝑆 𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ 2𝑝 = 𝑆 𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 𝑙 2𝑝 𝑆 𝑡 = 2𝑆 𝑏 + 𝑆 𝑙 𝑆 𝑙 = 𝑆 𝑡 − 2𝑆 𝑏 𝑆 𝑏 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑙

2

𝑉 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ 𝑆 𝑏 = 𝑉

ℎ ℎ = 𝑉 𝑆 𝑏

Parallelepipedo

rettangolo 𝑑 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

𝑐 = 𝑑 2 − 𝑎 2 − 𝑏 2 … 𝑆 𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ = 2 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑐 2𝑝 = 𝑆 𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 𝑙 2𝑝 𝑆 𝑡 = 2𝑆 𝑏 + 𝑆 𝑙 𝑆 𝑙 = 𝑆 𝑡 − 2𝑆 𝑏 𝑆 𝑏 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑙

2 𝑉 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆 𝑏 = 𝑉

ℎ ℎ = 𝑉 𝑆 𝑏

Cubo

𝑑 = 3𝑠 2 = 𝑠 3 𝑠 = 𝑑

3 = 𝑑 3 3

𝑆 𝑙 = 4𝑠 2 𝑠 = 𝑆 𝑙

4

𝑆 𝑡 = 6𝑠 2 𝑠 = 𝑆 𝑡

6

𝑉 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ = 𝑠 3 𝑠 = 𝑉

Piramide 𝑎 → 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

Piramide retta

𝑆 𝑙 = 2𝑝 ∙ 𝑎

2 = 𝑝 ∙ 𝑎 𝑝 = 𝑆 𝑙

𝑎 𝑎 = 𝑆 𝑙 𝑝

Piramide qualsiasi 𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑏 + 𝑆 𝑙 𝑆 𝑙 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑏 𝑆 𝑏 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑙

Piramide qualsiasi

𝑉 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ

3 𝑆 𝑏 = 3 ∙ 𝑉

ℎ ℎ = 3 ∙ 𝑉 𝑆 𝑏

Tronco di

piramide 𝑆 𝑙 = 2𝑝 1 + 2𝑝 2 ∙ 𝑎

2 𝑎 = 2𝑆 𝑙

2𝑝 1 + 2𝑝 2 𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑏1 + 𝑆 𝑏2 + 𝑆 𝑙

𝑉 = 𝑆 𝑏1 + 𝑆 𝑏2 + 𝑆 𝑏1 ∙ 𝑆 𝑏2 ∙ ℎ 3

Solidi di rotazione

Per usare una formula tutte le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità di misura.

Cilindro

𝑆 𝑏 = 𝜋𝑟 2 𝑟 = 𝑆 𝑏

𝜋 𝑆 𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ = 2𝜋𝑟 ∙ ℎ 𝑟 = 𝑆 𝑙

2𝜋 ∙ ℎ 2𝑝 = 𝑆 𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 𝑙 2𝑝 = 𝑆 𝑙

2𝜋𝑟 𝑆 𝑡 = 2𝑆 𝑏 + 𝑆 𝑙 𝑆 𝑙 = 𝑆 𝑡 − 2𝑆 𝑏 𝑆 𝑏 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑙

2 𝑉 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ = 𝜋𝑟 2 ∙ ℎ 𝑟 = 𝑉

𝜋 ∙ ℎ ℎ = 𝑉 𝜋𝑟 2

Cono

𝑆 𝑏 = 𝜋𝑟 2 𝑟 = 𝑆 𝑏 𝜋 𝑆 𝑙 = 2𝑝 ∙ 𝑎

2 = 𝑝 ∙ 𝑎 = 𝜋𝑟 ∙ 𝑎 𝑟 = 𝑆 𝑙

𝜋 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑆 𝑙 𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑏 + 𝑆 𝑙 𝑆 𝑙 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑏 𝑆 𝑏 = 𝑆 𝜋𝑟 𝑡 − 𝑆 𝑙

𝑉 = 𝑆 𝑏 ∙ ℎ

3 = 𝜋𝑟 2 ∙ ℎ

3 = 𝑟 = 3 ∙ 𝑉

𝜋 ∙ ℎ ℎ = 3 ∙ 𝑉 𝜋𝑟 2

Tronco di cono

𝑆 𝑏1 = 𝜋𝑟 1 2

𝑆 𝑏2 = 𝜋𝑟 2 2 𝑟 𝑥 = 𝑆 𝑏𝑥 𝜋 𝑆 𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 1 + 𝑟 2 ∙ 𝑎 𝑟 1 + 𝑟 2 = 𝑆 𝑙

𝜋 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑆 𝑙 𝜋 ∙ 𝑟 1 + 𝑟 2 𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑏1 + 𝑆 𝑏2 + 𝑆 𝑙

𝑆 𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑟 1 2 + 𝑟 2 2 + 𝑟 1 + 𝑟 2 ∙ 𝑎 𝑉 = 𝑆 𝑏1 + 𝑆 𝑏2 + 𝑆 𝑏1 ∙ 𝑆 𝑏2 ∙ ℎ

3 𝑉 = 𝜋 ℎ

3 𝑟 1 1 + 𝑟 2 2 + 𝑟 1 ∙ 𝑟 2

Sfera

𝑆 = 4𝜋𝑟 2 𝑟 = 𝑆

4𝜋

𝑉 = 𝜋𝑟 3 𝑟 = 3 ∙ 𝑉

4𝜋

𝜋

Poliedri regolari

Per usare una formula tutte le lunghezze devono essere espresse nella stessa unità di misura.

f+v+s (*) Altezza Superficie Volume

Tetraedro (triangoli

equilateri) 4 + 4 + 6 (3) ℎ = 1

3 𝑠 6 𝑆 = 𝑠 2 3 𝑉 = 1

12 𝑠 3 2

Cubo - Esaedro

(quadrati) 6 + 6 + 12 (3) 𝑆 = 6𝑠 2 𝑉 = 𝑠 3

Ottaedro (triangoli

equilateri) 8 + 6 + 12 (4) 𝑆 = 2𝑠 2 3 𝑉 = 1

𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 _𝑙 2𝑝 𝑆 _𝑡 = 2𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 2𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ 𝑆 _𝑏 = 𝑉

ℎ ℎ = 𝑉 𝑆 _𝑏

rettangolo 𝑑 = 𝑎 ² + 𝑏 ² + 𝑐 ²

𝑐 = 𝑑 ² − 𝑎 ² − 𝑏 ² … 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ = 2 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑐 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 _𝑙 2𝑝 𝑆 _𝑡 = 2𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 2𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

2 𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑆 _𝑏 = 𝑉

ℎ ℎ = 𝑉 𝑆 _𝑏

𝑑 = 3𝑠 ² = 𝑠 3 𝑠 = 𝑑

𝑆 _𝑙 = 4𝑠 ² 𝑠 = 𝑆 _𝑙

𝑆 _𝑡 = 6𝑠 ² 𝑠 = 𝑆 _𝑡

𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ = 𝑠 ³ 𝑠 = 𝑉

𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ 𝑎

2 = 𝑝 ∙ 𝑎 𝑝 = 𝑆 _𝑙

𝑎 𝑎 = 𝑆 _𝑙 𝑝

Piramide qualsiasi 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ

3 𝑆 _𝑏 = 3 ∙ 𝑉

ℎ ℎ = 3 ∙ 𝑉 𝑆 _𝑏

piramide 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ₁ + 2𝑝 ₂ ∙ 𝑎

2 𝑎 = 2𝑆 _𝑙

2𝑝 ₁ + 2𝑝 ₂ 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 _𝑙

𝑉 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 𝑏1 ∙ 𝑆 _𝑏2 ∙ ℎ 3

𝑆 _𝑏 = 𝜋𝑟 ² 𝑟 = 𝑆 _𝑏

𝜋 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ ℎ = 2𝜋𝑟 ∙ ℎ 𝑟 = 𝑆 _𝑙

2𝜋 ∙ ℎ 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

ℎ ℎ = 𝑆 _𝑙 2𝑝 = 𝑆 _𝑙

2𝜋𝑟 𝑆 _𝑡 = 2𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 2𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

2 𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ = 𝜋𝑟 ² ∙ ℎ 𝑟 = 𝑉

𝜋 ∙ ℎ ℎ = 𝑉 𝜋𝑟 ²

𝑆 _𝑏 = 𝜋𝑟 ² 𝑟 = 𝑆 _𝑏 𝜋 𝑆 _𝑙 = 2𝑝 ∙ 𝑎

2 = 𝑝 ∙ 𝑎 = 𝜋𝑟 ∙ 𝑎 𝑟 = 𝑆 _𝑙

𝜋 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏 + 𝑆 _𝑙 𝑆 _𝑙 = 𝑆 _𝑡 − 𝑆 _𝑏 𝑆 _𝑏 = 𝑆 𝜋𝑟 _𝑡 − 𝑆 _𝑙

𝑉 = 𝑆 _𝑏 ∙ ℎ

3 = 𝜋𝑟 ² ∙ ℎ

𝜋 ∙ ℎ ℎ = 3 ∙ 𝑉 𝜋𝑟 ²

𝑆 _𝑏1 = 𝜋𝑟 ₁ ²

𝑆 _𝑏2 = 𝜋𝑟 ₂ ² 𝑟 _𝑥 = 𝑆 _𝑏𝑥 𝜋 𝑆 _𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ ∙ 𝑎 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ = 𝑆 _𝑙

𝜋 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑆 _𝑙 𝜋 ∙ 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ 𝑆 _𝑡 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 _𝑙

𝑆 _𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑟 ₁ ² + 𝑟 ₂ ² + 𝑟 ₁ + 𝑟 ₂ ∙ 𝑎 𝑉 = 𝑆 _𝑏1 + 𝑆 _𝑏2 + 𝑆 _𝑏1 ∙ 𝑆 _𝑏2 ∙ ℎ

3 𝑟 ₁ ¹ + 𝑟 ₂ ² + 𝑟 ₁ ∙ 𝑟 ₂

𝑆 = 4𝜋𝑟 ² 𝑟 = 𝑆

𝑉 = 𝜋𝑟 ³ 𝑟 = 3 ∙ 𝑉

f+v+s ()* Altezza Superficie Volume

3 𝑠 6 𝑆 = 𝑠 ² 3 𝑉 = 1

12 𝑠 ³ 2

(quadrati) 6 + 6 + 12 (3) 𝑆 = 6𝑠 ² 𝑉 = 𝑠 ³

equilateri) 8 + 6 + 12 (4) 𝑆 = 2𝑠 ² 3 𝑉 = 1

3 𝑠 ³ 2

regolare) 12 + 20 + 30 (3) 𝑆 = 15𝑠 ² 5 + 2 5

5 𝑉 = 𝑠 ³

equilateri) 20 + 12 + 30 (5) 𝑆 = 𝑠 ² 5 3

𝑉 = 𝑠 ³ 5(3 + 5) 12