Argano formato da coppia di carrucole

Argano formato da coppia di carrucole

Figure 1:

Un argano `e formato da una coppia di carrucole, una delle quali fis- sata al soffitto, mentre l’altra libera di muoversi. Alla carrucola libera ed all’estremit`a della corda sono fissate due masse m1 e m2 (vedi figura).

Si determini il moto del sistema.

Cosa cambia se la massa m₂ `e sostituita da una forza esterna ~F ? Soluzione

Siano

T~A, ~TB, ..., ~TF

le tensioni della corda nei punti A, B, ..., F .

Nell’ipotesi di corda inestensibile e di massa nulla, tutte le tensioni hanno lo stesso modulo: | ~Ti| = T .

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Scriviamo la seconda legge di Newton per le due masse:

( m1y¨1 = 2T − m1g

m₂y¨₂ = T − m₂g (1)

Abbiamo 2 equazioni e 3 incognite (y₁, y₂, T ), per cui `e necessaria una ulteriore equazione. Questa `e data dal vincolo.

Infatti se chiamiamo le distanze AB, CD e EF rispettivamente L₁(t), L₂(t) e L₃(t), dopo un tempo ∆t risulta:

( ∆L1 = ∆L2 = −∆y1

∆L₃ = −∆y₂ (2)

dove il segno − `e dovuto all’orientazione verso l’alto dell’asse y per cui se, ad esempio, m1 si abbassa la sua coordinata diventa pi`u negativa e ∆y1 < 0, mentre L₁ e L₂ si allungano, cio`e ∆L₁ = ∆L₂> 0. Analogamente per L₃.

La condizione di vincolo `e L1+ L2+ L3 = L = cost o, analogamente, P3

i=1∆Li = 0 dalla quale segue

2∆y1+ ∆y2 = 0

Dividendo per l’intervallo di tempo ∆t e facendo il limite per ∆t → 0 si ot- tiene una condizione sulla velocit`a e, derivando di nuovo, sulla accelerazione:

¨

y1= −y¨2

2 (3)

Questa equazione, unita al sistema 1, permette di ricavare le accelerazioni delle due masse. In particolare, per la massa m1 si ha:

¨

y₁ = −m₁− 2m₂ m1+ 4m2

g (4)

Si noti che il corpo 1 scende se la sua massa `e maggiore del doppio della massa del corpo 2. Detto in altri termini, se al posto della massa m2

esercitiamo una forza ~F , sar`a sufficiente una forza pari alla met`a della forza peso m₁g per tenere il sistema in equilibrio: il sistema di carrucole indicato consente un guadagno di un fattore 2 fra forza applicata e massa sollevata.

In realt`a, a causa di attriti, il guadagno reale sar`a un p`o minore.

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