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Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica Anno Accademico 2014/2015

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Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 9 settembre 2015

Un sistema piano ` e costituito da un’asta omogenea AB di massa M e lunghezza L sul cui estremo B ` e saldato un disco omogeneo di massa m, raggio R = L/4 e centro B. Il sistema si muove nel piano verticale O(x, y) e l’asta ` e libera di ruotare attorno al punto A, a sua volta libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sul punto A agisce una molla di costante elastica k > 0, che collega A con l’origine O; sull’estremo B agisce una forza di modulo costante F e diretta parallelamente all’asse y. Il sistema ha due gradi di libert` a; si scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede:

x O

A

F L, M

R=L/4

B

y

k > 0

m s

θ

• calcolare la matrice d’inerzia del sistema in un sistema solidale A(x

0

, y

0

, z

0

) con l’asse x

0

lungo l’asta, l’asse y

0

sul piano del moto e l’asse z

0

ortogonale ad esso (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilit` a delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto B agisca una forza viscosa di costante λ (4 punti).

.

(2)

Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Informatica e corsi V.O.

Anno Accademico 2014/2015

Meccanica Razionale, Fisica Matematica

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 9 settembre 2015

Un sistema piano ` e costituito da un disco omogeneo di massa M e raggio R e da un’asta omogenea CD di massa m, saldata sul disco, con gli estremi C e D sul bordo del disco e disposta perpendicolarmente al diametro AB con il punto medio a distanza R/2 dal centro del disco. Il sistema si muove nel piano verticale O(x, y) ed ` e libero di ruotare attorno al punto A, a sua volta libero di scorrere senza attrito sull’asse y. Sul punto A agisce una forza di modulo costante F e parallela all’asse y, mentre sul punto B, diametralmente opposto ad A, agisce una molla di costante elastica k > 0, che collega B con il punto K, proiezione di B sull’asse x. Il sistema ha due gradi di libert` a; si scelgano come coordinate lagrangiane i parametri s e θ indicati in figura, con s > 0 quando A sta sotto di O. Si chiede di:

x O

A

C

Q

F

K

R, M

R/2

B D y

k > 0

m s

θ

• calcolare la matrice d’inerzia del sistema in un sistema solidale A(x

0

, y

0

, z

0

) con l’asse x

0

lungo il diametro AB, l’asse y

0

sul piano del moto e l’asse z

0

ortogonale ad esso (7 punti);

• determinare la posizione del centro di massa del sistema (3 punti);

• scrivere l’energia potenziale del sistema (4 punti);

• calcolare le configurazioni di equilibrio (5 punti);

• studiare la stabilit` a delle configurazioni di equilibrio trovate (4 punti);

• scrivere l’energia cinetica del sistema (5 punti);

• scrivere le equazioni di Lagrange nell’ipotesi che sul punto B agisca una forza viscosa di costante λ (4 punti).

.

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