Compito di Fisica Matematica, 18/6/2007
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Ottenere le singolarit`a ed i residui della funzione f (z) = (z2−1)(zeiαz2+1), α ∈ R. Si calcoli poi la somma dei residui cos`ı ottenuti. Cosa si pu`o dire del residuo del punto all’infinito?
(2) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione f (x) = e−(x+1)2. (3) Calcolare l’integraleR2π
0 dθ
2+cos(θ).
(4) Verificare che la funzione f (x) = e−x(1 + sin(x)2) appartiene ad L2(R+) ma non ad L2(R).
Dimostrare poi che se h(x) ∈ L2(R) allora h(x) ∈ L2(R+).
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = x2χ[1,π](x), in cui χ[1,π](x) `e la funzione caratteristica dell’intervallo [1, π], e verificare che essa definisce una distribuzione temper- ata.
(6) Calcolare il limite debole della successione qn(x) = nq(nx), in cui q(x) =12 cos(x)χ[−π/2,π/2](x).
(7) Supponiamo di lanciare un dado equo a sei facce tre volte. Qual’`e la probabilit`a che la somma dei tre risultati sia 13? Quale che sia 7?
(8) Utilizzando l’alfabeto binario (0,1) stabilire quante cifre sono necessarie per descrivere i numeri arabi da 0 a 124, e quante per descrivere i numeri da 0 a 215.
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