Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 14 Febbraio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia S il sottospazio vettoriale di R4, generato da
B = ((1, h, 0, 0), (0, 1, 0, h), (1, 1, 1, 0), (0, 2, 0, 0)).
Si determini la dimensione di S al variare del parametro reale h. Posto h = 0 si indichi con A la matrice reale 4× 4 che ha come righe le componenti dei vettori di B rispetto alla base canonica di R4. Si stabilisca se A `e diagonalizzabile.
2 Si discuta e se possibile si risolva il seguente sistema lineare al variare del parametro reale h { x + y + z− ht =h
hx− y + hz − t=h
3 Sia f : R3 7→ R2 l’applicazione cos`ı definita f (x, y, z) = (2x− hy, x − 2z + h − 1).
(a) Si determini il valore del parametro reale h per cui f `e un’applicazione lineare.
(b) Per quel valore di h per cui f ´e lineare si determinino Kerf e Imf .
4 Nello spazio euclideo E3, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le due rette r :
{ x− y=1 y + z =1 e s :
{ x −3z =0 x + y=0 .
Si stabilisca la posizione reciproca delle due rette. Se incidenti si determini l’equazione cartesiana del piano che le contiene diversamente se ne calcoli la distanza.
5 Si scriva la definizione di vettori linearmente dipendenti e si dimostri che n vettori di uno spazio vettoriale sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi `e combinazione lineare dei restanti.
6 Si scrivano la definizione di angolo tra due piani e la definizione di piani perpendicolari nello spazio euclideo E3. Si ricavi una condizione analitica di perpendicolarit`a tra due piani di E3.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 14 Febbraio 2018 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Sia S il sottospazio vettoriale di R4, generato da
B = ((0, h, 1, 0), (0,−1, 0, h), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 2, 0)).
Si determini la dimensione di S al variare del parametro reale h. Posto h = 0 si indichi con A la matrice reale 4× 4 che ha come righe le componenti dei vettori di B rispetto alla base canonica di R4. Si stabilisca se A `e diagonalizzabile.
2 Si discuta e se possibile si risolva il seguente sistema lineare al variare del parametro reale h { 2x + y + z + 2t =h
hx + y + z + ht=2
3 Sia f : R3 7→ R2 l’applicazione cos`ı definita f (x, y, z) = (x− hy, x − z + h − 2).
(a) Si determini il valore del parametro reale h per cui f `e un’applicazione lineare.
(b) Per quel valore di h per cui f ´e lineare si determinino Kerf e Imf .
4 Nello spazio euclideo E3, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le due rette r :
{ x− y + 2z=1
y− z =0
e s :
{ x +3z =0 x + y=1 .
Si stabilisca la posizione reciproca delle due rette. Se incidenti si determini l’equazione cartesiana del piano che le contiene diversamente se ne calcoli la distanza.
5 Si scriva la definizione di determinante di una matrice quadrata e se ne enuncino alcune propriet`a. Si dimostri inoltre che se A∈ Kn,n `e invertibile allora il suo determinante `e diverso da zero.
6 Si scrivano le definizioni di angolo tra due vettori liberi dello spazio ordinario, di prodotto scalare, di prodotto vettoriale di due vettori liberi dello spazio ordinario e se ne enuncino alcune propriet`a.
Traccia II — 1
