) uno spazio vettoriale generabile con r vettori. Siano w

(1)

Lemma di Steinitz (Lemma sostitutivo) Sia V = Span(u

1

, u

2

, . . . , u

r

) uno spazio vettoriale generabile con r vettori. Siano w

1

, w

2

, . . . , w

s

s vettori linearmente indipendenti di V . Allora s ≤ r.

Dimostrazione. Per assurdo supponiamo s > r.

Consideriamo w

₁

. Poiche’ V = Span(u

₁

, u

₂

, . . . , u

_r

) allora esistono opportuni pesi a

1

, a

2

, . . . , a

r

tali che

w

1

= a

1

u

1

+ a

2

u

2

+ · · · + a

r

u

r

.

In questa formula deve esistere almeno un peso a

i

6= 0, altrimenti w

1

= 0 e cio’ non puo’

essere perche’ i vettori w

1

, w

2

, . . . , w

s

sono indipendenti. Per semplicita’ supponiamo a

₁

6= 0. Allora riscriviamo la formula precedente cosi’

a

1

u

1

+ a

2

u

2

+ · · · + a

r

u

r

− w

1

= 0.

Questa e’ una relazione tra i vettori u

1

, u

2

, . . . , u

r

, w

1

in cui u

1

appare con peso diverso da 0, quindi u

₁

e’ sovrabbondante nel sistema formato dai vettori u

₁

, u

₂

, . . . , u

_r

, w

₁

. Percio’ abbiamo

Span(w

1

, u

1

, u

2

, . . . , u

r

) = Span(w

1

, u

2

, . . . , u

r

).

Poiche’

V ⊇ Span(w

1

, u

1

, u

2

, . . . , u

r

) ⊇ Span(u

1

, u

2

, . . . , u

r

) = V allora abbiamo

V = Span(w

1

, u

2

, . . . , u

r

).

In altre parole l’argomento precedente ci dice che possiamo sostituire il vettore u

1

con w

₁

nel sistema di generatori u

₁

, u

₂

, . . . , u

_r

di V (percio’ tale lemma si chiama anche Lemma sostitutivo).

Ora andiamo a considerare w

2

. Poiche’ V = Span(w

1

, u

2

, . . . , u

r

) allora esistono opportuni pesi a

₁

, a

₂

, . . . , a

_r

tali che

w

2

= a

1

w

1

+ a

2

u

2

+ · · · + a

r

u

r

.

In questa formula deve esistere almeno un peso a

i

6= 0 con i > 1, altrimenti w

2

= a

1

w

1

e cio’ non puo’ essere perche’ i vettori w

₁

, w

₂

, . . . , w

_s

sono indipendenti. Per semplicita’

supponiamo a

2

6= 0. Allora riscriviamo la formula precedente cosi’

a

1

w

1

+ a

2

u

2

+ · · · + a

r

u

r

− w

2

= 0.

Questa e’ una relazione tra i vettori w

₁

, u

₂

, . . . , u

_r

, w

₂

in cui u

₂

appare con peso diverso da 0, quindi u

2

e’ sovrabbondante nel sistema formato dai vettori w

1

, w

2

, u

2

, . . . , u

r

. E ragionando come prima abbiamo

V = Span(w

1

, w

2

, u

3

, . . . , u

r

).

(2)

2

Cosi’ continuando arriveremo a provare che

V = Span(w

1

, w

2

, . . . , w

r

),

cioe’ potremo sostituire tutti i generatori u

1

, u

2

, . . . , u

r

con w

1

, w

2

, , . . . , w

r

. Per ipotesi di assurdo sappiamo che s > r quindi esiste anche w

_r+1

e per tale vettore deve essere

w

_r+1

∈ V = Span(w

₁

, w

₂

, . . . , w

_r

).

Questo comporta che il sistema w

₁

, w

₂

, . . . , w

_s

ha un vettore sovrabbondante, cioe’ e’

legato. Cio’ contraddice l’ipotesi che w

1

, w

2

, . . . , w

s

e’ linearmente indipendente. Siamo

pervenuti ad un assurdo, che dipende dall’aver supposto che s > r. Allora deve essere

necessariamente s ≤ r. ¥