Insiemi di punti di uno spazio euclideo

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Capitolo

2 Insiemi di punti di uno spazio euclideo

2.1 Spazi euclidei a due e tre dimensioni

Sappiamo che un insieme di numeri reali si pu`o pensare come un insieme di punti su una retta, cio`e di uno spazio ad una dimensione.

Si può considerare la naturale estensione di insiemi di punti di un piano (spazio a due dimensioni) cioè, riferendo il piano a due assi cartesiani ortogonali, insiemi di coppie ordinate (x, y) di numeri reali; o anche considerare insiemi di punti dello spazio ordinario (spazio a tre dimensioni) cioè, riferendo tale spazio a tre assi cartesiani ortogonali, insiemi di terne ordinate (x, y, z) di numeri reali. Si può ovviamente andare oltre e ragionare per n > 3, pur mancando una rappresentazione geometrica di tali casi.

In quanto segue ci riferiremo sempre ad esempi relativi a spazi a due o tre dimensioni.

Diremo che la coppia ordinata (x₁, x₂) [ovvero (x, y)] rappresenta il punto di coordinate x₁, x₂ dello spazio euclideo a 2 dimensioni, che indicheremo con R². Analogamente, la coppia ordinata (x₁, x₂, x₃) [ovvero (x, y, z)] rappresenta il punto di coordinate x₁, x₂, x₃ dello spazio euclideo a 3 dimensioni, che indicheremo con R³. Nei due casi, un punto sar`a indicato da una lettera maiuscola eventualmente seguita dalle coordinate: P ≡ (x₁, x₂) in R², P ≡ (x₁, x₂, x₃) in R³.

Ricordiamo che, dati due punti A ≡ (a₁), B ≡ (b₁) di una retta (cioè di R¹), la loro distanza AB è data da |b₁ − a₁| = [(b₁ − a₁)²]^1/2; dati due punti A ≡ (a₁, a₂), B ≡ (b₁, b₂) di un piano (cioè di R²), la loro distanza AB è data da [(b₁− a₁)²+ (b₂− a₂)²]^1/2; dati due punti A ≡ (a₁, a₂, a₃), B ≡ (b₁, b₂, b₃) dello spazio ordinario (cioè di R³), la loro distanza AB è data da [(b₁− a₁)²+ (b₂− a₂)²+ (b₃− a₃)²]^1/2.

Dato in R³ un punto C ≡ (c₁, c₂, c₃) e fissato un numero positivo ρ, chiameremo dominio circolare di centro C e raggio ρ l’insieme dei punti P ≡ (x₁, x₂, x₃) per i quali vale la relazione (x₁ − c₁)²+ (x₂ − c₂)²+ (x₃− c₃)²6 ρ². (2.1) che identifica una sfera. Con analoga definizione il dominio circolare identifica in R² un cerchio, e in R¹ l’intervallo chiuso [c₁− ρ, c₁+ ρ].

Dati in R³ due punti A ≡ (a₁, a₂, a₃), B ≡ (b₁, b₂, b₃) le cui coordinate siano tali da aversi a₁ < b₁, a₂ < b₂, a₃ < b₃, chiameremo intervallo chiuso (o dominio rettangolare) di punti estremi A, B l’insieme dei punti P ≡ (x₁, x₂, x₃) le cui coordinate verificano le relazioni a₁ 6 x₁ 6 b₁, a₂ 6 x₂ 6 b₂, a₃ 6 x₃ 6 b₃, (2.2) cio`e un parallelepipedo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati. Con analoga definizione il

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Capitolo 2. Insiemi di punti di uno spazio euclideo

dominio rettangolare identifica in R²un rettangolo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati e in R¹ l’intervallo chiuso [a, b].

Quando si considera un insieme E di punti P ≡ (x₁, x₂, x₃) ∈ R³, restano ad esso associati i 3 insiemi di numeri reali E₁, E₂, E₃ che sono formati, rispettivamente, da tutti i valori assunti dalla coordinata x₁, dalla coordinata x₂, dalla coordinata x₃ al variare del punto P in E. Diremo che E_i (i = 1, 2, 3) `e l’insieme proiezione di E sull’asse x_i.

L’insieme E si dice limitato se `e limitato ciascuno dei suoi insieme proiezione E₁, E₂, E₃. In tal caso, se [a_i, b_i] ⊇ E_i, (i = 1, 2, 3), l’insieme E risulta contenuto nell’intervallo chiuso di punti estremi (a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃); viceversa, se E `e contenuto in un intervallo chiuso,

`e chiaro che gli insiemi E₁, E₂, E₃ risultano limitati. Ne segue che si pu`o dare la definizione di insieme limitato anche sotto questa forma: un insieme di punti di R³ si dice limitato se esiste un intervallo chiuso che lo contiene.

Tutto quanto detto sopra si applica, con le opportune modifiche, agli insiemi di R². Chiameremo illimitato un insieme E che non sia limitato; in tal caso per uno almeno degli insiemi proiezione si ha inf E_i = −∞, oppure sup E_i = +∞.

Dato un insieme E, si considerino in esso due punti arbitrari P, Q e la loro distanza P Q;

al variare di P, Q indipendentemente l’uno dall’altro in E, tale distanza descrive un insieme numerico il cui estremo superiore si chiama il diametro dell’insieme E. Risulta evidente il seguente risultato.

2.1.I Condizione necessaria e sufficiente affinch´e un insieme sia limitato `e che abbia diametro finito.

Definiamo ora la distanza di due insiemi E, F . Sia P un punto qualunque di E, Q un punto qualunque di F e consideriamo la distanza P Q. Al variare di P ∈ E e di Q ∈ F , il numero P Q descrive un insieme di numeri non negativi, il quale ha un estremo inferiore d > 0. Tale numero d è la distanza dei due insiemi E, F . Se due insiemi hanno punti comuni la loro distanza risulta uguale a zero. Non sussiste però la proprietà inversa: la distanza di due insiemi può essere nulla senza che i due insiemi abbiano punti comuni. Come caso particolare resta definita la distanza di un punto P da un insieme E come la distanza dei due insiemi {P }, E cioè come l’estremo inferiore dell’insieme numerico descritto dalla distanza di P dai vari punti di E.

2.2 Punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti

Sia E un insieme di punti di R³ [R²]. Un punto P ∈ R³ [P ∈ R²] si dice interno all’insieme E se esiste un dominio circolare di centro P il quale sia tutto costituito da punti di E. Risulta evidente che un punto P interno ad E appartiene ad E stesso.

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2.3. Campi connessi. Intorni di un punto

Un punto P ∈ R³ [P ∈ R²] si dice esterno all’insieme E se esiste un dominio circolare di centro P il quale non contenga alcun punto di E, vale a dire sia tutto costituito da punti dell’insieme complementareC E = R³− E [C E = R²− E]. Un punto P esterno ad E risulta interno aC E ed appartiene a C E.

Un punto P ∈ R³ [P ∈ R²] si dice punto di frontiera per l’insieme E se non è né interno né esterno ad E, vale a dire se in ogni dominio circolare di centro P cadono sia punti di E sia punti diC E.

Dato un insieme E, il sottoinsieme costituito dai suoi punti interni sar`a indicato con

◦

E (si legge: interno di E).

Si chiama frontiera di un insieme E l’insieme formato da tutti i suoi punti di frontiera;

essa si indica con il simbolo ∂E. Si ha evidentemente

◦

E = E − ∂E . (2.3)

Un insieme E si dice chiuso quando contiene tutti i suoi punti di frontiera (cio`e quando

∂E ⊆ E); si dice aperto quando non contiene alcun punto della sua frontiera (E ∩ ∂E = ∅) cio`e quando tutti i suoi punti sono interni (

◦

E = E). In luogo della locuzione insieme aperto useremo anche semplicemente la parola campo.

2.3 Campi connessi. Intorni di un punto

Fra gli insiemi aperti o campi hanno particolare importanza quelli che sono costituiti da un’unica porzione di spazio, tali cio`e che ci si possa spostare da un punto qualsiasi del campo ad un altro senza uscire dal campo. Tali campi si dicono connessi. In altre parole, un campo E si dice connesso quando, comunque si fissino due punti P, Q ∈ E, `e sempre possibile congiungerli con una poligonale tutta contenuta in E.

Dato un qualsiasi punto P di uno spazio, chiameremo intorno del punto P ogni campo connesso e limitato contenente P . Si pu`o, ad esempio, prendere un campo circolare di centro P ed allora si parla di intorno circolare del punto P ; oppure un intervallo aperto di centro P ed allora si parla di intorno rettangolare del punto P . Risulta evidente che in R¹ un campo connesso e limitato `e necessariamente un intervallo aperto (a, b).

2.4 Punti di accumulazione. Chiusura di un insieme

Estendiamo ora agli insiemi E di uno spazio R³ [R²] il concetto di punto di accumulazione gi`a noto per gli insiemi di punti di R¹. Dato un insieme E ⊆ R³ [E ⊆ R²], un punto P ∈ R³ [P ∈ R²] si dice punto d’accumulazione (o punto limite) dell’insieme E quando, in ogni intorno di P , esiste almeno un punto di E diverso da P .

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Capitolo 2. Insiemi di punti di uno spazio euclideo

Si vede subito che un punto di accumulazione di E pu`o appartenere oppure no all’insieme stesso. Un punto P ∈ E pu`o essere o non essere punto di accumulazione; nel secondo caso esso si chiama punto isolato di E. Ogni punto P ∈

◦

E `e evidentemente punto di accumulazione di E.

Sussistono i seguenti risultati.

2.4.I Se P `e un punto di accumulazione dell’insieme E, in ogni intorno di P esistono infiniti punti di E.

2.4.II Un insieme limitato, contenente infiniti punti, ammette almeno un punto di accumulazione.

2.4.III Qualunque sia l’insieme E, l’insieme E ∪ ∂E risulta essere chiuso.

Dunque, ad ogni insieme E si pu`o associare l’insieme chiuso E ∪ ∂E; esso si chiama la chiusura di E e lo si indica col simbolo ¯E. Si ha dunque, per definizione

E = E ∪ ∂E¯ (2.4)

2.5 Domini

L’operazione di chiusura applicata ad un insieme chiuso riproduce l’insieme stesso. Se la stessa operazione `e applicata ad un insieme aperto (o campo), essa conduce a certi particolari insiemi che si chiamano domini.

Poniamo intanto la seguente definizione: si chiama dominio ogni insieme che sia la chiusura di un campo. Per un tale insieme vale il seguente risultato.

2.5.I Ogni dominio è un insieme perfetto (cioè un insieme che coincide con l’insieme dei suoi punti di accumulazione) ed ogni suo punto è di accumulazione di punti interni.

Come nel caso dei campi, hanno particolare interesse quei domini che sono formati da un unico blocco (chiuso) di punti. Poniamo perci`o la seguente definizione: un dominio D si dice internamente connesso quando `e connesso il campo

◦

D costituito dai suoi punti interni.

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