Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018– A

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018– A

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Enunciare e dimostrare il Teorema del differenziale.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

(3) Teorema e Formula fondamentale del calcolo integrale.

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim _x→2

f (x) = 0

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018 – B

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Enunciare e dimostrare il teorema di integrabilit` a di funzioni monotone.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite.

(3) Criteri di convessit` a al primo e secondo ordine.

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim _x→0

f (x) = 1

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018 – C

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Fornire la definizione di derivabilit` a di una funzione f in un punto x <sub>0</sub> interno al suo dominio. Elencare i vari casi di non derivabilit` a visti a lezione fornendo degli esempi.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange e illustrarne una applicazione.

(3) Teorema e formula di derivazione della funzione inversa. Applicazione di tale teorema per dedurre le proprieta’ di derivabilit` a e determinare la derivata della funzione arctan

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim _x→0

f (x) = −∞

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018 – D

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Fornire la definizione di funzione monotona su un intervallo I ⊂ IR. Enunciare i criteri di monotonia e monotonia stretta.

(2) Enunciare e dimostrare il Criterio del rapporto per serie a termini di segno non negativo.

(3) Enunciare e dimostrare il Teorema di derivabilit` a della funzione composta.

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim _x→−∞ f (x) = 1

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018 – E

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Fornire la definizione di numero di Nepero. Dimostrare che per ogni n ∈ IN \{0}

si ha

(1 + 1

n ) ⁿ < e < (1 + 1 n ) ⁿ⁺¹

(2) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle.

(3) Formula di Taylor con resto di Lagrange. Si illustri come utilizzare tale formula per calcolare sin(2) a meno dell 1%

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim x→1 f (x) = +∞

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018 – F

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Enunciare e dimostrare il criterio integrale per serie numeriche. Si applichi tale teorema allo studio del carattere della serie armonica generalizzata.

(2) Definire la nozione di convergenza semplice e assoluta per serie numeriche. Enun- ciare e dimostrare il teorema che ne descrive il rapporto.

(3) Provare che se f : [a, b] → IR ` e (limitata e) Riemann integrabile allora la sua funzione integrale di punto iniziale a ` e continua.

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim _x→1

f (x) = 1

Prova Teorica di Analisi Matematica 1 del 4 Luglio 2018 – G

COGNOME NOME

MATRICOLA

(1) Fornire la definizione di funzione convessa in un intervallo [a, b]. Enunciare i criteri di convessit` a al primo e secondo ordine. Fornire un esempio di funzione decrescente e convessa su [0, 1].

(2) Enunciare e dimostrare il teorema di regolarit` a delle successioni monotone.

(3) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per serie numeriche.

(4) Definire, tramite l’utilizzo dei quantificatori universali, il significato della scrit-

tura lim _x→−∞ f (x) = +∞