Analisi del moto dei proietti

Moto dei proietti

• E’ il moto di particelle che vengono lanciate con velocit`a iniziale ~v<sub>0</sub> e sono soggette alla sola accelerazione di gravit`a ~g supposta costante.

• La pallina rossa viene lasciata cadere da ferma nello stesso istante in cui l’altra `e lanciata orizzontalmente verso destra con velocit`a ~v₀.

• Osservazioni sperimentali:

– gli spostamenti verticali delle due palline sono identici

– Il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti

Analisi del moto dei proietti

Il moto pu`o essere analizzato separatamente nelle sue componenti:

– la componente orizzontale `e descritta dalle relazioni cinematiche del moto rettilineo uniforme

– quella verticale dalle relazioni del moto uniformemente accelerato.

Il moto avviene nel piano individuato da ~v₀ e ~g: scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale orientando l’asse x orizzontalmente e l’asse y lungo la verticale.

Analisi del moto dei proietti

Analizziamo separatamente il moto orizzontale:

a_x = 0, v_x = v_0x = cost, x = x₀ + v_0xt e il moto verticale:

a_y = −g, v_y = v_0y − gt, y = y₀ + v_0yt − 1 2gt² v_0x = v₀ cos θ, v_0y = v₀ sin θ

Determiniamo la traiettoria: il luogo geometrico dei punti occupati dal vettore posizione ~r(t) nel corso del tempo.

Equazione della traiettoria

Eliminiamo t fra le equazioni del moto per x(t) e y(t):

x(t) = x₀ + v_0xt ⇒ t = x − x₀ v_0x y(t) = y₀ + v_0yt − 1

2gt² ⇒ y − y₀ = v_0y

v_0x(x − x₀) − 1

2g(x − x₀)² v_0x² Ponendo v_0x = v₀ cos θ, v_0y = v₀ sin θ, x₀ = y₀ = 0, otteniamo:

y = x tan θ − g

2(v₀ cos θ)²x²

Questa `e l’equazione di una parabola nel piano xy, con la curvatura rivolta verso il basso. La traiettoria `e quindi parabolica.

Gittata

Distanza orizzontale coperta dal proietto all’istante in cui tocca il suolo:

y = v₀t sin θ − 1

2gt² = 0 Soluzioni: t = 0, oppure

t = 2v₀ sin θ g

Sostituendo quest’ultimo in x(t) = x₀ + v₀(cos θ)t si trova la gittata R:

x − x₀ = 2v₀²

g sin θ cos θ = v₀²

g sin(2θ) ≡ R

(in alternativa, si pu`o usare l’espressione della traiettoria prima ricavata, trovare il valore di x per cui y = 0)

Gittata 2

La gittata R:

R = v₀²

g sin(2θ)

`e massima se θ = 45^◦.

L’altezza massima h si raggiunge quando v_y = v₀ sin θ − gt = 0, ovvero per t = g

v₀ sin θ, da cui h = v₀²

2g sin² θ

(in alternativa, si pu`o usare l’espressione della traiettoria prima ricavata, trovare il valore x_max per cui dy/dx = 0, trovare poi y(x_max))

Esempio 1

Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d’oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l’angolo con cui spicc`o il salto fu θ = 23<sup>◦</sup>, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo v<sub>0</sub> della velocit`a iniziale.

Esempio 1

Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d’oro nel salto in lungo con un salto di 8.50 m. Se l’angolo con cui spicc`o il salto fu θ = 23<sup>◦</sup>, calcolare, assumendo il moto parabolico, il modulo v<sub>0</sub> della velocit`a iniziale.

R = v₀²

g sin(2θ) → v₀ = s

Rg

sin(2θ) =

r8.50 · 9.81

0.72 m/s = 10.8m/s Vi sembra un valore ragionevole?

Esempi 2 e 3

Dal tetto di un edificio di altezza h viene lanciata una pallina con velocit`a v₀ = 10 m/s e inclinazione θ = 30^◦ rispetto all’orizzontale.

Calcolare l’altezza h dell’edificio, sapendo che la pallina arriva al suolo ad una distanza d = 18 m dalla base dello stesso.

Variante (un po’ pi`u complicata):

Dal tetto di un edificio di altezza h = 45 m viene lanciata una pallina con velocit`a v₀ = 20 m/s e inclinazione θ = 30^◦ rispetto all’orizzonte. Calcolare a che distanza dall’edificio la pallina tocca il suolo.

Nota Bene

• Le relazioni tra le grandezze cinematiche sono relazioni vettoriali e in quanto tali non dipendono (sono covarianti) dalla scelta del sistema di riferimento.

• Le componenti di ~r, di ~v e di ~a, come pure l’espressione analitica della traiettoria, dipendono per`o dal sistema di riferimento in cui si descrive il moto, che va quindi determinato.

Soluzioni

Soluzione del primo problema: usiamo l’equazione della traiettoria (valida se x₀ = y₀ = 0!):

y = x tan θ − g

2(v₀ cos θ)²x²

Vogliamo trovare la y corrispondente a x = d. Con i nostri dati y = d tan 30^◦ − g

2(v₀ cos 30^◦)²d², h = −y = 10.8m

Soluzione della variante: dobbiamo trovare il valore di x_f tale per cui la traiettoria passa per il punto (x_f, y_f), con y_f = −45 m. Quindi:

y_f = x_f tan θ − g

2(v₀ cos θ)²x²_f

Dobbiamo risolvere un’equazione di secondo grado per x_f:

−a

2x²_f + bx_f − y_f = 0 dove

a = g

v₀² cos² θ = 0.0372m⁻¹, b = tan θ = 0.57735 Si trova

x_f = b ± pb² − 2ay_f a

ovvero x_f = 73 m

(la soluzione negativa x_f = −37.7 m `e spuria e corrisponde ad un’ipotetica traiettoria prima dello sparo)

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Velocita' relativa

Relativit` a galileiana

Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocit`a vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non pi`u gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a pi`e giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, bench´e niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cos`ı, fate muover la nave con quanta si voglia velocit`a; ch´e (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in l`a) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, n´e da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma

Velocit` a relativa 2

• Il sistema di riferimento S `e stazionario o di laboratorio

• Il sistema di riferimento S⁰ `e in movimento con velocit`a (detta di trascinamento) ~v₀ costante

• Al tempo t = 0 le origini di S e S⁰ coincidono. Vale: ~r = ~r ⁰ + ~v₀t

• Derivando tale relazione: ~v = ~v ⁰ + ~v₀ (trasformazione di Galileo)

• Derivando nuovamente: ~a = ~a ⁰ perch´e ~v₀ `e costante

Velocit` a e accelerazione di trascinamento

Consideriamo ora il caso in cui il sistema di riferimento SM (sistema mobile) `e in moto con velocit`a ~v_t e accelerazione ~a_t (che assumiamo costante) rispetto al sistema di riferimento SL del laboratorio

• La relazione fra le posizioni diventa ~r = ~r ⁰ + ~r_OO⁰(t)

• Derivando tale relazione: ~v = ~v ⁰ + ~v_t, con ~v_t = d~r_OO⁰ dt

• Derivando nuovamente: ~a = ~a ⁰ + ~a_t dove ~a_t = d~v_t dt

a_t `e detta accelerazione di trascinamento. Se ~a = 0, ~a ⁰ = −~a_t.

Sistemi di riferimento rotanti

Consideriamo ora il caso in figura:

il sistema mobile SM (ruota) con velocit`a angolare ~ω (assunta costante) rispetto al sistema di riferimento SL del laboratorio

• La rotazione di SM conferisce ai suoi punti una velocit`a di trascinamento ~v_t = ^d~_dt^r = ~ω × ~r che dipende dalla posizione

• L’accelerazione di trascinamento ~a_t = ^d~_dt^vt per i punti del SM diventa

~a_t = ~ω × ~v_t = ~ω × (~ω × ~r) = −ω²~r_⊥ (*) dove ~r_⊥ `e la proiezione di ~r sul piano di rotazione

(non `e altro che l’accelerazione centripeta del moto rotatorio).

Sistemi di riferimento rotanti (2)

• Relazione fra velocit`a ~v di un punto materiale nel sistema SL e ~v ⁰ nel sistema SM: ~v = ~v ⁰ + ~v_t ovvero ~v = ~v ⁰ + ~ω × ~r.

• La relazione fra accelerazioni richiede un po’ di attenzione:

~a = d~v

dt = d~v ⁰

dt + ~ω × d~r

dt = d~v ⁰

dt + ~ω × ~v = d~v ⁰

dt + ~ω × (~v ⁰ + ~ω × ~r)

ma ~v ⁰ varia nel tempo sia per effetto del moto nel SM che per effetto della rotazione rispetto al SL. Scrivendo ~v ⁰ = ˆi⁰v_x⁰ + ˆj⁰v_y⁰ + ˆk⁰v_z⁰ si trova che ^d~_dt^v0 = ~a⁰ + ~ω × ~v ⁰, con ~a⁰ = ˆi^{0 dv}_dt^0x + ˆj^{0 dv}

0y

dt + ˆk^{0 dv}_dt^z0 , da cui ricordando la (*) si trova infine

~a = ~a ⁰ − ω²~r_⊥ + 2~ω × ~v ⁰.

Se ~a = 0 nel SL, nel SM ~a ⁰ = ω²~r_⊥ − 2~ω × ~v ⁰. Il termine ω²~r_⊥ `e detto accelerazione centrifuga.

Il termine −2~ω × ~v ⁰ `e noto come accelerazione di Coriolis.

Accelerazione centrifuga e di Coriolis

Al tempo t = 0 la pallina sul bordo viene lasciata libera. L’osservatore a terra vede un moto rettilineo uniforme con velocit`a v = ωR.

Dopo un tempo t la pallina ha percorso s = vt lungo y. Nel sistema di riferimento x⁰y⁰ che ruota con velocit`a angolare ω, l’osservatore vede la pallina “scappare in fuori” per effetto dell’accelerazione centrifuga e piegare sulla destra per effetto dell’accelerazione di Coriolis

L’accelerazione di Coriolis ha un impatto visibile sulla circolazione dei venti: questi tendono a scendere dai poli verso l’equatore e sono deflessi verso ovest