Capitolo 19
Modulazione e conversione di frequenza
L’elettronica nasce all’inizio del secolo scorso come radiotecnica, la tecnica di trasmissione a distanza dei segnali utilizzando onde elettromagnetiche generate, tra- smesse e ricevute tramite dispositivi e circuiti elettronici.
Dopo l’epoca pionieristica della trasmissione con onde smorzate prodotte dai tra- smettitori a scintilla, in cui il segnale irradiato copriva uno spettro molto ampio di frequenze, si `e rapidamente affermato l’utilizzo della trasmissione tramite una por- tante (oscillazione monocromatica pura di frequenza sufficientemente alta), modulata dal segnale contenente l’informazione da trasmettere, caratterizzato da uno spettro con frequenze molto minori di quella della portante.
19.1 Modulazione di ampiezza
Una portante, segnale monocromatico stazionario v(t) = a cos(ωpt + ϕ), non con- tiene alcuna informazione oltre al valore, costante, di a, ωp e ϕ. Per trasmettere in- formazione `e necessario aggiungere alla originale oscillazione pura una modulazione, cio`e una variazione nel tempo di uno o pi`u dei suoi parametri.
Variando a, oppure ωp, oppure ϕ si ha rispettivamente modulazione di ampiezza, di frequenza e di fase. Storicamente, la prima ad essere utilizzata `e stata la mo- dulazione di ampiezza (AM ), facendo variare il parametro a in funzione del tempo proporzionalmente al valore del segnale da trasmettere.1
s(t) = [1 + a(t)] cos(ωpt + ϕ) (19.1) come si vede nella fig. 19.1.
Per fare un esempio, a(t) pu`o essere un segnale audio, con uno spettro di com- ponenti armoniche che si estende da 20 Hz a 20 kHz (suono ad alta fedelt`a), o da
1La prima e pi`u antica forma di modulazione `e stata la trasmissione telegrafica in codice Morse, denominata CW ( = continuous wave, trasmissione in onda continua), ottenuta inviando un’onda elettromagnetica ad intervalli lunghi e brevi opportunamente spaziati, in modo da riprodurre punti e linee del telegrafo elettrico. La modulazione CW `e quindi una modulazione di ampiezza di tipo tutto/niente, segnale presente/assente.
19-1
19-2 CAPITOLO 19. MODULAZIONE E CONVERSIONE DI FREQUENZA
-2 -1 0 1 2
0 20 40 60 80 100
ampiezza
tempo [µs]
Figura 19.1: Modulazione di ampiezza: un segnale sinusoidale a frequenza fp = 1 M Hz modulato in ampiezza da un segnale con variazione temporale pi`u lenta.
300 a 3000 Hz nel caso del segnale limitato alle sole componenti spettrali della voce umana (segnale telefonico).
Anche senza entrare nei dettagli dell’analisi di Fourier, si pu`o comunque considera- re la funzione a(t) formata matematicamente dalla somma di componenti armoniche elementari:2
a(t) =X
m
Amcos(ωmt + θm) (19.2)
Combinando le equazioni 19.1 e 19.2 ed utilizzando la propriet`a distributiva del prodotto rispetto alla somma, si ottiene
s(t) = (
1 +X
m
Amcos(ωmt + θm) )
· cos(ωt + ϕ) (19.3) L’operazione alla base della modulazione di ampiezza `e quindi il prodotto tra due segnali, operazione che pu`o essere ottenuta utilizzando, ad esempio, il moltiplicatore a quattro quadranti descritto nel par. 13.2, o altro circuito equivalente (`e bene ricordare che il prodotto `e una operazione non lineare, e per questo motivo in questi paragrafi non `e usato il formalismo dei numeri complessi sviluppato per le reti lineari in corrente alternata).
19.2 Identit` a trigonometriche
Prodotti e potenze di funzioni trigonometriche possono essere trasformate in som- me di funzioni trigonometriche di somme e differenze di angoli. Nelle tabelle seguenti vengono riportate come promemoria due identit`a trigonometriche relative alle somme e differenze di angoli e le formule di Werner (o di prostaferesi ) che ne derivano.
19.2.1 somme e differenze di angoli
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β (19.4) sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β (19.5)
2Oppure anche come integrale di una distribuzione continua. Ma i passaggi matematici successivi rimangono in sostanza gli stessi. Normalmente a(t) `e a media nulla.
19.3. BANDE LATERALI 19-3 19.2.2 formule di Werner (o di prostaferesi)
sin α cos β = 1
2{sin(α + β) + sin(α − β)} (19.6) cos α cos β = 1
2{cos(α + β) + cos(α − β)} (19.7) sin α sin β = 1
2{cos(α − β) − cos(α + β)} (19.8)
19.3 Bande laterali
Applicando la formula 19.7 a ciascun termine della somma nella eq. 19.3 e sce- gliendo per semplicit`a l’origine del tempo in modo da avere ϕ = 0, si ottiene:
s(t) = cos(ωpt) + 1 2
X
m
Amcos(ωpt + ωmt + θm)
+ 1
2 X
m
Amcos(ωpt − ωmt − θm) (19.9)
Nella figura 19.2 sono riportati a confronto gli spettri del segnale in banda base a(t) e della portante v(t) all’ingresso del modulatore e lo spettro del segnale modulato s(t) come risulta dalla equazione 19.9.
Figura 19.2: Modulazione di ampiezza: ogni componente spettrale di frequenza angolare ωmdel segnale contenente l’informazione (segnale in banda base), tramite il processo di modulazione, viene traslata nelle due frequenze ωp± ωmnelle due bande laterali intorno alla frequenza portante.
Per ogni componente di frequenza (angolare) ωm del segnale modulante si hanno nello spettro del segnale modulato due componenti di frequenza ωp+ ωm e ωp− ωm, che vanno a formare due bande laterali ai lati della portante: una banda laterale superiore (USB, upper side band ) ed una banda laterale inferiore (LSB, lower side band ), ciascuna con lo stesso andamento spettrale del segnale in banda base, ma rovesciato specularmente rispetto a ωpnella LSB. Quindi il segnale modulato contiene la stessa informazione che `e presente nel segnale in banda base.
Nella trasmissione radio il processo di modulazione (e successiva demodulazione alla ricezione per recuperare il segnale in banda base) `e praticamente indispensabile.
Infatti, il segnale in banda base non pu`o essere trasmesso direttamente inviandolo ad una antenna. Si tratta quasi sempre di un segnale a banda larga, secondo le definizioni
19-4 CAPITOLO 19. MODULAZIONE E CONVERSIONE DI FREQUENZA viste nel par. 2.12. Anche nel caso del segnale telefonico, la cui banda va da 300 a 3000 Hz, e quindi si estende solo per 2700 Hz, il rapporto tra frequenza massima e frequenza minima `e 9. Non `e possibile3 fare risuonare una antenna trasmittente in maniera efficiente su una banda di frequenze cos`ı ampia e con lunghezze d’onda che vanno dai cento ai mille km (per essere ragionevolmente efficiente, un’antenna deve avere dimensioni geometriche non pi`u di un ordine di grandezza inferiori alla lunghezza d’onda del segnale).
Trasferendo l’informazione nelle due bande laterali intorno ad una portante a frequenza sufficientemente alta, come illustrato nella figura, si ottiene un segnale a banda stretta. Ad esempio, con una portante a frequenza di 1 M Hz, il rapporto tra frequenza massima e minima, per il segnale telefonico, diventa 1.006. In queste condizioni diventa molto facile realizzare antenne risonanti ad elevata efficienza, di dimensioni tra le decine ed il centinaio di metri. Con portanti di frequenza pi`u alta, le dimensioni dell’antenna si riducono ancora: 30 m per una frequenza di 10 M Hz, 3 m per 100 M Hz e cos`ı via.
19.4 Conversione di frequenza
Lo stesso processo alla base della modulazione di ampiezza pu`o essere utilizzato per la conversione di frequenza, cio`e per traslare da una regione ad un’altra dello spettro delle frequenze un segnale.
Moltiplicando nuovamente il segnale s(t) della eq. 19.9 con un segnale a frequenza ωq, sia la portante che tutte le componenti delle bande laterali vengono nuovamente duplicate in due nuove bande di frequenze ωq± ωs, dove le ωs sono le frequenze di tutte le componenti di s(t).
Se ωqnon `e troppo piccolo rispetto a ωp, le due nuove bande contenenti i duplicati del segnale s(t) si trovano in regioni dello spettro sufficientemente distanti da poter essere separate con un filtro.
3Quanto meno, `e molto difficile.
