Basi, applicazioni e matrici 24/11
Riassunto
Siano v1, . . . , vn elementi di uno spazio vettoriale V . L’appli- cazione lineare f : Rn → V definita da
(x1, . . . , xn) ֏ x1v1+ · · · +xnvn
è iniettiva se e solo se v1, . . . , vn sono L I, e suriettiva se e solo se V = L (v1, . . . , vn). Quindi, f è una biiezione se e solo se {v1, . . . , vn} è una base di V . In questo caso, gli spazi Rn e V sono isomorfi e V può essere trattato come fosse Rn stesso.
Ogni matrice A ∈ Rm,n definisce, tramite vettori colonna, un’applicazione lineare f : Rn → Rm :
f (x1, . . . , xn) = (y1. . . , ym) ⇐⇒ AX = Y .
Viceversa, ogni applicazione lineare Rn → Rm si presenta in questo modo, la prima riga della matrice associata A = Mf si ricava da y1 = a11x1 + · · · +a1nxn e così via.
Pensando a elementi di Rn e Rm come colonne, kerf = {X ∈ Rn,1 :AX = 0}
consiste delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, e Imf = {AX : X ∈ Rn,1} = L(c1, . . . , cn) = C (A)
è lo spazio generato delle colonne di A. Segue che dim(Im f ) è uguale al rango r = r (A) e dim(ker f ) = n − r . Quindi,
n = dim(ker f ) + dim(Im f )
e f è iniettiva (suriettiva) se e solo se r = n ( r = m ).
