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Si stabilisca se A `e invertibile e si studi la convergenza del metodo di Gauss-Seidel

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Academic year: 2021

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Nome e matricola: . . . . Corso di studi: . . . .

Prova scritta di Matematica Applicata 27 febbraio 2015

1. Si determini la fattorizzazione P A = LU della matrice A = M MT, essendo

M =

1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0 1 3 3 1

e la si utilizzi per calcolare la prima e la terza colonna dell’inversa di A e il suo determinante.

2. Si consideri il sistema Ax = b dove A =

1 1 1 1 2 3 1 3 6

, b =

 6 12 20

.

Si stabilisca se A `e invertibile e si studi la convergenza del metodo di Gauss-Seidel.

Si calcolino infine le prime due iterate del metodo di Gauss Seidel, a partire da x(0) = [0, 0, 1]T.

3. Si consideri il seguente schema alle differenze finite ηk+1 = ηk+1

2h [f (xk, ηk) + f (xk+ h, ηk+ hf (xk, ηk))] .

Si dica, motivando la risposta, se `e un metodo monostep o multistep, esplicito o implicito, si studi la stabilit`a, la consistenza e la convergenza. Infine, posto h = 1/2, si applichi tale metodo al seguente problema di Cauchy per approssimare la sua soluzione nel punto x = 3

(y0 = x2y − x, x ∈ [2, 3]

y(2) = 1.

4. Sviluppare in serie di Fourier la seguente funzione f (x) =

(x, −1 ≤ x < 0, sin π2x, 0 ≤ x < 1.

5. Risolvere, ricorrendo alla trasformata di Fourier, la seguente equazione differenziale

−y00+ 2y0+ 3y = δ(x), x ∈ R.

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