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Calcolo Numerico: metodi, modelli e algoritmi

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Academic year: 2021

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Esercizi

Calcolo Numerico: metodi, modelli e algoritmi

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio 6 CFU - A.A. 2020/2021

docente: Prof.ssa Luisa Fermo ultimo aggiornamento: 26 novembre 2020

Metodi iterativi per sistemi lineari Esercitazione del 27 novembre 2020

Esercizio 1 Sia

A =

2a 1 0

1 a 1

0 1 2a

.

Stabilire per quali valori del parametro reale a la matrice A `e invertibile e per quali valori il metodo di Gauss-Seidel e il metodo di Jacobi risultano convergenti se applicato al sistema Ax = b.

Esercizio 2 Sia

A =

1 2 a 0 a 0 a 2 1

.

Stabilire per quali valori del parametro reale a la matrice A `e invertibile e per quali valori il metodo di Gauss-Seidel risulta convergente se applicato al sistema Ax = b con b = [1 2 3]T. Assegnato a = 12, calcolare le prime due iterate del metodo di Gauss-Seidel utilizzando come vettore iniziale x(0) = [0 1 1]T.

Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema





3x1− x2 = 1

ax1+ 3x2+ ax3 = 4

−x2+ 3x3 = 1

dove a `e un parametro reale. Si dica per quali valori di a il sistema ammette un’unica soluzione e si studi la convergenza del metodo di Jacobi al variare di a ∈ R. Posto a = −1, si calcolino le prime due iterate del metodo di Jacobi, a partire da x(0) = [0, 1, 0]T.

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Sotto tale ipotesi, il sistema quindi è invertibile e un metodo di tipo Jacobi o Gauss-Seidel potrebbe essere applicato per la sua risoluzione in quanto sicuramente convergenti..

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