i) Si rivolgono ad essa n = 10 nuovi clienti (indipendenti) per stipulare un contratto assicurativo. Qual `e la probabilit`a che, tra essi, almeno la met` a siano ad alto rischio?

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11/01/2012

Esercizio 1. Una compagnia di assicurazioni classifica i propri clienti in tre fasce: basso rischio di incidente, medio rischio e alto rischio. Assumiamo che il 30% dei clienti sia a basso rischio, il 50% a medio rischio e il 20% ad alto rischio.

i) Si rivolgono ad essa n = 10 nuovi clienti (indipendenti) per stipulare un contratto assicurativo. Qual `e la probabilit`a che, tra essi, almeno la met` a siano ad alto rischio?

ii) Stipulati i contratti, i dieci nuovi clienti risultano cos`ı distribuiti: 3 a basso rischio, 5 a medio e 2 ad alto. Tre a caso di loro, l’anno successivo non rinnovano il contratto. Che probabilit`a c’`e che siano di categorie diverse?

iii) Supponiamo che invece si rivolgano n = 100 nuovi clienti. Qual `e la probabilit`a che, tra essi, almeno 40 siano a basso rischio?

iv) Continuiamo a supporre n = 100. Un cliente a basso rischio paga 500 euro; se `e a medio rischio paga 700 euro; se

`e ad alto rischio paga 1000 euro. Calcolare quanto riceve in pagamento la compagnia in media, e, detta µ tale media, che probabilit`a ha di ricevere pi` u di 1.05 · µ.

Soluzione.

i) Indichiamo con N il numero di contratti ad alto rischio. ` E una B (10, 0.2). Allora P (N ≥ 5) =

10

X

k=5

10 k



0.2 ^k 0.8 ^10−k = 0.03279.

ii) Consideriamo tutte le terne non ordinate formate dai dieci clienti. Il loro numero `e ¹⁰ ₃
. Quelle formate da clienti di categorie diverse sono 3 · 5 · 2; ad esempio lo si capisce con la formula ³ 1

5 1

2

1
. Quindi la probabilit`a richiesta `e 3 · 5 · 2

10 3

= 3 · 5 · 2 · 3 · 2 10 · 9 · 8 = 1

4 .

iii) Il numero N di clienti a basso rischio `e ora una B (100, 0.3). Calcoliamo P (N ≥ 50) col teorema limite centrale, usando la correzione di continuit` a:

P (N ≥ 40) = P (N > 39.5) = P

 √ N − 100 · 0.3 100 √

0.3 · 0.7 > 39.5 − 100 · 0.3 √ 100 √

0.3 · 0.7



∼ P (Z > 2.0731) = 1 − P (Z ≤ 2.0731) 1 − Φ(2.0731) = 1 − 0.9809 = 0.0191

iv) Introduciamo, per ciascun nuovo cliente i = 1, . . . , 100, una v.a. X i che vale 500 con probabilit`a 0.3, 700 con probabilit`a 0.5, 1000 con probabilit`a 0.2. La sua media `e 500 · 0.3 + 700 · 0.5 + 1000 · 0.2 = 700. Questo `e il pagamento medio di un singolo cliente. Il pagamento complessivo medio `e la media della somma X 1 + · · · + X ¹⁰⁰ , che vale 70000.

Quindi µ = 70000.

Dobbiamo poi calcolare

P (X 1 + · · · + X ¹⁰⁰ > 1.05 · 70000)

= P  X 1 + · · · + X √ ¹⁰⁰ − 70000

100 · 173. 21 > 1.05 · 70000 − 70000 √ 100 · 173.21



dove osserviamo che la varianza di X 1 `e

500 ² · 0.3 + 700 ² · 0.5 + 1000 ² · 0.2 − 700 ² = 30000 quindi la deviazione standard `e σ = √

30000 = 173.21,

∼ P (Z > 2.0207) = 1 − P (Z ≤ 2.0207) 1 − Φ(2.0207) = 1 − 0.9783 = 0.0217 Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) =

 Ce ^x per x < 1

C _x ¹

n

per x ≥ 1 parametrizzata dal numero intero n ≥ 0.

i) Trovare per quali valori di n e C la funzione f `e una densit`a di probabilit`a.

ii) Sia X una v.a. con tale densit`a. Stabilire per quali valori di n ha media finita e calcolarla.

iii) Calcolare la densit`a di probabilit`a della v.a. Y = |X|, riassumendo alla fine la sua espressione a seconda dell’in- tervallo del dominio.

iv) Date due v.a. X 1 , X 2 indipendenti con tale densit`a, calcolare P (max (X 1 , X 2 ) > 1).

Soluzione.

i) La costante C dev’essere > 0 per ovvie ragioni. Per n = 0, 1, f non `e integrabile sulla semiretta positiva, mentre lo

`e per n > 1. Vale (per tali n) Z +∞

−∞

f (x)dx = Z 1

−∞

Ce ^x dx + Z +∞

1

C 1

x ⁿ dx = C[e ^x ] ¹ −∞ + C  x ⁻ⁿ⁺¹

−n + 1

 ^+∞

1

= C



e + 1 n − 1



per cui dev’essere C =



e + 1 n − 1

 ⁻ 1

.

ii) Il problema `e sulla semiretta positiva, dove deve essere integrabile x · 1

x ⁿ . Questo accade per n > 2. In questo caso, si ha E[X] =

Z +∞

−∞

xf (x)dx = Z 1

−∞

Cxe ^x dx + Z +∞

1

Cx 1

x ⁿ dx = C[(x − 1)e ^x ] ¹ −∞ + C  x ²⁻ⁿ 2 − n

 ^+∞

1

= 0 + C n − 2 = 1

n − 2



e + 1 n − 1

 −1

.

iii) Per t ≤ 0 vale F ^Y (t) = P (Y ≤ t) = P (|X| ≤ t) = 0. Invece, per t > 0, vale F ^Y (t) = P (|X| ≤ t) = P (−t ≤ X ≤ t) = F ^X (t)−F ^X (−t) da cui f ^Y (t) = f ^X (t)+f ^X (−t) = f ^X (t)+Ce ^−t . Per t ≥ 1 abbiamo f ^Y (t) = C 1

t ⁿ + Ce ^−t mentre per t ∈ (0, 1) abbiamo f ^Y (t) = Ce ^t + Ce ^−t . In conclusione, si ha f ^Y (t) =







0 per t ≤ 0

Ce ^t + Ce ^−t per t ∈ (0, 1) C _t ¹

n

+ Ce ^−t per t ≥ 1.

. iv) Si ha: P (max(X 1 , X 2 ) > −1)=1 − P (max(X ¹ , X 2 ) ≤−1)=1 − P (X ¹ ≤−1, X ² ≤−1)=1 − P (X ¹ ≤−1) · P (X ² ≤−1).

Vale P (X ≤ −1) = Z 1

−∞

Ce ^x dx = C · e =



e + 1 n − 1

 ⁻¹

e, quindi P (max (X 1 , X 2 ) > −1) = 1 −



e + 1 n − 1

 ⁻² e ² . Esercizio 3. Tre giocatori giocano tirando tre monete eque. Se escono tre teste, il giocatore che ha lanciato le monete vince la partita e il gioco termina; se escono tre croci, tira di nuovo le tre monete; se escono due teste e una croce passa il gioco all’avversario di sinistra, se escono due croci e una testa, passa il gioco all’avversario di destra.

i) Modellizzare il gioco con una catena di Markov, disegnarne il grafo e classificarne gli stati.

ii) Determinare tutte le misure invarianti della catena.

iii) Calcolare la probabilit`a che il giocatore che inizia vinca la partita.

Soluzione.

i) Per modellizzare il gioco `e necessario introdurre una catena a sei stati. Indichiamo con 1, 2, 3 i giocatori e i corrispondenti tre stati della catena in cui ciascuno dei tre giocatori `e di mano. Introduciamo poi gli stati 4, 5, 6 per indicare la vittoria del giocatore 1, 2, 3 rispettivamente. Per evidenti ragioni di simmetria, le righe della matrice di transizione hanno elementi con gli stessi sei valori numerici, a meno di una permutazione. Vediamo quindi cosa accade al giocatore 1. Poich´e P (3T ) = P (3C) = (1/2) ³ = 1/8, si ha p 11 = p 14 = 1/8. Poich´e P (2C, 1T ) = P (1C, 2T ) = 3/8, si ha p 12 = p 13 = 3/8. Si ha poi evidentemente p 15 = p 16 = 0 perch´e i giocatori 2 e 3 per poter vincere debbono essere di mano. La seconda e la terza riga si ottengono facilmente dalla prima ruotando ciclicamente gli indici 1, 2, 3 per le prime tre colonne e ponendo come unici elementi non nulli delle ultime tre colonne p 25 = p 36 = 1/8.

Le ultime tre righe di P sono banali, perch´e, quando un giocatore vince, il gioco termina (quindi la catena resta per sempre nello stato che indica la vittoria di quel giocatore).

Quindi p 44 = p 55 = p 66 = 1 e tutti gli altri elementi delle ultime tre righe sono nulli. La matrice di transizione sar` a quindi:

P =

















1/8 3/8 3/8 1/8 0 0 3/8 1/8 3/8 0 1/8 0

3/8 3/8 1/8 0 0 1/8

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1















 .

Il grafo della catena `e mostrato a fianco. Gli stati 1, 2, 3 sono transienti (perch´e 1 comunica con 4, ma non viceversa, lo stesso avviene fra 2 e 5 e fra 3 e 6). Gli stati 4, 5, 6 sono evidentemente assorbenti.

Quindi possiamo effettuare la seguente decomposizione: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3} ∪ {4} ∪ {5} ∪ {6}.

ii) Poich´e gli stati 1, 2, 3 sono transienti, si ha π 1 = π 2 = π 3 = 0. Data la struttura della catena, si ha quindi che tutte le misure invarianti sono della forma π = (0, 0, 0, α, β, γ) con 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1 e α + β + γ = 1.

Si pu` o scrivere anche π = (0, 0, 0, λ, µ, 1 − λ − µ) con 0 ≤ λ ≤ 1 0 ≤ µ ≤ 1 − λ.

iii) Detti λ 1 , λ 2 , λ 3 le probabilit`a di vittoria dei giocatori 1, 2, 3 sapendo che al tempo 0 `e di mano il giocatore 1, si deve risolvere il sistema



 

 

λ 1 = ¹ ₈ + ¹ ₈ λ 1 + ³ ₈ λ 2 + ³ ₈ λ 3

λ 2 = 0 + ³ ₈ λ 1 + ¹ ₈ λ 2 + ³ ₈ λ 3

λ 3 = 0 + ³ ₈ λ 1 + ³ ₈ λ 2 + ¹ ₈ λ 3

, da cui



 

 

7λ 1 − 3λ ² − 3λ ³ = 1 3λ 1 − 7λ ² + 3λ 3 = 0 3λ 1 + 3λ 2 − 7λ ³ = 0

. Sottraendo la seconda equazione dalla terza si ha 10λ 2 − 10λ ³ = 0, da cui λ 2 = λ 3 , come del resto era da aspettarsi. Sostituendo nelle prime due equazioni si ha

( 7λ 1 − 6λ ² = 1

3λ 1 − 4λ ² = 0 che ha per soluzioni λ 1 = 2

5 , λ 2 = 3

10 . La probabilit`a di vittoria del giocatore che inizia la partita `e quindi 2

5 , leggermente maggiore di 1

3 . Il primo di mano ha quindi un leggero vantaggio sugli

altri due giocatori.