Il problema della torsione e taglio nelle travi di sezione multicellulare

UNIVERSITÀ DI PISA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E INDUSTRIALE

Corso di laurea triennale in Ingegneria Civile, Ambientale ed Edile

IL PROBLEMA DELLA TORSIONE E TAGLIO

NELLE TRAVI DI SEZIONE MULTICELLULARE

Tesi di laurea triennale

Relatori:

Prof. Ing. Paolo S. VALVO Ing. Luca TAGLIALEGNE

Laureando: Alessio BETTI

III

INDICE

INDICE  ...  III   INTRODUZIONE  ...  V   RINGRAZIAMENTI  ...  VI   IL  PROBLEMA  DELLA  TORSIONE  E  TAGLIO  NELLE  TRAVI  DI  SEZIONE  

MULTICELLULARE  ...  1  

Capitolo  1  LA  TRAVE  SECONDO  DE  SAINT  VENANT  ...  3  

1.1   Solido  trave  e  problema  di  de  Saint  Venant  ...  3  

1.1.1.  Definizione  del  modello  ...  3  

1.1.2  Condizioni  di  vincolo  e  di  carico  ...  4  

1.2   Formulazione  matematica  del  problema  ...  5  

1.2.1    Stato  di  tensione  ...  5  

1.2.2  Stato  di  deformazione  ...  6  

1.2.3  Relazione  fra  stato  di  tensione  e  caratteristiche  della  sollecitazione  ...  7  

1.3   Soluzione  del  problema  di  de  Saint  Venant  ...  8  

1.3.1  Riduzione  alle  sollecitazioni  semplici  ...  8  

1.3.2  Equazioni  di  Beltrami-­‐Michell  ...  9  

1.4   Soluzione  nelle  tensioni  normali  ...  10  

1.4.1  Sforzo  normale  ...  11  

1.4.2  Flessione  retta  ...  12  

1.4.3  Sollecitazioni  composte  ...  14  

1.5   Soluzione  nelle  tensioni  tangenziali  ...  16  

1.5.1  Formulazione  della  soluzione  via  funzione  di  ingobbamento  ...  16  

1.5.2  Flessione  e  Taglio  ...  18  

1.5.3  Torsione  ...  22  

1.5.3.1  Torsione  nella  trave  a  sezione  circolare  piena  ...  22  

1.5.3.2  Torsione  nella  trave  di  sezione  generica  semplicemente  connessa  ...  25  

1.5.3.3  Analogia  idrodinamica  ...  27  

1.5.3.4  Torsione  nelle  travi  di  sezione  rettangolare  sottile  ...  29  

1.5.3.5  Torsione  nelle  travi  di  parete  sottile  aperta  ...  31  

Capitolo  2  LA  TORSIONE  NELLE  SEZIONI  SOTTILI  PLURICONNESSE  ...  33  

2.1   Sezioni  sottili  chiuse  ...  33  

2.1.1  Generalità  ...  33  

2.1.2    Torsione  nelle  travi  di  parete  sottile  a  sezione  chiusa  ...  35  

2.1.3    Torsione  nelle  travi  di  parete  sottile  pluriconnesse  ...  38  

2.2   Flessione  composta  a  taglio  e  torsione  ...  40  

Premessa  ...  40  

2.2.1  Centro  di  taglio  ...  40  

2.2.2  Definizione  convenzionale  del  centro  di  taglio  ...  42    

Capitolo  3  UN  ESEMPIO  APPLICATIVO  ...  45  

3.1   Descrizione  del  problema  ...  45  

3.2   Risoluzione  numerica  tramite  ausilio  del  calcolatore  ...  46  

3.2.1  Determinazione  degli  elementi  geometrici  ...  46  

3.2.2  Studio  della  risposta  tagliante  ...  47  

3.2.3  Ripristino  della  congruenza  ...  49  

3.2.4  Determinazione  del  centro  di  taglio  ...  52  

3.2.5  Rigidezza  torsionale  ...  53  

APPENDICE  ...  I   A.I   SCRIPT  MATLAB  ...  I   A.II   DIAGRAMMI  DELLE  TENSIONI  ...  XII   Bibliografia  ...  16  

V

INTRODUZIONE

La presente tesi è divisa in tre capitoli. Nel primo si richiamano i risultati principali della teoria di de Saint Venant per lo studio delle travi, illustrando le nozioni necessarie per la comprensione del problema della sezione multicellulare, ovvero le definizioni dei tensori di sforzo e di deformazione che si presentano nei casi di trave soggetta a sforzo normale e flessione retta, derivanti dalla soluzione nelle tensioni normali.

Nel secondo capitolo sono illustrati i risultati della soluzione nelle tensioni tangenziali, trattando i casi di taglio accompagnato da flessione e torsione nelle sezioni chiuse di spessore sottile, sia monoconnesse sia pluriconnesse.

L’esercizio conclusivo presentato nel terzo capitolo è volto a mostrare la procedura applicativa per determinare lo stato tensionale di una sezione multicellulare tre volte connessa soggetta a torsione prodotta da uno sforzo di taglio non baricentrico, esponendo le tre fasi principali di:

i. Determinazione delle tensioni taglianti tramite la teoria di Jourawski ii. Ripristino della congruenza

iii. Determinazione della rigidezza torsionale

i cui risultati sono stati ottenuti tramite ausilio del programma di calcolo MatLab.

VI

RINGRAZIAMENTI

Desidero ringraziare chi ha sempre creduto in me, chi ha iniziato a farlo da poco,

chi non l’ha mai fatto.

1

IL PROBLEMA DELLA TORSIONE E TAGLIO

NELLE TRAVI DI SEZIONE

MULTICELLULARE

C’è una forza motrice più forte del vapore, dell’elettricità e dell’energia atomica: la volontà.

3

Capitolo 1

LA TRAVE SECONDO DE SAINT VENANT

In questo capitolo si fa riferimento a quanto riportato nel testo Scienza delle Costruzioni III Edizione a cura di Luigi Gambarotta, Luciano Nunziante, Antonio Tralli, McGraw-Hill (2011).

1.1 Solido trave e problema di de Saint Venant

1.1.1. Definizione del modello

Il problema della Torsione fa parte dei casi di equilibrio elastico risolvibili mediante l’applicazione del modello di trave alla de Saint Venant (1885).

Alla base di tale modello vi è un solido prismatico, detto solido di de Saint Venant, il cui volume è descritto dalla traslazione in direzione z di una figura piana la cui sezione trasversale appartiene al piano (x, y). La frontiera del solido è rappresentata da una superficie laterale cilindrica, detta mantello, e dalle sezioni terminali, dette basi. Si assume l’origine degli assi di riferimento coincidente con la base iniziale e l’asse z coincidente con l’asse della trave.

Il materiale di cui è costituita la trave si considera iperelastico, lineare, omogeneo ed isotropo.

Per un solido così definito è possibile ricondurre il generico caso di carico a uno dei sei casi base di cui è nota la soluzione. Infatti, per l’ipotesi fondamentale formulata da Adhémar Jean Claude Barré de Saint Venant, “la sostituzione di un dato sistema di forze con un altro staticamente equivalente non modifica in maniera significativa lo stato di sollecitazione nei punti del solido sufficientemente lontani dalla zona in cui sono applicati i carichi esterni effettivamente agenti”.

Figura 1.1 - Solido di de Saint Venant

1.1.2 Condizioni di vincolo e di carico

La trave viene considerata priva di vincoli e dunque libera nello spazio; ne consegue che i carichi ad essa applicati devono costituire un sistema in equilibrio, ovvero devono avere risultante e momento risultante entrambi nulli.

Per quanto riguarda i carichi si assume: • Assenza di forze di volume

𝑏! = 𝑏! = 𝑏! = 0   (1.1)

• Assenza di forze di superficie applicate alla superficie laterale del solido 𝑓_! = 𝑓_! = 𝑓_!=  0 (1.2)

• Il solido trave risulta caricato solo da due sistemi di forze superficiali, 𝑓! _{e 𝑓}!_{, agenti sulle basi estreme 𝑧 = 0 e 𝑧 = 𝑙, con la sola restrizione}

1.2 Formulazione matematica del problema

La formulazione del problema segue la classica impostazione del problema di elasticità con dati al contorno sulle sole forze. Le grandezze da determinarsi sono le componenti dei tensori degli sforzi T e delle deformazioni infinitesime E, oltre alle componenti di spostamento u, v, w rispetto agli assi coordinati.

1.2.1 Stato di tensione

Sui piani paralleli all’asse baricentrico passanti per un qualunque punto de Saint Venant ipotizzò l’assenza delle componenti normali delle tensioni e delle componenti tangenziali ortogonali alla linea d’asse:

𝜎! = 𝜎! = 𝜏! = 0 (1.3)

Il tensore di sforzo avrà quindi la seguente forma semplificata: 0 0 𝜏_!"

0 0 𝜏!"

𝜏_!" 𝜏_!" 𝜎_! (1.4)

tipica degli stati tensionali piani. Fisicamente, ciò equivale a considerare il cilindro come un insieme di fibre longitudinali che si scambiano azioni mutue tangenziali nella direzione delle fibre stesse.

In assenza di forze di volume e in seguito alla (1.3), le equazioni indefinite di equilibrio risultano:

𝜕𝜏!" 𝜕𝑧 = 0       𝜕𝜏_!" 𝜕𝑧 = 0       𝜕𝜏!" 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏_!" 𝜕𝑦 + 𝜕𝜎! 𝜕𝑧 = 0    (1.5)

ed illustrano che il campo degli sforzi tangenziali 𝜏!", 𝜏!" è indipendente

dall’ascissa z.

Per le condizioni di carico assegnate, le equazioni di equilibrio al contorno 𝑻 ∙ 𝑛 = 𝑓 si scrivono:

• sulla superficie laterale, per l’ipotesi (1.3) e in assenza di forze superficiali le prime due equazioni risultano soddisfatte, mentre la terza fornisce:

𝜏_!"𝑛_!+ 𝜏_!"𝑛_! = 0    𝜏_!∙ 𝑛 = 0 (1.6) • sulle basi iniziale e terminale si ha:

𝜏!" = −𝑓!! 𝜏_!" = −𝑓_!! 𝜎_! = −𝑓_!! (z = 0) 𝜏!" = 𝑓!! 𝜏_!" = 𝑓_!! 𝜎_! = 𝑓_!! (z = l) (1.7)

1.2.2 Stato di deformazione

Le equazioni costitutive dell’elasticità lineare nella forma inversa di Hooke, in virtù dell’ipotesi (1.3) assumono la forma (1.8):

𝜀_! = −𝜈𝜎! 𝐸      𝜀! = −𝜈 𝜎_! 𝐸      𝜀! = 𝜎_! 𝐸       𝛾!"= 0      𝛾!" = 𝜏_!" 𝐺      𝛾!" = 𝜏!" 𝐺        

Sostituendo le componenti del tensore degli sforzi al posto delle componenti di deformazione si ottengono le equazioni di compatibilità spostamento-deformazione (1.9): 𝜀_! = 𝜕𝑢 𝜕𝑥= −𝜈 𝜎! 𝐸      𝜀! = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = −𝜈 𝜎! 𝐸      𝜀! = 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 𝜎! 𝐸      

𝛾_!"= 𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 0      𝛾!" = 𝜕𝑢 𝜕𝑧+ 𝜕𝑤 𝜕𝑥 = 𝜏!" 𝐺      𝛾!"= 𝜕𝑣 𝜕𝑧+ 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = 𝜏_!" 𝐺        

1.2.3 Relazione fra stato di tensione e caratteristiche della

sollecitazione

Il principio di equivalenza elastica assicura che, a una certa distanza dalle sezioni estreme, lo stato di sforzo dipenda solo dalle caratteristiche della sollecitazione interna.

Tenendo conto dell’ipotesi (1.3) introdotta sullo stato di tensione si ha (1.10): 𝑁 = 𝜎_!  𝑑𝐴 !      𝑇_! = 𝜏_!"  𝑑𝐴 !      𝑇_! = 𝜏_!"  𝑑𝐴 !       𝑀_! = 𝜎_!𝑦  𝑑𝐴 !      𝑀_! = − 𝜎_!𝑥  𝑑𝐴 !      𝑀_! = (𝜏_!"𝑥 − 𝜏_!"𝑦)  𝑑𝐴 !      

ed, in virtù delle (1.7), in corrispondenza delle basi estreme assumono i valori corrispondenti alle azioni esterne.

In un corpo privo di vincoli le azioni esterne devono rispettare le sei equazioni cardinali della statica. L’equilibrio alla traslazione nelle tre direzioni coordinate e alla rotazione attorno all’asse della trave richiede:

𝑁 𝑧 = 𝑁! _{= 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑇}

! 𝑧 = 𝑇!! = 𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑇_! 𝑧 = 𝑇_!! _{= 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑀}

! 𝑧 = 𝑀!! = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (1.11)

dalle quali si deduce che le sollecitazioni interne 𝑁, 𝑇!, 𝑇!, 𝑀! sono costanti.

L’equilibrio attorno agli assi x e y comporta 𝑀_! 𝑧 = 𝑀_!! _{+ 𝑧    𝑇}

!! 𝑀! 𝑧 = 𝑀!!− 𝑧    𝑇!! (1.12)

affermando che le sollecitazioni 𝑀_! e 𝑀_! sono al più lineari in z.

1.3 Soluzione del problema di de Saint Venant

La soluzione del problema di de Saint Venant viene di seguito affrontata con un metodo semi-inverso, in quanto risulta assai complesso derivare rigorosamente la soluzione analitica. La soluzione che si ottiene verifica tutte le equazioni del problema e, in virtù del teorema di Kirchhoff, rappresenta effettivamente l’unica soluzione.

1.3.1 Riduzione alle sollecitazioni semplici

Grazie al principio di de Saint Venant, secondo il quale è possibile fare riferimento alla risultante e al momento risultante delle forze agenti alle estremità della trave, il problema in oggetto si riconduce a un particolare problema di equilibrio elastico con dati nelle sole forze.

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti è possibile ottenere una qualunque condizione di carico come somma di soluzioni corrispondenti a condizioni di carico di base.

Ne consegue la possibilità di scomporre la generica sollecitazione nei quattro casi di sollecitazione elementare seguenti:

• sforzo normale di valore 𝑁;

• flessione retta di momento 𝑀! o 𝑀!;

• taglio e flessione con asse di sollecitazione coincidente con l’asse principale di inerzia 𝑥 o 𝑦;

• torsione di momento torcente 𝑀!.

Figura 1.4 Sollecitazioni di base

1.3.2 Equazioni di Beltrami-Michell

Nel caso di deformazione non uniforme, affinché sia assicurata l’esistenza del campo di spostamento regolare u soluzione del problema, le componenti del tensore di deformazione infinitesima E devono verificare le equazioni di congruenza interna.

Sostituendo in esse le equazioni costitutive (1.8), ed in virtù delle equazioni indefinite di equilibrio (1.5), si ottengono le equazioni di Beltrami-Michell dell’equilibrio elastico in termini di tensioni per la trave di de Saint Venant: 𝜕!_𝜎 ! 𝜕𝑧! = 𝜕!_𝜎 ! 𝜕𝑥! = 𝜕!_𝜎 ! 𝜕𝑦! = 𝜕!_𝜎 ! 𝜕𝑥𝜕𝑦= 0        (1.13) 𝜕 𝜕𝑥 − 𝜕𝜏_!" 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏!" 𝜕𝑦 = 𝜈 𝜕!_𝜎 ! 𝜕𝑦𝜕𝑧   𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝜏_!" 𝜕𝑥 − 𝜕𝜏!" 𝜕𝑦 = −𝜈 𝜕!_𝜎 ! 𝜕𝑥𝜕𝑦      (1.14) nelle quali si è posto, per semplicità, 𝜈 =_!!!! .

1.4 Soluzione nelle tensioni normali

La soluzione generale nelle tensioni normali è interamente caratterizzata dalle tre relazioni (1.13) che, annullando le derivate seconde di 𝜎_!, implicano un andamento della tensione normale al più lineare secondo gli assi coordinati per qualunque sollecitazione presente sulla trave.

Qualunque siano la risultante e il momento risultante delle azioni applicate alle basi estreme, le tensioni normali 𝜎_!  assumono la forma bilineare:

𝜎!= 𝑎 + 𝑎!𝑥 + 𝑎!𝑦 − 𝑧 𝑏 + 𝑏!𝑥 + 𝑏!𝑦 (1.15)

Scelto un riferimento baricentrico 𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧 centrato nella base iniziale della trave, sostituendo la soluzione generale (1.15) nelle relazioni tra stato di tensione e caratteristiche della sollecitazione (1.10) si ottengono le soluzioni generali di equilibrio alle tensioni normali (1.16):

𝑁 = 𝜎_!  𝑑𝐴 !   =   𝑎 − 𝑧𝑏  𝐴     𝑀_! = 𝜎_!𝑦  𝑑𝐴 ! =   𝑎_!− 𝑏_!𝑧 𝑥𝑦 !  𝑑𝐴 + 𝑎_!− 𝑏_!𝑧 𝑦! !  𝑑𝐴  

−𝑀! = 𝜎!𝑥  𝑑𝐴 ! =   𝑎!− 𝑏!𝑧 𝑥! !  𝑑𝐴 + 𝑎!− 𝑏!𝑧 𝑥𝑦 !  𝑑𝐴   ove 𝐴 è l’area della sezione trasversale.

Avendo assunto come origine degli assi il baricentro G della sezione trasversale, i momenti statici risultano nulli. Se inoltre si assumono come assi coordinati 𝑥, 𝑦 gli assi principali di inerzia, risulta nullo anche il momento centrifugo 𝐼!".

L’equilibrio alla traslazione in direzione 𝑧 comporta la costanza dello sforzo normale, pertanto il termine 𝑏 nella prima equazione delle (1.16) deve risultare nullo.

Con tali considerazioni è quindi possibile ottenere l’espressione generale delle tensioni normali nella sezione generica in funzione delle componenti dell’azione interna, meglio nota come formula di Navier:

𝜎_! =𝑁 𝐴 + 𝑀!(𝑧) 𝐼_! 𝑦 − 𝑀_! 𝑧 𝐼_! 𝑥      (1.17)

1.4.1 Sforzo normale

Si consideri il solido di de Saint Venant di figura 1.5 sollecitato sulle due basi da distribuzioni di azioni equivalenti a due forze uguali ed opposte di intensità 𝐹, parallele all’asse 𝑧 e applicate nei baricentri delle sezioni. Sulla trave è quindi presente uno sforzo normale costante lungo tutta la sua lunghezza.

La soluzione generale delle tensioni normali (1.17) mostra come si sia in presenza, su ciascuna sezione, di una tensione normale uniforme:

𝜎!=  

𝑁

𝐴      (1.18)  

Fig. 1.5 – Trave soggetta a sforzo normale

Dalla forma inversa delle equazioni costitutive di Hooke (1.8) è invece possibile ricavare il tensore di deformazione infinitesima 𝑬, di forma diagonale:

𝑬 = _𝐸𝐴𝑁 −𝜈0 −𝜐 00 0

0 0 1      (1.19)

Integrando le precedenti si ottengono le componenti di spostamento: 𝑢 =   −𝜐 𝑁 𝐸𝐴𝑥 + 𝑢! 𝑦, 𝑧       𝑣 =   −𝜐 𝑁 𝐸𝐴𝑦 + 𝑣! 𝑥, 𝑧      (1.20) 𝑤 =_𝐸𝐴𝑁 𝑧 + 𝑤! 𝑥, 𝑦      

1.4.2 Flessione retta

Si consideri il solido di de Saint Venant di figura 1.6 Alle cui basi sono applicate due coppie agenti in un piano contenente una direzione principale di inerzia della sezione, chiamato piano di sollecitazione.

Fig. 1.6 – Trave soggetta a flessione retta

La soluzione generale (1.17) mostra che l’unica componente diversa da zero del tensore delle tensioni 𝑻 è la tensione normale 𝜎!, costante lungo

l’asse della trave, che varia proporzionalmente alla distanza dall’asse momento:

𝜎_!=  𝑀!

𝐽_! 𝑦      (1.21) detta formula di Navier per la flessione retta.

La tensione si annulla in corrispondenza dell’asse 𝑥, per cui detto asse neutro 𝑛. L’asse 𝑦 baricentrico ed ortogonale all’asse momento si dice asse di sollecitazione 𝑠. Con tali denominazioni si può affermare che nella flessione retta asse neutro e asse di sollecitazione sono mutuamente ortogonali.

In virtù della (1.21), per momenti positivi le fibre corrispondenti a 𝑦 > 0 risultano tese, mentre quelle relative a 𝑦 < 0 risultano compresse.

L’andamento lineare delle 𝜎_! comporta che i valori massimi e minimi delle tensioni si riscontrino nelle fibre più distanti dall’asse neutro.

Analogamente allo sforzo normale, lo stato di deformazione si calcola dalla forma inversa della legge di Hooke:

𝑬 =𝑀!  𝑦 𝐸𝐽_! −𝜈 0 0 0 −𝜐 0 0 0 1      (1.22)

Le dilatazioni sono uguali in ogni sezione e si annullano sull’asse 𝑥 baricentrico.

Le componenti di spostamento, integrabili dal gradiente di spostamento, risultano: 𝑢 = −𝜐_𝐸𝐽𝑀! !𝑥𝑦 𝑣 = −𝜐 𝑀! 2𝐸𝐽_! 𝑧!+ 𝜐 𝑦!− 𝑥!      (1.23) 𝑤 = 𝑀! 𝐸𝐽_!𝑦𝑧

1.4.3 Sollecitazioni composte

Una trave è soggetta a flessione deviata quando l’asse vettore 𝑴 della coppia esterna 𝑀 non è parallelo a uno degli assi principali d’inerzia 𝑥 o 𝑦 (Fig. 1.7).

La decomposizione del vettore momento secondo gli assi principali permette di considerare il presente caso come una sovrapposizione di due flessioni rette.

Una trave si dice soggetta a sforzo normale eccentrico quando il risultante 𝐹 dei carichi applicati alle basi estreme ha retta d’azione parallela, ma non coincidente, con l’asse baricentrico (Fig. 1.8). Alla forza applicata corrisponde lo sforzo assiale 𝑁 = 𝐹.

Fig. 1.8 – Trave soggetta a sforzo normale eccentrico

Il sistema di forze con risultante 𝐹 applicata nel centro di sollecitazione 𝐶 è equivalente a una forza 𝐹 = 𝑁 applicata nel baricentro 𝐺 e a un momento 𝑀 di intensità 𝑀 = 𝑁𝑒, in cui 𝑒 indica l’eccentricità del centro di sollecitazione rispetto al baricentro della sezione. In questo modo è possibile trattare la sollecitazione di sforzo normale eccentrico come sovrapposizione di uno sforzo normale centrato e di due flessioni rette di intensità 𝑀_! e 𝑀_!.

Per brevità, nella presente tesi non si espongono i risultati. Pertanto si rimanda il lettore agli approfondimenti riportati nei testi citati in bibliografia.

1.5 Soluzione nelle tensioni tangenziali

La soluzione generale nelle tensioni tangenziali tramite le equazioni di congruenza interna (1.14) richiede l’applicazione di nozioni di analisi matematica che portano ad un’equazione alle derivate parziali non risolvibile in forma chiusa, il cui carattere matematicamente esatto va a discapito della notevole complessità applicativa.

In questa sede si preferisce adottare un approccio tecnico di validità limitata ma del tutto compatibile con i risultati della soluzione esatta e con l’evidenza sperimentale.

1.5.1 Formulazione della soluzione via funzione di ingobbamento

In presenza delle sollecitazioni di momento torcente e taglio composto a flessione, la sezione trasversale non resta piana, ma si trasforma in una superficie curva uguale per ogni sezione della trave.

Di conseguenza, lo spostamento assiale 𝑤 deve essere arricchito con il termine 𝜔 𝑥, 𝑦 che definisce l’ ingobbamento della sezione trasversale in funzione della posizione del generico punto della sezione trasversale.

La presenza dell’ingobbamento comporta la variazione dell’ampiezza degli angoli, inizialmente retti, fra l’asse 𝑧 e gli altri assi coordinati, ovvero sussistono gli scorrimenti:

𝛾!" =

𝜕𝜔

𝜕𝑥      𝛾!" = 𝜕𝜔

𝜕𝑦      (1.26)

L’isotropia del materiale comporta la presenza di tensioni tangenziali, omologhe e proporzionali agli scorrimenti attraverso il modulo di elasticità tangenziale 𝐺, che si assumono rappresentare la parte omogenea della soluzione:

𝜏!"! = 𝐺

𝜕𝜔

𝜕𝑥      𝜏!"! = 𝐺 𝜕𝜔

Sostituendo le (1.27) nelle equazioni differenziali provenienti dalla soluzione generale (1.14) si ottengono un’equazione omogenea nel campo e un’equazione al contorno, le quali costituiscono il problema di Neumann:

∇!_{𝜔 =}𝜕!𝜔 𝜕𝑥! + 𝜕!_𝜔 𝜕𝑦! = 0      𝑖𝑛  𝐴      (1.28) 𝐺 𝜕𝜔 𝜕𝑥𝑛! + 𝜕𝜔 𝜕𝑦𝑛! = 𝐺 𝜕𝜔 𝜕𝑛 = − 𝜏!" ! _𝑛 ! + 𝜏!"! 𝑛!        𝑠𝑢  𝜕𝐴        (1.29)  

Risulta conveniente distinguere i contributi all’ingobbamento dovuti rispettivamente alle sollecitazioni di torsione e taglio secondo i due assi principali di inerzia:

𝜔 = 𝜔!+ 𝜔! + 𝜔!      (1.30)

Sostituendo la posizione (1.30) nelle (1.28) e (1.29) si perviene, in virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, a tre problemi di Neumann distinti, uno per ogni sollecitazione:

∇!_𝜔

!= 0    𝑖𝑛  𝐴      ∇!𝜔! = 0    𝑖𝑛  𝐴      ∇!𝜔! = 0    𝑖𝑛  𝐴      (1.31)

Tralasciando la discussione delle proprietà matematiche del problema, si osserva che:

• la funzione ingobbamento 𝜔 𝑥, 𝑦 può essere determinata a meno di una costante arbitraria, la quale rappresenta un moto rigido di traslazione in direzione assiale. Tale indeterminazione può essere rimossa ponendo 𝜔 = 0 in un punto generico della sezione, ovvero imponendo che l’ingobbamento si annulli in media:

𝜔  𝑑𝐴 = 0      (1.32)

!

• se la sezione trasversale presenta assi di simmetria, questi risultano assi di antisimmetria per la funzione ingobbamento 𝜔 𝑥, 𝑦 ;

• l’esistenza della soluzione è garantita dalla condizione di integrabilità

𝐺 𝜕𝜔! 𝜕𝑥 𝑛!+ 𝜕𝜔! 𝜕𝑦 𝑛! 𝑑𝑠 = !" = − 𝜏_!"! 𝑛_! + 𝜏_!"! 𝑛_!  𝑑𝐴 = 0  (1.33) !

verificabile per tutti i casi in esame. Nel caso di sezioni pluriconnesse, per ogni contorno è necessaria un’ulteriore condizione del tipo (1.33).

1.5.2 Flessione e Taglio

Nelle travi il taglio è sempre accompagnato da momento flettente, come da definizione:

𝑇 =𝑑𝑀 𝑑𝑧

Si può avere taglio senza momento solo in singole sezioni, come ad esempio accade nella trave doppiamente incastrata di figura 1.9. Invece, nei tratti di trave in cui il momento è costante, il taglio è nullo, come illustrato nella figura 1.10.

Fig. 1.10 – Trave semplicemente appoggiata soggetta a due forze sulle estremità

Il problema di de Saint Venant mostra che la presenza di taglio in una sezione genera tensioni tangenziali 𝜏_!" e 𝜏_!".

Fig. 1.11 – Tensioni tangenziali nella sollecitazione soggetta a taglio 𝑻𝒚

La trattazione rigorosa delle tensioni tangenziali dovute al taglio fornita dal problema di de Saint Venant è molto complicata e laboriosa, pertanto nella pratica si preferisce adottare i risultati di più immediata applicazione provenienti dalla teoria approssimata del taglio dovuta all’ingegnere russo Dmitrij Ivanovič Žuravskij.

Si consideri una sezione generica di una trave prismatica, per semplicità simmetrica rispetto all’asse y, soggetta taglio 𝑇_! costante e momento flettente lineare 𝑀! = −𝑇!(𝑙 − 𝑧) (Fig. 1.12).

Fig. 1.12- Trave soggetta a taglio e flessione

Tramite una corda di lunghezza 𝑏 parallela all’asse 𝑥, si isoli un volumetto di trave 𝑑𝑉 = 𝐴′ ∙ 𝑑𝑧 compreso tra due piani perpendicolari all’asse 𝑧 e distanti 𝑑𝑧 e il piano parallelo all’asse 𝑥 avente come traccia in (𝑥, 𝑦) la corda 𝑏.

Fig. 1.13 - Tensioni tangenziali medie ortogonali a una corda

Si imponga l’equilibrio alla traslazione secondo 𝑧 del volumetto. Poiché nel problema di de Saint Venant si considerano nulle sia le forze di

volume sia le forze di superficie laterale, esso è soggetto solamente alle tensioni 𝜎_! e 𝜏_!" = 𝜏_!" agenti sul suo contorno esterno.

Nello specifico, le tensioni normali presenti sulla generica sezione valgono, per Navier:

𝜎_!= 𝑀!

𝐽_! 𝑦 = −

𝑇_! 𝑙 − 𝑧

𝐽_! 𝑦      (1.34)

mentre le tensioni tangenziali devono soddisfare le seguenti condizioni di equivalenza: 𝑇! = 𝜏!"𝑑𝐴 ! = 0      𝑇! = 𝜏!"𝑑𝐴 ! = 𝑐𝑜𝑠𝑡       𝑀_!= (−𝜏_!"𝑦 + 𝜏_!"𝑥)  𝑑𝐴 ! = 0      (1.35)  

Ortogonalmente alla generica corda 𝑏 di estremi 𝐵_!𝐵_! e lunghezza 𝑏(𝑦) agisce la tensione tangenziale media:

𝜏_!"= 1

𝑏(𝑦) 𝜏!"𝑑𝑥

!!

!!

     (1.36)

L’equilibrio in direzione 𝑧 della porzione di trave di lunghezza 𝑑𝑧 presente al di sopra della corda risulta:

𝜕𝜎_!

𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝐴 + 𝑏 𝑦 𝜏!!𝑑𝑧 = 0

!∗      (1.37)

che si semplifica in: 𝑇!

𝐽_! 𝑦𝑑𝐴 + 𝜏!"𝑏(𝑦) = 0

!∗      (1.38)

Dalla (1.37) si ricava l’espressione della tensione tangenziale media presente nella sezione, meglio conosciuta come formula di Jourawsky:

𝜏_!!= −𝑇!  𝑆!∗ 𝑦

𝐽_!  𝑏 𝑦      (1.39)

in cui 𝑆_!∗ _{indica il momento statico della parte di sezione sopra alla corda}

calcolato rispetto all’asse neutro 𝑛 = 𝑥.

Le tensioni tangenziali di Jourawsky verificano unicamente l’equilibrio, e non dipendono dal coefficiente di Poisson del materiale

costitutivo. Ciò nonostante, l’espressione approssimata di 𝜏!" è accettabile

nella generalità dei casi, ed essendo assunta costante sulla corda è tanto più precisa quanto più la lunghezza 𝑏 della corda è piccola, come ad esempio nelle sezioni sottili.

1.5.3 Torsione

Il solido trave di de Saint Venant è sollecitato, sulle basi estreme, da una distribuzione di azioni con risultante nulla e momento risultante 𝑀_!, con asse momento coincidente con l’asse 𝑧 (Fig. 1.14). Pertanto risultano nulli lo sforzo normale 𝑁, i due tagli 𝑇! e 𝑇!  e i due momenti flettenti 𝑀! e 𝑀!;

ciò implica, per l’equazione di Navier (1.13) l’annullarsi delle tensioni normali 𝜎!  in tutta la trave.

Fig 1.14 – Torsione di un albero circolare

La relazione di equilibrio tra il momento torcente e il campo delle tensioni tangenziali è definita da:

𝑀_! = −𝜏_!"𝑦 + 𝜏_!"𝑥

!

𝑑𝐴      (1.36) 1.5.3.1 Torsione nella trave a sezione circolare piena

Consideriamo una trave a sezione circolare di raggio 𝑅 , soggetta alle basi estreme alle coppie 𝑀_! che provocano un momento torcente uniforme lungo tutta la trave (Fig. 1.15).

Fig. 1.15 – Torsione di una trave di sezione circolare

Per effetto di tali sollecitazioni, la simmetria polare della sezione richiede che la trave si deformi in modo che siano rispettate le seguenti condizioni:

i. tutti i punti appartenenti alla circonferenza di raggio 𝑟 e centro 𝐺 subiscono deformazioni equivalenti; pertanto subiscono lo stesso spostamento 𝑤 in direzione 𝑧;

ii. per la trave a sezione circolare si assume nullo lo spostamento 𝑤 in direzione 𝑧;

iii. la sezione trasversale rimane piana;

iv. lo spostamento del generico punto 𝑃 della sezione risulti tangente alla circonferenza di centro 𝐺 passante per esso. Il baricentro rappresenta il punto di istantanea rotazione;

v. segue quindi che le generatrici del cilindro diventano, per effetto della deformazione, eliche cilindriche, che grazie all’ipotesi di piccoli spostamenti possono essere assimilate a tratti rettilinei. Sotto l’azione del momento torcente ogni sezione della trave subisce una rotazione 𝜃(𝑧) attorno all’asse 𝑧. Per la costanza della sollecitazione, ogni elemento di lunghezza infinitesima 𝑑𝑧 si deforma come gli altri, pertanto la curvatura torsionale della trave risulta:

𝑑𝜃

Immaginando che la sezione iniziale non ruoti, integrando la (1.37) si ottiene la rotazione torsionale della sezione:

𝜃 𝑧 = 𝜃! _{𝑧        (1.38)}

lineare in 𝑧, in cui la costante 𝜃′ è detta angolo unitario o specifico di torsione e rappresenta la curvatura torsionale della trave.

Nell’ipotesi di rotazioni 𝜃 molto piccole, per un generico punto 𝑃 di coordinate

𝑥 = 𝑟 cos 𝛼       𝑦 = 𝑟 sin 𝛼      (1.39)

le componenti di spostamento nel piano della sezione sono date da 𝑢 = −𝜃𝑟 sin 𝛼 = −𝜃!_𝑦𝑧      

𝑣 = +𝜃𝑟 cos 𝛼 = 𝜃!_{𝑥𝑧        (1.40)}

da cui risulta:

𝑃𝑃! _{= 𝑢}!_{+ 𝑣}! _{= 𝜃′𝑧 𝑥}!_{+ 𝑦}! _{= 𝜃′𝑧 𝑟      (1.41)}

Le (1.39) assieme alla condizione (ii) definiscono un campo continuo di spostamento da cui si ricavano le componenti del tensore 𝑬    di deformazione infinitesima: 𝜀! = 𝜕𝑢 𝜕𝑥= 0        𝜀! = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0        𝜀!= 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0        𝛾!"= 𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 0       𝛾_!" = −𝜃!_{𝑦        𝛾} !" = 𝜃!𝑥      (1.42)

e le componenti del tensore 𝑻 di tensione: 𝜎_! = 𝜎_! = 𝜎_!= 𝜏_!" = 0      𝜏_!" = −𝐺𝜃!_{𝑦        𝜏}

!" =  𝐺𝜃!𝑥        (1.43)        

Sostituendo le espressioni delle tensioni tangenziali (1.43) nell’equazione di equilibrio (1.36) si ha:

𝑀! = −𝜏!"𝑦 + −𝜏!"𝑥  𝑑𝐴 = ! = 𝐺𝜃′ 𝑦!_{+ 𝑥}!  _{𝑑𝐴 = 𝐺𝜃}! !!_𝑑𝛼 ! 𝑟!  _{𝑑𝑟 = 𝐺𝜃′} ! ! 𝜋𝑅! 2 ! = 𝐺𝜃′𝐼_!      (1.44)

invertendo il risultato si ottiene l’espressione dell’angolo unitario di torsione

𝜃! ₌ 𝑀!

𝐺𝐼_!      (1.45)

Le rotazioni relative tra la generica sezione di ascissa 𝑧 e le basi iniziale e finale valgono rispettivamente:

∆𝜃 𝑧 = 𝑀!

𝐺𝐼_!𝑧      ∆𝜃 𝑙 = 𝑀!

𝐺𝐼_!𝑙      (1.46)

Noto l’angolo di torsione (1.44), le tensioni tangenziali e gli scorrimenti assumono la forma:

𝛾_!" = − 2𝑀! 𝐺𝜋𝑅!𝑦 = − 𝑀! 𝐺𝐼_!𝑦      𝛾!"= + 2𝑀! 𝐺𝜋𝑅!𝑥 = 𝑀! 𝐺𝐼_!𝑥      (1.47) 𝜏_!" = −2𝑀! 𝜋𝑅!𝑦 = − 𝑀_! 𝐼_! 𝑦      𝜏!" = + 2𝑀_! 𝜋𝑅!𝑥 = 𝑀_! 𝐼_! 𝑥      (1.48) Il vettore tensione tangenziale 𝜏 = 𝜏_!", 𝜏_!"  ! _{è ortogonale in ogni punto al}

vettore posizione 𝒓 e risulta in modulo pari a: 𝝉 = 𝑀!

𝐼_! 𝒓 = 2𝑀!

𝜋𝑅! 𝒓      (1.49)

Ne consegue che le intensità estreme delle tensioni tangenziali 𝜏      si hanno sulla circonferenza esterna di raggio 𝑅, dove si ha:

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝑀! 𝐼_! 𝑅 =

2𝑀!

𝜋𝑅!        (1.50)

1.5.3.2 Torsione nella trave di sezione generica semplicemente connessa

La sezione ora considerata, a differenza della sezione circolare, non presenta simmetria polare, e pertanto subisce un ingobbamento 𝜔_!(𝑥, 𝑦) il quale

induce spostamenti dei punti della sezione di direzione 𝑧, fuori dal piano (𝑥, 𝑦), che per la costanza del momento torcente e delle tensioni tangenziali risultano uguali in tutte le sezioni.

Nella torsione di una trave di sezione generica, una soluzione particolare è rappresentata dalle (1.41) e (1.43), mentre la parte omogenea della soluzione è rappresentata dall’ingobbamento 𝜔_!(𝑥, 𝑦).

L’integrale generale sarà dunque rappresentato dal campo di spostamenti 𝒖:

𝑢 = −𝜃!_{𝑦𝑧      𝑣 = 𝜃}!_{𝑥𝑧      𝑤 = 𝜃}!!! !,!        (1.51)

Le componenti non nulle dei tensori di deformazione 𝑬 e di tensione 𝑻 risultano: 𝛾_!" = 𝜃′ −𝑦 +𝜕𝜔! 𝜕𝑥      𝛾!"= 𝜃′ 𝑥 + 𝜕𝜔! 𝜕𝑦      (1.52)  𝜏_!" = 𝐺𝜃′ −𝑦 +𝜕𝜔! 𝜕𝑥      𝜏!" = 𝜃′ 𝑥 + 𝜕𝜔! 𝜕𝑦      (1.53)

La funzione ingobbamento 𝜔_!(𝑥, 𝑦) viene determinata risolvendo il problema di Neumann, che dipende esclusivamente dalla geometria della sezione. Le condizioni di equilibrio interno 𝑑𝑖𝑣  𝜏 = 0 e di equilibrio al contorno 𝜏 ∙ 𝒏 = 0 conducono alle:

∇!_𝜔 ! = 𝜕!_𝜔 ! 𝜕𝑥! + 𝜕!_𝜔 ! 𝜕𝑦! = 0      𝑖𝑛  𝐴      (1.54) 𝜕𝜔_! 𝜕𝑛 = 𝑦𝑛!− 𝑥𝑛!        𝑠𝑢  𝜕𝐴      (1.55)      

La (1.54) è un’equazione di Laplace, la quale indica che la funzione di ingobbamento debba essere armonica, mentre la (1.55) è una condizione sulla derivata direzionale al contorno della funzione di ingobbamento, nella direzione della normale al contorno.

La condizione di esistenza della soluzione 𝜔(𝑥, 𝑦) del problema di Neumann è garantita dalla condizione:

𝜕𝜔! 𝜕𝑛 𝑑𝑠 = !" 𝑔𝑟𝑎𝑑  𝜔_!∙ 𝒏  𝑑𝑠 = !" 𝑑𝑖𝑣  𝑔𝑟𝑎𝑑  𝜔_!  𝑑𝐴 = ! = 𝜕_𝜕𝑥!𝜔_!!+𝜕_𝜕𝑦!𝜔_!! ! 𝑑𝐴   = 0      (1.56)  

La condizione di equivalenza (1.36) tra momento torcente e campo delle tensioni tangenziali diviene:

𝑀_! = 𝒙×𝝉  𝑑𝐴 = 𝑥𝜏_!"− 𝑦𝜏_!" 𝑑𝐴 = ! ! = 𝐺𝜃′ 𝑥!_{+ 𝑦}!₊𝜕𝜔! 𝜕𝑦 𝑥 − 𝜕𝜔_! 𝜕𝑥 𝑦 𝑑𝐴 = ! = 𝐺𝜃′ 𝐼_! + 𝜕𝜔! 𝜕𝑦 𝑥 − 𝜕𝜔_! 𝜕𝑥 𝑦 !      (1.57)

Si definisce fattore di torsione

𝑞 =   𝐼!

𝐼_!+ 𝜕𝜔!

𝜕𝑦 𝑥 −𝜕𝜔𝜕𝑥 𝑦 𝑑𝐴!

!

     (1.58)

il quale dipende esclusivamente dalla geometria della sezione. Grazie a questa definizione la (1.57) può essere ri scritta come:

𝑀_! =𝐺𝜃′𝐼!

𝑞      (1.59)

ed invertendo si ricava l’espressione dell’angolo specifico di torsione 𝜃! _{= 𝑞} 𝑀!

𝐺𝐼_!      (1.60)

Il rapporto tra momento torcente e angolo specifico di torsione definisce la rigidezza torsionale: 𝑘_! = 𝑀! 𝜃′ = 𝐺𝐼! 𝑞      (1.61) 1.5.3.3 Analogia idrodinamica

Per il problema della torsione è stata osservata l’analogia tra il campo delle tensioni tangenziali e il campo di velocità di un fluido ideale posto in un

recipiente cilindrico le cui pareti seguono il percorso della sezione studiata, messo in rotazione con vorticità uniforme attorno all’asse 𝑧.

Tale analogia si basa sull’osservazione che il campo delle velocità 𝒗 del liquido presenta 𝑟𝑜𝑡  𝒗 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 per ipotesi, e 𝑑𝑖𝑣  𝒗 = 0, come deducibile dall’equazione del flusso attraverso una qualunque curva chiusa appartenente alla sezione.

Fig. 1.16 – Applicazione della analogia idrodinamica ad una sezione generica

Dallo studio delle linee di corrente, rappresentanti gli inviluppi del vettore velocità del liquido contenuto nella sezione oggetto di studio, si possono rilevare i seguenti risultati tecnicamente significativi:

• la presenza di cavità determina in zone vicine a esse l’addensamento o la rarefazione delle linee di corrente; a tale addensamento consegue l’aumento della velocità del fluido, a cui l’analogia fa corrispondere l’incremento del modulo della tensione tangenziale ad essa proporzionale;

• in corrispondenza di spigoli concavi (rientranti), le linee di flusso si addensano e le tensioni crescono fino a divergere in presenza di spigoli vivi;

• in corrispodenza di spigoli convessi le linee di corrente si distanziano e il fluido ristagna, quindi le tensioni tangenziali decrescono;

• il confronto delle linee di velocità in sezioni sottili aperte o chiuse ne denota la fondamentale differenza di comportamento torsionale, derivante dal braccio delle risultanti delle 𝜏.

Fig. 1.17 – Applicazione della analogia idrodinamica rispettivamente a sezioni aperte e chiuse di parete sottile

1.5.3.4 Torsione nelle travi di sezione rettangolare sottile

Si consideri una trave la cui sezione trasversale sia un rettangolo avente la dimensione ℎ parallela a 𝑥 nettamente prevalente rispetto alla dimensione 𝑏 parallela a 𝑦

Fig. 1. 18– Torsione nella sezione rettangolare sottile

Per sezioni di questo tipo e sufficientemente allungate, i risultati discendenti dall’analogia idrodinamica suggeriscono che le tensioni tangenziali maggiori siano le 𝜏_!" parallele a 𝑥, mentre le 𝜏_!" possono considerarsi trascurabili (ad esclusione delle zone prossime ai lati paralleli a 𝑦 ).

L’analogia idrodinamica fornisce un andamento delle 𝜏 che segue i canali di flusso di spessore 𝑑𝑏 = 𝑑𝑦, con i quali si immagina di ricoprire l’intero rettangolo allungato.

Con tale scelta, per un’ampia parte del rettangolo sono presenti solo le 𝜏_!", mentre le 𝜏_!! sono presenti solo sulle due piccole porzioni di estremità; percui risulta:

𝑟𝑜𝑡  𝝉 = 2𝐺𝜃! _{= −}𝜕𝜏!"

𝜕𝑦      (1.62)

la cui integrazione rispetto a y, con la condizione iniziale di nullo sull’asse 𝑥 per motivi di simmetria, porta al valore:

𝜏_!" = −2𝐺𝜃!_{𝑦        (1.63)}

che mostra la linearità delle tensioni rispetto a 𝑦, con massimo valore sul lato posto a 𝑦/2 parallelo a 𝑥:

𝜏_{!"  !"#} = 𝐺𝜃!_{𝑏        (1.64)}

Per i canali interni di spessore costante 𝑑𝑏 = 𝑑𝑦, la tensione si ricava per proporzionalità: 𝜏 𝑦= −𝜏_{!"  !"#} 𝑏/2   𝜏 = −2𝜏_{!"  !"#} 𝑏 𝑦 = −2𝐺𝜃!𝑦      (1.65)

Ciascun canale offre un contributo al momento torcente, ricavabile tramite la (1.63), pari a 𝑑𝑀_! = 2𝜏_!" 2𝑦ℎ 𝑑𝑦 = 8𝐺𝜃′ℎ𝑦!_{𝑑𝑦; integrando}

𝑑𝑀_! nella sezione si ottiene:

𝑀! = 8𝐺𝜃!ℎ𝑦!𝑑𝑦 !/!

!

=1₃𝐺𝜃!_ℎ𝑏!        _(1.66)

La rigidezza torsionale della sezione rettangolare sottile è data da: 𝑘_! =𝑀!

𝜃′ = 1

3𝐺ℎ𝑏!      (1.67) l’angolo specifico di torsione vale:

𝜃! ₌ 3𝑀!

𝐺ℎ𝑏!      (1.68)

la tensione vale:

𝜏_!" = −6𝑀!

il cui valore massimo, presente sul lato lungo, vale: 𝜏_{!"  !"#} =3𝑀!

ℎ𝑏! = 𝐺𝑏𝜃!      (1.70)

1.5.3.5 Torsione nelle travi di parete sottile aperta

L’analogia idrodinamica permette di estendere la soluzione approssimata per le sezioni rettangolari sottili alle sezioni aperte con la condizione che opportuni elementi irrigidenti garantiscano l’invarianza della forma della sezione trasversale, in modo che l’angolo specifico di torsione 𝜃′ possa assumersi uguale in tutti gli elementi componenti la sezione.

Supponiamo che la sezione trasversale della trave sia aperta e curvilinea, di spessore eventualmente variabile 𝑏 in modo regolare, avente come linea media la curva piana di equazione:

𝑥 = 𝑥 𝑠 , 𝑦 = 𝑦 𝑠        (1.71)

avendo posto con 𝑠 l’ascissa curvilinea del generico punto della linea media, misurata a partire da un’origine arbitraria 𝑂.

Fig. 1.19 – Sezione aperta con profilo curvilineo soggetta a torsione

L’analogia idrodinamica suggerisce che ciascun elemento 𝑏  𝑑𝑠 si comporti come un elemento di una sezione rettangolare sottile.

Anche in questo caso si ipotizza la presenza delle sole 𝜏!" sulla gran

parte dell’estensione 𝛾 della sezione, considerando le 𝜏_!" presenti solo sulle zone terminali, dove si chiudono le linee di flusso.

Come in precedenza, nella parte centrale risulta: 𝑟𝑜𝑡  𝜏 = 2𝐺𝜃! _{= −}𝜕𝜏!"

𝜕𝑏 𝜏!"  !"# = 𝐺𝜃!𝑏

In virtù della (1.66), l’aliquota 𝑑𝑀! assorbita dall’elemento 𝑏  𝑑𝑠 è pari a:

𝑑𝑀_! =𝐺𝜃′𝑏!𝑑𝑠

3      (1.72)

Integrando lungo tutto lo sviluppo della linea media 𝛾, e ricordando che 𝜃′ è, per ipotesi, costante lungo tutta la sezione, risulta:

𝑀! =

1

3𝐺𝜃′ _! 𝑏! 𝑠 𝑑𝑠      (1.73) dalla quale si può ricavare:

𝜃! ₌ 𝑀! 𝐺𝑏!_ℎ= 𝑀_! 𝐺𝐼_! = 𝑀_! 𝑘_!      (1.74) dove 𝐼_!= !_! 𝑏! _{𝑠 𝑑𝑠 =}!!! !

! rappresenta il fattore di torsione.

Analogamente alla sezione rettangolare, l’assunzione di una distribuzione lineare su 𝑏(𝑠) delle tensioni tangenziali 𝜏_!" comporta:

𝜏!"  !"# = 𝐺𝜃!𝑏 𝑠      (1.75)

pertanto il valore della massima tensione tangenziale nella sezione si avrà in corrispondenza del massimo spessore della sezione:

𝜏′_{!"  !"!} = 𝐺𝜃!!!"# =𝑀!𝑏!"#

33

Capitolo 2

LA TORSIONE NELLE SEZIONI SOTTILI

PLURICONNESSE

2.1 Sezioni sottili chiuse

In questa sezione si fa riferimento a quanto riportato nel testo Scienza delle Costruzioni Vol.II (Teoria della trave) a cura di Vincenzo Franciosi, Liguori Editore (1969).

2.1.1 Generalità

La grande maggioranza delle strutture di rilievo è realizzata con travi a sezione retta sottile, allo scopo di sfruttare al massimo il materiale e, conseguentemente, ridurne il peso proprio.

Una sezione sottile è tale se l’area è addensata lungo una o più curve del suo piano; essa è quindi formata da uno o più segmenti di area, in ognuno dei quali una dimensione predomina sulle altre.

Fig. 2.1 – Sezione sottile aperta

In un punto P’ qualsiasi del contorno si consideri la normale n al contorno; questa incontrerà l’altra parte di contorno in un punto P’’ dove,

con buona approssimazione, sarà nuovamente normale al contorno. Il segmento P’P’’ viene detto spessore 𝑏 della sezione; il luogo dei punti medi P dei segmenti P’P’’ si chiama linea media della sezione.

Le sezioni sottili si distinguono in aperte (Fig 2.1) e chiuse (Fig. 10.2), a loro volta distinte in monoconnesse e pluriconnesse.

Fig. 2.2 – Sezioni sottili chiuse: monoconnessa (a), pluriconnessa (b)

Si chiama tratto una parte di sezione compresa tra due punti di diramazione della linea media, o tra un punto di diramazione e un estremo; ciascun tratto è descritto dall’ascissa curvilinea 𝑠_!. Le sezioni aperte senza diramazioni sono pertanto costituite da un solo tratto. Si chiama nodo il punto di diramazione in cui concorrono almeno tre tratti 𝑡_!. Esistono sezioni aperte con nodi (per es. profilato a I) o sezioni chiuse senza nodi (per es. corona circolare).

Per le sezioni chiuse si definiscono le maglie, intese come parti chiuse della linea media che non racchiudono al loro interno altri tratti.

Il numero m delle maglie è pari al grado di connessione c diminuito di una unità:

𝑚 = 𝑐 − 1 (2.1)

E’ agevole verificare che, detto m il numero di maglie chiuse, n il numero dei nodi e t il numero dei tratti che li collegano, in genere risulta:

𝑚 + 𝑛 = 𝑡 + 1 (2.2)

Qualsiasi tipo di sezione sottile deve essere garantita, mediante diaframmi normali all’asse o con altri accorgimenti, nei riguardi dei cambiamenti di forma; ovvero si deve consentire l’ingobbamento della sezione retta, e fare si che la sua proiezione sul piano normale all’asse compia solo spostamenti rigidi, conformemente alla teoria del De Saint Venant della torsione e del taglio. Tali considerazioni equivalgono a trascurare la deformazione della sezione retta nel proprio piano anche per sforzo normale e flessione, andando quindi a supporre il modulo di Poisson 1 𝑚 = 0.

2.1.2 Torsione nelle travi di parete sottile a sezione chiusa

Per le sezioni in esame l’analogia idrodinamica suggerisce che le tensioni tangenziali 𝜏_!" relative a una generica corda di spessore 𝑏 abbiano tutte lo stesso verso. Inoltre, essendo lo spessore della trave per ipotesi molto piccolo, le tensioni tangenziali possono essere approssimate dal loro valore medio 𝜏_!", ed essere considerate uniformi nello spessore stesso e ortogonali alla corda.

Si prenda come riferimento la sezione tubolare sottile due volte connessa di figura 2.3, in cui 𝛾 definisce la linea media della sezione su cui è fissata l’ascissa curvilinea 𝑠, e lo spessore 𝑏(𝑠), ortogonale ad ambedue i contorni, è una funzione assegnata di 𝑠.

Fig. 2.3 – Torsione in una sezione tubolare di spessore sottile

Per determinare le tensioni tangenziali medie 𝜏!" si pone l’equilibrio

alla traslazione lungo l’asse 𝑧 di un elemento 𝑑𝑧 di trave compreso tra due sezioni, da cui si osserva che il flusso risulta

𝜏_!" 𝑠 𝑏 𝑠 = 𝑐𝑜𝑠𝑡      (2.3)

In riferimento alla figura 2.4, la condizione di equivalenza tra momento torcente e tensioni tangenziali si scrive:

𝑀_!= 𝜏_!"𝑏 𝑠 ℎ 𝑠 𝑑𝑠      (2.4)

in cui ℎ(𝑠) indica la distanza tra il polo P arbitrario e la tangente alla linea media del generico punto di ascissa 𝑠, e dove si riconosce che il prodotto 𝜏_!"𝑏 𝑠 è costante su 𝛾.

Integrando lungo la curva chiusa si ottiene:

𝑀_! = 𝜏_!"𝑏 𝑠 ℎ 𝑠 𝑑𝑠 = 𝜏_!"𝑏 𝑠 2  𝑑𝐴 = 2𝜏_!" 𝑠 𝑏 𝑠 𝐴      (2.5) dove 𝐴 rappresenta l’area racchiusa dalla linea media 𝛾 , di lunghezza 𝑙!.

La (2.5) consente di ricavare l’espressione della tensione tangenziale media in corrispondenza della corda 𝑏 nella sezione tubolare

𝜏!" =

𝑀_!

2𝐴𝑏(𝑠)      (2.6) nota come prima formula di Bredt.

Come denotato dall’analogia idrodinamica, la massima tensione tangenziale si verifica dove lo spessore 𝑏 della sezione è minimo e si addensano le linee di corrente:

𝜏!" !"# =

𝑀_!

2𝐴𝑏_!"#      (2.7)

Applicando il Teorema di Clapeyron si ricava l’angolo specifico di torsione:

𝜃! ₌ 𝑀!

4𝐺𝐴!

𝑑𝑠

𝑏(𝑠)        (2.8)   nota come seconda formula di Bredt.

Nel caso di sezione di spessore 𝑏    costante la (2.8) diviene 𝜃! ₌ 𝑀!𝑙!

e la rigidezza torsionale (1.67) vale 𝑘_! = 𝑀! 𝜃′ = 4𝐺𝐴! 𝑑𝑠 𝑏      (2.10)

2.1.3 Torsione nelle travi di parete sottile pluriconnesse

Si definiscono sezioni pluriconnesse insiemi di più maglie chiuse, ovvero sezioni in cui il grado di connessione è superiore a due.

In tali sezioni valgono ancora le ipotesi poste alla base dello studio delle sezioni biconnesse, con lo stesso ordine di approssimazione:

• Tensione normale allo spessore;

• Valore della tensione costante lungo uno spessore generico. In questo caso, il prodotto 𝜏𝑏 è ancora costante con l’ascissa 𝑠, ma limitatamente ad ogni tratto; ad ogni tratto corrisponde quindi un diverso valore di 𝜏𝑏.

Come descritto dall’equazione (2.2) relativa alle maglie chiuse, la risoluzione del problema comporta la soluzione di un sistema lineare di 𝑚 + 𝑛 equazioni in 𝑡 + 1 incognite.

Le incognite sono rappresentate dai flussi delle tensioni tangenziali 𝑓! =   𝜏!𝑏! presenti nei vari tratti delle maglie, e dall’angolo specifico di

torsione 𝜃′, assunto costante nella sezione.

Per ciascun nodo si può scrivere un’equazione di equlibrio alla traslazione in direzione dell’asse 𝑧, detta equazione di nodo generica:

𝜏!𝑏!      (2.11) !

!

in cui la sommatoria è estesa ai tratti che concorrono nel nodo. Per convenzione si assumono positivi i prodotti uscenti dal nodo e negativi quelli entranti. Di queste 𝑛 equazioni di equilibrio nodale solo 𝑛 − 1 risultano linearmente indipendenti.

L’𝑛 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 equazione di equilibrio può scriversi considerando che la risultante delle forze elementari 𝜏𝑏  𝑑𝑠 è anche in questo caso nulla, poiché sono rispettate le condizioni indefinite di equilibrio (𝑑𝑖𝑣𝜏 = 0) e quelle ai limiti, e quindi il momento delle 𝜏𝑏  𝑑𝑠 rispetto a un qualunque polo P del piano deve essere uguale al momento torcente 𝑀_! :

𝑀_!= 𝜏_!"𝑏ℎ  𝑑𝑠 ! = 𝜏_!"#𝑏_!ℎ_!𝑑𝑠 !!      (2.12) ! !!!

in cui 𝐶 è l’insieme dei tratti e ℎ_! è il braccio della risultante della forza elementare 𝜏!"#𝑏!𝑑𝑠 rispetto al polo.

Oltre alle 𝑛 equazioni di equilibrio, grazie alla costanza dell’angolo specifico di torsione 𝜃′ è possibile scrivere 𝑚 equazioni di congruenza, una per ogni maglia chiusa. Avendo assunto le stesse ipotesi delle sezioni tubolari, dalla formula di Bredt (2.6) è possibile ricavare, per ogni maglia, l’espressione dello spessore medio:

𝑏! =

𝑀_! 2𝐴_!𝜏_!"# che sostituita nella (2.8) fornisce:

𝜃! ₌ 𝑀!" 4𝐺𝐴_!! 𝑑𝑠 𝑏_! = 𝑀!" 4𝐺𝐴_!! 2𝐴!𝜏!"# 𝑀_!" 𝑑𝑠 = 1 2𝐺𝐴_! !!   𝜏_!"#𝑑𝑠 !!

ove 𝐴_! è l’area racchiusa dalla linea media 𝐶_! della maglia considerata. Alla stessa espressione per 𝜃′ si perviene richiamando il teorema di Stokes, che per il campo piano delle 𝜏_!" impone, per ogni maglia la cui linea media 𝐶! racchiude l’area 𝐴! :

𝑟𝑜𝑡  𝝉

!!

 𝑑𝐴 = 𝜏_!!"𝑑𝑠

!!

la quale, grazie al risultato 𝑟𝑜𝑡  𝜏 = 2𝐺𝜃′ consente di scrivere l’equazione di maglia generica:

2𝐺𝜃!!! =   𝜏

!"#𝑑𝑠 !!

       (2.13)

2.2 Flessione composta a taglio e torsione

Premessa

Se l’asse di sollecitazione lungo cui agisce la forza tagliante 𝑓_! è asse di simmetria per la sezione, la trave si inflette nel piano 𝑦 − 𝑧.

Se, invece, le azioni applicate alla base 𝑧 = 𝑙 sono equivalenti a un taglio 𝑇_! diretto secondo l’asse 𝑦, che pur essendo asse principale di inerzia (e quindi baricentrico) non è asse di simmetria, anche in assenza di coppie torcenti applicate, si ha una rotazione torsionale 𝜃(𝑧) attorno all’asse della trave. Si noti che tale rotazione può indurre spostamenti della linea baricentrica anche in direzione dell’asse 𝑥, come si può osservare dalla deformata di una sezione a U riportata in figura 2.5 , ottenuta tramite simulazione numerica agli elementi finiti.

Fig. 2.5 – Deformata di un profilato U soggetto a un taglio 𝑻𝒚 applicato nel baricentro In questa sede si analizza lo stato tensionale che si verifica nelle travi di parete sottile soggette a flessione composta a taglio e torsione, tralasciando approfondimenti sullo stato di deformazione.

2.2.1 Centro di taglio

La rotazione torsionale 𝜃(𝑧), indotta da uno sforzo di taglio 𝑇_! baricentrico, si modifica fino ad annullarsi se alle sezioni terminali della trave, 𝑧 = 0 e 𝑧 = 𝑙, vengono applicate due opposte coppie torcenti 𝑀_!. Ciò equivale

staticamente a uno sforzo 𝑇! applicato a una distanza 𝑥! = 𝑀! 𝑇! dal

baricentro.

Analoghe considerazioni si possono fare considerando uno sforzo di taglio 𝑇! applicato secondo la direzione dell’asse 𝑥; in questo caso risulterà

𝑦_! = 𝑀_! 𝑇_!.

Sulla base di queste considerazioni, il professore James N. Goodier definì il centro di taglio come “il punto 𝐶_!(𝑥_!, 𝑦_!) tale che, se per esso passa la retta d’azione del taglio, la sezione non ruota torsionalmente attorno a 𝑧”.

Tuttavia, seguendo questa definizione, la valutazione della posizione del centro di taglio si presenta laboriosa, in quanto richiede la determinazione delle funzioni di ingobbamento 𝜔! e 𝜔!; tale posizione sarà

funzione anche del coefficiente di Poisson 𝜈 del materiale di cui è composta la sezione.

Nel 1921 l’ingegnere svizzero Robert Maillart propose una definizione di più immediata applicabilità operativa, definendo il centro di taglio come “il punto 𝐶_!(𝑥_!, 𝑦_!) della sezione per cui passano le rette d’azione delle risultanti delle tensioni tangenziali 𝜏!" dovute alle

sollecitazioni di taglio 𝑇_! e 𝑇_!”. Pertanto, se la retta d’azione della sollecitazione 𝑇_! passa per il centro di taglio, essa induce unicamente le tensioni tangenziali 𝜏_!" valutabili con la formula di Jourawsky, altrimenti occorrerà mettere in conto anche le tensioni tangenziali staticamente equivalenti alla coppia di trasporto del taglio nel centro di taglio 𝐶!.

Le due definizioni sopra riportate caratterizzano rispettivamente gli aspetti deformativo e statico del problema.

Nella pratica tecnica, la determinazione delle tensioni tangenziali da taglio e la ricerca della posizione del centro di taglio sono operazioni importanti nella verifica della trave alle tensioni ammissibili.

2.2.2 Definizione convenzionale del centro di taglio

Le precedenti definizioni possono essere banalmente riassunte per definire il centro di taglio come quel punto particolare tale per cui la sezione “si infletta senza ruotare”. Tuttavia, la presenza di uno stato di tensione 𝜎_! non nullo, come mostra la formula di Navier nella soluzione della trave inflessa, comporta una deformazione nella sezione nel proprio piano, implicando ambiguità nel definire la rotazione globale della sezione.

A tale scopo si consideri il solido cilindrico di figura 2.6, soggetto a due differenti stati di sollecitazione: in A è rappresentato un problema di flessione con taglio costante; in B si ha pura torsione.

Fig. 2.6 – Solido cilindrico

In virtù del Teorema di reciprocità (Enrico Betti, 1872) , è possibile

affermare che la rotazione della sezione del Problema A è nulla se il vettore T è applicato in un punto tale per cui il lavoro mutuo

𝜀_!" = 𝑓_!!_𝑠

!!𝑑𝑠 = 0 !

Pertanto, grazie al il principio del lavori virtuali, il centro di taglio risulta definito dalla condizione:

ℰ_!" = 𝜎_!"!  _𝜀

!"!  𝑑𝑉 = 0      (2.14) !

dove 𝜎_!"! _{indica la soluzione in termini di sforzo del primo problema nel}

taglio, e 𝜀_!"! _{la soluzione del secondo problema nella torsione. Esiste uno e}

un solo punto per cui la (2.14) è soddisfatta, e tale punto coincide con il centro di torsione.

Per ulteriori approfondimenti si rimanda il lettore al testo citato in Bibliografia “Meccanica delle strutture, Volume I” a cura di Leone Corradi Dell’Acqua.

Capitolo 3

UN ESEMPIO APPLICATIVO

3.1 Descrizione del problema

I risultati precedentemente trattati vengono ora impiegati per lo studio della risposta tagliante e torsionale della sezione multicellulare di parete sottile due volte connessa illustrata in figura 3.1.

Fig. 3.1 – Sezione multicellulare sottile tre volte connessa

La sezione perimetrale di base 500 mm, altezza 200 mm e spessore 10 mm (misure relative agli interassi) presenta un setto interno di irrigidimento di spessore 5 mm, il quale suddivide la stessa in due maglie larghe rispettivamente 400 mm e 100 mm.

Il materiale di cui è composta la sezione è acciaio, con Modulo di Young 𝐸 = 210  𝐺𝑃𝑎.

La sezione risulta sollecitata da uno sforzo di taglio 𝑇! applicato nel

punto medio della base superiore, ovvero distante 250 mm dal bordo sinistro. A causa della posizione non centrale del setto interno, lo sforzo di taglio risulterà presumibilmente non baricentrico, inducendo nella trave uno sforzo di torsione.

Il problema così posto pone come incognite: 1. posizione del baricentro 𝐺 della sezione; 2. centro di taglio 𝐶_!;

3. flusso di tensioni tangenziali 𝜏_!" dovute alla compresenza di sforzo di taglio 𝑇_! e torsione 𝑀_! provocata da quest’ultimo a causa dell’eccentricità 𝑒 presente tra baricentro 𝐺 e centro di taglio 𝐶_!, 4. rigidezza torsionale 𝑘_!.

3.2 Risoluzione numerica tramite ausilio del calcolatore

Si riportano i passaggi teorici necessari per ottenere la soluzione applicativa, corredati dei risultati numerici ottenuti tramite ausilio del software di calcolo MatLab.

3.2.1 Determinazione degli elementi geometrici

Data l’ipotesi di “sottigliezza” qui fatta, dovuta al fatto che lo spessore 𝛿 della parete è molto più piccolo delle dimensioni 𝐵  ×  ℎ della sezione, nel calcolo delle caratteristiche di inerzia e poi nello sviluppo successivo, è lecito trascurare le potenze superiori alla prima dello spessore 𝛿, rispetto ai termini lineari in 𝛿.

La sezione presenta 𝑥 come asse di simmetria, quindi le direzioni principali d’inerzia sono 𝑥 e 𝑦.

Studiando la geometria della sezione si ricavano: • Area 𝐴 = 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 𝛿 + 𝑎!_! = 15000  𝑚𝑚! • Momento statico 𝑆!!" = 𝑎𝛿   𝑏 + 𝑐 + 𝑎 ! !𝑏 + 2 𝑏 + 𝑐 𝛿 !!! ! = 3,9×10!  _𝑚𝑚! • Posizione baricentro 𝑑! = !_!!" ! = 260  𝑚𝑚, 𝑥! = 𝑏 + 𝑐 − 𝑥! = 240  𝑚𝑚 • Momenti di inerzia 𝐽_! = 2 𝛿𝑎! 12 + 𝛿 2 𝑎! 12+ 2 𝑏 + 𝑐 𝛿! 12 + 𝑏 + 𝑐 𝛿 𝑎 2 ! = 11,675  ×10!  _𝑚𝑚! 𝐽! = 2 𝑎𝛿! 12 + 𝑎 12 𝛿 2 ! + 2 𝛿(𝑏 + 𝑐)! 12 + 𝑏 + 𝑐 𝛿 𝑥!− 𝑏 + 𝑐 2 ! = 20,936875×10!  _𝑚𝑚!

• Raggi principali di inerzia 𝜌! = !_!!= 88,2232  𝑚𝑚

𝜌_! = !!

! = 118,1436  𝑚𝑚

3.2.2 Studio della risposta tagliante

Una volta studiata la geometria si procede con una prima analisi dello stato tensionale indotto dallo sforzo di taglio, applicando la soluzione approssimata di Jourawsky alla sezione. Per tale operazione è necessario tagliare le maglie in corrispondenza delle corde 𝐸 ed 𝐹, così da ottenere una sezione sottile monoconnessa.

A partire dalle sezioni tagliate, in senso antiorario si fissa un sistema di riferimento locale di ascisse curvilinee:

• 𝑞 = 0:!_! nei tratti 2 e 7

• 𝑟 = 0: 𝑎 rispettivamente nei tratti 3, 4 e 5 • 𝑠 = 0: 2𝑎 rispettivamente nei tratti 1 e 6

Fig. 3.2 – Sistema di ascisse curvilinee

Seguendo il sistema di riferimento così impostato si determinano le espressioni dei momenti statici in funzione delle ascisse locali, necessari nella formulazione di Jourawsky per il calcolo delle tensioni tangenziali:

𝑆_!,!= 𝑟𝛿𝑎 − 𝑟 2 𝑆_!,!= 𝑟𝛿 2 𝑎 − 𝑟 2 𝑆_!,! = 𝑆_!,!(!!!)− 𝑞𝛿𝑎 2 𝑆_!,! = 𝑆_{!,!(!!! !)}+ 𝑆_!,!(!!!)− 𝑠𝛿𝑎 2 𝑆!,! = 𝑆!,!(!!!!)− 𝑟𝛿 𝑎 − 𝑟 2 𝑆_!,!= 𝑆_!,!(!!!)+ 𝑠𝛿𝑎 2 𝑆_!,!= 𝑆_!,!(!!!!)+ 𝑞𝛿𝑎 2

Noti i momenti statici dei vari tratti 𝑆!,!, il momento di inerzia 𝐽! e la

sollecitazione tagliante, è possibile calcolare il flusso di tensioni presenti nella sezione monoconnessa:

𝜏_!",!! =−𝑇!  𝑆!,! 𝐽_!  𝛿

in cui lo zero indica la tensione di prima approssimazione ottenuta tramite la soluzione di Jourawsky, mentre 𝑖 = 1: 7 indica i 7 tratti in cui è stata suddivisa la sezione.

Fig. 3.3 – Distribuzione delle tensioni da taglio nella sezione monoconnessa

(Appendice A-XII)

3.2.3 Ripristino della congruenza

Le tensioni tangenziali sopra ottenute sulla sezione monoconnessa soddisfano la terza equazione differenziale dell’equilibrio (1.5), che ne stabilisce l’andamento in termini di inviluppo di tangenti, ma soddisfano anche condizioni di nullo sulle corde in E ed F in cui si è operata la discontinuità della sezione. Le tensioni 𝜏_!! soddisfano quindi l’equilibrio con la sollecitazione tagliante 𝑇_!, costituendo un integrale particolare del problema e non la vera soluzione. Infatti le suddette tensioni non soddisfano