Approfondimento matematico: l’integrale
MODULO 2• Principi di conservazione UNITÀ 5• Conservazione dell’energia meccanica
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In fisica, e più in generale nelle discipline scientifiche, vi sono diversi contesti in cui la misura dell’area compresa tra una funzione y= f(x) e l’asse delle ascisse in corri- spondenza di un opportuno intervallo [a, b] di tale asse assume un preciso signifi- cato fisico. Consideriamo il caso del lavoro di una generica forza variabile F→. Per semplificare ipotizziamo che lo spostamento della forza sia rettilineo e che in ogni istante i vettori forza e spostamento siano paralleli tra loro. Supponiamo che la forza sia esprimibile come funzione y= F(x) in quanto dipende dalla posizione x compresa in un intervallo [a, b]. L’area sottesa rappresenta proprio il lavoro della forza va- riabile. Vediamo come possiamo procedere per determinarla.
b x
y = f(x)
a
Si divide l’intervallo [a, b] in n parti in modo che si formino n sottintervalli la cui am- piezza è data da:
Preso il primo di questi sottointervalli di ampiezza Δx1, individuiamo in esso il valore medio della forza F1e consideriamo un primo rettangolo di base Δx1e altezza F1. Pos- siamo affermare che la forza variabile ha compiuto durante lo spostamento Δx1un la- voro ΔL1= F1⋅ Δx1. Analogamente, possiamo costruire un secondo rettangolo di base Δx2e altezza pari al valore medio in Δx2 della forza F2. La forza variabile ha com- piuto durante lo spostamento Δx2un lavoro ΔL2= F2⋅ Δx2. Ripetiamo l’operazione per tutti gli intervalli successivi fino all’n-esimo, in cui avremo che ΔLn= Fn⋅ Δxn. Si ottiene così che il lavoro complessivo compiuto dalla forza variabile F→durante lo spostamento [a, b] è approssimato dalla somma:
L= Δ L1+ Δ L2+ ... + Δ Ln
Δ x b a
= −n
b x y = F (x)
F1
∆x1∆x2 ∆x3 ∆xi ∆xn
F2 F3
Fn
a
integrale definito
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L’area così ottenuta è una buona approssimazione di quella cercata. Per perfe- zionarla ulteriormente si può aumentare il numero n delle suddivisioni dell’intervallo, diminuendo le basi Δxidei rettangoli.
Il processo può continuare in modo che n tenda a diventare infinitamente grande e le basi Δxidivengano così segmenti infinitamente piccoli. In questo modo la somma delle aree degli n rettangoli è praticamente coincidente con l’area sottesa da y= F(x) che cercavamo.
b x y = F (x)
F1
∆x1∆x2 ∆x3
∆xi
∆xn
F2F3
Fn
a
Questa operazione che permette di determinare l’area sottesa dalla funzione y= F(x) con x ∈ [a, b] viene indicata con un operatore che prende il nome di integrale definito della funzione F(x) nell’intervallo [a, b]:
F x dx
a b
