TABLE DES MATIÈRES
AGNIEL Vidal Mémoire de Master 2 Année 2016-2017
Leçon 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications. Encadrant : Bachir Bekka
Table des matières
Plan de la leçon 2
1 Prolongements d’un point de vue topologique . . . 2
1.1 Prlongement par continuité en un point . . . 2
1.2 Prolongement par densité . . . 3
1.3 Prolongement de fonctions continues sur des fermés . . . 3
2 Prolongements d’un point de vue différentiel . . . 5
2.1 Prolongements dérivables . . . 5
2.2 Prolongement de solutions d’équations différentielles . . . 6
3 Prolongements sur des espaces vectoriels . . . 7
4 Aspects analytiques . . . 8
4.1 Fonctions analytiques, prolongements analytiques . . . 8
4.2 Problèmes de prolongements analytiques . . . 9
Développements 10 1 Théorème de Fourier-Plancherel . . . 10
2 Théorème des lacunes de Hadamard . . . 12
Questions 14
Plan de la leçon
Cette leçon s’intéresse à l’existence ou non de prolongements d’une fonction préservant une certaine régularité (continuité, uniforme continuité, dérivabilité à l’ordre k, solution d’équation différentielle, ana- lyticité).
Les fonctions considérées ici seront en général définies sur une partie de R,Rn, d’un espace métrique, ou d’un espace de Banach, et les cas étudiés portent aussi bien sur l’existence ou non de prolongement de certaines fonctions que sur les propriétés de ceux-ci.
L’une des motivations de cette étude porte sur les informations supplémentaires qu’ils peuvent apporter à la fonction initiale, tout en regardant aussi les cas où le comportement global des prolongements possible peut être construit quasiment indépendamment de la fonction à prolonger.
1 Prolongements d’un point de vue topologique 1.1 Prlongement par continuité en un point
On se place sur I un intervalle de R et un ouvert de U Rn. On se donne F : I × U → Rncontinue.
Proposition 1. — Soient (X,d) et (Y, ed) des expaces métriques, U ⊂ X et c ∈ U . Soit f : U {c} → Y continue, telle que limx→c,x6=c(f (x))existe dans Y.
Alors f se prolonge continûment à U avec f (c) = limx→c,x6=c(f (x)).
Exemple 2. — La fonction R∗ → R
x 7→ sin(x)x se prolonge continûment en 0 par 1.
Cela permet de définir la fonction sinc sur R tout entier.
Contre-exemple 3. — x ∈ R∗ 7→ sin(x12) ∈ R ne se prolonge pas continûment en 0.
Application 4. — Soit f : I → Rm, I ⊂ R, de classe C1. Alors ∀y ∈ I, la fonction x ∈ I − {y} 7→ f (x)−f (y)
x−y ∈ Rm se prolonge continûment en y par f0(y) car f (x)−f (y)
x−y =R1
0 f0(x + (y − x)t)dt.
Exemple 5. — Soit n, k ≥ 0, I un intervalle contenant 0, et f ∈ Ck(I, Rn).
Alors x ∈ I {0} 7→ f (x)−
Pk−1 j=0
f (j)(0) j!
xk se prolonge continûment en 0 par f(k)k!(0). Proposition 6. — Soient a < b, E un espace de Banach, et f ∈ C1([a, b[, E).
Si f0 est bornée sur [a, b[ alors c = limx→b−(f (x))existe et f se prolonge continûment en b par c.
Exemple 7. — Soit f ∈ C1(R) à support compact. Alors x ∈]0, 1] 7→R
Re−i ln(x)uf (u)duest C0et se prolonge continûment par 0 en 0.
Démonstration. Une intégration par parties donne :R
Re−i ln(x)uf (u)du = 0 − −i ln(x)1 R
Re−i ln(x)uf0(u)du.
Donc |R
Re−i ln(x)uf (u)du| ≤ | ln(x)|1 .R
R|f0(u)|du →x→0+ 0 car f’ est continue à support compact donc intégrable.
1 Prolongements d’un point de vue topologique 1.2 Prolongement par densité
Théorème 8. — Soient (X,d) et (Y, ed) des expaces métriques complets, F ⊂ X tel que F = X.
Soit f : F → Y uniformément continue sur F.
Alors f admet un unique prolongement ef à X tout entier, et ef est uniformément continue sur X.
Application 9. — Si E, eE sont des espaces de Banach, F un sous-espace vectoriel dense dans E,
et f : F 7→ eEune application linéaire continue, alors f se prolonge en une application linéaire continue ef sur E tout entier, avec k ef kE = kf kF.
Application 10. — Soit E un espace de Banach et [a, b] ⊂ R.
L’intégrale de Riemann est bien définie, linéaire et continue pour k.k∞ sur l’espace ξ([a, b], E) des fonctions étagées de [a, b] → E.
On peut ainsi la prolonger à R([a, b], E) := ξ([a, b], E)k.k∞, l’espace des fonctions réglées de [a, b] → E.
En particulier, C0([a, b], E) ⊂ R([a, b], E).
Application 11. Lemme de Riemann-Lebesgue—
Pour f une fonction intégrable sur R, la transformée de Fourier de f, bfest continue et tend vers 0 pour |x| → ∞.
Démonstration.
La continuité de bf découle du théorème de continuité des intégrales à paramètres.
On trouve de plus que k bf k∞ ≤ kf k1, ce qui implique que la transformée de Fourier est continue de (L1(R), k0k1) vers (C0(R), kf k∞).
La dernière propriété est vraie pour les fonctions de classe C1 à support compact par IPP, qui sont denses dans L1(R). C00(R) étant un sous-espace fermé de C0, le Théorème 7 permet de conclure.
Application 12. Théorème de Fourier-Plancherel —
Pour toute fonction f ∈ L1(R) ∩ L2(R), sa transformée de Fourier bf (y) := √12πR
Re−ixyf (x)dx est de carré intégrable et k bf k2= kf k2.
La transformée de Fourier se prolonge ainsi à L2 en une isométrie linéaire.
Cette isométrie est de plus bijective.
Application 13. Inégalité de Hardy—
Pour 1 ≥ p < ∞ et f ∈ Lp(R∗+), la fonction F (f ) : x ∈ R∗+7→ x1.Rx
0 f (t)dtest bien définie, et kF (f )kp≤ p−1p kf kp.
Le cadre des fonctions uniformément continues sur des espaces denses s’avère être très intéressant car il permet de définir un prolongement à l’espace tout entier qui est unique et que l’on peut déterminer ou approcher à partir d’évaluations de la fonction principale.
1.3 Prolongement de fonctions continues sur des fermés Proposition 14. Théorème de Tietze—
Soit (X,d) un espace métrique, Y un fermé de X, et g ∈ C0(Y, R).
Alors il existe f ∈ C0(X, R) telle que f
Y = gavec de plus kf k∞≤ kgk∞si g est bornée.
Application 15. — Soit (X,d) un espace métrique, Y1, Y2 deux fermés de X disjoints, et f1, f2 des fonctions continues de Y1, Y2 dans R.
Alors il existe f ∈ C0(X, R) telle que f
Y1 = f1 et f
Y2 = f2. Pour f1 ≡ 1 et f2 ≡ 0, la foncion x 7→ d(x,Yd(x,Y2)
1)+d(x,Y2) convient.
Cependant, ces prolongements ne sont pas uniques même si la fonction g à prolonger est uniformément continue.
Pour l’exemple précédent, x 7→ k.d(x,Yd(x,Y2)
1)+d(x,Y2) convient aussi, ∀k ≥ 0.
1 Prolongements d’un point de vue topologique Application 16. Soit (X,d) un espace métrique.
Si C0(X, R) ⊂ L∞(X, R), alors X est compact.
Si C0(X, R) ⊂ U C(X, R) et que X est sans point isolé, alors X est compact.
Démonstration. Démonstration du premier point
Si X n’était pas compact, on aurait une suite (xn)nn’admettant aucune sous-suite convergente.
Quitte à extraire, on peut supposer xi 6= xj pour i 6= j. L’ensemble Y := {xn, n ≥ 0}est alors un fermé, et g : x ∈ Y 7→ n ∈ Rsi x = xnest bien définie et est continue car Y n’a pas de point d’accumulation.
Le théorème de Tietze nous assure que g admet un prolongement f continu sur X tout entier, avec f bornée, ce qui est impossible car g est non-bornée.
Remarque 17. — Pour E un espace de Banach et f ∈ C0([a, b], E), f est aussi prolongeable continûment sur R avec la non-unicité de ce prolongement.
On peut par exemple choisir un prolongement g tel que g ≡ 0 sur R − [a − 1n, b + n1]ou tel que g est (b-a)- périodique.
A contratio avec le prolongement par densité, prolonger une application continue sur un fermé ne demande qu’un recollement local sur le bord du fermé, et n’a aucune incidence sur les valeurs que peut prendre le prolongement loin du fermé initial.
Certains choix de prolongements comme ceux par périodicité restent toutefois intéressants dans des cadres tels que les séries de Fourier.
2 Prolongements d’un point de vue différentiel
2 Prolongements d’un point de vue différentiel 2.1 Prolongements dérivables
Proposition 18. — Soit E un espace de Banach, a ≤ c ≤ b ∈ R, et f : [a, b] → E, continue sur [a, b], de classe C1 sur [a, b] − {c}.
Si limx→c,x∈[a,b](f0(x))existe, alors f est de classe C1 sur [a, b] tout entier.
Application 19. — Pour k ≥ 1 et f ∈ Ck([a, b], E), pour tout y dans [a,b], x 7→
f (x)−f (y)
x−y si x 6= y
f0(y)si x = y est de classe Ck−1 sur [a, b].
Exemple 20. — La fonction f : x ∈ R∗ 7→ e−x21 se prolonge de façon C∞à R tout entier avec f(k)(0) = 0, pour tout k ≥ 0.
Application 21. — Ainsi, la fonction Φ : x ∈ R 7→
e−x21 si x > 0
0si x ≤ 0 est de classe C∞sur R.
Et la fonction Ψ : x ∈ R 7→ Φ(1 + x)Φ(1 − x) est alors C∞à support compact sur R.
Pour Ψn(x) := Ψ(nx)avec n ≥ 1, le support de Ψnest ainsi [−n1,n1].
Remarque 22. — Soit F un fermé de R. En définissant g(x) := n1.R 1
RΨ(u)du.Ψn(x), la convolée de g avec χF est alors une fonction de classe C∞qui vaut 1 sur {x ∈ F tq d(x, R − F ) ≥ 1n} et 0 sur {x ∈ R − F tq d(x, F ) ≥
1 n}.
Remarque 23. — On peut de même définir une fonction de classe C∞ à support compact sur Rm avec Ψ(x) := Ψ(kxke 2)grâce à la parité de Ψ.
Contre-exemple 24. — Soit I un intervalle, c ∈ I, et k ≥ 1.
Si f est de classe Ck+1sur I − {c}, de classe Cksur I, et admet un DLk+1en c, alors f n’est pas forcément de classe Ck+1 sur I.
Pour f (x) =
x3sin(1x)si x 6= 0
0si x = 0 , f est de classe C∞sur R.
On a que f0(x) =
3x2sin(1x) − xcos(1x)si x 6= 0
0si x = 0 donc f est de classe C1 sur R.
De plus, f admet un DL2 en 0 car f (x) = o(x2), mais f00 n’est quand-même pas prolongeable continûment par 0 en 0.
Contre-exemple 25. — Pour f (x) =
0si x ≤ 0
1si x > 0 , f est de classe C1 sur R∗ et f0 se prolonge continûment par 0 en 0 bien que f ne soit pas prolongeable continûment en 0.
Théorème 26. —
Soit (an)nune suite de réels.
Alors il existe ϕ de classe C∞à support compact sur R telle que pour tout n ≥ 0, ϕ(n)n!(0) = an.
Ainsi, toute fonction f de classe C∞sur un intervalle fermé F peut être prolongée en une fonction de classe C∞sur R tout entier.
Malgré une régularité plus forte, le prolongement de fonctions de classe Ck ou C∞ sur des fermés est lui-aussi réalisable peu importe l’allure de la fonction, car seul le prolongement de l’évaluation des dérivées k-ièmes au bord du fermé est nécessaire.
2 Prolongements d’un point de vue différentiel
2.2 Prolongement de solutions d’équations différentielles Théorème 27. Théorème de Cauchy-Lipschitz—
Soit I un intervalle, n, m ≥ 1, U un ouvert de Rn, et F : I × U → Rm continue et localement Lipschitz par rapport à la seconde variable.
Alors pour (t0, y0) ∈ I × U, il existe une unique solution maximale (f,J) de l’équation différentielle y0(t) = F (t, y(t)), où J est un intervalle ouvert de I et f : J → U , telle que f (t0) = y0.
Le prolongement des solutions des équations différentielles du théorème de Cauchy-Lipschitz est réalisé grâce au fait que deux solutions d’un même problème de Cauchy coïncident sur l’intersection de leurs intervalles de définition, et grâce au Lemme de Zorn qui permet alors de considérer l’ouvert maximal d’existence d’une solution à un problème de Cauchy donné.
Théorème 28. Théorème de sortie de tout compact—
Soit F : I × U → Rm continue et localement Lipschitz par rapport à la seconde variable, et (f,J) une solution maximale de l’équation différentielle associée à F.
Si β := sup(J ) est dans I, alors f sort de tout compact de U au voisinage de β, c’est-à-dire : Pour tout K compact de U, il existe ε > 0 tq f (t) /∈ K pour tout t ∈]β − ε, β[.
De plus, si α := inf (J ) est dans I, alors f sort de tout compact de U au voisinage de α.
Exemple 29. — Pour F (t, x) = 1x sur R × R∗+, la solution maximale de
(y0(t) = y(t)1 y(0) = x0
est alors y(t) =px20− 2t sur ] − ∞,x220[.
Cette solution ne se prolonge pas à R tout entier et sort bien de tout compact de R∗+pour t → x220. Exemple 30. — Pour F (t, x) = sin(x) sur R × R,
les fonctions y(t) = 2kπ, k ∈ Z sont solution de
(y0(t) = sin(y(t))
y(0) = 2kπ .
Ainsi, pour (f, J ) une solution maximale et non-constante de y0(t) = sin(y(t)), f ne peut pas intersecter les droites y = 2kπ, donc f (t) ∈ [f (t0) + 2π, f (t0) + 2π], donc f est bornée, donc f est définie sur R tout entier.
Application 31. — Supposons que F est de plus définie sur R × U et que F (., x) est T-périodique pour un T > 0et pour tout x ∈ U .
Soit (f,J) une solution maximale de y0(t) = F (t, y(t)) et y1 ∈ J tel que y1+ T ∈ J et f (y1) = f (y1 + T ).
Alors f est définie sur R et est T-périodique.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz a de fortes répercussions sur le prolongement de solutions d’une équation différentielle. Ce théorème ainsi que le théorème de sortie de tout compact permettent dans certains cas de caractériser facilement le domaine de définition de l’unique prolongement maximal, tout en donnant certaines informations sur le comportement de ce prolongement.
3 Prolongements sur des espaces vectoriels
3 Prolongements sur des espaces vectoriels Théorème 32. Hahn-Banach géométrique—
Soit E un espace de Banach de dimension finie. Soit p : E → R telle que pour tous λ > 0 et x, y ∈ E, on a p(λ.x) = λ.p(x)et p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Soit V un sous-espace vectoriel de E, et f : V → R une forme linéaire telle que f (x) ≤ p(x) pour tout x ∈ V . Alors il existe une forme linéaire g sur E elle que g
V = f et telle que g(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E.
Remarque 33. — Dans le cas où E est un espace de Hilbert et où p(x) = kxk, la notion d’orthogonal d’un sous-espace vectoriel donne immédiatement le résultat même si la dimension est infinie.
Application 34. — Le dual E’ de E sépare les points : Pour tous x, y ∈ E distincts, il existe f ∈ E0 tq f (x) 6= f (y).
Application 35. — Un sous-espace vectoriel F est dense dans E si et seulement si pour toutes f ∈ E0, f F ≡ 0
⇒ f ≡ 0.
Application 36. — Pour tout x ∈ E, il existe f ∈ E0 telle que kf k = kxk et f (x) = kxk2. Ainsi, kxk = supg∈E0,kgk≤1(|g(x)|).
Application 37. Théorème de Banach-Alaloglu—
Soit H un espace de Hilbert. Toute suite bornée (xn)nadmet une extractrice qui est faiblement convergente.
Démonstration.
Pour tout m ≥ 0, la suite (< xm, xn>)nest bornée dans R, donc admet une suite extraite convergente. Par procédé d’extraction diagonal, on a alors une suite extraite (yn)ntelle que (< xm, yn>)nest convergente pour tout m ≥ 0.
Ainsi, pour tout x dans F := V ect(xm, m ≥ 0), (< x, yn>)nest convergente par linéarité.
Notons u(x) cette limite. On montre alors que u est linéaire par unicité de la limite, et continue sur F car
|u(x)| ≤ kxk.supn(kynk) = kxk.M avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
L’Application 8 nous permet de prolonger u en une forme linéaire continue sur F , et la Remarque 30 nous permet de prolonger u à H tout entier.
Le théorème de Riesz nous dit alors que u(x) =< x, a > pour un certain a ∈ H, donc la suite des (yn)n est bien faiblement convergente vers a.
4 Aspects analytiques 4 Aspects analytiques
4.1 Fonctions analytiques, prolongements analytiques Définition 38. —
Soit Ω un ouvert connexe de C (ou un intervalle de R).
Une fonction f : Ω → C est analytique si f est de classe C∞sur Ω, et si ∀x ∈ Ω f est égale sur un voisinage de x à la somme de sa série de Taylor en x.
Exemple 39. —
Les fonctions polynômiales sont analytiques sur C.
La fonction z ∈ C − {1} 7→ z−11 est analytique sur C − {1}.
Une série entièreP
n≥0an.znde rayon de convergence R est analytique sur son disque de convergence D(0, R).
A contrario, x 7→
e−1x2 si x 6= 0
0si x = 0 n’est pas analytique en 0.
Théorème 40. Théorème des zéros isolés—
Soit Ω un ouvert connexe de C (ou un intervalle de R), et f analytique sur Ω.
Si l’ensemble {z ∈ Ω tq f (z) = 0} a un point d’accumulation dans Ω, alors f ≡ 0.
Exemple 41. — La fonction z ∈ D 7→P
n≥0znse prolonge analytiquement par z−11 à C − {1}.
Proposition 42. Formule de la valeur moyenne—
Soit Ω un ouvert connexe de C (ou R), f analytique sur Ω, et z0∈ Ω.
Alors, pour tout 0 < r < d(z0, ∂Ω), on a : f (z0) = 2iπ1 R
∂D(z0,r) f (z) z−z0dz Proposition 43. Prolongement en une singularité levable—
Soit z0 ∈ Ω et f analytique sur un voisinage épointé de z0, V − {z0}.
Si f est bornée sur V − {z0}, alors f se prolonge analytiquement en z0.
Exemple 44. — Soit f analytique sur Ω un ouvert connexe de C, et z0 tel que f (z0) = 0.
Alors g : z ∈ Ω 7→
f (z)
z−z0 si z 6= z0
f0(z0)si z = z0 est analytique sur Ω.
Application 45. Lemme de Schwarz—
Soit f : D → D analytique avec f (0) = 0.
Alors pour tout z ∈ D, |f (z)| ≤ |z| avec égalité en un z06= 0 si et seulement si f (z) = f (z|z0)
0| .z, ∀z ∈ D.
Application 46. — Soit f : D → D analytique, non bijective, avec un point fixe α ∈ D.
Alors la suite fn:= f ◦ f ◦ . . . ◦ f converge uniformément sur tout compact vers la fonction constante α.
Ainsi, f ne possède qu’un seul point fixe dans D.
Démonstration. Quitte à regarder Ψ−1α ◦ f ◦ Ψα où Ψα(z) := αz−1z−α est un biholomorphisme de D vers D qui envoie α sur 0, on peut supposer que f (0) = 0. La fonction g : x ∈ D 7→
f (z)
z si z 6= 0
f0(0)si z = 0 est analytique sur D, et le Lemme de Schwarz nous dit que |g(z)| < 1, ∀z ∈ D car f est non-bijective.
Donc pour un 0 < r < 1 fixé, ∀z tq |z| ≤ r, on a |f (z)| ≤ sup|w|≤r|g(w)|.|z| = M.|z| avec 0 < M < 1.
Ainsi, sup|z|≤r|fn(z)| ≤ Mn.r →n→∞0, donc (fn)nconverge uniformément vers 0 sur tout compact.
Application 47. Formule des compléments et prolongement de Γ—
La fonction Γ : z 7→R+∞
0 et.tz−1dtest bien définie et analytique sur {z tq Re(z) > 0}.
Pour tout z tel que 0 < Re(z) < 1, on a : Γ(z).Γ(1 − z) = sin(π.z)π .
Ainsi, la fonction g : z 7→ sin(π.z)π .Γ(1−z)1 définie sur {z tq Re(z) > 1}−{−n, n ∈ N} est analytique et coïncide avec Γ sur {z tq 0 < Re(z) < 1}.
Cela permet de prolonger Γ analytiquement à C − {−n, n ∈ N}.
4 Aspects analytiques Proposition 48. —
Soit Ω un ouvert connexe de C et f,g analyiques sur Ω.
Si il existe z0 ∈ Ω vérifiant f(n)(z0) = g(n)(z0), ∀n ≥ 0, alors f ≡ g sur Ω.
Les prolongements analytiques se révèlent être assez forts pour que le domaine de définition d’un pro- longement dépende de la fonction initiale et pour que la fonction prolongée soit uniquement déterminée par la fonction initiale.
La suite de cette partie sur les prolongements analytiques porte alors plus sur l’existence de tels prolon- gements et sur les contraintes que peuvent posséder les ouverts sur lesquels un prolongement peur exister.
4.2 Problèmes de prolongements analytiques Définition 49. —
Soit Ω un ouvert connexe de C et f analytique sur Ω.
Un point z0 ∈ ∂Ω est dit régulier pour f s’il existe un ouvert V contenant Ω ∩ {z0} et g analytique sur V telle que f ≡ g sur Ω.
Le point z0est dit régulier pour f sinon.
Contre-exemple 50. — Pour f : z 7→ P
n≥0an.znde rayon de convergence R, il y a au moins un point de
∂D(0, R) qui est singulier pour f.
Exemple 51. — Pour z1, . . . , zn ∈ ∂D(0, 1), f(z) = Πni=1z−z1 i et an = f(n)(0), la somme de la série P
n≥0an.zna z1, . . . , zncomme points singuliers.
Théorème 52. Théorème des Lacunes de Hadamard—
Soit (λn)nune suite croissante d’entiers telle qu’il existe α > 1 vérifiant λn+1λ
n ≥ α > 1, pour tous n ≥ 0.
Soit (an)n∈ CNtelle que la série entièreP
n≥0an.zλn est de rayon de convergence 1.
Alors, la somme de cette série entière n’a aucun point régulier sur ∂D(0, 1).
Exemple 53. — La somme de la série P
n≥0n.z2n est analytique sur D(0, 1), diverge en tout point de
∂D(0, 1), et n’admet aucun prolongement analytique. La somme de la sérieP
n≥0 1
n2.z2n est analytique sur D(0, 1), se prolonge continument sur ∂D(0, 1), mais n’admet aucun prolongement analytique.
Exemple 54. — Pour tous α ∈ [−π, 0[, la fonction x ∈ R∗+ 7→ ln(x) se prolonge analytiquement à C − {z tq z = r.eiα, r > 0} par lnα(z) = ln(|z|) + iθpour z = |z|.eiθ, θ ∈]α, α + 2π[.
Pour tout z ∈ C, on a ainsi un α tel que lnα(z) soit bien défini et que lnα prolonge analytiquement ln. Cependant, aucune de ces fonctions ne peut se prolonger à C tout entier car limθ→α+(lnα(r.eiθ)) 6=
limθ→α+2π−(lnα(r.eiθ)), ∀r > 0.
Remarque 55. — Contrairement aux solutions d’un problème de Cauchy d’une équation différentielle, on ne peut pas définir de façon unique un prolongement maximal d’une fonction analytique car cela dépend du choix des prolongements intermédiaires.
Pour f analytique sur U et (f1, U1), (f2, U2) des prolongements analytiques de f, on sait que f1 ≡ f2 sur la composante connexe de U dans U1∩ U2, mais on n’a à priori pas d’informations entre les valeurs de f1 et f2 sur les autres composantes connexes de U1∩ U2.
Dans le cas où f1 n’admet aucun prolongement analytique et où U ⊂ U2 ⇒ U1 ∩ U2 possède une unique composante connexe, (f1, U1)sera l’unique prolongement maximal de (f, U ).
Ces propriétés sont par exemple vérifiées pour le prolongement analytique de la fonction Γ à C − {−n, n ∈ N}
Développements
1 Théorème de Fourier-Plancherel
Références : RUBIN Walter ; Analyse réelle et complexe : Cours et exercices ; Théorème 9.13 (p225) ; Broché.
Théorème. —
Pour toute fonction f ∈ L1(R) ∩ L2(R), sa transformée de Fourier bf (y) := √1
2π
R
Re−ixyf (x)dxest de carré intégrable et k bf k2= kf k2.
La transformation de Fourier se prolonge ainsi à L2en une isométrie linéaire.
Cette isométrie est de plus bijective.
Démonstration.
Soit f ∈ L1(R) ∩ L2(R).
Nous allons dans un premier temps montrer que k ef k2 = kf k2 < ∞.
Pour se faire, définissons g := x ∈ R 7→R
Rf (y).f (y − x)dy =< f, τ−xf >où τu est l’opérateur de transla- tion par u : τuf (y) = f (y + u).
On rappelle que cet opérateur de translation vérifie :
∀1 ≤ p < ∞, ∀u ∈ R, τu est une isométrie linéaire sur (Lp(R)) et la fonction u ∈ R 7→ τu ∈ LC(Lp(R)) est continue.
Comme f est dans L2(R), τ−xf aussi, donc g(x) est bien définie ∀x ∈ R. Comme u ∈ R 7→ τu ∈ LC(L2(R)) et que < f, . > est continue sur L2(R), g est continue sur R.
De plus, vu que f et τ−xf sont dans L1(R), l’inégalité de Young appliquée à g pour p = 1, q = 1 nous dit que kgk1 ≤ kf k1.kτ−xf k1 = kf k1.kf k1 < ∞. Donc g ∈ L1(R).
Pour λ > 0, définissons en parallèle Hλ(x) = √1
2πe−λ|x|.
Montrons que transformée de Fourier hλ de Hλ définit une approximation de l’unité. Celle-ci vaut : hλ(y) = √1
2π 2R
Re−ixye−λ|x|.dx = 2π1 R0
−∞ex(−iy+λ)dx + 2π1 R+∞
0 ex(−iy−λ)dx = 2π1 (λ−iy1 +λ+iy1 )
⇒ hλ(y) = 2π1 λ22λ+y2 = π1.λ2λ+y2
Donc hλ ≥ 0 et la fonction est paire.
Soit a ≥ 0. On a : R
|x|>ahλ(x)dx = 2R+∞
a 1
π.λ2+yλ 2dx = 2πR+∞
a 1 1+(yλ)2
dx
λ = π2R+∞
a λ
1
1+u2du = π2[π2 − arctan(aλ)]
DoncR
Rhλ(x)dx = 1etR
|x|>ahλ(x)dx →λ→0 0. Ainsi, la famille (hλ)λ≥0définit bien une approximation de l’unité.
Comme g est continue bornée et hλ intégrable, le produit de convolution g ∗ hλest bien défini. Le fait que (hλ)λ≥0 soit une approximation de l’unité nous dit que g ∗ hλ(0) converge vers g(0) =< f, τ0f >= kf k22 pour λ → 0.
D’autre part, comme g,Hλ sont dans L1(R), on peut appliquer le théorème de Fubini à g ∗ hλ(0) pour avoir :
g ∗ hλ(0) =R
Rg(x)hλ(−x)dx =R
Rg(x)hλ(x)dx =R
Rg(x).√1
2π
R
Re−ixyHλ(y)dydx
⇒ g ∗ hλ(0) =R
R
R
R
√1
2πe−ixyg(x)Hλ(y)dxdy =R
Rbg(y)Hλ(y)dy =R
Rbg(y).√1
2πe−λ|x|.dy En notant ef (x) = f (−x), on peut alors écrire que g(y) =R
Rf (x) ef (y − x)dx = f ∗ ef (y).
Doncbg(y) = bf (y)bef (y).√
2π. Ce terme√
2πapparaît de par l’introduction du √1
2π dans la définition de bf de l’énoncé.
Et bef (y) =R
Re−ixyf (−x)dx =R
Reixyf (−x)dx =R
Re−iuyf (u)du = bf (y).
Doncg(y) = | bf (y)|2.√ 2π.
1 Théorème de Fourier-Plancherel
Ainsi, pour tout y ∈ R,bg(y)Hλ(y) = | bf (y)|2e−λ|x| qui converge en croissant vers | bf (y)|2 pour λ → 0.
Cette convergence est même uniforme sur tout compact car infx∈[−N,N ](e−λ|x|) = e−λ.N. Donc pour tout N > 0,RN
−Ng(y)Hb λ(y)dyconverge en croissant versRN
−N| bf (y)|2dypour λ → 0.
Ainsi,R
R| bf (y)|2dy = limN →∞limλ→0RN
−Nbg(y)Hλ(y)dy = limλ→0limN →∞RN
−Nbg(y)Hλ(y)dy = limλ→0g ∗ hλ(0) = kf k22en utilisant le théorème du double supremum.
La transformée de Fourier de f est donc bien dans L2(R), donc la transformation de Fourier de L1(R) ∩ L2(R) vers L2(R) est bien définie, est linéaire, et est une isométrie car k bf k2 = kf k2.
De plus encore, pour h ∈ L2(R), h
[−N,N ] ∈ L1(R) ∩ L2(R), et h
[−N,N ] →k.kN →∞2 h, donc L1(R) ∩ L2(R) est dense dans L2(R).
Le théorème de prolongement des applications linéaires continues s’applique alors et permet de prolonger la transformation de Fourier en une isométrie linéaireF de L2(R) vers L2(R).
Il reste à montrer que F (L2(R)) = L2(R). Comme F est une isométrie linéaire, son image est fermée dans L2(R). Il suffit de montrer que son orthogonal est réduit à {0} pour conclure.
Soit f dansF (L2(R))⊥.
Pour λ > 0, α ∈ R, x 7→ √12πe−λ|α−x| est dans L1(R) ∩ L2(R), et sa transformée de Fourier est x 7→
hλ(α − x).
On trouve alors que 0 =R
Rf (x).hλ(α − x)dx = f ∗ hλ(α), pour tous λ > 0, α ∈ R.
Comme (hλ)λ est une approximation de l’unité, pour f continue à support compact, on sait que f ∗ h converge uniformément vers f, donc f ∗ h converge vers f pour k.k2.
La densité de Cc0(R)dansL2(R) et le fait que k(f − g) ∗ hλk2 ≤ kf − gk2.khλk1 permettent d’étendre ce résultat à tout f ∈ L2(R).
Ainsi, f = limλ→0(f ∗hλ) ≡ 0dans L2(R), ce qui permet de conclure que F est bien une isométrie linéaire bijective sur L2(R).
2 Théorème des lacunes de Hadamard 2 Théorème des lacunes de Hadamard
Référence : ZUILY Claude, QUEFFELEC Hervé ; Analyse pour l’agrégation, 4e édition ; Théorème IV.6 (p55) ; Broché.
Théorème. Théorème des Lacunes de Hadamard—
Soit (λn)nune suite croissante d’entiers non-nuls telle qu’il existe α > 1 vérifiant λλn+1
n ≥ α > 1, pour tous n ≥ 0.
Soit (an)n∈ CNtelle que la série entièreP
n≥0an.zλn est de rayon de convergence 1.
Alors, la somme de cette série entière ne se prolonge analytiquement en aucun point de ∂D(0, 1).
Démonstration.
Notons f la somme de la série entièreP
n≥0an.zλn.
Supposons avoir un θ tel que eiθ f admette un prolongement analytique sur un voisinage de ce point.
Quitte à remplacer f par ef (z) := f (e−iθz)et anparfan := an.e−λniθ, (fan)n, on peut supposer que f admet un prolongement analytique en 1 carP
n≥0afn.zλnest encore une série lacunaire de rayon de convergence 1 et ef est encore la somme d’une série entière lacunaire, et admet un prolongement anlytique sur un voisinage de 1.
On peut donc supposer avoir un voisinage V de 1 et une fonction g analytique sur D(0, 1)∪V qui prolonge f , c’est-à-dire g
D(0,1)≡ f .
On va chercher à montrer que l’existence de ce prolongement impliquerait que le rayon de convergence de la série lacunaire est > 1.
Comme pour tout n ≥ 0, on a λλn+1
n ≥ α > 1, il existe p ≥ 1 assez grand tel que 1 < p+1p < α.
Ainsi, pour tout n ≥ 0, on a : p.λn< (p + 1)λn< pλn+1< (p + 1)λn+1. Considérons la fonction ϕ(z) = zp+z2p+1 analytique sur C.
Pour tout z tq |z| ≤ 1, on a : |ϕ(z)| = |zp|.|1+z2 | ≤ |1+z|2 ≤ |1|+|z|2 ≤ 1.
Si |z| < 1 on a donc |ϕ(z)| < 1.
Si |z| < 1, |ϕ(z)| = 1 si on est dans le cas d’égalité stricte de l’inégalité triangulaire, c’est-à-dire z=a.1 avec a ∈ R+.
Donc si |z| = 1 et z 6= 1, |ϕ(z)| < 1. Et si z = 1, ϕ(z) = 1.
Ainsi, p(D(0, 1)) ⊂ D(0, 1) ∪ {1} ⊂ D(0, 1) ∪ V .
Comme ϕ est continue, ϕ−1(D(0, 1) ∪ V ) est un ouvert Ω de C contenant D(0, 1).
Comme D(0, 1) est compact, sa distance au complémentaire de Ω est non-nulle, donc il existe ε > 0 tel que D(0, 1 + ε) ⊂ Ω.
On définit alorseg : z ∈ Ω 7→ g ◦ p(z), qui est analytique sur Ω.
Comme D(0, 1 + ε) ⊂ Ω, la formule de Cauchy appliquée àegen 0 pour des cercles de rayon 0 < ρ < 1 + ε nous permet de voir que la série de Taylor deegen 0 a un rayon de convergence ≥ 1 + ε.
NotonsP
n≥0bn.zncette série de Taylor.
Soit z ∈ D(0, 1). On aeg(z) = g(ϕ(z)) = f (ϕ(z))car ϕ(z) ∈ D(0, 1).
Or, f (ϕ(z)) =P
n≥0an(p(z))λn =P
n≥0an(zp+z2p+1)λn. Et pour tout n ≥ 0, (zp+z2p+1)λn =Pλn
k=0
(λnk)
2λn .z(p+1)k.zp(λn−k)=Pλn
k=0
(λnk)
2λn.zpλn+k.
Ainsi, (zp+z2p+1)λn est une combinaison linéaire de zpλn+k, avec 0 ≤ k ≤ λn, donc une combinaison li- néaire de zpλn, zpλn+1, . . . , z(p+1)λn.
Or, le choix de p entraîne p.λn < (p + 1)λn < pλn+1 < (p + 1)λn+1, donc les développements des (zp+z2p+1)λn sont tous des combinaisons linéaires finies de puissances de z différentes.
Et commeeg(z) = f (ϕ(z))sur D(0, 1), on trouve alors que bn=
am.(λmk)
2λm si b = λm+ k, 0 ≤ k ≤ λm
0sinon
2 Théorème des lacunes de Hadamard
Pour conclure, prenons z = 1 +ε2. On a |z| = z Comme |z| < 1 + ε, la sérieP
k≥0bk.zkest alors normalement convergente.
Donc la suite (P(p+1)λn
k=0 |bk|.zk)nest convergente.
Or, pour tout n ≥ 0,P(p+1)λn
k=0 |bk|.zk=Pn
l=0|al|.(zp+z2p+1)λlau vu des calculs précédents.
Or, |ϕ(z)| = ϕ(1+ε2) > 1, donc la sérieP
n≥0an.ϕ(z)λndiverge grossièrement, donc la suite (Pn
l=0|al|.ϕ(z)λl)n
diverge vers +∞.
On aboutit ainsi à une contradiction, qui prouve que la fonction f considérée ne se prolonge pas analyti- quement en 1, donc que toute somme d’une série lacunaire comme donnée dans l’énoncé n’admet pas de prolongement analytique en aucun point du bord de son disque de convergence.
Questions
• Soit u ∈ R et τu l’opérateur de translation. Soit 1 ≤ p < +∞ et f ∈ Lp(R). Montrer que u ∈ R 7→
τuf ∈ Lp(R) est continue sur R pour k.kp.
Démonstration. Soit 1 ≥ p < +∞. Comme τu+v = τu◦ τv, montrer que la fonction u 7→ τuf est continue sur R revient à montrer qu’elle est continue en 0.
On va d’abord établir le résultat pour f continue à support compact.
Dans ce cas-ci, comme f est continue sur le compact supp(f), et qu’elle vaut 0 sur R−supp(f), le théorème de Heine nous assure que f est uniformément continue sur supp(f ), donc sur R.
Soit ε > 0. On a donc α > 0 tel que |x − y| < α ⇒ |f (x) − f (y)| < ε1p. Quitte à diminuer α, supposons α ≤ 1
Soit u ∈ R tel que |u| < α et N > 0 tel que supp(f) ⊂ [−N, N]. On a : R
R|f (x+u)−f (x)|pdx =RN +1
−N −1|f (x+u)−f (x)|pdx ≤ (2N +2).supR(|f (x+u)−f (x)|)p ≤ (2N +2).(ε1p)p = (2N + 2).ε. Donc u 7→ τuf est bien continue en 0, donc bien continue sur R.
Reprenons maintenant f ∈ Lp(R) quelconque.
Soit ε > 0. Par densité de Cc0(R), on a g continue à support compact telle que kf − gkp < ε.
Soit α > 0 le module de continuité de u 7→ τugen 0, et u ∈ R tel que |u| < α.
On obtient alors :
kτuf − f kp ≤ kτuf − τugkp+ kτug − gkp+ kg − f kp = kg − f kp+ kτug − gkp+ kg − f kp < 3ε, ce qui conclut.
Pour p = +∞, l’adhérence de l’ensemble fonctions continues à support compact pour k.k∞est seulement l’ensemble des fonctions continues tendant vers 0 en ±∞, donc un argument de densité ne permet pas de conclure pour l’espace tout entier.
Avec la norme k.k∞, on peut remarquer que pour f ∈ L∞(R), u 7→ τuf est continu en 0 si et seulement si f est uniformément continue.
• Montrer que x ∈ R∗ 7→ sin(x)−xx est prolongeable en 0 et que son prolongement est de classe C∞sur R tout entier.
Démonstration. Pour x 6= 0, sin(x)−xx = sin(x)−sin(0)
x−0 − 1 =R1
0 cos(xt)dt − 1 =R1
0 cos(xt) − 1dt.
Or, la fonction x 7→ cos(xt) − 1 est de classe C∞sur R pour tout t ∈]0, 1[, et ∀k ≥ 0 sa dérivée k-ième est bornée uniformément en x par tk, qui est intégrable sur ]0, 1[.
Le théorème de dérivation des intégrales à paramètres peut ainsi être appliqué de façon itérée pour montrer que x 7→R1
0 cos(xt) − 1dtest de classe C∞sur R.
Comme cette fonction coïncide avec sin(x)−xx sur R − {x}, on a le prolongement désiré.
Références
[1] POMMELLET Alain. Cours d’analyse. Broché, 1998.
[2] MAILLOT Vincent CHAMBERT-LOIR Antoine, FERMINGIER Stéphane. Exercices de maths pour l’agré- gation. Analyse 1, 2e édition. Broché, 1997.
[3] FARAUT Jacques. Calcul Intégral. Broché, 2006.
[4] ROMBALDI Jean-Etienne. Eléments d’analyse réelle. Broché, 2004.
[5] DEMAILLY Jean-Pierre. Analyse numérique et équations différentielles. Broché, 2006.
[6] RUDIN Walter. Analyse réelle et complexe : Cours et exercices. Broché, 1998.
[7] GOURDON Xavier. Les maths en tête : Analyse. Broché, 2008.
[8] QUEFFELEC Hervé ZUILY Claude. Analyse pour l’agrégation, 4e édition. Broché, 2013.
