Esercizi su Trasformate di Laplace
Esercizio:
determinare l’antitrasformata di F (s) = s(s2+ a2)2 Soluzione:
Sappiamo che la trasformata di una convoluzione di funzioni `e il prodotto delle trasformate e siccome
F (s) = s s2+ a2
1
s2+ a2 = Ls(f1)Ls(f2) = Ls(f1∗ f2) posso lavorare su f1 e f2 e poi su f1∗ f2.
Sappiamo che:
•
1
s2+ a2 = Ls
1 asin ax
;
•
s
s2+ a2 = Ls
1 acos ax
. Infatti:
Ls eiax = Z ∞
0
e−sxeiaxdx = 1 s − ia quindi:
Ls 1 asin ax
= 1
2iaLs eiax − Ls e−iax = · · · = 1 s2+ a2. La stessa cosa si pu`o fare con il coseno:
Ls(cos ax) = 1
2Ls eiax + Ls e−iax = · · · = s s2+ a2 Quindi usando il prodotto di convoluzione:
s
(s2+ a2)2 = Ls
1 a
Z x 0
sin (aζ) cos (a(x − ζ))
dζ (1)
Sviluppiamo la (1):
1 4ia
Z x 0
eiaζ− e−iaζ
eia(x−ζ)+ e−ia(x−ζ) dζ =
= 1 4ia
Z x 0
eiax− e−iax −
eia(x−2ζ)− e−ia(x−2ζ) dζ
1
Notiamo che il secondo pezzo dell’integrale risulta nullo, quindi:
1 2asin ax
Z x 0
dζ = x
2asin ax (2)
2
