Trasformate di Laplace

Equazioni differenziali lineari

Da un punto di vista dinamico, i sistemi lineari stazionari sono descritti da equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti:

an

dⁿy

dtⁿ + an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹ + . . . + a0y = bm

d^mx

dt^m + bm−1

d^m−1x

dt^m−1 + . . . + b0x o con notazione pi`u compatta:

Xn i=0

ai

dⁱy(t) dtⁱ =

Xm i=0

bi

dⁱx(t) dtⁱ

dove y(t) `e la funzione uscita ed x(t) `e la funzione ingresso.

Condizione di fisica realizzabilit`a: n ≥ m.







se n > m il sistema `e strettamente proprio se n = m il sistema `e proprio

se n < m il sistema `e improprio

Per risolvere l’equazione differenziale occorre conoscere i) le condizioni iniziali:

y(0⁻) , dy dt  

t=0⁻

, . . . , dⁿ⁻¹y dtⁿ⁻¹  

t=0⁻

. ii) il segnale di ingresso:

x(t) , 0 ≤ t ≤ T

Si suppone che la funzione x(t) sia continua a tratti, limitata per ogni t finito e che le condizioni iniziali della funzione x(t) all’istante t = 0⁻ sono tutte nulle:

x(0⁻) = 0 , dx dt  

t=0⁻

= 0 , . . . , dⁿ⁻¹x dtⁿ⁻¹

t=0⁻

= 0.

La soluzione dell’equazione differenziale `e la somma di due funzioni:

y(t) = y₀(t) + y₁(t)

1. l’evoluzione libera y₀(t), cio`e la soluzione dell’equazione differenziale omogenea associata che si ottiene ponendo uguale a zero il segnale di ingresso: x(t) ≡ 0, 0 ≤ t ≤ T .

2. l’evoluzione forzata y₁(t), cio`e la soluzione particolare che si ottiene ponendo a zero tutte le condizioni iniziali.

Le equazioni differenziali lineari tempo invarianti possono essere facilmente risolte utilizzando le trasformate di Laplace.

Le trasformate di Laplace stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra le funzioni temporali x(t), y(t) (funzioni oggetto) e le corrispondenti funzioni complesse X(s), Y (s) (funzioni immagine).

Problema Oggetto

Trasformata di Laplace

Problema

Immagine Soluzione con Laplace

Soluzione Oggetto

Trasformata di Laplace

Inversa

Soluzione Immagine Soluzione

Diretta

Le trasformate di Laplace trasformano il Problema Oggetto in un corri- spondente Problema Immagine. Tipicamente il Problema Immagine `e di pi`u facile soluzione.

Le equazioni differenziali si trasformano in equazioni algebriche (Problema Immagine), per cui la loro soluzione `e immediata (Solution di Laplace).

Dalla soluzione immagine si passa poi alla soluzione oggetto eseguendo sulle funzioni immagine l’operazione di antitrasformazione.

Orientamento di un sistema dinamico

Un’equazione differenziale `e correttamente orientata (con una causalit`a di ti- po integrale) se la variabile di uscita del sistema `e quella a cui `e associato il massimo grado di derivazione all’interno dell’equazione differenziale. Questa regola `e equivalente alla condizione di fisica realizzabilit`a: n ≥ m. Per meglio comprendere questa condizione si consideri il seguente sistema lineare:

C ˙V (t) = I(t) ↔ Cs V (s) = I(s) ↔ _{V (s)}

I(s)

C

L’energia accumulata nel sistema `e: E(t) = <sup>1</sup><sub>2</sub>C V <sup>2</sup>(t). Tale energia varia nel tempo solo se `e presente un flusso di potenza p(t) = ˙E(t) = V (t) I(t) in ingresso al sistema. Da un punto di vista matematico il sistema pu`o essere orientato in due modi diversi:

a)

V (s) C s I(s) b) 1

C s

I(s) V (s)

Da un punto di vista energetico solo l’orientamento b), cio`e I(s) in ingresso e V (s) in uscita, `e fisicamente realizzabile perch`e `e l’unico compatibile con una scelta arbitraria del segnale I(s) in ingresso. L’orientamento a) non `e compatibile con un gradino di tensione V (t) in ingresso perch`e questa con- dizione implicherebbe, per t = 0, una variazione istantanea dell’energia E(t) accumulata nel sistema e quindi un flusso di potenza p(t) infinito per t = 0.

t V⁰

V(t)

a)

⇒

t

1 2CV0²

E(t)

⇒

t

1

2CV0²δ(t) p(t)

⇒ p(t)|_t=0 = ∞.

L’orientamento b) `e invece compatibile con un gradino di corrente I(t):

t I0

b) I(t)

⇒

t E0= ¹2CV0²

E(t)

⇒

t V0I0

p(t)

⇒ p(t)|_t=0 = V₀I₀.

Trasformate di Laplace

La trasformata di Laplace associa in modo biunivoco a una generica funzione reale del tempo x(t) una funzione complessa X(s) della variabile complessa s:

X(s) = L

x(t) E definita nel modo seguente:`

X(s) :=

Z ∞ 0

x(t) e^−stdt

La trasformazione inversa viene detta antitrasformata di Laplace:

x(t) = L⁻¹

X(s) E definita nel modo seguente:`

x(t) = 1 2πj

Z σ₀+j∞

σ₀−j∞

X(s) e^stds

La funzione X(s) `e definita in un dominio di convergenza che consiste in un semipiano del piano s posto a destra di una retta parallela all’asse immaginario.

La funzione x(t) `e trasformabile secondo Laplace se:

1. x(t) = 0 per t < 0;

2. x(t) `e continua a tratti e limitata al finito per t ≥ 0;

3. l’integrale

Z ∞ 0

|x(t)|e^−σtdt esiste per un qualche valore reale di σ.

x(t)

t Si tiene conto della storia passata della variabile x(t) per t < 0 conside- rando opportune condizioni iniziali all’istante t = 0.

Trasformate di Laplace dei segnali di uso pi`u comune:

L

tⁿe^{−a t}

= n!

(s + a)ⁿ⁺¹

Come casi particolari di questa relazione si ottengono le trasformate di Laplace dei seguenti segnali:

a) Gradino unitario (n = 0, a = 0):

x(t) = u(t) ↔ X(s) = 1 s

x(t)

t

1

b) Rampa unitaria (n = 1, a = 0):

x(t) = t ↔ X(s) = 1 s²

x(t)

t c) Parabola unitaria (n = 2, a = 0):

x(t) = t²

2 ↔ X(s) = 1

s³

x(t)

t d) Esponenziale (n = 0, a > 0):

x(t) = e^{−a t} ↔ X(s) = 1 s + a

x(t)

t

1

e) Sinusoide: x(t) = sin ωt. Tale segnale si ricava dalla composizione di due esponenziali:

x(t) = sin ωt = e^jωt − e^−jωt 2j

Per la linearit`a della trasformata di Laplace si ha infatti che:

L[x(t)] = L[sin ωt] = 1 2j

 1

s − jω − 1 s + jω



= 1 2j

 2ωj s² + ω²



da cui si ricava:

x(t) = sin ωt ↔ X(s) = ω s² + ω²

x(t)

t

1

f) Cosinusoide: x(t) = cos ωt. Per tale funzione valgono le relazioni:

L[cos ωt] = Le^jωt + e^−jωt 2



= 1 2

 1

s − jω + 1 s + jω



= 1 2

 2s s² + ω²



da cui si ottiene:

x(t) = cos ωt ↔ X(s) = s s² + ω²

x(t)

t

1

Poli e zeri di una funzione razionale fratta

• Le trasformate di Laplace X(s) dei segnali di uso pi´u comune sono funzioni razionali fratte, rapporto di due polinomi in s:

X(s) = N (s)

D(s) = b_msⁿ + b_m−1s^m−1 + . . . + b₁s + b₀ a_nsⁿ + a_n−1sⁿ⁻¹ + . . . + a₁s + a₀

• Gli zeri della funzione X(s) sono le soluzioni del polinomio a numeratore:

N (s) = 0 ⇔ (s − z₁)(s − z₁) . . . (s − z_m) = 0

• I poli della funzione X(s) sono le soluzioni del polinomio a denominatore:

D(s) = 0 ⇔ (s − p₁)(s − p₁) . . . (s − p_n) = 0

• Il grado relativo r della funzione X(s) ´e definito nel seguente modo:

r = n − m

come differenza tra i gradi n ed m dei due polinomi D(s) e N (s).

• Posizione dei poli delle trasformate di Laplace di uso pi´u comune:

x(t) X(s) poli molteplicit´a

u(t) 1

s s = 0 1

t 1

s² s = 0 2

t² 2

1

s³ s = 0 3

e^{−a t} 1

s + a s = −a 1

sin ωt ω

s² + ω² s_1,2 = ±jω 1 cos ωt s

s² + ω² s_1,2 = ±jω 1

Im

×^{s = 0}Re s = −a×

×^{s = jω}

×^{s = jω}

Propriet`a della trasformata di Laplace

Linearit`a. Dette c₁ e c₂ due costanti complesse arbitrarie, x₁(t) ed x₂(t) due funzioni del tempo le cui trasformate siano rispettivamente X₁(s) e X₂(s), vale la relazione

L

c₁x₁(t) + c₂x₂(t)

= c₁X₁(s) + c₂X₂(s)

Traslazione nel tempo. Sia X(s) la trasformata di Laplace della funzione x(t), nulla per t < 0. Vale la relazione

L

x(t − t₀)

= e^−t0sX(s)

cio`e moltiplicare per la funzione e<sup>−t0s</sup> nello spazio trasformato vuol dire, nel tempo, traslare in ritardo la funzione x(t) della quantit`a t₀.

x(t)

t

→

x(t−t₀)

t

t0

Esempio: Il segnale x(t) `e scomponibile nella somma di tre rampe, di pendenze K/τ , −2K/τ e K/τ , applicate rispettivamente agli istanti t = 0, t = τ e t = 2 τ utilizzando il teorema della traslazione nel tempo, si deduce

X(s) = K

τ s² (1 − 2 e^{−τ s}+ e^{−2τ s})

= K

τ s² (1 − e^{−τ s})²

x(t)

t

K

0 τ 2τ

Il seguente segnale:

x(t)

t

K

0 τ 2τ

si ottiene come somma dei seguenti 3 segnali a rampa:

x(t)

t

K

0 τ 2τ

Trasformata dell’integrale. Sia X(s) la trasformata di Laplace della funzione x(t). Vale la relazione

L

Z t 0

x(τ ) dτ



= 1

s X(s)

Moltiplicare per ¹_s una funzione X(s) vuol dire calcolare l’integrale del segnale x(t).

Trasformata della derivata generalizzata. Sia X(s) la trasfor- mata di Laplace della funzione x(t). Vale la relazione

Ldx(t) dt



= s X(s) − x(0⁻)

dove x(0⁻) `e il valore che la funzione x(t) assume all’istante t = 0⁻. Nel caso di condizioni iniziali nulle, moltiplicare per s una funzione X(s) vuol dire calcolare la derivata del segnale x(t).

Teorema del valore iniziale. Sia X(s) = L[x(t)]. Vale la relazione:

t→0lim⁺x(t) = lim

s→∞s X(s) Questo teorema `e valido per qualsiasi funzione X(s).

Teorema del valore finale. Sia X(s) = L[x(t)]. Vale la relazione:

t→∞lim x(t) = lim

s→0s X(s)

Questo teorema `e valido solamente per funzioni X(s) che abbiamo tutti i poli a parte reale negativa, eccezion fatta per un polo nell’ori- gine.

• L’utilizzo del teorema del valore iniziale ´e strettamente legato al grado relativo r della funzione X(s):

1) Se il grado relativo ´e nullo, r = n − m = 0, il valore iniziale x(0⁺) della funzione x(t) ´e infinito:

r = 0 ⇒ x(0⁺) = ∞

2) Se il grado relativo ´e unitario, r = n − m = 1, il valore iniziale x(0⁺) della funzione x(t) ´e costante:

r = 1 ⇒ x(0⁺) = lim

s→∞s X(s)

3) Se il grado relativo ´e maggiore di uno, r = n − m > 1, il valore iniziale x(0⁺) della funzione x(t) ´e nullo:

r > 1 ⇒ x(0⁺) = 0

• L’utilizzo del teorema del valore finale ´e strettamente legato al tipo h della funzione X(s), cio´e al numero h dei poli nulli della funzione X(s):

1) Se la funzione X(s) ´e di tipo zero, h = 0, il valore finale x(∞) della funzione x(t) ´e nullo:

h = 0 ⇒ x(∞) = 0

Il teorema del valore finale, infatti, presuppone che tutti i poli non nulli della funzione X(s) siano a parte reale negativa.

2) Se la funzione X(s) ´e di tipo uno, h = 1, il valore finale x(∞) della funzione x(t) ´e costante:

h = 0 ⇒ x(∞) = lim

s→0s X(s)

3) Se la funzione X(s) ´e di tipo maggiore di uno, h > 1, il valore finale x(∞) della funzione x(t) non pu´o essere calcolato utilizzando il teorema del valore finale.

Impulso di Dirac δ(t). `E un segnale ideale che approssima un impulso di area unitaria.

δ(t) = lim

τ →0X(t, τ )

X(t, τ )

τ t

1 τ

L’impulso di Dirac viene rappresentato nel modo seguente:

Funzione δ(t)

δ(t)

t La trasformata di Laplace dell’impulso di Dirac `e:

X(s) = L[δ(t)] = 1 Valgono infatti le seguenti relazioni:

X(s) = L[lim

τ →0X(t, τ )] = lim

τ →0L[X(t, τ )] = lim

τ →0X(s, τ ) Essendo

X(s, τ ) = 1

τ s − 1

τ se^{−τ s} = 1

τ s 1 − e^{−τ s}
si ha che

X(s) = lim

τ →0X(s, τ ) = lim

τ →0 d

dτ(1 − e^{−τ s})

d

dτ(τ s) = lim

τ →0

se^{−τ s} s = 1

La risposta di un sistema all’impulso di Dirac coincide con l’antitrasformata della funzione di trasferimento G(s):

Y (s) = G(s) X(s)

| {z }

1

= G(s) → y(t) = L^-1[G(s)] = g(t)

Teorema della traslazione in s. Sia X(s) la trasformata di Laplace della funzione x(t). Vale la relazione:

L

e^−atx(t)

= X(s + a)

Derivate di ordine superiore al primo. Sia X(s) la trasformata di Laplace della funzione x(t) e siano x(0⁻), dx

dt  

t=0⁻

, d²x dt²

t=0⁻

, . . . le condizioni iniziali della funzione x(t) e delle sue derivate all’istante t = 0⁻. Valgono le relazioni:

Ldx dt



= s X(s) − x(0⁻) Ld²x

dt²



= s²X(s) − s x(0⁻) − dx dt  

t=0⁻

Ld³x dt³



= s³X(s) − s²x(0⁻) − s dx dt  

t=0⁻

− d²x dt²

t=0⁻

. . . = . . . Ldⁱx

dtⁱ



= sⁱX(s) − Xi−1

j=0

s^i−j−1 d^jx dt^j

t=0⁻

Teorema della trasformata del prodotto integrale. Siano X₁(s) e X₂(s) le trasformate di Laplace delle funzioni x₁(t) e x₂(t). Vale la relazione

L

Z _∞

0

x₁(τ ) x₂(t−τ ) dτ



= X₁(s) X₂(s)

L’integrale di convoluzione delle funzioni x₁(t) e x₂(t) gode della propriet`a commutativa:

Z ∞ 0

x₁(τ ) x₂(t−τ ) dτ =

Z ∞ 0

x₂(τ ) x₁(t−τ ) dτ

Funzione di trasferimento Si consideri l’equazione differenziale:

Xn i=0

a_i dⁱy(t) dtⁱ =

Xm i=0

b_i dⁱx(t) dtⁱ

Sostituendo alle funzioni e alle loro derivate le rispettive trasformate di Laplace, si ottiene la relazione

Xn i=0

aisⁱY (s) − Xn

i=1

ai

Xi−1 j=0

s^i−j−1 d^jy dt^j

t=0⁻

= Xm

i=0

bisⁱX(s)

in cui con X(s) e Y (s) si indicano le trasformate di Laplace dei segnali di ingresso e uscita x(t) e y(t).

La trasformata di Laplace Y (s) `e data quindi dalla somma di due funzioni:

Y (s) =

G(s) z_m}| {

X

i=0

b_isⁱ Xn

i=0

a_isⁱ

X(s)

| {z }

Y₁(s)

+ Xn

i=1

a_i Xi−1

j=0

s^i−j−1 d^jy dt^j

t=0⁻

Xn i=0

a_isⁱ

| {z }

Y₀(s)

Le funzioni Y₀(s) e Y₁(s) sono, rispettivamente, le trasformate dell’evoluzione libera y0(t) e dell’evoluzione forzata y1(t) .

La seguente funzione di trasferimento G(s) del sistema

G(s) = Y₁(s) X(s) =

Xm i=0

b_isⁱ Xn

i=0

a_isⁱ

X(s) G(s) Y₁(s)

`e definita a partire da condizioni iniziali identicamente nulle.

Esempio. Si consideri un elemento meccanico con inerzia J, coefficiente di attrito lineare b che ruota alla velocit`a angolare ω al quale venga applicata una coppia esterna c(t).

c(t)

0 t

? J

ω(t) b

c(t) ω(t)

0 t

?

Si richiede di determinare la risposta del sistema al gradino unitario.

Per rispondere esattamente a questa domanda occorre determinare il modello dinamico del sistema. L’equazione differenziale che caratterizza il sistema `e la seguente:

d[Jω(t)]

dt = c(t) − b ω(t) ↔ J ˙ω(t) + b ω(t) = c(t) Partendo da condizioni iniziali nulle e trasformando secondo Laplace si ottiene:

J s ω(s) + b ω(s) = C(s) ↔ ω(s) = 1

b + J s C(s)

La funzione di trasferimento G(s) che caratterizza il sistema `e quindi la seguente:

G(s) = 1

b + J s C(s) ^-

c(t)

G(s) 1 b + J s

ω(s)-

ω(t)

I coefficienti di questa funzione sono in corrispondenza biunivoca con i coefficienti dell’e- quazione differenziale. Posto C(s) = ¹_s, la risposta al gradino del sistema in ambito trasformato `e la seguente:

ω(s) = G(s) C(s) → ω(s) = 1

(b + J s)s

Alcune informazioni sull’andamento di ω(t) si possono ricavare direttamente da ω(s) anche senza antitrasformare. Applicando il teorema del valore iniziale, per esempio, si ricava il valore di ω(t) per t = 0⁺:

ω(0⁺) = ω(t)|t→0 = lim

s→∞s ω(s) = lim

s→∞s 1

(b + J s)s = 0

Applicando invece il teorema del valore finale si ricava il valore di ω(t) per t → ∞:

ω(∞) = ω(t)|t→∞ = lim

s→0s ω(s) = lim

s→0s 1

(b + J s)s = 1 b

Applicando il teorema del valore iniziale `e anche possibile calcolare il valore dell’accelera- zione ˙ω(t) per t = 0⁺:

˙ω(0⁺) = ˙ω(t)|t→0 = lim

s→∞s [s ω(s)

| {z }

˙ω(s)

] = lim

s→∞

s²

(b + J s)s = 1 J

Infatti, in ambito trasformato, l’accelerazione ˙ω(s) si ottiene semplicemente moltiplicando la velocit`a ω(s) per la variabile s (che rappresenta l’operatore “derivata” di Laplace).

Per ottenere esattamente l’andamento temporale ω(t) occorre antitrasformare la funzione ω(s). Il modo pi`u semplice per farlo `e utilizzare la scomposizione in fratti semplici. Nel caso in esame, esistono sempre due coefficienti α e β che permettono di scomporre la funzione ω(s) nel modo seguente:

ω(s) = 1

(b + J s)s ↔ ω(s) = α

b + J s + β s

I coefficienti α e β si determinano (per esempio) imponendo l’uguaglianza fra le due espressioni:

ω(s) = α

b + J s + β

s = αs + β(b + J s)

(b + J s)s = (α + βJ) s + βb

(b + J s)s = 1

(b + J s)s Risolvendo si ricava:

 α + βJ = 0

βb = 1 →

 α = −^J_b β = ¹_b per cui si ha

ω(s) = 1

(b + J s)s = 1 b

 1

s − J

b + J s



= 1 b

"

1

s − 1 s + _J^b

#

Antitrasformando i singoli elementi si ricava la funzione ω(t):

ω(t) = 1 b

1 − e^−Jbt L’andamento temporale `e di tipo esponenziale:

ω(t)

1 b

1 J

0 t

Risposta al gradino unitario di un sistema G(s)

• Il guadagno statico K0 di un sistema G(s) `e definito come il rapporto Y0/X0 tra l’ampiezza Y0 del segnale in uscita y(t) che si ottiene a regime quanto il sistema G(s) `e sollecitato in ingresso con un gradino costante di ampiezza X₀.

-G(s) ^-

x(t) y(t)

X(s) Y (s) X0

t

Y0

t

⇒ K₀ = Y0

X₀ = G(0).

Utilizzando il criterio del valore finale `e facile dimostrare che il guadagno statico K<sub>0</sub> di un sistema G(s) coincide con G(0) = G(s)|<sub>s=0</sub>, cio`e con il valore della funzione G(s) per s = 0:

Y₀ = lim

s→0s Y (s) = lim

s→0s G(s) X₀

s = G(0) X₀ ⇒ K₀ = Y₀

X₀ = G(0).

Da un punto di vista teorico il guadagno statico `e definibile solo per sistemi G(s) asintoticamente stabili (gli unici per i quali l’uscita a regime tende ad un valore costante), ma per estensione `e prassi parlare di guadagno statico G(0) anche per i sistemi G(s) instabili o semplicemente stabili.

• La risposta y(t) al gradino unitario x(t) = X₀ = 1, X(s) = ¹_s, di un sistema dinamico G(s)gode delle seguenti propriet`a:

1) y(∞) = lim

t→∞y(t) = lim

s→0s Y (s) = lim

s→0s G(s) 1

s = lim

s→0G(s) = G(0) 2) y(0⁺) = lim

t→0⁺y(t) = lim

s→∞s Y (s) = lim

s→∞s G(s) 1

s = lim

s→∞G(s) = G(∞) 3) ˙y(0⁺) = lim

t→0⁺ ˙y(t) = lim

s→∞s²Y (s) = lim

s→∞s²G(s) 1

s = lim

s→∞s G(s) ... = ...

Queste propriet`a si ottengono direttamente applicando il teorema del valore finale e il teorema del valore iniziale. La propriet`a 1) vale solo per sistemi G(s) asintoticamente stabili, mentre tutte le altre propriet`a valgono per un qualunque sistema G(s).

• Si consideri un sistema dinamico caratterizzato dalle seguente funzione G(s):

G(s) = b_ms^m + b_m−1s^m−1 + . . . + b₁s + b₀ a_nsⁿ + a_n−1sⁿ⁻¹ + . . . + a₁s + a₀

• Se m = n e se il sistema `e asintoticamente stabile (tutti i poli della G(s) sono a parte reale negativa), l’andamento qualitativo della risposta y(t) del sistema G(s) ad un gradino unitario x(t) = 1 `e il seguente:

y(t)

b₀ a₀

bn

a_n

a_nb_n−1−b_na_n−1 a²_n

0 t

Infatti la funzione G(s) pu`o sempre essere riscritta nel seguente modo:

G(s) = b_n

a_n + (b_n−1 − _a^bn

na_n−1)sⁿ⁻¹ + (b_n−2 − ^b_aⁿ

na_n−2)sⁿ⁻² + . . . a_nsⁿ + a_n−1sⁿ⁻¹ + . . . + a₁s + a₀

dove _a^bn

n `e un guadagno che moltiplica il gradino unitario in ingresso.

• Casi particolari:

1) (b_n = 0) ↔ (n = m + 1): 2) (b_n = b_n−1 = 0) ↔ (n = m + 2):

y(t)

b₀ a₀

b_n−1 a_n

0 t

y(t)

b₀ a₀

0 t

Esempio. Calcolare l’andamento qualitativo della risposta y(t) al gradino unitario della seguente equazione differenziale:

...y (t) + 4 ¨y(t) + 3 ˙y(t) + y(t) = 3 ¨x(t) + 5 ˙x(t) + 2 x(t)

Utilizzando la trasformata di Laplace si ricava immediatamente la funzione G(s):

G(s) = 3 s² + 5 s + 2 s³ + 4 s² + 3 s + 1

In questo caso il grado relativo della funzione G(s) `e r = n − m = 1 per cui l’andamento qualitativo della risposta y(t) al gradino unitario `e il seguente:

y(t)

b0

a0=2

bn−1

aⁿ =3

0 t ^{00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

0.5 1 1.5 2 2.5

3 Risposta al gradino

y(t)

y∞

Time [s]

Esempio. Calcolare l’andamento qualitativo della risposta y(t) al gradino unitario della seguente funzione di trasferimento G(s):

G(s) = 6 s + 8 2 s + 1

In questo caso il grado relativo della funzione G(s) `e nullo per cui l’andamento qualitativo della risposta y(t) al gradino unitario `e il seguente:

y(t)

b0

a⁰=8

bⁿ an=3

aⁿbⁿ₋1−bⁿaⁿ₋1

a²n =2.5

0 t ^{00 2 4 6 8 10 12}

2 4 6 8 10 12

y(t)

y_∞

Time [s]

Risposta al gradino

La funzione G(s) pu`o infatti essere riscritta nel seguente modo:

G(s) = 3 + 5 2 s + 1

Il primo termine corrisponde al gradino di ampiezza 3, mentre il secondo termine rappresenta un sistema del primo ordine con guadagno statico 5 e con pendenza iniziale ⁵₂ = 2.5.