Prove parziali per il corso di Matematica 2
Quarta Prova Scritta R
Si consideri il problema di Cauchy
2y00(x) = − 1 y2(x) y(0) = 1
y0(0) = 1
A2 Determinare la soluzione del problema dato
B2 Disegnare il grafico della soluzione del problema dato
Terza Prova Scritta R
Si consideri la curva γ di equazioni parametriche
x(t) = 1
2(t − 1)2 y(t) =4
3
√ t3
t ∈ [1, 3]
A2 Calcolare la lunghezza della curva γ.
Si consideri la superficie S definita da
x(u, v) = cos(v) y(u, v) = sin(v) z(u, v) = u
u ∈ [0, 1] , v ∈ [0, 2π]
B2 Calcolare l’area della superficie S
Seconda Prova Scritta R
Si consideri la funzione
f (x, y) = x2+ y
A3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su
B = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, |xy| ≤ 1 4}
Prima Prova Scritta R
Si consideri la funzione
f (x, y) = x + cos(y) 1
A4 Calcolare la derivata direzionale di f in (1, π/2)
B1 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, π/2)
C1 Disegnare le curve di livello di f
Quarta Prova Scritta
Si consideri il problema di Cauchy
y00(x) =3 2y2(x) y(0) = 1 y0(0) = 1
A2 Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema dato B3 Determinare la soluzione del problema dato
C2 Precisare il campo di definizione della soluzione del problema dato
D3 Disegnare il grafico della soluzione del problema dato
Terza Prova Scritta
Si consideri la curva γ di equazioni parametriche
x(t) = t(2 − t)
y(t) = t(t − 1)(t − 2) t ∈ [0, 2]
A2 Scrivere il vettore tangente alla curva γ B3 Calcolare la lunghezza della curva γ.
Si consideri la superficie S definita da
x(u, v) = u2cos(v) y(u, v) = u2sin(v) z(u, v) = u
u ∈ [0, 1] , v ∈ [0, 2π]
C2 Calcolare il vettore normale alla superficie S D3 Calcolare l’area della superficie S
E2 Disegnare la curva γ.
Seconda Prova Scritta
Si consideri la funzione
f (x, y) = x + y + 1
A3 Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti di f su R2 2
B3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su
A = {(x, y) ∈ R2: −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
C4 Determinare massimi e minimi assoluti di f su
B = {(x, y) ∈ R2: −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, |xy| ≤ 1 4}
Prima Prova Scritta
Si consideri la funzione
f (x, y) = x + x sin(y)
A4 Calcolare il gradiente di f
B3 Calcolare la derivata direzionale di f in (1, π/2)
C1 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, π/2) C1 Calcolare
lim
(x,y)→∞f (x, y)
D2 Disegnare le curve di livello di f
3
