La rivoluzione cartesiana in geometria

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Enrico Giusti

Il Giardino di Archimede

La rivoluzione cartesiana in geometria

19 ottobre 2014

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La rivoluzione cartesiana in geometria

(5)

Livre premier: Des problèmes qu’on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites.

Livre second: De la nature des lignes courbes.

Livre troisième: De la construction des problèmes qui sont solides ou plus que solides.

Libro primo: Dei problemi che

possono essere costruiti per mezzo solo di cerchi e rette.

Libro secondo: Della natura delle curve.

Libro terzo: Della costruzione dei problemi solidi o più che solidi.

La Géométrie

(6)

Libro primo:

Soluzione geometrica (con riga e compasso) delle equazioni di

secondo grado.

Enunciato e soluzione del problema di Pappo.

La Géométrie

(7)

Soluzione geometrica (con riga e compasso) delle equazioni di

secondo grado

x

²

= ax+b

²

 

₂ ² ²

2

b

x 

^a



^a



L b M

a/2 N

O a/2

 

₂^a ² ^^b²

(8)

Enunciato e soluzione del problema di Pappo

r₁

r₃

r₄ r₂

C

Date per posizione quattro, o più linee rette, innanzi tutto si richiede un punto dal quale sia possibile condurre un ugual numero

di segmenti, uno su ciascuna delle date, che facciano con queste

degli angoli dati [retti], e tali che il rettangolo compreso tra due [segmenti] di quelli che saranno così tracciati da uno stesso punto, stia in un rapporto dato con il rettangolo compreso tra gli altri due.

Poi, dato che vi è sempre un numero infinito di punti diversi che possono soddisfare quanto qui viene richiesto, si vuole anche che sia nota e tracciata la linea sulla quale tutti

questi punti debbono giacere.

(9)

r_k: a_kX + b_kY + c_k= 0 a_k²+b_k²=1

C = (x,y) d(C,r_k) = |a_kx + b_ky + c_k|

Enunciato e soluzione del problema di Pappo

r₁

r₃

r₄ r₂

C

(10)

d(C,r_k) = |a_kx + b_ky + c_k|

= (a

₃

x + b

₃

y + c

₃

)(a

₄

x +b

₄

y + c

₄

) (a

₁

x + b

₁

y + c

₁

)(a

₂

x +b

₂

y + c

₂

) =

Enunciato e soluzione del problema di Pappo

r₁

r₃

r₄ r₂

C

(11)

d(C,r_k) = |a_kx + b_ky + c_k|

= ∏

_k=n+1²ⁿ

(a

_k

x + b

_k

y + c

_k

)

∏

_k=1ⁿ

(a

_k

x + b

_k

y + c

_k

) =

Enunciato e soluzione del problema di Pappo

r₁

r₃

r₄ r₂

C

(12)

Enunciato e soluzione del problema di Pappo

Ma cos’è una curva?

(13)

Libro secondo:

Quali curve si possono chiamare geometriche.

Il problema delle tangenti.

La Géométrie

(14)

Prima di Descartes

Costruzioni con macchine

(15)

Costruzioni per punti

Prima di Descartes

(16)

Costruzioni con fili

Prima di Descartes

(17)

Non si devono escludere le linee più composte, purché le si possa immaginare descritte da un movimento continuo, o anche da più movimenti che si susseguono, dei quali i

successivi siano interamente determinati da quelli che li precedono, dato che in questo modo si può avere sempre una conoscenza esatta della loro misura.

Quali curve si possono chiamare geometriche

Costruzioni con macchine

(18)

[Al contrario] la spirale, la quadratrice e simili … non sono nel numero di quelle che devono essere considerate, perché le si immagina descritte da due movimenti separati, e che non hanno tra loro alcun rapporto che possa essere misurato esattamente.

Quali curve si possono chiamare geometriche

Costruzioni con macchine

(19)

in questi casi non si trovano

indifferentemente tutti i punti della curva cercata, ma solo quelli che possono essere determinati

mediante qualche metodo più semplice di quello necessario per descriverla. Così a rigore non si

trova nessuno dei suoi punti, cioè di quelli che le appartengono a tal

punto che non possano essere trovati che per mezzo suo.

A

B

C D

Quali curve si possono chiamare geometriche

Costruzioni per punti

(20)

Al contrario non c’è nessun punto, nelle linee che servono a risolvere il problema

proposto, che non possa

essere trovato con il metodo appena spiegato.

ay=x²

y

ay

a y

ay

Quali curve si possono chiamare geometriche

Costruzioni per punti

(21)

E poiché questo modo di tracciare una curva trovando indifferentemente vari suoi punti può essere applicato solo a quelle che si descrivono con un

movimento regolare, non lo si deve escludere dalla geometria.

Quali curve si possono chiamare geometriche

Costruzioni per punti

(22)

Né si deve escludere quello in cui si fa uso di un filo per

determinare l’uguaglianza o la differenza di due o più rette ...

Ma non si possono accettare linee che somigliano a delle corde, cioè che diventano a volte rette e a volte curve, perché dato che il rapporto tra retto e curvo non è noto, e credo non possa mai

essere conosciuto, non se ne

potrebbe ricavare niente di sicuro.

Quali curve si possono chiamare geometriche

Costruzioni con fili

(23)

Potrei mettere qui molti altri modi per

tracciare linee curve via via più complesse. Ma per raccoglierle insieme tutte e distinguerle in generi, non conosco niente di meglio che dire che tutti i punti di quelle che si possono

chiamare geometriche, cioè che cadono sotto una qualche misura precisa ed esatta, hanno con tutti i punti di una retta una relazione che può essere espressa con un’equazione, e tutti con la stessa.

Quali curve si possono chiamare geometriche

(24)

Il problema delle tangenti

Per questo crederò di aver dato tutto quanto è richiesto per lo studio delle curve, quando avrò dato in generale il modo di tirare delle rette che cadano ad angoli retti su un loro punto arbitrario. E oso dire che questo è il problema più utile e più generale, non solo che io conosca, ma che abbia mai desiderato di conoscere in geometria.

(25)

Il problema delle tangenti

F(x,y)=0

(x-v)

²

+y

²

=s

²

{

Q(x)=0

Q(x)=(x – x

₀

)

²

R(x)

F(x,y)=0

s

v

P

x₀ y₀

(26)

L’eliminazione della variabile y

F(x,y)=0

(x–v)

²

+y

²

=s

²

{

y R(x,y

²

) = S(x,y

²

)

y

²

R

²

(x,y

²

) = S

²

(x,y

²

)

y

²

=s

²

– (x–v)

²

(27)

Il problema delle tangenti

y = x²

v s

(x–v)²+ y²= s² y²= s² – (x – v)²

x⁴= s² – (x – v)²

x⁴+ x² – 2xv + v² – s²= 0 (x_o, y_o )

•

(28)

Il problema delle tangenti

y = x²

v s

x⁴+ x² – 2xv + v² – s²= (x – x_o)² (x²+ax+b)

(x_o, y_o )

x⁴+ x³ (a–2x_o) + x²(b+ x_o²–2ax_o)+x(ax_o²–2bx_o)+bx_o² = x4 +x² –2xv +v² – s²

a–2x_o = 0

b+ x_o²–2ax_o = 1 ax_o²–2bx_o = –2v a = 2x_o

b=1+3 x_o² v=x_o+2 x_o³

{

(29)

Il problema delle tangenti

y = x²

w

t

(x_o, y_o )

•

(y–w)²+ x²= t² (y–w)²+ y – t² = 0

(y–w)²+ y – t² = (y–y_o)² y²+ y (1–2w)+ w²– t²= y²–2yyo + y_o²

1–2w= –2y_o w= ½+y_o

(30)

Il problema delle tangenti

•(x_o, y_o ) v

s xy=1

(x–v)²+ y²= s² y²= s² – (x – v)² x²[s² – (x – v)²] = 1

x⁴– 2vx³ + x²(v²–s²) + 1=0

(31)

Il problema delle tangenti

x⁴– 2vx³ + x²(v²–s²) + 1 x⁴– 2vx³ + x²(v²–s²) + 1= (x – x_o)² (x²+ax+b)

x⁴+ x³ (a–2x_o) + x²(b+ x_o²–2ax_o)+x(ax_o²–2bx_o)+bx_o² =

•(x_o, y_o ) v

s

xy=1 bx_o² = 1

ax_o²–2bx_o = 0 2v = 2x_o – a

a = 2/x_o³

v = x_o – 1/x_o³

{

}

(32)

Un piccolo progresso : la retta tangente

F(x,y)=0

t(y–y

₀

)= y

₀

(x–x

₀

)

{

PQ : P

₀

Q = P

₀

A : DA

y–y

₀

: x–x

₀

= y

₀

: t

(33)

Il metodo di Hudde

(x

²

– 2xx

₀

+ x

₀²

) x

^k

Q(x)=(x–x

₀

)

²

R(x)

k+2 k+1 k

(k+2–2k–2+k) x

₀^k+2

Il polinomio Q(x) ha una radice doppia x

₀

se e solo se Q(x

₀

)=0 e Q

₁

(x

₀

)=0.

R(x) = ax

^m

+ bx

^m-1

+ … + px + q

(34)

Il metodo di Hudde

Q(x) = x⁴– 2vx³ + x²(v²–s²) + 1 Q₁(x) = 4x⁴– 6vx³ + 2x²(v²–s²)

Q(x_o) = x_o⁴– 2vx_o³ + x_o²(v²–s²) + 1 = 0 Q₁(x_o) = 4x_o⁴– 6vx_o³ + 2x_o²(v²–s²) = 0

v²–s² = 3vx_o– 2x_o²

x_o⁴– 2vx_o³ + x_o²(3vx_o – 2x_o²) + 1 = 0 – x_o⁴+ vx_o³ + 1 = 0

v = x_o – 1/x_o³ vx_o³ = 1 – x_o⁴

(35)

Il metodo di Fermat

Dopo aver assegnato dei nomi sia alla nostra parallela BR che a tutti gli altri termini del problema, considero di nuovo

questa parallela come se l’estremo che sta sulla tangente fosse in effetti sulla curva, e tenendo conto della proprietà specifica della curva confronto questa parallela per

adequazione con l’altra parallela AP tirata dal punto dato all’asse o al diametro della curva.

F(x,y) = 0

F(x+a,y+e)  0

(36)

Il metodo di Fermat

F(x+a,y+e)  0

F(x+a,y(1+a/t))  0

e = ay : t

(37)

Il metodo di Fermat

F(x+a,y(1+a/t))  0

Questo confronto per adequazione produce due termini differenti, che alla fine

diventano uguali (secondo il mio metodo), dandoci la soluzione del problema.

(38)

La tangente alla cissoide

DG = x DH = y DA = d–x DF = t DE = a

La cissoide è la curva OHI tale che DM : DG = DG : DH

x(d–x) : x = x : y

y ² (d–x) = x ³

(39)

La tangente alla cissoide

y

²

(d–x) – x

³

= 0

y

²

(1+a/t)

²

(d–x–a) – (x+a)

³

 0

y

²

(d–x)–x

³

+a [2y

²

(d–x)/t – y

²

–3x

²

]+

+Ca

²

+ Da

³

 0 [2y

²

(d–x)/t – y

²

–3x

²

]

a += 0

+Ca + Da

²

 0

t = 2x

³

y

²

+3x

²

(40)

Libro terzo:

La costruzione delle equazioni.

La Géométrie

(41)

x

³

= 2ax + 2b

La costruzione delle equazioni.

x

⁴

= 2ax

²

+ 2bx

y

²

+ x

²

= (2a+1) y + 2bx

{

y = x

²

[y-(a+½)]

²

+ (x-b)

²

= (a+½)

²

+b

²

{

y = x

²

y

²

= 2a y + 2bx

(42)

La costruzione delle equazioni.

AC = ½

AE = √ (a+½)² +b² CD = a

DE = b

A

H M

C

E D

K G

F L

AD = a+½

y = x

²

[y-(a+½)]

²

+ (x-b)

²

= (a+½)

²

+b

²

{

(43)

Sviluppi e conseguenze della Géométrie.

Il calcolo infinitesimale

(44)

Sviluppi e conseguenze della Géométrie.

Il problema delle tangenti

F(x,y)=0

P

dx dy

A

B x

y

(45)

Sviluppi e conseguenze della Géométrie.

Il problema inverso delle tangenti

Data una curva, cioè una relazione F(x,y)=0 tra le variabili, trovare la relazione tra i loro differenziali

Data una relazione tra i differenziali delle variabili, trovare la relazione tra le variabili, cioè la curva

(46)

Sviluppi e conseguenze della Géométrie.

La costruzione delle equazioni

(47)

Teorema di Kempe. Qualunque curva algebrica piana può essere descritta mediante un sistema articolato .

Sviluppi e conseguenze della Géométrie.

(48)

(49)

In che senso si può parlare

della rivoluzione cartesiana in geometria?

1. Dagli oggetti « nominati » agli oggetti generici.

2. Dallo studio delle proprietà di un dato oggetto alla ricerca di procedimenti

validi per tutti gli oggetti di una data classe.

3. Necessità di una delimitazione degli oggetti da studiare.

(50)