Capitolo 6 Guide d’onda

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Capitolo 6

Guide d’onda

6.1 EqM per la guida d’onda

Abbiamo visto che usando in maniera appropriata un’antenna lineare è possibile ottenere una buona direzionalità nella emissione delle onde E.M.. Emis- sioni ancora più direzionali potrebbero essere ottenute con configurazioni geo- metriche dell’antenna più complicate o con sistemi composti da piu’ antenne lineari opportunamente spaziate.

Viene da chiedersi se non sia possibile convogliare tutta l’energia E.M.

emessa da una sorgente in un’unica direzione. Il problema che si vuole af- frontare, in particolare, `e quello di una propagazione direzionale e confinata di un’ onda E.M.. Il metodo pi`u utile per confinare i campi propagativi dell’

onda `e quello di realizzare una struttura guidante con pareti metalliche, un tubo metallico: in tale modo, infatti, si sfrutta il fatto che i campi propagativi si attenuano entro un conduttore secondo una legge esponenziale del tipo:

| ~E(x)| = | ~E(x = 0)|e^−x/δ (6.1)

dove x indica la profondità entro il materiale conduttore, ~E(x = 0) è il campo elettrico dell’ onda all’ ingresso del materiale conduttore, ~E(x) è il campo elettrico dell’ onda alla profondità x e δ rappresenta lo spessore di conduttore dopo il quale il campo si è attenuato di un fattore e; tale spessore viene indicato con il termine profondità di pelle ed il suo valore dipende sia dalle caratteristiche del conduttore, ovvero dalla sua conduttività σ, sia dalla frequenza dell’ onda e.m., secondo la relazione:

δ =

s2ǫ0c²

σω (6.2)

75

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La profondità di pelle per un buon conduttore, quale è il rame, assume valori di ∼ 6 · 10⁻¹⁰ m per frequenze di ∼ 5 · 10¹⁵ Hz, cioè nell’ ultravioletto, di ∼ 6 · 10⁻⁹ m per frequenze di ∼ 5 · 10¹³ Hz, cioè nell’ infrarosso, di

∼ 7·10⁻⁷m per frequenze di ∼ 3·10¹¹Hz, cio`e nella regione delle microonde e di ∼ 6 · 10⁻⁵ m per frequenze di ∼ 3 · 10⁵ Hz, cio`e nella regione delle onde lunghe.

Utilizzando una parete metallica per definire il volume entro il quale far propagare le onde E.M. si ottiene l’ azione guidante voluta, dal momento che una qualunque componente dell’ onda che si propaghi perpendicolarmente alla superficie metallica si smorzer`a rapidamente entro di essa e la sola componente parallela all’ asse della guida sopravviver`a, imponendo cos`ı di fatto una direzione di propagazione. Un altro effetto della azione guidante di una struttura metallica consiste nel fatto che i campi che si trovano all’ interno di essa rimangono ivi contenuti, assicurando il confinamento dell’

energia associata all’ onda ed impedendo, altres`ı, che campi esterni vengano a interferire con quelli da trasmettere.

Tenendo conto che le dimensioni trasversali dei tubi metallici sono dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda dell’onda E.M. che si vuole trasmettere, per motivi pratici parleremo di tubi delle dimensioni di qualche cm, e di conseguenza di onde centimetriche. L’interesse ad avere sorgenti intense di onde E.M. con lunghezza d’onda dell’ordine del centimetro fu sti- molato soprattutto dalla richiesta di localizzare oggetti in movimento (aerei) a distanza, tramite riflessione di onde E.M. di lunghezza d’onda inferiore alla dimensione dell’oggetto. Se si fossero utilizzate onde E.M. di lunghezza d’onda maggiore (decina di metri), l’intensit`a delle onde riflesse sarebbe stata trascurabile.

Studiamo quindi il problema della propagazione di un’onda E.M. in un tubo metallico rettilineo e di sezione costante, con pareti di spessore trascurabile e conducibilità infinita. Vedremo poi come correggere per queste ipotesi non fisiche. Supponiamo che all’interno del tubo sia contenuto un mezzo materiale isotropo non dispersivo, con costante dielettrica ǫ = ǫrǫ0, dove ǫr è la suscettività elettrica relativa, e con permeabilità magnetica µ = µrµ0, dove µr è la suscettività magnetica relativa. Utilizzeremo le EqM macroscopiche in un mezzo materiale:

∇ · ~D = ρlibere (6.3)

∇ · ~B = 0 (6.4)

∇ × ~E = −∂ ~B

∂t (6.5)

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6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA 77

∇ × ~H = ~jcond + ∂ ~D

∂t (6.6)

in cui sono stati introdotti i vettori spostamento elettrico ~D e campo magnetico ~H per tenere conto degli effetti dovuti al mezzo materiale, lasciando inalterata la struttura delle sorgenti (ρlibere e ~jcond). Nel caso semplice che trattiamo porremo:

D = ǫ~ _rǫ₀ E = ǫ ~~ E (6.7)

B = µ~ _rµ₀ H = µ ~~ H (6.8)

E = ρ ~j~ (6.9)

dove ρ `e la resistivit`a specifica del mezzo materiale.

Vogliamo studiare, in particolare, se `e possibile propagare un’onda E.M. lungo l’asse della guida senza perdite. Si vede subito che questa condizione fisica impone che il campo elettrico ~E che si propaga sia, in ogni istante ed in ogni punto del contorno, normale alla superficie, cio`e:

E × ~n = 0~ (6.10)

Questa condizione assicura che non ci sono perdite di potenza per effetto Joule sulle pareti. Dalla (6.9) si vede che la condizione (6.10) ammette solo

~j ortogonale in ogni punto alla superficie del contorno della guida, ipotizzata per ora come una pura superficie geometrica, di “spessore” nullo.

Supponiamo di propagare onde E.M. armoniche rispetto al tempo, che variano cioè in ogni punto rispetto al tempo come eîkct, dove k è il numero d’onda nel vuoto, cioè ω = kc. Consideriamo un sistema di assi cartesiani ortogonali in cui l’asse z coincida con l’asse della guida e consideriamo una configurazione dei campi ~E e ~B per t = 0 e z = 0 (cioè la sezione della guida a z = 0), che chiameremo ~E0 e ~B0. Sarà:

E~₀(x, y) = E_0x(x, y)~i + E_0y(x, y)~j + E_0z(x, y)~k (6.11) e

B~0(x, y) = B0x(x, y)~i + B0y(x, y)~j + B0z(x, y)~k (6.12) Questi vettori rappresentano i campi che entrano attraverso la prima faccia della struttura guidante e che si vogliono far propagare, senza perdite, lungo la guida.

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Chiediamoci se è possibile propagare lungo l’asse z le configurazioni (6.11) e (6.12) con una velocità di fase vf. Poniamo cioè per il numero d’

onda che caratterizza la propagazione entro la guida:

α = ω vf

= kc vf

(6.13) Si precisa che vf è diverso da c, ovviamente, in quanto non siamo nel vuoto, ma sarà anche diverso, come vedremo, da c/√ǫrµr, cioè la velocità di propagazione nel mezzo materiale infinito, non limitato dalle pareti conduttrici.

I campi ~E e ~B saranno allora descritti, in ogni punto P interno alla guida e ad ogni istante t, dalle equazioni:

E(x, y, z, t) =~ ^hE0x(x, y)~i + E0y(x, y)~j + E0z(x, y)~kⁱ ei(kct − αz)(6.14) B(x, y, z, t) =~ ^hB0x(x, y)~i + B0y(x, y)~j + B0z(x, y)~kⁱ ei(kct − αz)(6.15) Data la (6.14), la condizione (6.10) diventa:

E~0× ~n = 0 (6.16)

Con le posizioni (6.14) e (6.15), le (6.5)– (6.6) in cui si ponga ~jcond = 0, e si utilizzino le (6.7), (6.8), diventano:

∂B0z

∂y + iαB0y = iǫrµr

k cE0x

−iαB0x − ∂B0z

∂x = iǫ_rµ_rk cE_0y

∂B0y

∂x − ∂B0x

∂y = iǫrµr

k

cE0z (6.17)

∂E_0z

∂y + iαE0y = −ikcB^0x

−iαE^0x − ∂E0z

∂x = −ikcB^0y

∂E0y

∂x − ∂E0x

∂y = −ikcB^0z (6.18)

e le (6.3)–(6.4), in cui si ponga ρlibere= 0:

(5)

∂E0x

∂x + ∂E0y

∂y − iαE^0z = 0

∂B0x

∂x + ∂B0y

∂y − iαB^0z = 0 (6.19)

Di queste ultime possiamo non tenere conto poich`e sono una conseguenza delle (6.17) e (6.18). Risolvendo le prime due delle (6.17) e (6.18) rispetto a E0x, E0y, B0x, B0y, si ottiene:

E_0x = − i λ²

"

α∂E0z

∂x + kc∂B0z

∂y

#

E0y = − i λ²

"

α∂E0z

∂y − kc∂B0z

∂x

#

B0x = i λ²

"

ǫrµr

k c

∂E0z

∂y − α∂B0z

∂x

#

B0y = − i λ²

"

ǫrµr

k c

∂E0z

∂x + α∂B0z

∂y

#

(6.20)

dove per semplicit`a si `e posto:

λ² = ǫrµrk² − α² (6.21)

supponendo λ² 6= 0.

Sostituendo le (6.20) nell’ultima equazione delle (6.17) e (6.18), si ha che queste risultano soddisfatte se:

∂²E0z

∂x² + ∂²E0z

∂y² + λ²E0z = 0 (6.22)

∂²B0z

∂x² + ∂²B0z

∂y² + λ²B_0z = 0 (6.23)

Consideriamo ora la condizione al contorno (6.16). Con riferimento alla figura 6.1, se indichiamo con ~τ il versore tangente al contorno della guida nel punto (x, y, 0) e con ~n il versore normale, si ha evidentemente ~n = ~k × ~τ.

Ricordando l’espressione del doppio prodotto esterno (A.5) avremo:

E~0 × ~n = ~E0× (~k × ~τ) = ( ~E0 · ~τ)~k − ( ~E0· ~k)~τ

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Figura 6.1:

e quindi dovremo avere, separatamente:

( ~E0· ~k) = E^0z = 0 sul contorno (6.24)

( ~E0· ~τ) = 0 sul contorno (6.25)

Indicando con dx/ds e dy/ds i coseni direttori della tangente al contorno s, la condizione (6.25) equivale a:

E_0x dx

ds + E_0y dy

ds = 0 (6.26)

Sostituendo nella (6.26) le prime due delle (6.20) in cui si sia posto E0z = 0, ricaviamo:

kc ∂B_0z

∂x dy

ds − ∂B_0z

∂y dx ds

!

= 0 (6.27)

Ricordando che i coseni direttori della normale ~n al contorno s sono rispettivamente _dn^dx = ^dy_ds e _dn^dy = −^dxds, la condizione al contorno (6.26) diventa:

dB_0z

dn = 0 sul contorno (6.28)

Da un punto di vista fisico il fatto che l’unica condizione iniziale (6.16) si trasformi nelle due condizioni (6.24) e (6.28) corrisponde al fatto che il campo elettrico totale `e costituito da due componenti, una di tipo “elettrostatico”

ed una di tipo “indotto”.

Il problema della propagazione di onde E.M. entro un tubo cilindrico riempito con un mezzo dielettrico omogeneo `e dunque ridotto all’integrazione delle equazioni differenziali (6.22) e (6.23), con le rispettive condizioni al contorno (6.24) e (6.28). Ricavate E0z e B0z, le (6.20) forniscono le altre componenti di ~E e ~B e le condizioni al contorno risultano soddisfatte.

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6.1. EQM PER LA GUIDA D’ONDA 81 Fra le soluzioni del sistema considerato sono particolarmente impor- tanti quelle in cui `e nulla la componente assiale B0z del campo magnetico, oppure quelle in cui `e nulla la componente assiale E0z del campo elettrico.

Le prime sono dette onde di tipo elettrico o trasversali magnetiche (T.M.);

le seconde sono dette onde di tipo magnetico o trasversali elettriche (T.E.).

Si fa notare che, secondo questa terminologia, le onde E.M. che si propagano nello spazio indefinito, privo di sorgenti, sarebbero trasversali elettriche e magnetiche(T.E.M.).

Per le onde di tipo elettrico il problema si riduce a determinare la componente assiale E0z del campo elettrico soddisfacente alla (6.22) e alla condizione al contorno (6.24). Dopo ci`o, le altre componenti del campo saranno date da:

E0x = −iα λ²

∂E0z

∂x E0y = −iα λ²

∂E0z

∂y B0x = i

λ² ǫrµr

k c

∂E0z

∂y B0y = − i λ² ǫrµr

k c

∂E0z

∂x (6.29)

Le onde T.M. vengono generate da conduttori penetranti in una estremit`a della guida in modo da simulare un dipolo elettrico oscillante parallelo all’

asse z di propagazione.

Per le onde di tipo magnetico il problema si riduce, invece, a determinare la componente assiale B0z del campo magnetico soddisfacente alla (6.23) con la condizione al contorno (6.28). In tal caso le altre componenti del campo saranno date da:

E0x = −ikc λ²

∂B0z

∂y E0y = ikc λ²

∂B0z

∂x B0x = −iα

λ²

∂B0z

∂x B0y = −iα λ²

∂B0z

∂y (6.30)

Le onde T.E. vengono generate facendo penetrare nella guida, attraverso una sua estremit`a, dei conduttori simulanti un dipolo magnetico oscillante parallelo all’ asse z di propagazione.

I vari casi di onde T.M. e T.E. (pi`u l’ onda T.E.M., qualora esistente, cosa non vera nel caso particolare delle guide d’ onda) costituiscono un insieme di campi completo per la descrizione di una perturbazione E.M. qualsiasi entro una guida o una cavit`a.

Le equazioni (6.22) e (6.23) con le relative condizioni al contorno (6.24) e (6.28) sono una vecchia conoscenza della Fisica Matematica. Se consideriamo una membrana elastica piana con l’orlo fisso (un tamburo) ed indichiamo con ~z(x, y) lo spostamento lungo la normale al piano di un punto qualsiasi della membrana, otterremo che la membrana vibrer`a secondo l’equazione

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(6.22), con z al posto di E_0z, e la condizione al contorno z = 0. Se volessimo, invece, studiare le vibrazioni di una membrana con il bordo libero, ma vin- colato a spostarsi solo perpendicolarmente al piano della membrana (i piatti di una batteria musicale), otterremmo l’equazione (6.23) con z al posto di B0z con la condizione al contorno (6.28).

Si sapeva quindi che ambedue le equazioni ammettevano soluzioni non nulle soltanto per valori discreti del parametro λ², detti autovalori, dipendenti dalla forma del contorno s della sezione del tubo. Le soluzioni corrispondenti ad un dato autovalore si chiamano autofunzioni. Si pu`o dimostrare che λ² `e un numero reale e positivo; dalla (6.21), ricordando la (6.13), si ha:

α² = k²c²

v_f² = ǫ_r µ_r k² − λ² (6.31)

da cui risulta che v²_f è reale. Però, affinchè in corrispondenza dell’autovalore λ² si abbia un’onda non smorzata, deve essere α, e quindi anche vf, reale.

Ci`o richiede che sia ǫr µr k²− λ² ≥ 0, e quindi:

k ≥ λ

√ǫr µr

(6.32) la quale mostra che esiste un valore minimo di k, cioè della frequenza ν = kc/(2π), al di sotto della quale nessuna propagazione è più possibile nella guida. Se λ²₀ è il più piccolo degli autovalori della (6.22) o (6.23), nel tubo si possono propagare soltanto onde di frequenza ν superiore, o tutto al più eguale, alla frequenza νc, che diremo critica, espressa dalla relazione:

νc = λ0c

2π√ǫ_r µ_r (6.33)

Ogni modo di propagazione, identificato da un autovalore λ, avr`a poi una frequenza di taglio, definita da una relazione analoga alla (6.33) ove a λ0

si sostituisca il corrispondente valore di λ, al di sotto della quale il modo non pu`o propagarsi nel tubo senza smorzarsi, in quanto α diventa complesso.

L’andamento di α, ovvero della corrispondente quantit`a normalizzata all’

unità per ν → ∞, in funzione della frequenza è indicato qualitativamente nella figura 6.2, ove sono rappresentati solamente i primi cinque generici modi di propagazione e le relative frequenze di taglio sono indicate con νi (i=0, ..., 4). Si può riconoscere che per ogni frequenza assegnata, maggiore della frequenza critica, c’é solo un numero finito di modi che si possono propagare, indicati in figura dai punti sulle rette verticali di equazione ν = cost disegnate per due generici valori di ν diversi da νi.

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Figura 6.2:

Dalla (6.31), per vf reale, si ricava ancora:

v_f = kc

√ǫr µrk² − λ² = c

√ǫr µr

1

q1 − ǫr ^λµ²rk²

> c

√ǫr µr

(6.34)

dalla quale risulta che variando k dal valore λ/√ǫr µr ad ∞, la v^f, sempre decrescendo, varia da +∞ al valore c/√ǫ_r µ_r. Ora c/√ǫ_r µ_r è la velocità di propagazione in un mezzo dielettrico identico a quello contenuto nel tubo e che riempia tutto lo spazio. Ne segue che la velocità di propagazione delle onde nel tubo è superiore a quella delle onde libere (non guidate) in un dielettrico identico a quello contenuto nel tubo stesso e che riempia tutto lo spazio. In particolare, se il dielettrico nel tubo è il vuoto, allora detta velocità supera la velocità della luce nel vuoto. Questo risultato non contraddice la teoria della relatività poichè si tratta di velocità di propagazione della fase, che è una grandezza geometrica, mentre nella teoria della relatività si intende la velocità di propagazione di un segnale fisico, quindi di una velocità di gruppo.

Fissato un autovalore di λ, ad ogni valore di k corrisponde un valore di α, e quindi un valore della velocità di propagazione di fase v_f dato dalla (6.34). D’altra parte è impossibile realizzare fisicamente un generatore con k esattamente definito, ma sarà più realistico parlare di un intervallo (k, k+dk), in corrispondenza al quale avremo un intervallo di valori di α, (α, α+dα), che si può scrivere anche come (α, α+^dα_dkdk). Consideriamo ora la sovrapposizione delle onde appartenenti al piccolo intervallo (k, k + dk). Questo insieme di onde è detto gruppo di onde, e la quantità v_g, definita dalla relazione:

vg = cdk

dα (6.35)

(10)

`e detta velocit`a di gruppo. Ora risulta:

dk

dα = α

ǫ_r µ_rk (6.36)

e quindi:

v_g = cα

ǫr µrk = c

√ǫr µr

s

1 − λ²

ǫr µrk² < c

√ǫr µr ≤ c (6.37) che mostra che la velocità di gruppo è minore della velocità della luce. Si ha inoltre che vf e vg sono legate dalla relazione:

vg vf = c² ǫr µr

(6.38)

6.2 Esempi di propagazione in guide d’onda con contorno definito

6.2.1 Guida d’onda a sezione rettangolare

Il caso più semplice che si può presentare è quello di una guida d’onda a sezione rettangolare i cui lati indichiamo con a e b. Assumeremo uno dei vertici del rettangolo sezione come origine degli assi, con gli assi x e y diretti rispettivamente secondo i lati di lunghezza a e b, come indicato in figura 6.3.

Le equazioni (6.22) e (6.23) sono dello stesso tipo di quella risolta per la pro-

Figura 6.3:

pagazione di onde libere in coordinate cartesiane (vedi paragrafo 4.2.1 ), anzi pi`u semplici in quanto in due dimensioni (x, y) e con l’unica differenza che

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6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO85 abbiamo indicato con λ² (anzich`e con ω²/c²) la costante reale. Procedendo

esattamente allo stesso modo col criterio della separazione delle variabili e passando direttamente all’espressione con funzioni trigonometriche, si trova facilmente che, per onde di tipo elettrico (B_0z=0) la soluzione sar`a:

E_0z = (A cos px + B sin px) (C cos qy + D sin qy) (6.39) con A, B, C, D costanti per ora arbitrarie, con dimensione di un campo elettrico, e con

p²+ q² = λ² (6.40)

Rispetto alle onde libere le cose cambiano ora. Mentre nel caso della (4.13) non c’erano condizioni al contorno da rispettare, e quindi tutti i valori di ω erano permessi, il soddisfacimento della (6.24) sul contorno cambia radicalmente la situazione. Dobbiamo avere:

per x = 0 ed x = a, y arbitrario E0z = 0

per y = 0 ed y = b, x arbitrario

(6.41) ne segue che deve essere A = 0, C = 0, ed inoltre pa = mπ, qb = nπ, da cui p = mπ/a, q = nπ/b, con m, n numeri interi. Si ha dunque:

E0z = C1 sin mπ

a x sinnπ

b y (6.42)

con C1 costante (complessa) arbitraria con dimensione di un campo elettrico.

Ricordando la (6.40) si deducono per λ² gli autovalori:

λ²_mn = π² m²

a² + n² b²

!

(6.43) In figura 6.4 `e riportato, in vista tridimensionale, l’insieme degli autovalori λ²_mn per m=0, ... 10 e n=0, ... 10, avendo supposto a = 10 unita’, b = 5 unita’.

Dalle (6.29) e scrivendo λ²C₁^′ al posto di C1, abbiamo in conclusione le seguenti soluzioni di tipo elettrico (T.M.):

E_0x = −iC1^′α_mn mπ

a cosmπ

a x sinnπ b y E0y = −iC1^′αmn

nπ

b sinmπ

a x cosnπ b y E0z = C₁^′λ²_mn sinmπ

a x sinnπ b y B0x = iC₁^′ǫr µr

k c

nπ

b sinmπ

a x cosnπ b y B_0y = −iC1^′ǫ_r µ_r k

c mπ

a cosmπ

a x sinnπ b y

B0z = 0 (6.44)

(12)

Figura 6.4:

ove, in virt`u della (6.31) `e:

α²_mn = ǫr µrk² − λ²mn, αmn = ^qǫr µrk² − λ²mn (6.45) Dalle prime due delle (6.44) si riconosce che `e soddisfatta la condizione al contorno (6.25) sulle componenti tangenziali del campo elettrico. La presenza dell’ unit`a immaginaria nella espressione di alcune componenti sta ad indicare una differenza di fase spaziale (o temporale) di π/2 tra tali componenti ed E_0z.

Considerando le espressioni (6.44) delle componenti dei campi dell’

onda T.M. si possono fare alcune osservazioni. Si pu`o notare innanzi tutto che per m = 0 e n = 0 anche E0z = 0 e tutte le componenti trasversali si annullano, ovvero che i valori piu’ piccoli di m e n per un’ onda T.M. devono essere entrambi maggiori di zero.

Una seconda osservazione riguarda l’ orientazione relativa dei vettori E e ~~ B, ovvero dei vettori ~E0 e ~B0. Come è facile verificare, il prodotto scalare ~E · ~B = ~E0· ~B0 = 0, cosa che indica come entro la guida sia possibile propagare, lungo l’ asse della stessa e senza perdite, un campo incidente con vettore induzione magnetica perpendicolare sia alla direzione di propagazione che al vettore campo elettrico, mentre quest’ ultimo non è più perpendicolare alla direzione di propagazione. Entro la guida i vettori: vettore d’ onda α~k,

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6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO87 E e ~~ B non formano pi`u una terna destrorsa, come, invece avviene sia nello

spazio libero che in un mezzo materiale infinito.

Con semplici calcoli `e anche immediato verificare che per i campi dell’

onda T.M. non vale pi`u una semplice relazione tra i moduli dei vettori, quale

| ~E| = c| ~B| nel caso dello spazio vuoto o | ~E| = c/√ǫ_rµ_r| ~B| nel caso di un mezzo materiale.

Per terminare queste considerazioni sulle componenti dei campi di un’

onda T.M., se si considera l’ espressione del vettore di Poynting entro la guida si ottiene:

S = ǫc~ ²E × ~~ B = ǫc²E~0× ~B0 e^{2i(kct−αz)} (6.46)

E~₀× ~B₀ = ~i iC₁^,2λ²_mnǫ_rµ_rk c

mπ

a sinmπ

a x cosmπ

a x sin²nπ b y

!

+ + ~j iC₁^,2λ²_mnǫrµr

k c

nπ

b sin²mπ

a x sinnπ

b y cosnπ b y

!

+

− ~k C1^,2αmnǫrµr

k c

"

mπ a

2

cos²mπ

a x sin²nπ b y +

nπ b

2

sin²mπ

a x cos²nπ b y

#

Le componenti trasversali del vettore di Poynting sono immaginarie pure e non danno contributo al flusso di energia mediato sul tempo; la componente assiale di ~S, invece, fornisce il valor medio della densit`a di flusso di potenza lungo la guida. Le componenti trasversali, inoltre, si annullano sul bordo, in virt`u delle condizioni al contorno, assicurando il confinamento dell’ energia all’ interno della guida.

In figura 6.5 sono riportate le dipendenze delle tre componenti di E~0 e delle due non nulle di ~B0 da x e y separatamente: le tre curve si riferiscono a m=1, 2, 3 e n=1, 2, 3 rispettivamente e fanno riferimento a valori delle dimensioni dei lati del rettangolo sezione a = 10 unita’, b = 5 unita’. Come `e gi`a stato osservato, le componenti trasversali soddisfano la condizione sulla componente tangenziale del campo elettico sul bordo della sezione della guida.

In figura 6.6 sono riportati i grafici bidimensionali delle tre componenti di ~E0 per m=1, n=1, nell’ipotesi a=10 unit`a e b=5 unit`a.

In figura 6.7 è riportato l’ andamento sulla sezione della guida della componente longitudinale del vettore di Poynting per m=1 e n=1, m=1 e n=2 e per m=2 e n=1 nell’ipotesi a=10 unità e b=5 unità. Si può osservare

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come la distribuzione dell’ energia sulla sezione non sia uniforme, ma tenda a presentare dei massimi locali, la cui posizione dipende dai valori di m e n:

i modi T.M. che si propagano nella guida distribuiscono, cio`e, la loro energia in modo da occupare spazialmente in maniera diversa la guida.

In figura 6.8 è riportato l’ andamento sulla sezione della guida delle tre componenti del vettore di Poynting per m=1 e n=1, nell’ipotesi a=10 unità e b=5 unità. Si può osservare come il flusso di energia secondo le direzioni trasversali x e y risulti essere in parte positivo ed in parte negativo, in modo tale che il suo valore netto sulla sezione, puntuale o mediato sul tempo, risulta nullo. Come già accennato, le componenti trasversali del vettore di Poynting non contribuiscono al flusso netto di energia E.M. nella guida: al più, nel caso di un modo o di una combinazione lineare di modi con campi longitudinali complessi si può avere un flusso di energia medio trasversale.

Tuttavia, siccome si tratta di un flusso circolatorio, esso costituisce in realtà solo energia immagazzinata (si vedano più oltre le cavità risonanti) e non ha in pratica una grande importanza.

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6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO89

Figura 6.5:

(16)

Figura 6.6:

(17)

Figura 6.7:

(18)

Figura 6.8:

(19)

6.2. ESEMPI DI PROPAGAZIONE IN GUIDE D’ONDA CON CONTORNO DEFINITO93 Per avere soluzioni di tipo magnetico (T.E.), dobbiamo porre E_0z = 0

e possiamo sempre scrivere B0z, in analogia alla (6.39), come:

B0z = (A cos px + B sin px) (C cos qy + D sin qy) (6.47) sempre con la condizione (6.40). La condizione al contorno (6.28) si traduce in:

∂B⁰z

∂x = 0 per x = 0 ed x = a, y arbitrario

∂B0z

∂y = 0 per y = 0 ed y = b, x arbitrario (6.48) Sar`a quindi B = 0, D = 0, p = mπ/a, q = nπ/b, e quindi, dalle (6.30) si otterranno le seguenti soluzioni di tipo magnetico:

E0x = iC₂^′kc nπ

b cos mπ

a x sinnπ b y E0y = −iC2^′kc mπ

a sin mπ

a x cosnπ b y E0z = 0 B0x = iC₂^′αmn

mπ

a sin mπ

a x cosnπ b y B_0y = iC₂^′α_mn nπ

b cos mπ

a x sinnπ b y B0z = C₂^′λ²_mn cos mπ

a x cosnπ

b y (6.49)

dove C₂^′ `e al solito un fattore costante complesso arbitrario, e gli autovalori λ²_mn di λ² sono definiti ancora dalla (6.43) e (6.45).

Nel caso delle onde T.E. si pu`o osservare che i pi`u piccoli valori di m e n accettabili sono (0,1) o (1,0) a seconda di quale dei due lati del rettangolo sia maggiore. Si possono poi ripetere considerazioni analoghe a quelle fatte per le onda di tipo elettrico per quanto riguarda l’ orientazione dei vettori α~k, E e ~~ B, la relazione tra i moduli dei vettori ~E e ~B, l’ espressione del vettore di Poynting entro la guida. Tali osservazioni saranno, poi, valide anche per un’

onda qualunque entro la guida, espressa nella base dell’ insieme delle onde T.M. e T.E..

E ovvio che, tanto per le soluzioni T.E. quanto per le soluzioni T.M.,` per avere le componenti del campo E.M. dappertutto nella guida occor- re moltiplicare ciascuna delle (6.44) e (6.49) per il fattore di propagazione eî(kct−α^mn^z). Dovendo αmn essere reale, affinchè l’onda non sia smorzata, dalla (6.45) si deduce che la guida non può trasmettere tutte le frequenze. Per ogni onda, caratterizzata dalla coppia di numeri interi m e n, vi è dunque un valore minimo di k, compatibile con una propagazione senza smorzamento;

questo valore minimo definisce per ogni tipo di onda la frequenza di rottura, al di sotto della quale non vi pu`o pi`u essere propagazione. Supposto a > b,

(20)

la pi`u piccola delle frequenze di rottura, o frequenza critica ν_c, corrisponde al valore:

kmin = λ10

√ǫrµr

= π

a√ǫrµr

(m = 1, n = 0) (6.50)

per cui, ricordando che ν = _2π^kc,

νc = c

2a√ǫrµr

(6.51) Esaminando le (6.44) e (6.49), si vede che per ν di poco superiore a νc, avremo onde di tipo (6.47), cioè T.E., non di tipo T.M., che sono identicamente eguali a zero. Cioè le onde di frequenza di poco superiore a quella critica che si propagano nel tubo sono di tipo T.E.. Affinchè nel tubo a sezione rettangolare si propaghino anche onde di tipo T.M. è necessario che k superi il minimo autovalore corrispondente alla (6.22) con valori dei campi non identicamente nulli, e cioè:

k ≥ λ11

√ǫ_rµ_r = π

√ǫ_rµ_r

s1

a² + 1

b² (6.52)

e quindi

ν ≥ c

2√ǫrµr

s1

a² + 1

b² (6.53)

Si osserva infine che, assegnato un valore di k maggiore del valore minimo (6.50), si possono propagare nel tubo un numero finito di onde di tipo elettrico e di tipo magnetico e precisamente tutte le onde corrispondenti agli autovalori λmn di λ per cui `e verificata la (6.32).

6.2.2 Guida d’onda a sezione circolare

Consideriamo ora una guida d’onda costituita da un cilindro circolare di raggio a e, assumendo come asse z l’asse del cilindro, riferiamo i campi ~E e ~B interni ad esso ad un sistema di coordinate cilindriche r, ϕ, z, come indicato in figura 6.9. Come nel caso precedente, assumeremo che i campi E e ~~ B dipendano dal tempo t e dalla coordinata z per mezzo del termine di propagazione e^i(kct−αz). Nel piano (r, ϕ) esprimeremo invece i campi mediante le componenti Er, Eϕ, Br, Bϕ. Le (6.14) e (6.15) saranno quindi riscritte come:

E(r, ϕ, z, t) =~ ^hE0r(r, ϕ)~ir + E0ϕ(r, ϕ)~iϕ + E0z(r, ϕ)~kⁱei(kct − αz)(6.54)

(21)

Figura 6.9:

B(r, ϕ, z, t) =~ ^hB0r(r, ϕ)~ir + B0ϕ(r, ϕ)~iϕ + B0z(r, ϕ)~kⁱei(kct − αz)(6.55) Con un po’ di facile ginnastica matematica si ottengono le equazioni:

E0r = − i λ²

"

α∂E0z

∂r + kc1 r

∂B0z

∂ϕ

#

E0ϕ = − i λ²

"

α1 r

∂E0z

∂ϕ − kc∂B0z

∂r

#

B0r = i λ²

"

ǫrµr

k c

1 r

∂E0z

∂ϕ − α∂B0z

∂r

#

B0ϕ = − i λ²

"

ǫrµr

k c

∂E_0z

∂r + α1 r

∂B_0z

∂ϕ

#

(6.56) analoghe alle (6.20) e in cui `e sempre λ² = ǫrµrk² − α². Si ricavano ancora, ricordando l’espressione del laplaciano trasverso (cio`e nelle coordinate x e y) in coordinate polari ∇²f = ∂²f /∂x² + ∂²f /∂y² = ∂²f /∂r² + 1/r ∂f /∂r + 1/r² ∂²f /∂ϕ², le equazioni:

∂²E0z

∂r² + 1 r

∂E0z

∂r + 1 r²

∂²E0z

∂ϕ² + λ²E0z = 0 (6.57)

∂²B0z

∂r² + 1 r

∂B0z

∂r + 1 r²

∂²B0z

∂ϕ² + λ²B0z = 0 (6.58)

analoghe alle (6.22) e (6.23). Le condizioni al contorno che vanno associate rispettivamente alle (6.57) e (6.58) sono:

E0z = 0 per r = a (6.59)

(22)

∂B0z

∂r = 0 per r = a (6.60)

Potremo considerare onde di tipo magnetico (E_0z = 0) o di tipo elettrico (B0z = 0) ponendo eguale a zero i primi o rispettivamente i secondi membri nelle parentesi delle (6.56). Le equazioni (6.57) e (6.58) erano state già trovate (con la complicazione di un termine aggiuntivo con _∂z^∂²2) nel paragrafo 4.2.2 relativo alla propagazione di onde libere in coordinate cilindriche e si era già visto il metodo della separazione delle variabili per ottenere due integrali particolari e quindi l’integrale generale dalla combinazione lineare dei due integrali particolari. Più precisamente, esprimendo E0z o B0z come prodotti delle due funzioni R(r) e Φ(ϕ), le (6.57) e (6.58) vengono soddisfatte dalle equazioni:

d²R dr² + 1

r dR

dr + λ² − n² r²

!

R = 0 (6.61)

d²Φ

dϕ² + n²Φ = 0 (6.62)

con n numero intero. Si era già visto che la (6.61) è l’equazione differen- ziale di Bessel di ordine n, di argomento λr, che ammette come soluzioni la funzione di Bessel Jn(λr) e la funzione di Neumann Nn(λr) (cfr. Ap- pendice F). Avevamo già visto che N_n(λr) non è regolare per r = 0, che

`e per altro una coordinata possibile per la propagazione nella guida (l’asse del cilindro). Le soluzioni accettabili per le (6.57) e (6.58) saranno quindi del tipo J_n(λr) (A_ncos nϕ + B_nsin nϕ) con A_n e B_n costanti arbitrarie.

Consideriamo onde di tipo elettrico:

E0z = E0 Jn(λr) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ) (6.63) con la condizione al contorno (6.59). Essa richiede che:

Jn(λa) = 0 (6.64)

e se indichiamo con ξ_n1, ξ_n2, ξ_n3, ..., ξ_nj, gli zeri positivi (non nulli) della funzione Jn(λr) (cfr. la figura F.1), disposti in ordine crescente, la condizione (6.64) `e soddisfatta ponendo:

λ = λ^(e)_nj = ξnj

a (n = 0, 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ...) (6.65) che fornisce gli autovalori λ^(e)_nj del parametro λ per le onde di tipo elettrico.

Ponendo α^(e)_nj = ^qǫrµrk² − λ^(e)2nj e tenendo conto delle (6.56) in cui sia stato posto B0z = 0, si ottengono le relazioni esplicite di E0r, E0ϕ, B0r, B0ϕ:

(23)

E0r = −iE⁰ α^(e)_nj

λ^(e)_nj J_n^′(λ^(e)_njr) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ) E_0φ = −iE0

1 λ^(e)2_nj

α_nj^(e)

r J_n(λ^(e)_njr) (−Ansin nϕ + B_ncos nϕ) n E0z = E0 Jn(λ^(e)_njr) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ) B0r = E0

iǫrµr

λ^(e)2_nj k

rcJn(λ^(e)_njr) (−Aⁿsin nϕ + Bncos nϕ) n B0φ = E0 −iǫ^rµr

λ^(e)_nj k

cJ_n^′(λ^(e)_njr) (Ancos nϕ + Bnsin nϕ) (6.66) Si puo’ verificare che la condizione al contorno per il campo elettrico tangenziale e’ soddisfatta, in quanto E0r = E0ϕ = 0 per r = a. Come si pu`o facilmente verificare, anche in questo caso il prodotto scalare del vettore ~E0

col vettore ~B0 è nullo, mentre ~E0, ~B0 e αnj~k non formano più una terna destrorsa. É poi, nuovamente vero che non esiste più una semplice relazione tra i moduli dei vettori ~E0 e ~B0 e che il flusso di energia netto è dato dalla sola componente longitudinale del vettore di Poynting.

In figura 6.10 `e riportato l’andamento in funzione della coordinata radiale e di quella angolare di E0z, nonch`e il grafico bidimensionale di E0z

nel caso in cui si considera J1(λr) con λ = ξ11/a, con una dimensione radiale a pari a 10 unit`a.

Nel caso di onde di tipo magnetico avremo:

B0z = B0 Jn(λr) (A^′_ncos nϕ + B_n^′ sin nϕ) (6.67) con la condizione al contorno (6.60), la quale richiede che sia:

J_n^′(λa) = 0 (6.68)

Se indichiamo ora con ηn1, ηn2, ηn3, ..., ηnj, ... gli zeri positivi non nulli, disposti in ordine crescente, della J_n^′(λr) (cfr. la figura F.2), gli autovalori di λ, per le onde di tipo magnetico, saranno

λ = λ^(m)_nj = ηnj

a (n = 0, 1, 2, 3, ..., j = 1, 2, 3, ...) (6.69) con i corrispondenti valori α_nj^(m) = ^qǫrµrk² − λ^(m)2nj . Sostituendo tali espressioni nella (6.56) in cui sia stato posto E0z = 0, si ottengono le espressioni esplicite di E0r, E0ϕ, B0r, B0ϕ, non riportate esplicitamente per brevit`a.

(24)

Figura 6.10: