Sottoanelli – Ideali – Sottocorpi a) Stabilire se Z è sottoanello, ideale, sottocorpo di Q.

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DA ESAMINARE E SUCCESSIVAMENTE CHIEDERE EVENTUALE SPIEGAZIONE-DISCUSSIONE

ESERCIZIO C 1.

Sottoanelli – Ideali – Sottocorpi a) Stabilire se Z è sottoanello, ideale, sottocorpo di Q.

b) Stabilire quali dei seguenti sono sottoanelli, ideali.

b

) A={p(X)∈ R[X] | deg(p) ≤ 2}∪{0} in R[X]

b

) Zx2Z in ZxZ

D A RICORDARE

♦ A anello, B sottoinsieme di A, è sottoanello se è anello risp. alle leggi di composizione di A , cioè se :

∀ x,y∈B si ha x-y∈B e xy∈B

♦♦ A anello, I sottoinsieme di A, è ideale di A se ∀ x,y∈I si ha x-y∈I

∀ a∈A e ∀ x∈I si ha ax∈I e xa∈I (′I assorbe elementi dall’anello′)

♦♦♦ K corpo

, C sottoinsieme di A, è sottocorpo di K se è corpo risp. alle leggi di composizione di K.

a) Q è corpo (anello con identità, in cui ogni elemento non nullo ha inverso moltiplicativo), Z è sottoanello di Q?

Z è anello con le stesse leggi di composizione di (Q,+,⋅) !

Oppure usando la ♦ :

la differenza e il prodotto di due interi è un intero.

(*)

corpo e campo vengono usati come sinonimi

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Z ideale di Q ? Z è sottogruppo di Q (la differenza di due interi è un intero).Vediamo la II cond.

di ♦♦

n∈Z, y∈Q => ny ∈Z e yn∈Z ? NO : 3 ( ₂ ¹ ) ∉ Z

Z è sottocorpo di Q ? NO l’inverso di 2 non sta in Z.

Osservazione. Il corpo Q è chiuso rispetto ad addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione ( per elementi non nulli).

b

) A={p(X)∈ R[X] | deg(p) ≤ 2}∪{0} in R[X]

A è Sottoanello di R[X]? considerato il polinomio X

di A si ha X

X

= X

∉ A => No

A è ideale di R[X] ? Se p(X) e q(X) appartengono ad A , p(X)-q(X) appartiene ad A. Ma se p(X) ∈A, r(X)∈ R[X] , può essere p(X) r(X) ∉A , ad es.

se p(X)=1 ( polinomio costante, di grado zero di A), r(X)=X

∈R[X] , si ha 1(X

)= X

∉ A => No

b

) Zx2Z sottoanello di ZxZ ?

1. (a,2n)-(b,2m)=(a-b,2(n-m)) ∈ Zx2Z

2. (a,2n)⋅(b,2m) = (ab, 2(2mn)) ∈ Zx2Z => sì Zx2Z ideale di ZxZ ?

1. ok è sottogruppo di ZxZ

2. (a,2m)⋅( x,y) = (ax, 2my) ∈ Zx2Z => sì

∈Zx2Z ∈ZxZ

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ESERCIZIO C 2.

Omomorfismi di anelli - nucleo Stabilire quali tra le seguenti funzioni sono omomorfismi di anelli:

a) f: Z →Z definita da f(x)=5x

b) f:A→B definita da f(a)=a con A sottoanello di B c) g° f :A →C, con f: A →B e g: B →C omomorfismi di

anelli. Stabilire poi quale relazione ci sia tra kerf e ker (g°f).

Ricordiamo che:

Se (A,+ ,⋅ ), (B,⊕, *) sono anelli e f:A→B è una funzione, si dice che f è omomorfismi di anelli se

- f è omomorfismo di gruppi additivi e - f(a ⋅ a′ ) = f(a) * f(a′) per ogni a, a′ ∈G

( cioè l’omomorfismo di anelli conserva entrambe le strutture).

a) f: Z →Z definita da f(x)=5x

f(1)f(2) = 5⋅10=50, f(1⋅2)=f(2) = 10 : no !

b) f:A→B definita da f(a)=a con A sottoanello di B f(a+a

)=a+a

=f(a)+f(a

) e f(a⋅a

)=a⋅a

=f(a)⋅f(a

) sì è l’omomorfismo ’immersione’ di A in B ( omo.

iniettivo)

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c) g° f :A →C con f: A→B e g: B →C omomorfismi di anelli.

(g° f) (a+ a

) = ( def. di composta) g(f(a+ a

)) = ( f omo di anelli) g(f(a)+f(a

)) = (g omo di anelli) g(f(a)+ g(f(a

)) = (def.composta) (g° f)(a)+ (g° f)( a

) Idem per (g° f) (aa

) =[(g° f)(a)] [(g° f)( a

)]

kerf ⊆ ker g° f

a∈ker f => f(a) = 0

( def. ker f)

=> g(f(a)) = g(0

) ( def. di composta ) Ma gli omomorfismi di anelli ( gruppi) mandano sempre lo zero nello zero => g(f(a)) = g(0

) = 0

=> a ∈ ker g° f

D OMANDA : Quando risulta kerf = ker g° f ? Ad esempio…

0

0

A B C

f g

Ker f

a

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ESERCIZIO C 3. (

)

Un esempio di corpo compreso tra Q ed R

Stabilire se A= { ^{x + y 2 | x, y ∈ Q} } con le operazioni di somma e prodotto indotte da R ( A si indica Q[ 2 ]) è anello, corpo.

Notiamo che si ha: Q⊆ A ⊆ R

• chiusure :

( lavoriamo con le consuete operazioni di somma e prodotto nei reali )

1. ^(x + ^{y 2 )} + ^(a + ^{b 2 )} = ^(x + ^a) + ^(y + ^{b) 2} ∈ ^{Q[ 2 ]} (con a, b, x,y in Q )

2. ^(x + ^{y 2 )(a} + ^{b 2 )} = ^(ax + ^2by) + ^(xb + ^{ay) 2} ∈ ^{Q[ 2 ]}

• Gruppo abeliano rispetto alla somma:

- comm. ^(x + ^{y 2 )} + ^(a + ^{b 2 )} = ^(a + ^{b 2 )} + ^(x + ^{y 2 )} - associativa

(x + y 2 ) + [ (a + b 2 ) + (c + d 2 )] = [ (x + y 2 ) + (a + b 2 )] + (c + d 2 )

…discende dall’associativa in R

- Elemento neutro 0 = 0+0 2 ∈Q[ ² ]

- Inverso ( meglio dire opposto) di (a+b 2 ) è (-a-b 2 )

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• Associativa e distributiva del prodotto rispetto alla somma …discendono dall’associativa e distributiva nell’anello dei reali R ( verificare )

=> Quindi A è anello

• Per stabilire se A è corpo occorre verificare che sia anello con identità e ogni elemento non nullo possieda inverso moltiplicativo.

L’identità moltiplicativa è 1 = (1+0 2 ), infatti (1+0 2 ) (a+b 2 ) =(a+b 2 ) per ogni elemento (a+b 2 ) di A

• l’elemento ^{x + y 2} con x, y ≠ 0 , visto come elemento di R ha inverso moltiplicativo _{x +} ¹ _{y 2} . Si tratta di stabilire se

2 y x

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+ può essere scritto nella forma a + b 2 ,con a,b∈Q Razionalizziamo: _{x +} ¹ _{y 2} =

= _x ¹ _{y 2 2} ²

₂

x

₂ y

²

y y

x x y

x y x

− −

= −

−

− +

elementi di Q