Esercizio 1. Mat

(1)

che la somma dei due numeri `e uguale al loro prodotto (cio`e tali che x + y = xy).

Ad esempio le coppie (0, 0) e (2, 2) hanno questa propriet`a. Quante sono le coppie con questa propriet`a?

(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) infinite

Soluzione. La risposta giusta `e la (a). Ci sono vari modi di vederlo. Ad esempio nell’equazione x + y = xy si pu`o ricavare la y in funzione della x, ottenendo y =

x

x−1. `E questa l’equazione di una facilissima iperbole, aventi gli assi x = 1 e y = 1 come asintoti, il cui grafico passa appunto per i punti (0, 0) e (2, 2) (anzi, questi sono proprio i due vertici dell’iperbole). Dal disegno si vede immediatamente che non ci sono altre soluzioni intere, e quindi a maggior ragione ci sono solo queste due soluzioni (x, y) con x e y maggiori o uguali a zero.

1

(2)

Esercizio 2. Mat Sia N l’insieme dei numeri interi positivi e Q⁺l’insieme dei numeri razionali positivi. L’applicazione f : N × N → Q⁺definita da f (a, b) = a/b per ogni a, b ∈ N `e

(a) iniettiva, ma non suriettiva (b) suriettiva, ma non iniettiva (c) biiettiva

(d) n´e iniettiva n´e suriettiva

Soluzione. Inettivit`a. Siano a, b, a⁰, b⁰∈ N con f(a, b) = f(a⁰, b⁰). Allora a/b = a⁰/b⁰. Questo non implica a = a⁰e b = b⁰(si prenda ad esempio a = b = 1 e a⁰ = b⁰ = 2).

Quindi f non `e iniettiva.

Suriettivit`a. Ogni razionale positivo si scrive come quoziente di due elementi di N. Quindi f `e suriettiva.

La risposta giusta `e quindi la (b).

(3)

Esercizio 3. Mat Sia f : [a, b] → R una fuzione reale definita su un intervallo chiuso [a, b]. Si supponga f strettamente crescente (cio`e per ogni coppia x, x⁰di numeri reali, a ≤ x < x⁰ ≤ b implica f (x) < f (x⁰). Una funzione g : f ([a, b) → [a, b] that che g(f (x)) = xper ogni x ∈ [a, b] e f (g(y)) = y per ogni y ∈ f ([a, b])

(a) esiste sempre ed `e sempre strettamente crescente (b) esiste sempre ed `e sempre strettamente decrescente

(c) esiste sempre, ma non`e sempre strettamente crescente o sempre strettamente decrescente

(d) non sempre esiste

Soluzione. Strettamente crescente implica iniettiva. Quindi, restringendo il codo- minio di f ad f ([a, b]), la funzione f diventa biiettiva e quindi ha un unico inverso bilatero g (ossia la funzione g : f ([a, b) → [a, b] è definita, per ogni y ∈ f ([a, b]), da g(y) = x se e solo se f (x) = y. Per quanto riguarda la crescenza, g è sempre crescente, perché se non lo fosse esisterebbero y < y⁰ in f [a, b]) con g(y) ≥ g(y⁰).

Posto x = g(y) e x⁰ = g(y⁰), si ha che x, x⁰ ∈ [a, b], x ≤ x⁰ e f (x) = f (g(f (x)) = f (g(y)) = y < y⁰ = f (g(y⁰)) = f (g(f (x⁰)) = f (x⁰). In particulare, x 6= x⁰, quindi x > x⁰ e f (x) < f (x⁰). Ci`o contraddice il fatto che f sia strettamente crescente. La risposta giusta `e quindi la (a).

(4)

Esercizio 4. Dire “A nessun gatto sono odiosi tutti i cani” `e lo stesso di dire che:

(a) per ogni gatto esiste almeno un cane a cui il gatto non `e odioso (b) esiste un gatto a cui sono odiosi tutti i cani

(c) tutti i cani non sono odiosi ai gatti (d) c’`e un cane che non `e odioso a tutti i gatti

Soluzione. La risposta giusta `e la (d). Infatti la proposizione originaria equivale chiaramente ad “Esiste un gatto G ed esiste un cane C tale che C non `e odioso a G”. Questa `e equivalente alla sola (d).

(5)

Esercizio 5. Sia n ≥ 2 un numero intero e a un numero reale. L’identit`a

√n

aⁿ= a (a) `e vera per ogni a reale

(b) `e falsa per ogni a reale

(c) è vera quando n è pari e a ≥ −1 (d) è vera quando n è dispari e a ≥ −1

Soluzione. `E vera per ogni numero reale a per n dispari. Quindi (d) è una risposta giusta. Per (a), (b) e (c) è facile costruire controesempi (n, a). Ad esempio per (n, a) = (2, 1) l’identità è vera. Quindi (b) non va bene. Per (n, a) = (2, −1) l’identità è falsa. Quindi (a) e (c) non vanno bene.

(6)

Esercizio 6. Mat All’esame di maturit`a di una classe di liceo tutti gli studenti vengono promossi. Esattamente met`a degli studenti della classe si iscrivono a biologia, esatta- mente un quarto degli studenti della classe si iscrivono a ingegneria, esattamente un settimo degli studenti della classe si iscrivono a matematica, tre si iscrivono a fisica, e poi ce ne sono altri che si iscrivono ad altri corsi di laurea. Ma quanti studenti c’erano in quella classe?

(a) 28 (b) 31 (c) 55 (d) Pi`u di 55

Soluzione. Il numero n di studenti in quella classe deve essere divisibile per 2, per 4 e per 7. Quindi deve essere divisibile per 28. cosi’ si ha subito che le risposte (b) e (c) non vanno bene. Poi per`o si deve avere anche che

1 2n +1

4n +1

7n + 3 < n,

che equivale ad n > 28. Quindi n deve essere un numero naturale divisibile per 28 e maggiore o uguale a 56. L’unica possibilit`a restante `e quindi la (d).

(7)

Esercizio 7. Mat Un battello fluviale percorre la distanza fra la citt`a e il mare in 5 ore, andando alla massima velocità possibile. Al ritorno, sempre con i motori al massimo, impiega 7 ore per tornare alla città. Quante ore impiegherebbe per andare dalla città al mare, a motori spenti, portato dalla corrente?

(a) 2 (b) 35 (c) 20 (d) 80

Soluzione. La risposta giusta `e la (b). Chiamiamo y il tempo (in ore) richiesto, e xil tempo (in ore) che il battello impiegherebbe a coprire la distanza in assenza di corrente. Allora quando si muove nel verso della corrente il battello copre in un’ora 1/x + 1/y della distanza fra la citt`a e il porto, mentre quando si muove controcorrente copre in un’ora 1/x − 1/y di tale distanza. Otteniamo dunque le equazioni:

1/x + 1/y = 1/5 1/x − 1/y = 1/7 la cui soluzione `e x = 35/6, y = 35.

(8)

Esercizio 8. Mat Un’automobile percorre la distanza fra Padova e Bologna alla ve- locità media di 120 Km/h. Al ritorno viaggia da Bologna a Padova alla velocità media di 80 Km/h. Qual è la velocità media dell’intero viaggio Padova-Bologna-Padova?

(a) 96 Km/h (b) 105 Km/h (c) 94,5 Km/h (d) 100 Km/h

Soluzione. La (a). Infatti se chiamiamo x la velocit`a media cercata e l la distanza fra Padova e Bologna, abbiamo l’equazione:

2l/x = l/120 + l/80 da cui si ricava

x = 2

1

120+₈₀¹ = 96

(9)

Esercizio 9. Mat Una squadra di falciatori deve falciare due campi, uno dei quali ha area doppia dell’altro. Nella prima metà della giornata la squadra lavora nel campo grande, poi nella seconda metà della giornata una metà dei falciatori continua a lavorare nel campo grande, mentre un’altra metà si dedica al campo piccolo. A sera il campo grande è tutto falciato, mentre nel campo piccolo resta una piccola zona non falciata: se ne occupa un solo falciatore che impiega tutta la giornata seguente. Quanti erano i falciatori?

(a) 100 (b) 10 (c) 4 (d) 8

Soluzione. La risposta giusta `e la (d). Forse il modo pi`u semplice per vederlo

`

e aiutarsi con un disegno. Comunque, dalle informazioni che abbiamo sul prato grande si ricava che la metà della squadra è in grado di falciare in mezza giornata 1/3 di tale prato. Dunque a sera la parte falciata è: tutto il campo grande più 2/3 del campo piccolo. Resta una parte del campo piccolo, la cui area è uguale a 1/2 − 1/3 = 1/6del campo grande. A questo punto sappiamo che un falciatore da solo riesce a falciare in un giorno un’area uguale appunto a 1/6 del campo grande.

Ma nel corso della prima giornata `e stata falciata un’area che equivale a 8/6 del campo grande. Dunque i falciatori erano 8.

(10)

Esercizio 10. Mat Consideriamo la funzione la funzione f : Z × Z → Z data da f ((x, y)) = x²− y²+ 4x + 12. Tale funzione `e:

(a) iniettiva e suriettiva (b) iniettiva ma non suriettiva (c) suriettiva ma non iniettiva (d) n´e iniettiva n´e suriettiva

Soluzione. La risposta giusta `e la (d). Non è suriettiva perché per esempio 2 non appartiene all’immagine (un modo di vederlo è osservare che, per avere f (x, y) pari, xe y devono essere entrambi pari o entrambi dispari; un quadrato di un numero pari è sempre divisibile per 4, dunque nel caso (pari, pari) f (x, y) risulta essere multiplo di 4; un quadrato di un numero dispari è sempre della forma 4k + 1 e dunque anche nel caso (dispari,dispari) f (x, y) risulta multiplo di 4).

Non `e iniettiva, per vederlo basta per esempio notare che il polinomio x²+ 4x ha le due radici 0 e −4. Allora per ogni y ∈ Z vale f(0, y) = f(−4, y).

(11)

Esercizio 11. Mat Quanti sono i numeri naturali m compresi fra 1000 e 10000 tali che m diviso per 7 dà resto 2, diviso per 12 dà resto 5, diviso per 20 dà resto 5?

(a) 40 (b) 21 (c) 15 (d) 10

Soluzione. La (b). I numeri che ci interessano sono infatti quelli del tipo 1325 + 420k, al variare di k fra 0 e 20.

(12)

Esercizio 12. Mat Si dispongono otto sottopiatti circolari uguali fra loro su una tavola quadrata il cui lato misura 1 metro, come in figura, in maniera ottimale. Cosa

possiamo dire a riguardo del raggio R di un sottopiatto?

(a) R = ¹⁰⁰₆ cm.

(b) R = _{2+4 sin(}¹ 5π 12) cm (c) R = _{2+4 sin(}¹ π

2) cm (d) R = _{2+4 sin(}¹ π

3) cm

Soluzione. La (b). Consideriamo i centri A, B, C dei cerchi indicati in figura:

L’angolo BAC `e di ^5π₆, la lunghezza di BC `e 1 − 2R, mentre la lunghezza di AC

`

e 2R. Il teorema dei seni applicato al triangolo rettangolo formato da A, C e dal punto medio di BC d`a:

sin(5π

12) =1 − 2R 2

1 2R

da cui si ottiene la (b). `E inoltre facile escludere che la (a) dia anch’essa la risposta giusta.

(13)

Esercizio 13. Mat In un’isola ci sono 60 camaleonti di cui 10 rossi, 3 marroni e 47 blu. Ogni volta che due di questi si incontrano, se hanno colore diverso simultane- amente il loro colore si trasforma nel terzo colore (per esempio se si incontrano un camaleonte marrone e uno rosso diventano entrambi blu). Se invece hanno lo stesso colore non accade nulla. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

(a) Pu`o accadere che i camaleonti diventino tutti blu.

(b) I camaleonti blu saranno sempre pi`u dei camaleonti marroni.

(c) Pu`o accadere che i camaleonti diventino tutti marroni.

(d) Non pu`o mai accadere che nell’isola i camaleonti abbiano tutti lo stesso colore.

Soluzione. La (d). Infatti i resti modulo 3 dei numeri che indicano le tre popo- lazioni all’inizio sono (1, 0, 2), e dopo ogni incontro fra camaleonti diversi tutti i numeri in questa tripla cambiano (modulo 3) di +2. Non si potr`a dunque mai arrivare ad una situazione (0,0,0) come sarebbe se avessero tutti lo stesso colore. Inoltre la (b) si esclude con un esempio di una serie di incontri in cui i blu diminuiscono sempre.

(14)

Esercizio 14. Data una scacchiera n × n (con n pari) coperta da n²/2pedine bianche e da n²/2pedine nere, si considerano tutte le possibili coppie di pedine: una coppia di pedine vale un punto se le pedine sono di due colori diversi e si trovano o sulla stessa riga o sulla stessa colonna. Quanti punti al massimo si possono ottenere disponendo opportunamente le pedine sulla scacchiera?

(a) n²

(b) ²ⁿ_n = ^(2n)!_n!n!

(c) n³/2 (d) n²+ 1

Soluzione. La (c). Infatti, fissata una riga, se ci sono x pedine nere e n − x bianche, i punti che si ottengono da quella riga sono x(n − x). Il massimo si ottiene quando n = n − xossia n²/4punti. Visto che ci sono n righe e n colonne si pu`o ottenere al massimo il punteggio di

2n · n²/4

ossia n³/2. Tale punteggio `e effettivamente raggiunto quando si dispongono le pedine accuratamente (per esempio prima riga bianca nera bianca nera etc etc, seconda riga nera bianca nera bianca etc...., terza riga uguale alla prima, quarta riga uguale alla seconda...).

(15)

Esercizio 15. Mat Quale dei seguenti numeri approssima meglio il numero q3

3√

21 + 8 − ³ q

3√ 21 − 8

(a) 1 (b) ²

√3 3

(c) 1, 1 (d) 0

Soluzione. La (a). Infatti il prodotto fra le due radici cubiche, chiamiamole a e b, che compaiono è uguale a 5. Allora (a − b)³ = 16 − 15(a − b), dunque il numero che cerchiamo, (a − b), è una radice reale del polinomio x³+ 15x − 16. Ma l’unica radice reale è 1 (se si divide per 1 si vede che il polinomio di secondo grado non ha soluzioni reali).

(16)

Esercizio 16. Mat Al tempo t = 0 tre oggetti puntiformi A, B, C si trovano nell’origine di un piano cartesiano e si allontanano con moto rettilineo uniforme, lungo tre di- rezioni diverse, con velocit`a vA, v_B, v_C rispettivamente. Al tempo t = 2 l’oggetto A si trova nel punto (2, 2), l’oggetto B si trova nel punto (6, 4), l’oggetto C si trova nel punto (4 +√

3, 3 − 2√

3). Quale delle seguenti affermazioni `e vera?

(a) C’`e un solo istante t, con t > 0, in cui i tre punti sono i vertici di un triangolo equilatero.

(b) L’area del triangolo ABC all’istante t = 4 `e il doppio dell’area all’istante t = 2.

(c) L’angolo A ˆBCdiminuisce sempre dall’istante t = 2 in poi.

(d) In ogni istante t, con t > 0, i tre punti sono i vertici di un triangolo equilatero.

Soluzione. La (d). Infatti il triangolo a t = 2 `e equilatero. Le distanze convolte crescono tutte linearmente al crescere di t, dunque le lunghezze dei lati crescono linearmente e rimangono sempre uguali fra loro. L’area cresce invece in maniera quadratica, e questo esclude la (b).

(17)

Esercizio 17. Mat Siano x e y due numeri reali tali che |x − 10| < 2 e |y − 10| ≤ 3.

La stima migliore per |x − y| che si pu`o ottenere dalle due disequazioni precendenti `e allora

(a) |x − y| < 25 (b) 1 < |x − y| < 5 (c) |x − y| < 5 (d) |x − y| ≤ 5

Soluzione. La risposta giusta `e la (c).

(18)

Esercizio 18. Mat Siano x e y due numeri reali tali che |x − 10| < 3 e y ≤ x. La stima migliore per y che si pu`o ottenere dalle due disequazioni precendenti `e allora

(a) y < 13 (b) 7 < y < 13 (c) y < 7 (d) y ≤ 10

Soluzione. La risposta giusta `e la (a) perch´e 7 < x < 13.

(19)

Esercizio 19. Mat Sia x un numero reale tale che −1 < x ≤ 2. La stima migliore per x²che si pu`o ottenere dalle due disequazioni precendenti `e allora

(a) 0 < x²≤ 4 (b) 0 ≤ x²≤ 4 (c) 1 < x²≤ 4 (d) −1 ≤ x²≤ 4

Soluzione. La risposta giusta `e la (b).

(20)

Esercizio 20. Mat Quali sono le soluzioni del sistema x − 2y = 3 e −2x + 4y = −6?

(a) x = 1 e y = −2 o x = −2 e y = 4 (b) x = y = 0

(c) x arbitrario e y = ^x−3₂ (d) non ci sono soluzioni

(21)

Esercizio 21. Mat L’identit`a |x²− 10x| = x²− 10x `e soddisfatta (a) da tutti gli x in R

(b) per x ≤ 0 e x ≥ 10 (c) per 0 ≤ x ≤ 10 (d) per x = 0 e x = 10

(22)

Esercizio 22. Mat Siano X e Y due proposizioni. Per dimostrare che l’affermazione

”almeno una tra X e Y è vera” è falsa, si deve mostrare che (a) Y è falsa

(b) X è falsa se e solo se Y è vera (c) almeno una tra X e Y è falsa (d) X e Y sono entrambe false Soluzione. La risposta giusta `e la (d).

(23)

Esercizio 23. Mat Siano X, Y e Z tre proposizioni. Supponiamo di sapere che X implica Y e che Y implica Z. Supponiamo inoltre di sapere che X `e falsa, cosa possiamo concludere?

(a) Y `e falsa (b) Z `e falsa (c) Z implica X

(d) nessuna delle precedenti `e corretta

Soluzione. La risposta giusta `e la (d).

(24)

Esercizio 24. Mat Si consideri la funzione f : R → R definita da f(x) = −|x²− 4|.

Quale tra le seguenti affermazioni `e vera?

(a) f non ha punti di minimo perch´e non `e limitata verso il basso (b) f ha due punti di massimo e un punto di minimo

(c) f non ha punti di massimo (d) nessuna delle precedenti `e vera Soluzione. La risposta giusta `e la (b).

(25)

Esercizio 25. Mat Siano X e Y due insiemi. Cosa significa che x non `e un elemento della loro intersezione?

(a) ci sono elementi di X diversi da x e elementi di Y diversi da x (b) x appartiene esattamente a uno dei due insiemi X e Y

(c) x non pu`o appartenere simultaneamente a X e a Y ; pu`o appartenere a X o a Y o a nessuno dei due, ma non a entrambi

(d) x non appartiene ad X e neanche a Y

(26)

Esercizio 26. Mat Sia A = {sin x : 0 < x < π}. Cosa significa che y `e un elemento di A?

(a) y `e compreso tra 0 e π (b) y `e compreso tra sin 0 e sin π

(c) y `e uguale a sin x per tutti gli x tra 0 e π (d) y `e uguale a sin x per un qualche x tra 0 e π Soluzione. La risposta giusta `e la (d).

(27)

Esercizio 27. Mat Sia P l’affermazione per ogni angolo esiste una semiretta, detta bisettrice, che divide a met`a l’angolo. Quale tra le seguenti affermazioni `e la negazione di P ?

(a) esiste un angolo ed esiste una semiretta che non divide a met`a l’angolo;

(b) non esiste un angolo per cui ogni semiretta uscente dal suo vertice divide a met`a l’angolo;

(c) esiste un angolo tale che ogni semiretta uscente dal suo vertice non divide a met`a l’angolo;

(d) per ogni angolo non esiste alcuna semiretta che lo divide a met`a;

La negazione logica di P `e: esiste un angolo per cui non esiste alcuna retta che divida a met`a l’angolo. La risposta corretta `e dunque la (c). (a) e (b) sono affermazioni vere, ma non sono la negazione di P , mentre la (d) `e falsa.

(28)

Esercizio 28. Mat La somma di 100 numeri interi `e maggiore di 100. Allora (a) Almeno uno dei numeri deve essere maggiore o uguale a 2.

(b) Se uno dei numeri `e minore o uguale di -100 allora almeno uno dei rima- nenti deve essere maggiore o uguale a 100.

(c) Se tra i numeri c’`e 99 allora tutti gli altri devono essere maggiori o uguali a −1.

(d) Almeno uno dei numeri deve essere maggiore di 2.

Soluzione. La risposta giusta `e la (a).

Abbiamo a1+ . . . + a100> 100. La (a) è vera: se tutti i cento numeri sono minori o eguali a 1, la loro somma non può essere maggiore di 100. La (b) è falsa (per es a1= −100, a2= 99, a3= 99, a4= 3, a5= . . . = a100= 0). Anche (c) è palesemente falsa, cos`ı come la (d).

(29)

Esercizio 29. Mat Di una tabella 2 × 2

"

x y

z w

# ,

con x, y, z, w in R, si conoscono i valori delle somme delle righe e delle colonne.

Cosa si pu`o dire dei singoli valori della tabella?

(a) Esiste un’unica quaterna (x, y, z, w).

(b) Esiste un’unica possibilit`a se per`o si conosce anche la somma di tutti i numeri della tabella.

(c) Esiste un’unica possibilit`a se si sa che i valori della tabella sono interi.

(d) Ci sono infinite quaterne (x, y, z, w).

Soluzione. La risposta giusta `e (d).

Si sa che











x + y = a, z + w = b, x + z = c, y + w = d,

⇐⇒











x + y = a,

x + z = c,

y + w = d,

z + w = b.

con a, b, c, d noti. In realtà una di queste equazioni è di troppo. Per esempio, facendo la seconda più la terza meno la prima si ottiene

(x + z) + (y + w) − (x + y) = c + d − a, ⇐⇒ z + w = c + d − a,

Dunque se c + d − a = b, cio`e c + d = a + b, l’ultima equazione si pu`o eliminare.

Ma è cos`ı, perché a + b = c + d =somma di tutti gli elementi della tabella. Quindi il sistema è equivalente a







x + y = a, z + w = b, y + w = d, che ha infinite soluzioni.

(30)

Esercizio 30. Mat Sia (an)una successione numerica reale soddisfacente la seguente propriet`a:

per ogni ε > 0 esiste un N ∈ N tale che an≤ ε, per ogni n ≥ N.

Allora

(a) esiste il limite limn→+∞an= 0;

(b) a_n >₁₀₀¹ per un numero finito di indici n;

(c) se il limite limn→+∞an esiste allora `e < 0;

(d) a_n <_n¹ per n maggiore di un opportuno N . Soluzione. La risposta giusta `e (b).

La (a) `e evidentemente falsa. La (b), vera, segue dall’ipotesi prendendo ε = ₁₀₀¹ . La (c) `e falsa (basta prendere an =_n¹) cos`ı come la (d) (an= ²_n per esempio).

(31)

Esercizio 31. Mat Siano x e y due numeri reali strettamente positivi. L’equazione log(x + y) = log x + log y(dove log `e il logaritmo naturale, in base e = 2, 78 . . .),

(a) `e sempre verificata;

(b) non ha soluzioni;

(c) non `e sempre verificata ma per ogni x > 0 esiste un unico y > 0 tale che la coppia (x, y) ne sia soluzione;

(d) ci sono infinite coppie soluzione nel quadrante x > 1, y > 0.

Soluzione. La risposta giusta `e (d).

Per le propriet`a dei logaritmi

log(x + y) = log x + log y, ⇐⇒ log(x + y) = log(xy), ⇐⇒ x + y = xy.

Si pu`o esplicitare y in funzione di x

y(1 − x) = −x, ⇐⇒ y = x

x − 1, x 6= 1.

Per x = 1 non ci sono soluzioni evidentemente. Da questo segue che la (d) `e quella giusta.

(32)

Esercizio 32. Mat In una scacchiera 4 × 4 quanti quadrati `e possibile formare?

(a) 16 (b) 25 (c) 29 (d) 30

Ci sono 16 quadrati 1 × 1, 9 quadrati 2 × 2, 4 quadrati 3 × 3 e 1 4 × 4. Totale 16 + 9 + 4 + 1 = 29.

(33)

Esercizio 33. Mat Un triangolo viene ritagliato casualmente con una forbice da un foglio di carta dopodich´e si prende un vertice V a caso e si piega il triangolo di modo che V vada a coincidere col punto medio del lato opposto. Indichiamo con a, bi lati ai quali appartiene il vertice V e con c il lato opposto a V . Allora la figura piana formata dopo il piegamento

(a) `e sempre un trapezio;

(b) non pu`o essere un triangolo;

(c) se a ≤ b e a < ^c₂ allora la figura `e un pentagono;

(d) se a = c allora la figura `e un trapezio.

Fare una figura.

(34)

Esercizio 34. Mat L’equazione

x^x²^−7x+12= 1, (a) non ha soluzioni.

(b) ha una soluzione.

(c) ha tre soluzioni.

(d) ha quattro soluzioni.

Se x = 1 si ha ovviamente una soluzione. Poi, se x²− 7x + 12 = 0 si hanno ancora soluzioni, cio`e x = 3, 4. Infine se x = −1 e x²− 7x + 12`e pari si ha un’ulteriore soluzione: (−1)²− 7(−1) + 12 = 1 + 7 + 12 = 20. Non ci sono altre soluzioni.

Quindi: quattro soluzioni.

(35)

Esercizio 35. Mat Dei biologi vogliono studiare una certa popolazione di pesci in un lago. Un giorno gettano una rete nel lago e tirano su 300 pesci, li marcano dopodiché li gettano nel lago. Il giorno dopo rigettano la rete nel lago e tirano su 400 pesci di cui 20 di quelli marcati. Supponendo che ogni pesce possa entrare nella rete (a prescindere che sia marcato o meno) con la stessa probabilità degli altri, cosa si può dire sul numero totale di pesci nel lago?

(a) niente, le informazioni sono insufficienti.

(b) ci sono circa 6000 pesci nello stagno.

(c) non ci sono pi`u di 3000 pesci nello stagno.

(d) ci devono essere almeno 10.000 pesci nello stagno.

Sia N il numero di pesci. Dopo la prima pescata, la probabilità di pescare i pesci marcati è ³⁰⁰_N . Poiché la probabilità di pescare un pesce è indipendente dal fatto che sia marcato o meno e nella seconda pescata abbiamo 20 pesci su 400 marcati, si deduce che i pesci marcati sono ₄₀₀²⁰. In altre parole

300 N = 20

400, ⇐⇒ N = 6000.

(36)

Esercizio 36. Mat Si considerino le funzioni f (x) = sin x + log |x³|, definita per x 6= 0, e g(x) = e^x. La funzione g(f (x)) `e allora

(a) g(f (x)) = esin x log |x³|

(b) g(f (x)) = log(sin x) · e^|x³^| (c) g(f (x)) = e^{sin x}|x³| (d) g(f (x)) = x³e^{sin x}

(37)

Esercizio 37. Mat La funzione inversa f⁻¹(x)della funzione f (x) = (x + 1)^1/3`e (a) f⁻¹(x) = _(x+1)¹_1/3

(b) f⁻¹(x) = (x + 1)³ (c) f⁻¹(x) = (x − 1)³ (d) f⁻¹(x) = x³− 1

(38)

Esercizio 38. Mat Siano m e n due numeri interi positivi tali che m < n. Quali fra le seguenti disuguaglianze `e vera?

(a) 2^−m< 2⁻ⁿ (b) 2^m−n< 0 (c) 2⁻ⁿ< 2^−m (d) 2^n−m< 1

(39)

Esercizio 39. Mat Sia f (x) =p|x|(x²− 1). Allora il dominio di f `e (a) {|x| ≥ 1}

(b) {|x| ≤ 1}

(c) {x < −1, x > 1}

(d) {|x| ≥ 1} ∪ {0}

(40)

Esercizio 40. Mat Siano f (x) = 2x + 5 e g(x) = 1 − x², allora (a) f (g(2)) = −3

(b) f (g(2)) = 1 (c) f (g(2)) = −1 (d) f (g(2)) = 2

(41)

Esercizio 41. FIS Una particella cade da ferma da un’altezza h. Il vento, che soffia in direzione orizzontale da O verso E, imprime alla particella un’accelerazione costante pari ad a. La traiettoria della particella `e

(a) rettilinea ; (b) parabolica ; (c) circolare ; (d) ellittica .

(42)

Esercizio 42. FIS Due corpi di massa diversa, inizialmente fermi, che cadono insieme nel vuoto hanno in ogni istante:

(a) velocit´a eguale ma diversa energia cinetica ; (b) velocit´a ed energia cinetica eguali ;

(c) velocit´a ed energia cinetica diverse ;

(d) energia cinetica eguale ma velocit´a diversa . Soluzione. La risposta giusta `e la (a).

(43)

Esercizio 43. FIS La velocit´a della luce in un mezzo di indice di rifrazione n > 1 (a) puó essere minore della velocitá di una particella nello stesso mezzo ; (b) è sempre maggiore della velocitá di una particella in quel mezzo ; (c) è la stessa per qualunque valore di n ;

(d) cresce al crescere di n .

(44)

Esercizio 44. FIS Due carri ferroviari vengono agganciati uno all’altro. A causa dell’azione dei respingenti, una volta sganciati i due carri si muovono in direzioni opposte. Se m1`e la massa del primo e m2= 2m₁quella del secondo, il rapporto delle loro accelerazioni a1/a2`e

(a) 1/2 (b) 2

(c) 4 (d) 1/4

(45)

Esercizio 45. FIS La conservazione dell’energia afferma che la somma dell’energia cinetica e potenziale di un corpo resta costante. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta ?

(a) la velocitá è massima dove l’energia potenziale è minima ; (b) energia cinetica e potenziale sono entrambe costanti ;

(c) dove cresce l’energia cinetica cresce anche l’energia potenziale ; (d) l’energia potenziale `e sempre positiva .

(46)

Esercizio 46. FIS Se ai capi di un conduttore di resistenza R = 0.10 Ω viene applicata una differenza di potenziale pari a V = 0.2 V, quale `e l’energia E dissipata in un tempo t = 0.01 s ?

(a) 4000 J (b) 4 J

(c) 4 × 10⁻³J (d) 4 × 10⁻⁶J

(47)

Esercizio 47. FIS Il gas contenuto in un recipiente pu´o uscire da due fori circolari l’uno di raggio doppio dell’altro. Per tenere tappati i due fori occorre:

(a) una pressione dall’esterno doppia sul foro piú grande ; (b) una pressione dall’esterno doppia sul foro piú piccolo ; (c) una forza doppia sul foro piú piccolo ;

(d) una forza quadrupla sul foro pi´u grande . Soluzione. La risposta giusta `e la (d).

(48)

Esercizio 48. FIS Due pedoni si muovono uno verso l’altro lungo un rettilineo. Il primo ha velocit´a di 2 m/s il secondo di 3 m/s. Dopo quanto tempo le due persone si incontrano ?

(a) 15 s (b) 5 s

(c) 30 s

(d) non `e possibile rispondere . Soluzione. La risposta giusta `e la (d).

(49)

Esercizio 49. FIS Un pendolo semplice di lunghezza L oscilla con periodo T . Affinch`e il periodo sia doppio esso deve avere lunghezza:

(a) 4L (b) L/2 (c) 2L (d) √

2L

(50)

Esercizio 50. FIS Un raggio di luce si propaga inizialmente in una lastra di vetro (indice di rifrazione n = 1.5) ad un angolo di 45^◦. Quanto vale l’angolo di rifrazione se il raggio emerge dal vetro in aria ?

(a) 45^◦; (b) 28^◦;

(c) il raggio rifratto non esiste ; (d) 62^◦.

(51)

Esercizio 51. FIS Se un oggetto `e posto davanti ad una lente positiva (convergente) ad una distanza maggiore di quella focale, si forma un’immagine:

(a) reale e capovolta ; (b) virtuale e capovolta ; (c) reale e diritta ; (d) virtuale e diritta .

(52)

Esercizio 52. FIS Due vettori a e b hanno modulo pari a 5 e 7 m. Quale dei seguenti valori non pu´o essere in alcun caso il modulo della risultante a + b ?

(a) 1 m (b) 3 m (c) 4 m (d) 12 m

(53)

Esercizio 53. FIS Una sferetta di massa m cade da ferma all’interno di un fluido viscoso. Oltre alla forza peso mg, il corpo é soggetto ad una forza di attrito di modulo bv, dove v é la velocit´a della sfera e b una costante. Assumendo che la spinta idrostatica sia trascurabile, quali delle seguenti affermazioni relative al moto del corpo é corretta:

(a) la sua energia cinetica cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi de- cresce a causa della forza frenante;

(b) la sua velocit´a cresce monotonicamente e tende ad un valore limite che dipende da b e da m;

(c) la sua velocit´a cresce monoticamente e tende ad un valore limite che dipende solo da b;

(d) la sua velocit´a cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi decresce e raggiunge un valore limite.

(54)

Esercizio 54. FIS Un buco nero è un oggetto cos`ı compatto che nemmeno la luce può sfuggire al suo campo gravitazionale. A quale raggio dovrebbe essere compressa la terra (MT = 5.98 × 10²⁴kg) perché diventi un buco nero ?

(a) 1 µm (b) 1 cm

(c) 100 m (d) 10 km

(55)

Esercizio 55. FIS Un corpo di massa m scivola lungo un piano inclinato scabro (angolo di inclinazione θ e coefficiente di attrito dinamico µ) partendo da fermo da un’altezza h. Se il corpo si muove con velocit´a costante, qual’´e l’energia dissipata dall’attrito quando esso raggiunge la base del piano inclinato ?

(a) mgh/µ (b) µmgh (c) µmgh sin θ (d) mgh

(56)

Esercizio 56. CHIM Considerando la legge dei gas ideali, a parit`a di pressione e temperatura, quale gas risulta pi`u denso tra azoto ed ossigeno?

(a) N2

(b) O2

(c) hanno la stessa densit`a (d) non si pu`o dire

(57)

Esercizio 57. CHIM Tenendo presente l’equilibrio CO²⁻₃ + 2H⁺ H2O + CO_2(g), cosa usereste per rimuovere del calcare (CaCO3solido)?

(a) un solvente organico ; (b) una base ;

(c) un acido ;

(d) nessuna delle precedenti .

(58)

Esercizio 58. CHIM Qual `e il pH di una soluzione 10⁻⁹M di HCl in acqua?

(a) 7 (b) 9 (c) 5 (d) 1

(59)

Esercizio 59. CHIM Conoscendo il prodotto di solubilit`a dell’argento cloruro, [Ag⁺][Cl⁻] = 1.56x10⁻¹⁰ , qual `e la concentrazione di ioni argento (Ag⁺)in una soluzione satura di argento cloruro?

(a) 1.25 x 10⁵mol L⁻¹; (b) 1 mol L⁻¹;

(c) 1.25 x 10⁻⁵mol L⁻¹;

(d) `e necessario conoscere il volume della soluzione . Soluzione. La risposta giusta `e la (c).

(60)

Esercizio 60. CHIM Che reazione avviene nel “test del palloncino” per l’alcolemia?

(a) l’etanolo si riduce ad alcano cambiando colore ed il bicromato si ossida;

(b) l’etanolo si ossida ad acido ed il bicromato si riduce cambiando colore;

(c) l’etanolo si ossida liberando idrogeno;

(d) non avviene nessuna reazione chimica.

(61)

Esercizio 61. CHIM Il gruppo funzionale ammidico che lega gli amminoacidi nelle proteine ha la seguente struttura:

(a)

HH O C

HH O O

(b)

C

HH O O

(c)

C

HH NH O

(d)

NH₂

(62)

Esercizio 62. CHIM Quanti grammi di HF (P.M. 20) sono contenuti in 200mL di una soluzione 0.5M?

(a) 100 (b) 50

(c) 2 (d) 0.2

(63)

Esercizio 63. CHIM Bilanciare la reazione di combustione del metano indicando i coefficienti stechiometrici x, y e z.

x CH4+ y O2→ CO2+ z H2O (a) x = 1 , y = 2 , z = 2

(b) x = 2 , y = 1 , z = 1 (c) x = 1 , y = 1 , z = 2 (d) x = 2 , y = 2 , z = 1

(64)

Esercizio 64. CHIM Il peso molecolare dell’oro `e 197 g mol⁻¹. Quanti atomi ci sono in una mole di oro?

(a) 6.022 × 10²³; (b) 3.06 × 10²¹;

(c) 1.2 × 10²⁶;

(d) `e necessario conoscere la massa in grammi dell’oro . Soluzione. La risposta giusta `e la (a).

(65)

Esercizio 65. CHIM In una reazione l’energia libera diminuisce. Cosa significa?

(a) che la reazione `e molto veloce;

(b) che la reazione `e spontanea;

(c) che la reazione `e catalizzata;

(d) nessuna delle precedenti.

(66)

Esercizio 66. CHIM Nell’acqua allo stato liquido le molecole (a) formano fra loro legami covalenti;

(b) formano fra loro legami a idrogeno;

(c) formano fra loro legami ionici;

(d) formano fra loro legami apolari.

(67)

Esercizio 67. CHIM Per combustione completa di un idrocarburo si ottiene:

(a) H2O + CO2

(b) CO + H2O (c) H2CO (d) CO

(68)

Esercizio 68. CHIM In seguito all’addizione di acqua ad un alchene si ottiene (a) un’aldeide;

(b) un acido carbossilico;

(c) un chetone;

(d) un alcol.

(69)

Esercizio 69. CHIM Le soluzioni tampone sono formate da (a) un acido forte pi`u una base forte;

(b) un acido debole pi`u un suo sale;

(c) due acidi deboli pi`u idrogeno;

(d) due basi deboli pi`u idrogeno.

(70)

Esercizio 70. CHIM Una soluzione acquosa di glucosio presenta un abbassamento crioscopico (∆tc) di 3.8^oC; per diminuire tale abbassamento bisogna

(a) aggiungere altro glucosio;

(b) ridurre il volume della soluzione;

(c) aggiungere altro solvente;

(d) riscaldare la soluzione a 3.8^oC

(71)

Esercizio 71. BIO La cellula vegetale va incontro a plasmolisi:

(a) se si trova in ambiente isotonico;

(b) mai perch´e ha la parete;

(c) se si trova in ambiente ipertonico;

(d) se si trova in ambiente ipotonico.

(72)

Esercizio 72. BIO Le cellule possono estrarre maggiore energia chimica da:

(a) una molecola di NADH ; (b) una molecola di glucosio ; (c) due molecole di CO2; (d) quattro molecole di ATP .

(73)

Esercizio 73. BIO L’insulina:

(a) `e prodotta dal fegato;

(b) `e un ormone che stimola il consumo di glucosio da parte dei muscoli;

(c) ha l’effetto di aumentare la glicemia;

(d) `e una proteina globulare dimerica

(74)

Esercizio 74. BIO Il DNA della cellula eucariote:

(a) si trova esclusivamente nel nucleo cellulare;

(b) ´e formato da desossiglucosio;

(c) viene replicato due volte durante la meiosi;

(d) pu`o essere contenuto anche in organelli subcellulari.

(75)

Esercizio 75. BIO I lisosomi sono:

(a) organelli coinvolti nella respirazione cellulare;

(b) piccole vescicole contenenti acido lattico;

(c) organelli intracellulari contenenti enzimi litici;

(d) secreti dalle cellule che producono ormoni.

(76)

Esercizio 76. BIO Il genoma dei procarioti `e costituito da:

(a) un unico cromosoma circolare;

(b) tanti piccoli cromosomi;

(c) un unico cromosoma lineare;

(d) solo RNA.

(77)

Esercizio 77. BIO In un sistema circolatorio, il sangue venoso ´e pi`u povero di ossigeno perch´e:

(a) contiene una maggiore quantit`a di urea;

(b) ritorna dai tessuti verso il cuore;

(c) ´e pi`u povero di zuccheri;

(d) scorre entro vasi pi`u piccoli.

(78)

Esercizio 78. BIO Se camminando nel Parco di Yellowstone incontrate un orso con intenzioni poco amichevoli:

(a) vi diminuisce la glicemia;

(b) vi aumenta l’uremia;

(c) vi aumenta il tasso di azoto ematico;

(d) vi aumentano le catecolamine plasmatiche.

(79)

Esercizio 79. BIO Se una cellula `e esposta ad una soluzione ipotonica:

(a) diminuisce di volume;

(b) mantiene inalterato il volume cellulare;

(c) aumenta la superficie complessiva;

(d) acquista acqua dalla soluzione esterna.

(80)

Esercizio 80. BIO I metaboliti energetici e l’ossigeno raggiungono il cuore:

(a) attraverso la diffusione dalle camere ventricolari;

(b) per diffusione dagli atri;

(c) mediante i vasi coronarici;

(d) dal pericardio.

(81)

Esercizio 81. BIO La digestione degli alimenti nel tratto gastrointestinale di un or- ganismo:

(a) produce sostanze assorbibili;

(b) produce energia;

(c) elimina le scorie in eccesso;

(d) produce sostanze di riserva.

(82)

Esercizio 82. BIO L’emoglobina:

(a) `e una proteina monomerica che contiene un gruppo eme e contribuisce al trasporto di elettroni nella catena respiratoria;

(b) `e una proteina che contiene quattro gruppi eme ed `e coinvolta nel trasporto dell’ossigeno dai polmoni ai tessuti;

(c) `e una proteina che contiene quattro gruppi eme ed `e coinvolta nel trasporto di elettroni nella catena respiratoria;

(d) `e un enzima presente negli eritrociti che catalizza la riduzione dell’ossigeno ad acqua.

(83)

Esercizio 83. BIO Quale dei seguenti apparati dei vertebrati non si apre nell’ambiente esterno?

(a) apparato digerente;

(b) apparato respiratorio;

(c) apparato circolatorio;

(d) apparato riproduttore.

(84)

Esercizio 84. BIO Quale delle seguenti condizioni caratterizza la partenogenesi?

(a) un oocita si sviluppa in assenza di fecondazione;

(b) gruppi di cellule specializzate di un individuo possono staccarsi e dare origine a nuovi individui;

(c) nel corso della propria vita, un individuo ´e prima maschio e poi femmina;

(d) entrambi i membri di una coppia posseggono organi genitali maschili e fem- minili.

(85)

Esercizio 85. BIO La lamella mediana, che cementa tra loro le cellule di un tessuto vegetale, `e composta di:

(a) acqua e lignina;

(b) cellulosa e proteine;

(c) acqua e pectine;

(d) acqua e cellulosa.