CAPITOLO 8
SIMULAZIONI E DATI RACCOLTI
In questo capitolo verranno analizzate tutte le simulazioni svolte a convalidare gli algoritmi proposti nelle pagine precedenti. Come ambiente di simulazione è stato utilizzato il programma MATLAB sfruttando codici già scritti per la generazione del modello del target, per la sua orientazione, per i suoi moti indotti (moto di rotazione) e per la geometria tra radar e bersaglio. Questi codici facevano parte di un simulatore ISAR e sono serviti a raccogliere i dati necessari per generare il segnale ricevuto in banda base da processare all’inizio di ogni algoritmo (equazione 3.1).
Il bersaglio è stato realizzato come un insieme di punti e si è usato un modello tipico di satellite in orbita (fig. 8.1)
Fig. 8.1 – Modello di target usato per le simulazioni
Questo target è di tipo simmetrico, ovvero il suo centro di massa è situato nel punto centrale di tutto l’oggetto ed è stato fatto ruotare in modo che a muoversi fossero i due bracci laterali (il vettore della velocità di rotazione è diretto lungo l’asse z3 della figura).
La geometria prevista dal simulatore è quella illustrata in figura 8.2.
Fig. 8.2 – Geometria radar-target usata nelle simulazioni
Il radar è posto sempre nell’origine di una terna di assi cartesiani - - e il bersaglio può essere messo in una qualsiasi posizione . Decisa la posizione del target si imposta la direzione della sua traiettoria, la sua velocità di spostamento e la direzione e il modulo della sua velocità di rotazione. Le coordinate del target illustrate in figura fanno riferimento all’istante di tempo , ovvero al punto centrale dello spazio percorso: un altro dato da impostare è il tempo di osservazione del radar, se ad esempio l’asse dei tempi andrà da a .
,
,
)
Siccome nel simulatore è presente un solo radar e per il nostro problema ne servono quattro, la soluzione adottata è stata quella di spostare il bersaglio in quattro posizioni diverse per dare luogo a quattro diverse osservazioni (quattro LOS differenti tra loro) e per ognuna di queste andare a stimare la rispettiva massima frequenza doppler e il modulo della velocità di rotazione che poi dovranno essere inseriti nel sistema di equazioni non lineari che darà come risultato una stima della dimensione del target (intesa come distanza tra centro di rotazione e scatteratore più estremo, che in questo caso, per come è stato modellato il bersaglio, equivale alla metà della lunghezza del target). Per risolvere il sistema non lineare si è utilizzata la funzione “fsolve” di MATLAB che ricerca le soluzioni attraverso una serie di iterazioni a partire da un punto iniziale da dare in input minimizzando di volta in volta l’errore quadratico medio arrestandosi quando la tolleranza dell’errore ha raggiunto il valore deciso inizialmente.
Nelle varie simulazioni si è utilizzato alcuni parametri caratteristici del satellite Cosmo-Skymed, come la velocità di spostamento pari a 7525,78 m/s e la quota di volo pari 619 Km; la frequenza portante dell’onda continua trasmessa dal radar è stata impostata a 5 GHz (banda C). Nella prima simulazione si è usata una geometria tale da avere per tutti e quattro i radar la stessa LOS nei confronti del target, come illustrato in figura 8.3 (è evidenziato solo il piano - poiché la coordinata sull’asse per ogni posizione del target nei confronti del radar nel simulatore è sempre la stessa).
Fig. 8.3 – Piano x-y relativo alla prima simulazione
Nella tabelle seguente sono evidenziate le frequenze doppler misurate in ognuna delle quattro osservazioni, la stima della velocità angolare e la stima della dimensione (con il relativo errore percentuale rispetto al valore esatto)
Osservazione (KHz) (KHz) (rad/s) (rad/s) (rad/s) (m)
1 1,4548 1,475 1,37 17,391 18,086 17,952 0,75 2,46
2 1,4548 1,475 1,37 18,086
3 1,4548 1,475 1,37 17,732
4 1,4548 1,475 1,37 18,086
Tab. 8.1 – Valori acquisiti nella prima simulazione
Come si vede le stime delle frequenze doppler e della velocità di rotazione sono corrette e il risultato finale del sistema è 2,46 m, mentre il valore esatto è 11 m ( = 77,6). Questo errore molto grossolano è dovuto unicamente alla posizione dei quattro radar a terra nei confronti del target: scegliere le posizioni in modo tale da avere la stessa LOS non porta informazioni aggiuntive al sistema che a quel punto è come se avesse a disposizione una singola osservazione. Il risultato è una stima errata della dimensione del bersaglio.
Nelle altre simulazioni di conseguenza le posizioni dei radar sono state scelte casualmente in modo da non essere simmetriche rispetto al target. Inizialmente i quattro ricevitori sono stati posizionati in territorio nazionale come mostrato nelle figure 8.4 e 8.5.
Fig. 8.4 – Scenario scelto per la seconda simulazione
In questo caso i quattro angoli tra la direzione del target e le posizioni a terra dei radar sono tutti diversi tra loro e di conseguenza anche le LOS; le frequenze doppler e la velocità di rotazione anche in questo caso sono stimate correttamente (errore piccolo) e tutto ciò porta a una stima della dimensione del bersaglio pari a 8,43 m ( = 23,4).
Successivamente i radar sono stati posizionati in territorio continentale per aumentare la zona di copertura (figure 8.6 e 8.7).
Fig. 8.7 – Piano x-y relativo alla terza simulazione
Anche in questo caso le frequenze doppler e la velocità di rotazione sono state misurate correttamente e la stima della dimensione del bersaglio risulta essere di 8,67 m ( ). Si registra un’accuratezza maggiore, anche se molto leggera, dovuta al fatto che se i radar coprono una superficie maggiore le LOS, a parità di altitudine del target, tendono ad essere meno parallele tra loro (gli angoli tra le varie LOS aumentano). Le tre simulazioni descritte finora sono state fatte sempre in assenza di rumore; a partire dall’ultima analizzata, usando lo stesso scenario (stessa posizione dei radar a terra e stesse caratteristiche dinamiche del bersaglio), è stata introdotta di volta in volta una componente di rumore gaussiano bianco al segnale ricevuto facendo variare il rapporto segnale-rumore (SNR) e utilizzando l’algoritmo proposto nel capitolo 7 per la stima della frequenza doppler e della velocità di rotazione. Nella tabella seguente sono riportate le stime della dimensione del target per diversi SNR ed il relativo errore percentuale nei confronti del valore ottenuto in assenza di rumore.
Tab. 8.2 – Stima della dimensione al variare di SNR e relativo grafico
I risultati delle prove verificano la robustezza dell’algoritmo nei confronti del rumore: l’errore non supera mai il 2% rispetto alla misura di partenza. Sempre in riferimento allo scenario della terza simulazione stavolta è stato fatto variare il numero di rotazioni osservate nel tempo di acquisizione del radar andando a modificare di volta in volta il modulo della velocità di rotazione. Nella tabella 8.3 sono riportati i valori registrati e di seguito è mostrato il relativo grafico dell’errore percentuale al variare del numero dei cicli.
Tab. 8.3 – Stima della dimensione al variare del numero di cicli e relativo grafico
Come era logico aspettarsi, siccome per stimare la velocità di rotazione è necessario osservare bene la periodicità del segnale ricevuto, al diminuire delle rotazioni del target all’interno del tempo di osservazione l’errore nella stima aumenta anche considerevolmente per poi assestarsi ad un valore minore una volta che il numero di cicli ha raggiunto un numero sufficiente a delineare bene la periodicità del segnale. Nelle tabelle seguenti (8.4 - 8.5) si evidenzia la causa della degradazione della stima: l’errore al variare di non dipende dalle stime delle frequenze doppler poiché l’errore medio sulla stima di quest’ultime resta sostanzialmente invariato; la causa principale è la stima errata di per i motivi detti in precedenza.
Tab. 8.4 – Errore medio sulla stima delle frequenze doppler al variare del numero di cicli osservati
Tab. 8.5 – Errore sulla stima della velocità di rotazione al variare del numero di cicli osservati
Nell’ultima tabella sono state messe in evidenza nella seconda colonna le stime errate relative alle quattro osservazioni: come si vede si passa da quattro errori su quattro per a zero errori per .
Analizzando la figura 8.7 possiamo notare un’altra cosa: la stima dei parametri di interesse potrebbe subire notevoli variazioni in relazione a come sono disposti i radar a terra, in particolare al valore assunto dall’angolo tra la posizione del singolo ricevitore e la direzione di
spostamento del bersaglio (angoli e in figura). Come si vede l’angolo è molto più piccolo degli altri tre e questo porta ad un errore considerevole nella misura della frequenza doppler come è evidenziato nella seguente tabella.
Tab. 8.6 – Errore medio nella stima delle frequenze doppler per le quattro osservazioni
Di conseguenza per quanto riguarda la doppler è importante che il radar non sia troppo vicino alla direzione del target (angolo piccolo); a riprova di questa considerazione abbiamo modificato la posizione di mantenendo fissi gli altri tre in modo da aumentare senza alterare nessun altro
Tab. 8.7 – Errore medio nella stima delle frequenze doppler al variare dell’angolo e relativo grafico: l’errore tende a diminuire
L’errore nella stima della massima frequenza doppler in questa ultima prova è evidente se si confrontano la STFT di con quella ad esempio di
Fig. 8.8 – STFT di (sopra) e (sotto) nella simulazione di figura 8.7
Si nota chiaramente che con un angolo troppo piccolo la STFT non è regolare come dovrebbe: non c’è un solo massimo nella forma d’onda ma ce ne sono due e la presenza di quello più piccolo fa diminuire notevolmente il valore di frequenza del picco maggiore che è quello di nostro interesse. In figura 8.9 sono illustrate le STFT di per due diversi valori dell’angolo : 7,7° (angolo originale) e 30°; si nota il miglioramento della forma d’onda per la stima della doppler.
Fig. 8.9 – STFT di per (sopra) e (sotto)
A conclusione di questa analisi viene riportata di seguito una tabella con il confronto tra l’errore nella stima della dimensione del target che si ottiene al variare del numero di cicli osservati nello scenario originale con e con . Il grafico subito sotto evidenzia come il risultato sia migliore nel secondo caso (errore più piccolo), sia per una migliore stima della frequenza doppler e sia ( ) per una migliore stima della velocità di rotazione.
Tab. 8.8 – Confronto tra l’errore nella stima della dimensione al variare di per e e relativo grafico
Utilizzo trasformate tempo-frequenza bilineari
Ulteriori simulazioni sono state svolte per testare l’algoritmo per la stima della frequenza doppler usando altri tipi di distribuzioni tempo-frequenza (trasformate bilineari della classe di Cohen) al posto della STFT. Le figure 8.10 e 8.11 illustrano rispettivamente le trasformate tempo-frequenza di una singola osservazione per le varie distribuzioni (compreso lo spettrogramma) e i relativi istogrammi.
Fig. 8.10 – Distribuzioni tempo-frequenza per una stessa osservazione A partire dall’alto a sinistra in senso orario: spettrogramma,
Wigner-Ville, Smoothed Pseudo Wigner-Ville e Pseudo Wigner-Ville.
Fig. 8.11 – Istogrammi delle distribuzioni di fig. 8.10
La particolarità che si nota immediatamente è la diversa tonalità dei pixel dello sfondo nelle trasformate bilineari rispetto allo spettrogramma: hanno un’intensità maggiore e questo dal punto di vista visivo si traduce in una maggiore difficoltà nel distinguere il segnale utile. Questa caratteristica è evidenziata dagli istogrammi: nella STFT lo sfondo ha il valore minimo della scala e i pixel del segnale utile hanno intensità sempre maggiore, nelle distribuzioni bilineari invece lo sfondo ha un’intensità maggiore di zero e i pixel della forma d’onda hanno intensità sia maggiore che minore dello sfondo. Se usiamo l’algoritmo di Otsu per il calcolo della soglia per la binarizzazione dell’immagine otteniamo il risultato mostrato in figura 8.12
Fig. 8.12 – Distribuzioni binarie con l’algoritmo di Otsu
La Wigner-Ville da una rappresentazione abbastanza soddisfacente del segnale utile mentre le altre due (Pseudo Wigner-Ville e Smoothed Pseudo Wigner-Ville) sono molto irregolari: in particolare viene tagliata la massima frequenza doppler. Questo è dovuto al fatto che l’algoritmo di Otsu produce comunque una singola soglia e se i pixel hanno intensità maggiore vengono settati a “1” e se hanno intensità minore vengono messi a “0”. Ma come già detto i pixel di segnale utile hanno valori sia maggiori che minori rispetto allo sfondo e quindi per rendere al meglio l’immagine binaria è necessario modificare l’algoritmo per la soglia. In particolare per le trasformate bilineari sono necessarie due soglie da trovare. Un metodo abbastanza semplice per fare questo è quello di trovare il valore per il quale si ha il massimo nell’istogramma (corrispondente ai pixel di sfondo) e sommare a questo valore una certa quantità per trovare la soglia massima
e sottrarre la stessa quantità per trovare la soglia minima. La quantità in questione può essere stabilita da come è stata suddivisa la scala delle intensità nel calcolo dell’istogramma. Con l’utilizzo di una soglia più grande e una più piccola si isola così lo sfondo dal resto dell’immagine: i pixel con intensità compresa tra le due soglie sono a “0” mentre quelli con intensità negli intervalli esterni sono a “1”. Il risultato per le tre distribuzioni di Cohen è mostrato in figura 8.13.
Fig. 8.13 – Distribuzioni binarie tramite l’algoritmo delle due soglie. In alto la Wigner-Ville, in basso a sinistra la Pseudo
In questo modo le forme d’onda sono molto più regolari e la massima frequenza doppler è sempre distinguibile e misurabile.
Adesso sempre per il solito scenario è stato introdotto del rumore gaussiano bianco per valutare le prestazioni nella stima della doppler delle tre trasformate bilineari: il rapporto segnale-rumore è stato messo a 1 dB e le immagini binarie con rumore sono illustrate in figura 8.14
Fig. 8.14 – Distribuzioni binarie con l’aggiunta di rumore. L’ordine è il solito di fig. 8.13
Come per il caso della STFT, in presenza di rumore per la misura della frequenza doppler si usa l’algoritmo presentato nel capitolo 7. Tra le tre
trasformate la Smoothed Pseudo Wigner-Ville è quella che risente meno del disturbo rumoroso e che offre il risultato migliore.
Nelle tabelle successive sono mostrati i risultati nella stima della doppler delle tre distribuzioni considerando prima l’algoritmo di Otsu e poi quello delle due soglie e successivamente i risultati in presenza di rumore.
Tab. 8.9 – Errore nella stima della frequenza doppler per le tre distribuzioni. In alto con l’algoritmo di Otsu, in basso
Tab. 8.10 – Errore nella stima della frequenza doppler per le tre distribuzioni in presenza di rumore.
Target asimmetrico
Per completare le simulazioni è stato usato anche un bersaglio di tipo non simmetrico (il centro di rotazione non coincide con il suo centro di massa). Per realizzarlo è bastato prendere il modello di satellite già visto in precedenza e modificarlo, allungando un braccio e accorciando l’altro, come illustrato in figura
Adesso non abbiamo più due raggi delle stesse dimensioni che ruotano con la stessa velocità angolare, ma due raggi di dimensioni diverse. Quello che ci aspettiamo di vedere attraverso l’analisi nel dominio tempo-frequenza è di notare quindi due diverse frequenze doppler, una più grande relativa al braccio più lungo e una più piccola relativa a quello più corto.
Fig. 8.16 – STFT per un target simmetrico (sopra) e asimmetrico (sotto)
Come si vede dalla figura è esattamente quello che si nota. Per poter misurare i valori di queste due frequenze rendiamo binaria l’immagine così trovata e facciamo la media per righe (fig. 8.17).
Fig. 8.17 – STFT binaria per il target asimmetrico e relativa media per righe
Notiamo che scorrendo tutto l’asse delle frequenze a partire da quella più grande (20 KHz) si trovano due picchi consecutivi: il primo è relativo alla frequenza doppler massima e il secondo a quella minima.
Questo tipo di analisi va bene se non c’è rumore di fondo, o comunque se il rapporto segnale-rumore è sufficientemente elevato. In caso contrario con questo approccio non è più possibile distinguere le due doppler (fig. 8.18).
Fig. 8.18 – STFT binaria e relativa media per righe per un target asimmetrico e in presenza di rumore
A causa dello sfondo rumoroso, per poter distinguere correttamente tutta la forma d’onda del segnale utile proprio dallo sfondo le due doppler vengono “unite” tra loro e con la media per righe non si trovano più i picchi relativi alle due frequenze.
