DESCRIZIONETRAMITEILMOTOBROWNIANORIFLESSODIUNMODELLOMATEMATICODELCARCINOMADUTTALE TesidiLaurea UNIVERSITÀDIPISA

UNIVERSITÀ DI PISA

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Tesi di Laurea

DESCRIZIONE TRAMITE

IL MOTO BROWNIANO RIFLESSO

DI UN MODELLO MATEMATICO DEL

CARCINOMA DUTTALE

Relatore: Candidato:

Prof. Franco Flandoli Chiara Carmignani

Controrelatore:

Prof. Maurizio Pratelli

Indice

Introduzione v

1 Moto Browniano Riesso 1

1.1 Local Time e formula di Itô Tanaka in dimensione 1 . . . 1

1.1.1 Variazione quadratica del Local Time del moto Browniano . . . 9

1.2 Moto Browniano riesso in dimensione 1 . . . 10

1.3 Formula di Tanaka per processi di Itô . . . 11

1.3.1 Variazione quadratica del Local Time di un processo di Itô. . . 16

1.4 Moto Browniano riesso in dimensione d > 1 . . . 17

1.5 Moto Browniano con potenziale . . . 19

2 Legame tra il moto Browniano riesso e le PDE 21 2.1 Legame tra il moto Browniano riesso in dimensione 1 e le PDE . . . 21

2.1.1 Equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione 1 . . . 21

2.1.2 Legame tra la legge del moto Browniano riesso e l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione 1 . . 25

2.1.3 Legame tra soluzioni riesse di equazioni dierenziali stocastiche ed equazioni dierenziali alle derivate parziali . . . 27

2.2 Legame tra il moto Browniano riesso in dimensione d > 1 e le PDE . . . 29

2.2.1 Equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione d > 1 . . . 29

2.2.2 Legame tra la legge del moto Browniano riesso e l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione d > 1 32 2.3 Limite macroscopico . . . 36

3 Modello del carcinoma duttale 41 3.1 Carcinoma duttale . . . 41

3.1.1 Carcinoma duttale in situ . . . 41

3.1.2 Carcinoma Duttale invasivo . . . 44

3.2 Primo modello matematico . . . 45

3.3 Modello del DCIS con cellule epiteliali . . . 46

3.3.1 Parametri . . . 47 iii

3.3.2 Simulazioni . . . 48

3.3.3 Area di Necrosi . . . 53

3.4 Modello carcinoma duttale invasivo . . . 56

3.4.1 Membrana basale rotta . . . 56

3.4.2 Parametri . . . 56 3.4.3 Simulazioni . . . 57 3.4.4 Codice . . . 58 3.5 Processo di metastatizzazione . . . 59 3.5.1 Parametri . . . 60 3.5.2 Simulazioni . . . 61 3.5.3 Codice . . . 64

3.6 Evoluzione da carcinoma duttale in situ a carcinoma duttale invasivo . . . 67

3.6.1 Parametri . . . 68 3.6.2 Simulazioni . . . 68 3.6.3 Codice . . . 73 3.7 Appendice . . . 75 3.8 Conclusione . . . 79 Bibliograa 81

Introduzione

L'obiettivo di questo lavoro è sviluppare un modello per descrivere l'evoluzione del car-cinoma duttale. Il carcar-cinoma duttale è un carcar-cinoma che si origina all'interno del dotto del seno femminile. Possiamo immaginare il dotto con un cilindro. Le sue pareti sono costituite di cellule epiteliali e il suo interno, in condizioni normali, è vuoto. Chiamiamo le pareti del dotto membrana basale. Se, durante la normale proliferazione delle cellule epiteliali, viene generata una cellula anomala, chiamata cellula tumorale, si origina il carcinoma duttale. La cellula tumorale può proliferare generando altre cellule tumorali, libere di muoversi. Inizialmente le cellule sono obbligate a rimanere all'interno del dotto, questa fase si chiama carcinoma in situ. Esiste un'altra fase successiva, chiamata carci-noma invasivo, in cui le cellule tumorali riescono ad uscire dal dotto e danno origine alle metastasi. Per descrivere un modello di questo carcinoma studiamo il moto Browniano riesso. Supponiamo, infatti, che il movimento delle cellule tumorali sia modellizzato dal moto Browniano. Nel momento in cui le cellule incontrano la membrana basale il moto Browniano viene respinto, cioè si riette.

Lo studio del moto Browniano riesso non è utile solo per la modellizzazione del carcino-ma duttale, carcino-ma per tutti i tumori che hanno una fase in situ, in cui il tumore è circoscritto ad un unico organo ed è obbligato a muoversi all'interno di questo organo a causa della membrana basale, che costituisce una barriera riettente per le cellule tumorali.

Nel primo capitolo deniamo il moto Browniano riesso. Analizziamo in dettaglio la teoria relativa al Local Time e alla formula di Itô Tanaka in dimensione 1 e la generaliz-ziamo al caso in dimensione d arbitraria. Il moto Browniano riesso ˜B è a valori in un dominio D ⊂ Rd _{limitato con ∂D liscio e lo possiamo scrivere nel seguente modo}

˜ Bt= ˜B0+ Wt+ Lt, |L|_t= Z t 0 1{ ˜Bs∈∂D}d|L|s, Lt= Z t 0 n( ˜Bs)d|L|s,

dove W è un moto Browniano a valori in Rd_{, n(x) è il versore normale interno a ∂D nel}

punto x ∈ ∂D e |L|t è la variazione totale di L al tempo t. Deniamo il moto Browniano

con potenziale. A tale scopo, consideriamo una funzione fn:= exp((nδ(x))−1), con δ(x)

che indica la distanza tra un punto x ∈ D e ∂D, e una successione di processi stocastici  X(n)  n∈N tali che dX_t(n)= −1 2∇fn  X_t(n)dt + dWt, v

con W moto Browniano. Questa successione di processi è a valori in D e il suo limite debole è il moto Browniano riesso ˜B. Vogliamo simulare il moto Browniano riesso e possiamo supporre che, per n abbastanza grande, il processo X(n) _{si comporti in modo}

molto simile al moto Browniano riesso. Questa analogia tra il moto Browniano riesso e la successione X(n) _{ci permette di avere un processo a valori in un dominio limitato più}

facile da simulare.

Nel secondo capitolo studiamo il legame che c'è tra il moto Browniano riesso e l'equa-zione del calore con condil'equa-zione di Neumann al contorno. Vediamo che il moto Browniano riesso ha densità e che la densità è soluzione dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno. Inoltre studiamo il limite macroscopico per capire il compor-tamento di un insieme molto grande di cellule tumorali e il legame tra il moto di queste cellule e l'equazione del calore.

Nel terzo capitolo diamo una breve introduzione biologica del carcinoma duttale e denia-mo un denia-modello matematico. Inoltre facciadenia-mo alcune simulazioni del denia-modello attraverso il software Matlab. Consideriamo inizialmente il moto Browniano con potenziale e denia-mo una funzione che regoli le interazioni tra cellule, l'interazione repulsiva che impedisce la loro sovrapposizione e l'interazione attrattiva che le cellule hanno tra loro. Succes-sivamente sostituiamo la funzione potenziale con una funzione che regoli la repulsione esercitata dalle cellule epiteliali sulle cellule tumorali per mantenere quest'ultime all'in-terno del dotto. Iniziamo denendo un modello del carcinoma duttale in situ no ad arrivare a denire un modello completo, in cui le cellule tumorali possono rompere la membrana basale e uscire dal dotto. Il modello che arriviamo a denire è il seguente

dX_ti= 1 N N X j=1 K X_ti− X_tj
dt + 1 Z Z X j=1 H X_ti− E_tj
dt + σdBi t, dE_tj = 1 Z Z X k=1 Q E_tj− E_tk
dt + 1 N N X k=1 P E_tj− X_tk
dt, in cui Xi

t rappresenta la posizione della i-esima cellula tumorale al tempo t e E j t la

posizione della j-esima cellula epiteliale al tempo t. Simuliamo il modello col software Matlab e generiamo a tempi diversi le congurazioni delle cellule del tumore. Osserviamo che le congurazioni generate a tempi diversi sono quelle che ci aspettavamo osservando le immagini biologiche delle diverse fasi del carcinoma duttale.

Capitolo 1

Moto Browniano Riesso

L'obiettivo di questo capitolo è denire il moto Browniano riesso e una sua decomposi-zione come somma di un moto Browniano e di un altro processo. Per fare ciò usiamo la formula di Itô Tanaka ed il Local Time.

Sviluppiamo la teoria del Local Time e la formula di Itô Tanaka, prima in dimensione 1 per denire il moto Browniano riesso in dimensione 1. Successivamente vedremo una generalizzazione ai processi di Itô in dimensione 1 ed inne la generalizzazione alla teoria in dimensione d > 1.

1.1 Local Time e formula di Itô Tanaka in dimensione 1

Sia (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità completo ltrato, con ltrazione Ft. Sia Bt

un moto Browniano denito su questo spazio di probabilità a valori in R. Per ogni x ∈ R ssato, vogliamo ottenere una decomposizione di |Bt − x| come somma di un

moto Browniano e di un processo crescente. Questa decomposizione è conosciuta come la formula di Itô Tanaka.

Teorema 1.1. Per ogni t ≥ 0 e x ∈ R (Bt− x)+− (B0− x)+= Z t 0 1[x,∞)(Bs)dBs+ 1 2L(t, x), dove L(t, x) := lim ε↓0 1 2ε Z t 0 1(x−ε,x+ε)(Bs)ds = = lim ε↓0 1 2ελ{s ∈ [0, t] : Bs∈ (x − ε, x + ε)} (1.1)

con λ che indica la misura di Lebesgue e il limite è in L2_.

Dimostrazione. Per ogni x ∈ R deniamo la funzione fx : R → R+, fx(y) := (y − x)+.

Sia ε > 0, approssimiamo la funzione fx con la funzione fxε : R → R+, così denita:

fxε(y) :=      0, per y ≤ x − ε (y−x+ε)2 4ε , per x − ε ≤ y ≤ x + ε y − x, per y ≥ x + ε. fxε è una funzione C1(R) e ammette derivata seconda.

f_xε0 (y) =      0, per y ≤ x − ε y−x+ε 2ε , per x − ε ≤ y ≤ x + ε 1, per y ≥ x + ε. f_xε00(y) =      0, per y ≤ x − ε 1 2ε, per x − ε ≤ y ≤ x + ε 0, per y ≥ x + ε. Deniamo la funzione φ : R → R: φ(y) := ( c exp −(1 − y2)−1
se |y| < 1 0 se |y| ≥ 1

con c una costante tale che R1

−1φ(y) dy = 1. Deniamo la successione di funzioni {φn}n∈N,

tale che φn(y) := nφ(ny). φn∈ Cc∞, allora gn:= φn∗ fxε, cioè

gn(y) =

Z +∞

−∞

fxε(y − z)φn(z) dz,

è una successione di funzioni C∞_{. Applicando la formula di Itô a g}

notteniamo gn(Bt) − gn(B0) = Z t 0 g_n0(Bs) dBs+ 1 2 Z t 0 g00_n(Bs) ds. (1.2)

Sia B(t, ω) := Bt(ω), allora, per ogni t ∈ R+, 1[0,t]g0n(B) converge uniformemente in

R+× Ω a 1[0,t]fxε0 (B) per n che tende a +∞. Allora si ha anche la convergenza in L2.

Per la formula di isometria abbiamo E " Z t 0 g_n0(Bs)dBs 2# = Z t 0 E(g0 n(Bs))2 ds.

Per quanto scritto sopra sulla convergenza in L2_{, R}t 0E(g 0 n(Bs))2 dsconverge a Rt 0 E(f 0

xε(Bs))2 dsin L2 e per la formula di isometria abbiamo

E " Z t 0 f_xε0 (Bs)dBs 2# = Z t 0 E(f0 xε(Bs))2 ds,

1.1. LOCAL TIME E FORMULA DI ITÔ TANAKA IN DIMENSIONE 1 3 quindi Rt

0g 0

n(Bs) dBsconverge in L2 a R₀tfxε0 (Bs) dBs. Dal momento che P(Bs= x±ε) =

0per ogni s, abbiamo limn→∞gn00(Bs) = fxε00(Bs) quasi certamente per ogni s ssata. Sia

λla misura di Lebesgue su R. Per il teorema di Fubini abbiamo che Z t 0 Z Ω1 {Bs=x±ε}dP(ω)  dλ(s) = Z Ω Z t 0 1 {Bs=x±ε}dλ(s)  dP(ω)

per ogni t ∈ R+ _{e quindi lim}

n→∞gn00(Bs) = fxε00(Bs) vale per λ-quasi ogni s in R+, quasi

certamente. Dal momento che |g00

n| ≤ (2ε)−1, usiamo il teorema di convergenza dominata

e otteniamo che Rt 0g

00

n(Bs)dsconverge a R₀tfxε00(Bs)dsquasi certamente e in L2. Facendo

il limite per n → ∞ dell'equazione (1.2) otteniamo, per ogni x e t, quasi certamente: fxε(Bt) − fxε(B0) = Z t 0 f_xε0 (Bs)dBs+ 1 2 Z t 0 1 2ε1(x−ε,x+ε)(Bs)dBs. (1.3) Dal momento che fxε(Bt)−fxε(B0) ≤ |Bt−B0|, abbiamo che, per ε ↓ 0, fxε(Bt)−fxε(B0)

tende a (Bt− x)+− (B0− x)+ in L2. Inoltre abbiamo

E Z t 0 (f_xε0 (Bs) − 1[x,∞)(Bs))2ds  ≤ E Z t 0 1(x−ε,x+ε) (Bs)ds  ≤ Z t 0 2ε √ 2πsds → 0 per ε → 0. Allora per ε → 0 abbiamo che

E Z t 0 (f_xε0 (Bs) − 1[x,∞)(Bs))2ds  → 0.

Per la formula di isometria abbiamo che E Z t 0 (f_xε0 (Bs) − 1[x,∞)(Bs))2ds  = E Z t 0 f_xε0 (Bs) − 1[x,∞)(Bs)
dBs 2 e quindi Rt 0f 0

xε(Bs)dBs converge a R₀t1[x,∞)(Bs)dBs in L2 per ε → 0. Allora facendo il

limite in L2 _{per ε → 0 dell'equazione (1.3) otteniamo la tesi.}

Denizione 1.2. Il processo stocastico L(·, x) denito nel teorema 1.1 si chiama Local Time del moto Browniano B rispetto a x.

Vogliamo dimostrare che il Local Time L(·, x) sia continuo. Per farlo vediamo due lemmi. Iniziamo vedendo il seguente lemma, simile al noto lemma di Kolmogorov. Lemma 1.3. Sia {G(t, x), (t, x) ∈ R+× R} una famiglia di variabili aleatorie con valore

atteso 0. Se esiste una costante C tale che E  sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, y)|4  ≤ C(x − y)2, (1.4)

allora esistono una famiglia di variabili aleatorie {J(t, x), (t, x) ∈ R+× R} e un insieme

Ω0⊆ Ω con P(Ω0) = 1 tale che (t, x) 7→ J(t, x) sia continua per ogni ω ∈ Ω0 e, per ogni

coppia (t, x) ssata, valga

PG(t, x) = J(t, x) = 1.

Dimostrazione. Fissiamo una costante R > 0 e consideriamo D l'insieme dei numeri diadici così denito:

D := {j2−n: n ∈ N, j ∈ Z, −R2n≤ j ≤ R2n}. Fissiamo q := 2−1 8. P  sup 0≤t≤T |G(t, (j + 1)2−n) − G(t, j2−n)| > qn  = P   sup 0≤t≤T |G(t, (j + 1)2−n) − G(t, j2−n)| 2 > q2n  ≤ P  sup 0≤t≤T |G(t, (j + 1)2−n) − G(t, j2−n)|2> q2n  .

Per la disuguaglianza di Chebyshev abbiamo P  sup 0≤t≤T |G(t, (j+1)2−n)−G(t, j2−n)|2 > q2n  ≤ q−4nE  sup 0≤t≤T |G(t, (j+1)2−n)−G(t, j2−n)|4  e per la disuguaglianza (1.4) P  sup 0≤t≤T |G(t, (j + 1)2−n) − G(t, j2−n)| > qn  ≤ q−4nC2−2n. Deniamo l'insieme B := {j : j2−n_{∈ D, (j + 1)2}−n_{∈ D}, allora}

X j∈B P  sup 0≤t≤T |G(t, (j + 1)2−n) − G(t, j2−n)| > qn  ≤X j∈B q−4nC2−2n ≤ (2n+1_R)C2−3n/2_{= 2RC2}−n/2_.

La somma per n ∈ N di 2RC2−n/2 _{è convergente, allora per il lemma di Borel Cantelli}

esiste Ω0 ⊆ Ωcon P(Ω0) = 1tale che per ogni ω ∈ Ω0, esiste n0(ω) ∈ N tale che per ogni

n ≥ n0(ω) valga

sup

0≤t≤T

|G(t, (j + 1)2−n) − G(t, j2−n)| ≤ qn (1.5) per ogni j ∈ B. Da adesso consideriamo solo ω ∈ Ω0. Per denizione dell'insieme D dei

numeri diadici, per ogni x ∈ D, esiste m ∈ N tale che x = Pm k=1 xk 2k, con xk= {0, 1}. Sia m ∈ N e siano x := m X k=1 xk 2k

1.1. LOCAL TIME E FORMULA DI ITÔ TANAKA IN DIMENSIONE 1 5 e y := m X k=1 yk 2k,

con xk, yk = {0, 1}. x e y appartengono a D. Vogliamo dimostrare che se |x − y| < 2−n

con n ≥ n0(ω), allora sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, y)| ≤ 2 m X k=n+1 qk. (1.6)

Lo dimostriamo per induzione su m. Se m ≤ n, allora x = y e sup0≤t≤T |G(t, x) −

G(t, y)| = 0. Supponiamo sia vero per m − 1 e dimostriamolo per m. Deniamo x0 := Pm−1

k=1 xk2−k e y0 :=Pm−1k=1 yk2−k. Allora x − x0 = 0oppure x − x0 = 2−m, e y − y0 = 0

oppure y − y0_{= 2}−m_{. Allora per la disuguaglianza (1.5) abbiamo}

sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, x0)| ≤ qm e sup 0≤t≤T |G(t, y) − G(t, y0)| ≤ qm. Per ipotesi induttiva

sup 0≤t≤T |G(t, x0) − G(t, y0)| ≤ 2 m−1 X k=n+1 qk. Allora sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, y)| ≤ sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, x0)| + sup 0≤t≤T |G(t, y) − G(t, y0)| + sup 0≤t≤T |G(t, x0) − G(t, y0)| ≤ 2 m X k=n+1 qk

e con questo abbiamo dimostrato (1.6). Quando m > n → ∞ in (1.6), la somma converge a 0. L'insieme D dei numeri diadici è denso in R, allora per ogni x ∈ R esiste una successione (xn)n∈N ⊂ D tale che xn → x per n → +∞. Da questo segue che per

ogni coppia (t, x) ∈ [0, T ] × [−R, R] possiamo denire J (t, x) := lim

n→∞G(t, xn), (1.7)

che esiste per ogni successione (xn)n∈N ⊂ D tale che xn → x per n → ∞. Il valore

di questo limite non dipende dalla scelta di xn e la convergenza è uniforme in t. Dal

in t, segue che J(t, x) è continuo in t per ogni x ssato. Inoltre come conseguenza della disuguaglianza (1.6) abbiamo sup 0≤t≤T |J (t, x) − J (t, y)| ≤ 2 +∞ X k=n+1 qk, dove |x−y| < 2−n_{e n ≥ n} 0(ω). Allora se (tn, xn) → (t, x)per n → +∞ in [0, T ]×[−R, R],

allora J(s, xn) → J (s, x) uniformemente per s ∈ [0, T ] e, dal momento che J(·, x) è

continua, abbiamo che J(tn, x) → J (t, x) per tn → t, da cui segue J(tn, xn) → J (t, x)

per (tn, xn) → (t, x). Questo prova che J è continuo in [0, T ] × [−R, R]. Per ogni

x ∈ [−R, R] e t ∈ [0, T ], dalla disuguaglianza (1.4) segue che se xn → x allora G(t, xn)

converge a G(t, x) in L4_{. Quindi, per (1.7) concludiamo che P(G(t, x) = J(t, x)) = 1.}

Dal momento che T e R sono arbitrarie, possiamo estendere la denizione di J a R+_{× R}

su un insieme di probabilità 1 e con questo abbiamo la tesi.

Osservazione 1.4 (Disuguaglianza di Burkholder-Davis-Gundy). Ricordiamo la disu-guaglianza di Burkholder-Davis-Gundy, che useremo per dimostrare il seguente lemma. Sia X una martingala locale, indichiamo con [X] la sua variazione quadratica. Sia X_t∗:= sup_s≤tXs

 .

Per ogni p, 1 ≤ p < +∞, per ogni martingala locale X con X0 = 0e tempo di arresto τ,

esistono due costanti positive cp e Cp tali che

cpE[X]p/2τ ≤ E(Xτ∗)p≤ CpE[X]p/2τ .

Usiamo il lemma 1.3 e la disuguaglianza di Burkholder-Davis-Gundy per dimostrare il seguente lemma.

Lemma 1.5. Esistono una famiglia di variabili aleatorie {J(t, x), (t, x) ∈ R+× R} e un

insieme Ω0 ⊆ Ωcon P(Ω0) = 1 tale che (t, x) 7→ J(t, x) sia continua per ogni ω ∈ Ω0 e

per ogni coppia (t, x) ssata valga P Z t 0 1[x,+∞)(Bs)dBs= J (t, x)  = 1. Dimostrazione. Deniamo G(t, x) := Rt 01[x,+∞)(Bs)dBs e ssiamo T > 0. Vogliamo

provare che esiste una costante C tale che per ogni x e y in R valga E  sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, y)|4  ≤ C(x − y)2_{, (1.8)}

così possiamo usare il lemma 1.3.

Possiamo supporre che x ≤ y. G(t, x)−G(t, y) = Rt

0 1[x,y)(Bs)dBs. Per la disuguaglianza

di BurkholderDavisGundy esiste una costante A tale che E Z t 0 1[x,y)(Bs)dBs 4 ≤ A · E Z t 0 1[x,y)(Bs)ds 2 ,

1.1. LOCAL TIME E FORMULA DI ITÔ TANAKA IN DIMENSIONE 1 7 perché la variazione quadratica di Rt

01[x,y)(Bs)dBs è R₀t1[x,y)(Bs)ds. E Z t 0 1[x,y)(Bs)ds 2 ≤ t2_, allora E Z t 0 1[x,y)(Bs)dBs 4 ≤ At2.

Allora G(·, x) − G(·, y) appartiene allo spazio L4 _{ed inoltre è una martingala. Per la}

disuguaglianza di Doob e per quanto appena visto abbiamo E  sup 0≤t≤T |G(t, x) − G(t, y)|4  ≤4 3 4 E{|G(T, x) − G(T, y)|4} ≤4 3 4 A · E Z T 0 1[x,y)(Bs)ds 2 . E Z T 0 1[x,y)(Bs)ds 2 = 2E Z T 0 dr Z T r ds1[x,y)(Bs)1[x,y)(Br)  . Dal momento che Bs− Br e Br− B0 sono indipendenti, abbiamo

2E Z T 0 dr Z T r ds1[x,y)(Bs)1[x,y)(Br)  = 2 Z T 0 dr Z T r ds 1 2πpr(s − r)E Z y−B0 x−B0 dz Z y−B0 x−B0 dw exp  −z 2 2r − (w − z)2 2(s − r)  ≤ C₁(x − y)2,

con C1 costante positiva. Con questo abbiamo dimostrato la disuguaglianza (1.8).

Allora possiamo applicare il lemma 1.3 ottenendo l'esistenza di una famiglia di variabili aleatorie {J(t, x), (t, x) ∈ R+× R} e un insieme Ω0⊆ Ω con P(Ω0) = 1tale che (t, x) 7→

J (t, x)sia continua per ogni ω ∈ Ω0 e per ogni coppia (t, x) ssata valga

P Z t 0 1[x,+∞)(Bs)dBs= J (t, x)  = 1.

Osservazione 1.6. Possiamo ridenire L(t, x) per ogni (t, x) ∈ R+_{× R usando}

l'espres-sione di (Bt− x)+ vista nel teorema 1.1 e considerando J(t, x) come la versione continua

dell'integrale stocastico Rt 01[x,+∞)(Bs)dBs: 1 2L(t, x) = (Bt− x) +_{− (B} 0− x)+− J (t, x).

J (t, x) è continuo, t 7→ Bt è continuo per ogni ω ∈ Ω, allora L(t, x) è continuo in (t, x)

Deniamo la funzione segno nel seguente modo: sgn(y) :=

(

1 se y > 0, −1 se y ≤ 0.

Teorema 1.7 (Formula di Itô Tanaka). Per ogni (t, x) ∈ R+_{× R abbiamo quasi}

certa-mente

|Bt− x| − |B0− x| =

Z t

0

sgn(Bs− x)dBs+ L(t, x). (1.9)

Dimostrazione. Per dimostrare la formula di Itô Tanaka vogliamo ricavare un'espressione per (Bt− x)− analoga a quella vista per (Bt− x)+ nel teorema 1.1. (Bt − x)− =

(−(Bt− x))+ = (−Bt− (−x))+. −B è un moto Browniano, allora possiamo usare il

teorema 1.1. Denotiamo il Local Time di −B in −x con L−_{(t, −x). Dalla denizione}

di Local Time vediamo che L−_{(t, −x) = L(t, x) quasi certamente, dove L(t, x) indica il}

Local Time di B nel punto x. Infatti per denizione L−_{(t, −x) = lim}

ε↓0_2ε1λ{s ∈ [0, t] : −Bs ∈ (−x − ε, −x + ε)} = limε↓0_2ε1λ{s ∈ [0, t] : Bs ∈ (x − ε, x + ε)} = L(t, x). Allora abbiamo (Bt− x)−− (B0− x)−= Z t 0 1[−x,∞)(−Bs)d(−Bs) + 1 2L(t, x) = − Z t 0 1(−∞,x] (Bs)d(Bs) + 1 2L(t, x). Rt

0 1{x}(Bs)dBs = 0 quasi certamente, allora sommando l'espressione trovata per (Bt−

x)− con l'espressione vista nel teorema 1.1 per (Bt− x)+ abbiamo la tesi.

Denizione 1.8. Deniamo per ogni t ∈ R+ _{e per ogni x ∈ R}

W (t, x) := Z t

0

sgn(Bs− x)dBs.

Teorema 1.9. Per ogni x ∈ R, abbiamo quasi certamente

|B − x| = |B₀− x| + W (·, x) + L(·, x), (1.10) dove W (·, x) è un moto Browniano e L(·, x) è un processo continuo crescente con valore iniziale 0. Inoltre, quasi certamente, L(·, x) può crescere solo quando |B − x| = 0, cioè se θ(t, y) è una funzione tale che θ(t, x) = 0 per ogni t ∈ R+_{, allora}

Z +∞

0

θ(t, Bt)dL(t, x) = 0

1.1. LOCAL TIME E FORMULA DI ITÔ TANAKA IN DIMENSIONE 1 9 Dimostrazione. Dal momento che entrambe le parti dell'equazione (1.9) sono continue in t, l'espressione (1.10) segue immediatamente. W (·, x) è uguale a R₀tsgn(Bs− x)dBs, che

è una martingala continua, nulla in t = 0, con variazione quadratica t. Per il teorema di caratterizzazione di Levy abbiamo che W è un moto Browniano.

L(·, x)è continuo e ha valore iniziale 0, perché, per l'osservazione 1.6, lo possiamo scrivere come somma di processi continui, tutti con valori iniziali 0. Dal momento che, per denizione, L(t, x) è il limite per ε ↓ 0 di 1

2ε

Rt

0 1(x−ε,x+ε)(Bs)ds, che è crescente in t per

ogni ε ssato, abbiamo che L(t, x) è quasi certamente crescente in t.

Per provare che L(t, x) cresce solo nei punti in cui |Bt− x| è 0, osserviamo che esiste

un insieme Ω1 tale che P(Ω1) = 1 e l'uguaglianza (1.1) valga puntualmente per tutti i

razionali t. Supponiamo ω ∈ Ω1 e sia t un punto di crescita di L(·, x)(ω), allora esistono

i razionali r < r0 _{arbitrariamente vicini a t tali che L(r, x)(ω) < L(r}0_{, x)(ω) e}

λ{s ∈ [r, r0] : Bs(ω) ∈ (x − ε, x + ε)} > 0 per ogni ε > 0,

perché t è un punto di crescita di L(·, x). Allora dalla continuità di B(ω), abbiamo che Bs(ω) = x per qualche s ∈ [r, r0]. Dal momento che r, r0 sono arbitrariamente vicini a

t, segue che Bt(ω) = x. Quindi abbiamo dimostrato che se t è un punto di crescita di

L(·, x)(ω), allora Bt(ω) = x.

Di conseguenza se θ(t, x) = 0 per ogni t ∈ R+_{, allora}

Z +∞

0

θ(t, Bt)dL(t, x) = 0

quasi certamente.

Osservazione 1.10. |B0− x| + W (·, x)è un moto Browniano, perché W (·, x) lo è, allora

possiamo scrivere |B − x| come somma di un moto Browniano e del Local Time:

|B − x| = W (·, x) + L(·, x) (1.11)

1.1.1 Variazione quadratica del Local Time del moto Browniano

Sia (πn)n∈N una successione di partizioni di [0, T ], T > 0, tale che πn= {0 = tn0 ≤ · · · ≤

tn_N = T }per ogni n ∈ N e limn→+∞|πn| = 0.

Proposizione 1.11. La variazione quadratica di L(t, x) è zero.

Dimostrazione. L(t, x) è quasi certamente continuo. Per denizione è crescente, allora la sua variazione totale è limitata per ogni partizioni π di [0, T ] con T > 0, tale che π = {0 = t0 ≤ · · · ≤ tn= T }, infatti la variazione totale di L rispetto a π è

V (L) = X

ti∈π

|L(t_i+1, x) − L(ti, x)|.

Per la crescenza di L(·, x), V (L) è uguale a L(T, x) − L(0, x) che è minore o uguale a T per denizione di L. Allora ha variazione quadratica zero.

Proposizione 1.12. La variazione mutua [L(·, x), B], con B che indica il moto Brow-niano, rispetto a qualsiasi partizione πn di [0, T ] innitesima è identicamente nulla.

Dimostrazione. Il moto Browniano ha traiettorie continue e il Local Time è continuo e a variazione totale limitata, per quanto appena visto. Allora la variazione mutua è identicamente nulla rispetto a qualsiasi partizione innitesima.

1.2 Moto Browniano riesso in dimensione 1

Sia (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità con ltrazione Ft. Sia B un moto Browniano

a valori in R. Con le ipotesi appena scritte vediamo la denizione del moto Browniano riesso in un punto x ∈ R.

Denizione 1.13. Il moto Browniano riesso ˜B(x) = ( ˜Bt(x))t≥0 nel punto x ∈ R è così

denito:

˜

Bt(x) = x + |Bt− x|.

Per la formula di Itô Tanaka possiamo scrivere: ˜

Bt(x) = x + |B0− x| +

Z t

0

sgn(Bs− x)dBs+ L(t, x),

che, per l'espressione (1.11), è equivalente a ˜

Bt(x) = x + W (t, x) + L(t, x).

˜

W (t, x) := x + W (t, x) è un moto Browniano, perché W (t, x) lo è. Allora possiamo scrivere:

˜

Bt(x) = ˜W (t, x) + L(t, x).

Denizione 1.14. Un processo X si dice semimartingala continua se si può scrivere come somma di due processi M e V con M martingala locale continua e V processo adattato a traiettorie continue ed a variazione limitata, cioè X = M + V .

Osservazione 1.15. Il moto Browniano riesso è una semimartingala positiva.

Proposizione 1.16. La variazione quadratica del moto Browniano riesso ˜Bt(x) nel

punto x ∈ R è t.

Dimostrazione. Sia (πn) una successione di partizioni innitesime di [0, T ].

[ ˜B(x)]π_tn = [ ˜W (·, x)]π_tn+ [L(·, x)]πn t + 2[ ˜W (·, x), L(·, x)] πn t . [ ˜W (·, x)]πn t tende a t per n → +∞, [L(·, x)] πn

t tende a 0 per n → +∞ per la proposizione

1.11, [ ˜W (·, x), L(·, x)]πn

t tende a 0 per n → +∞ per la proposizione 1.12, allora [ ˜B(x)]πtn

1.3. FORMULA DI TANAKA PER PROCESSI DI ITÔ 11

1.3 Formula di Tanaka per processi di Itô

Vogliamo generalizzare la denizione di moto Browniano riesso a quella di processo di Itô riesso. Per fare ciò vediamo la formula di Tanaka e il Local Time per processi di Itô. Consideriamo (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità completo ltrato, con ltrazione Ft.

Denizione 1.17. Chiamiamo processo di Itô in R un processo X = (Xt)t∈[0,T ] a valori

in R della forma Xt= X0+ Z t 0 bsds + Z t 0 σsdBs

con X0 misurabile rispetto a F0, b un processo in R di classe Λ1B (cioè progressivamente

misurabile e tale che RT

0 |bs|ds < ∞ quasi certamente), σ un processo in R di classe Λ 2 B.

Scriveremo anche

dXt= btdt + σtdBt.

Teorema 1.18. Sia X = (Xt)t∈[0,T ] un processo di Itô. Sia f : R → R una funzione

convessa, allora f(X) è una semimartingala continua e f (Xt) − f (X0) =

Z t

0

f0(Xs)dXs+ At,

dove f0 _{indica la derivata sinistra di f e A è un processo adattato crescente.}

Dimostrazione. Sia g una funzione positiva C∞_{a supporto compatto tale che R}+∞

−∞ g(s)ds =

1. Sia fn(t) := n

R+∞

−∞ f (t + s)g(ns)ds. Allora fn è convessa e C2. Inoltre f 0

n tende a f0

per n → +∞. Per la formula di Itô

fn(Xt) − fn(X0) = Z t 0 f_n0(Xs)dXs+ Ant, con An_t = 1 2 Z t 0 f_n00(Xs)d[X, X]s.

Per la convessità di f, An è crescente e possiamo denire At:= limn→+∞Ant in L2, che

è crescente e adattato. Allora passando al limite otteniamo f (Xt) − f (X0) =

Z t 0

f0(Xs)dXs+ At,

che è una semimartingala continua.

Corollario 1.19. Sia X un processo di Itô, allora |X|, X+_{, X}− _{sono semimartingale}

continue.

Dimostrazione. Le funzioni f(x) = |x|, g(x) = x+ _{e h(x) = x}− _{sono funzioni convesse,}

La funzione ha(x) = |x − a| è una funzione convessa e la sua derivata sinistra è la

funzione sgn(x − a). Allora per il teorema 1.18 abbiamo ha(Xt) = |Xt− a| = |X0− a| +

Z t

0

sgn(Xs− a)dXs+ Aat,

dove Aa

t è il processo crescente denito nel teorema 1.18.

Denizione 1.20. Sia X un processo di Itô e siano ha e Aa appena denite. Il Local

Time di X rispetto ad a, denotato La

t = La(X)t, è il processo Lat = Aat.

La formula di Tanaka per processi di Itô è, quindi, la seguente: |X_t− a| = |X₀− a| +

Z t

0

sgn(Xs− a)dXs+ Lat.

Teorema 1.21. Sia X un processo di Itô e sia La _{il suo Local Time rispetto al punto}

a ∈ R, allora (Xt− a)+− (X0− a)+= Z t 0 1{Xs>a}dXs+ 1 2L a t, (Xt− a)−− (X0− a)− = − Z t 0 1{Xs≤a}dXs+ 1 2L a t.

Dimostrazione. Dal momento che f(x) = (x − a)+ _{e g(x) = (x − a)}− _{sono funzioni}

convesse, allora per il teorema 1.18 abbiamo f (Xt) = f (X0) + Z t 0 1{Xs>a}dXs+ A + t e g(Xt) = g(X0) − Z t 0 1{Xs≤a}dXs+ A − t . f (Xt) − g(Xt) = Xt, allora A+t − A − t = 0. f(Xt) + g(Xt) = |Xt|, allora A+t + A − t = Lat, da cui segue A+ t = A − t = 12L a t.

Teorema 1.22. Sia X un processo di Itô e sia La

t il suo Local Time rispetto al punto

a ∈ R. Per quasi ogni ω ∈ Ω il supporto di dLa_t(ω) è l'insieme {t ∈ R+: Xt(ω) = a}.

Dimostrazione. Siano S e T due tempi di arresto tali che 0 < S ≤ T , [S, T ) ⊂ {(s, ω) ∈ R+× Ω : Xs(ω) < a}. Allora X ≤ a in [S, T ). Da cui, per il teorema 1.21 abbiamo

(X − a)+_T − (X − a)+_S = Z T S 1{Xu>a}dXu+ 1 2(L a T − LaS). (1.12)

La parte sinistra dell'equazione (1.12) è zero e anche il primo termine della parte destra, allora 1

2(LaT − LaS) = 0, da cui LaT = LaS. Per ogni r ∈ Q+ deniamo il tempo di arresto

Sr(ω):

Sr(ω) :=

(

r se Xr(ω) < a,

1.3. FORMULA DI TANAKA PER PROCESSI DI ITÔ 13 Deniamo il tempo di arresto

Tr(ω) := inf{t > Sr(ω) : Xt(ω) ≥ a}.

Per denizione di Sr e Tr abbiamo [Sr, Tr) ⊂ {(s, ω) ∈ R+× Ω : Xs(ω) < a}. L'insieme

{(s, ω) ∈ R+_{× Ω : X}

s(ω) < a} è uguale a ∪r∈Q+[S_r, T_r). Allora dLa è uguale a zero

nell'insieme {(s, ω) ∈ R+ _{× Ω : X}

s(ω) < a}. Facciamo il procedimento analogo per

l'insieme {(s, ω) ∈ R+_{× Ω : X}

s(ω) > a}. Siano S e T due tempi di arresto tali che

0 < S ≤ T, (S, T ] ⊂ {(s, ω) ∈ R+× Ω : X_s(ω) > a}. Allora X > a in (S, T ]. Da cui, per il teorema 1.21 abbiamo (X − a)−_T − (X − a)−_S = − Z T S 1{Xu≤a}dXu+ 1 2(L a T − LaS). (1.13)

La parte sinistra dell'equazione (1.13) e il primo termine della parte destra sono zero, allora 1

2(L a

T − LaS) = 0, da cui LaT = LaS. Per ogni r ∈ Q+ deniamo il tempo di arresto

Tr(ω) :=

(

r se Xr(ω) > a,

+∞ se Xr(ω) ≤ a.

Deniamo il tempo di arresto

Sr(ω) := sup {t < Tr(ω) : Xt(ω) ≤ a}.

Per denizione di Sr e Tr abbiamo (Sr, Tr] ⊂ {(s, ω) ∈ R+× Ω : Xs(ω) > a}. L'insieme

{(s, ω) ∈ R+_{× Ω : X}

s(ω) > a} è uguale a ∪r∈Q+(S_r, T_r]. Allora dLa è uguale a zero

nell'insieme {(s, ω) ∈ R+_{× Ω : X}

s(ω) > a}. Quindi il supporto di dLat(ω) è contenuto

nell'insieme {t ∈ R+_{: X}

t(ω) = a}

Osservazione 1.23. Dal teorema 1.22 segue che, se θ(t, y) è una funzione tale che θ(t, a) = 0per ogni t ∈ R+, allora

Z t

0

θ(s, Bs)dLas = 0,

per ogni t ∈ R+_.

Teorema 1.24 (Formula di Meyer-Itô). Siano f una funzione uguale alla dierenza di due funzioni convesse e X = (Xt)t∈[0,T ] un processo di Itô. Siano f0 la sua derivata

sinistra e f00 _{la sua derivata seconda distribuzionale. Allora vale la seguente formula:}

f (Xt) − f (X0) = Z t 0 f0(Xs)dXs+ 1 2 Z +∞ −∞ La_tf00(da), (1.14) dove La

Dimostrazione. Possiamo dimostrare il teorema per f funzione convessa.

Se f è una funzione ane, cioè f(x) = αx + β, a, b ∈ R, allora l'equazione (1.14) è vericata, perché f00_{= 0.}

Supponiamo che f00_{sia una misura con supporto un compatto K. Deniamo una funzione}

g : R → R+: g(x) := 1 2 Z R |x − a|f00(da).

Dal momento che f è una funzione convessa, f dierisce dalla funzione g per una funzione ane, quindi esistono α e β appartenenti a R tali che

f (x) = αx + β + 1 2

Z

R

|x − a|f00(da). Allora abbiamo che

f (Xt) = αXt+ β + 1 2 Z R |Xt− a|f00(da) (1.15)

e per la formula di Tanaka abbiamo |X_t− a| = |X₀− a| +

Z t

0

sgn(Xs− a)ds + Lat. (1.16)

Sostituiamo (1.16) a |Xt− a|nell'uguaglianza (1.15) e otteniamo

f (Xt) = αXt+ β + 1 2 Z R  |X₀− a| + Z t 0 sgn(Xs− a)ds + Lat  f00(da). (1.17) Sostituendo Xt con X0 nell'uguaglianza (1.15) otteniamo

1 2 Z R |X0− a|f00(da) = f (X0) − αX0− β (1.18) e sostituendo 1 2 R R|X0− a|f

00_{(da)con l'uguaglianza (1.18) in (1.17) abbiamo}

f (Xt) = αXt+ β + f (X0) − αX0− β + 1 2 Z R  Z t 0 sgn(Xs− a)ds + Lat  f00(da) = α(Xt− X0) + f (X0) + 1 2 Z R  Z t 0 sgn(Xs− a)ds + Lat  f00(da). (1.19)

Dal momento che f0_(X

s) = α + 1₂

R

Rsgn(Xs− a)f

00_{(da), abbiamo, per il teorema di}

Fubini, 1 2 Z R Z t 0 sgn(Xs− a)dsf00(da) = 1 2 Z t 0 ds Z R sgn(Xs− a)f00(da) = Z t 0 (f0(Xs) − α)dXs= Z t 0 f0(Xs)dXs− α(Xt− X0).

1.3. FORMULA DI TANAKA PER PROCESSI DI ITÔ 15 Allora f (Xt) = α(Xt− X0) + f (X0) + Z t 0 f0(Xs)dXs− α(Xt− X0) + 1 2 Z R La_tf00(da) = f (X0) + Z t 0 f0(Xs)dXs+ 1 2 Z R La_tf00(da)

e quindi abbiamo la tesi per le funzioni f che hanno la derivata seconda distribuzionale a supporto compatto.

Per dimostrare il teorema per tutte le funzioni f convesse ci riduciamo al caso appena dimostrato. Deniamo la seguente funzione

fn(x) :=      f (−n) + f0(−n)(x + n), se x ≤ −n, f (x), se −n ≤ x ≤ n, f (n) + f0(n)(x − n), se x ≥ n.

fnè una funzione convessa, la sua derivata seconda distribuzionale è a supporto compatto

e in [−n, n) coincide con la derivata seconda distribuzionale di f. Sia Yn _{:= f} n(X) e

deniamo il tempo di arresto Tn _{:= inf{t > 0 : |X}

t| ≥ n}. In [0, Tn) Yn = f (X) e

La_Tn = 0 per tutti i valori di a tali che |a| ≥ n. Quindi R

RL a tfn00(da) = R RL a tf00(da) per

t ≤ Tn, allora, per quanto dimostrato per le funzioni con derivata seconda distribuzionale a supporto compatto, abbiamo che vale (1.14) per t ∈ [0, Tn_{). Dal momento che la}

successione di tempi di arresto (Tn)n≥1 tende a +∞ per n → +∞, abbiamo la tesi.

Corollario 1.25 (Formula dei tempi di occupazione). Sia X un processo di Itô con Local Time (La₎

a∈R. Sia g una funzione boreliana limitata. Allora quasi certamente vale

Z +∞ −∞ La_tg(a)da = Z t 0 g(Xs)d[X, X]s.

Dimostrazione. Sia f una funzione convessa e C2_{, allora se confrontiamo l'uguaglianza}

(1.14) con la formula di Itô otteniamo Z +∞ −∞ La_tf00(a)da = Z t 0 f00(Xs)d[X, X]s.

Per il teorema di classe monotona abbiamo che vale la tesi quasi certamente per ogni funzione g boreliana limitata.

Teorema 1.26. Per ogni processo di Itô, esiste una modicazione del processo {La t; a ∈

R, t ∈ R+} tale che la mappa t 7→ Lat sia continua per ogni a ∈ R.

Dimostrazione. X è un processo di Itô, allora dXt= btdt + σtdBt, con b ∈ Λ1B e σ ∈ Λ2B,

allora per il teorema 1.21 abbiamo che 1 2L a t = (Xt− a)+− (X0− a)+− Z t 0 1{Xs>a}dXs = (Xt− a)+− (X0− a)+− Z t 0 1 {Xs>a}bsds + Z t 0 1 {Xs>a}σsdBs.

Usiamo il lemma 1.3 per dimostare che esiste una modicazione continua in t di G(t, a) := Rt

0 1{Xs>a}σsdBs. Per la disuguaglianza di Burkholder-Davis-Gundy vale

E  sup t |G(t, a) − G(t, b)|4  ≤ A · E "  Z +∞ 0 1{a<Xs≤b}d[G(·, a), G(·, b)]s 2# ,

che, per la formula dei tempi di occupazione, è uguale a A · E " Z b a Lx∞dx 2# = A(b − a)2E "  1 b − a Z b a Lx∞dx 2# ,

che per la disuguaglianza di Jensen è minore o uguale a A(b − a)2_E

 1 b−a Rb a(L x ∞)2dx  . Per il teorema di Fubini è minore o uguale a

A(b − a)2sup x∈R Eh(Lx_∞)2i. Lx_t = 2  (Xt− x)+− (X0− x)+− Rt 0 1{Xs>x}dXs 

e |(Xt− x)+− (X0− x)+| ≤ |Xt− X0|, allora esiste una costante d tale che

E h (Lx∞)2 i ≤ d · E " sup t≥0 |Xt− X0|2+ Z +∞ 0 |bs|ds 2 + Z +∞ 0 σ2_sds # .

La parte destra della disuguaglianza non dipende da x, quindi, se è nita, G(t, a) verica l'ipotesi del lemma 1.3 e quindi esiste una modicazione continua. Se invece non è nita, deniamo il tempo di arresto

Tn= inf ( t : sup s≤t |Xs− X0|2+ Z +∞ 0 |bs|ds 2 + Z +∞ 0 σ_s2ds ≥ n ) .

La martingala arrestata G(·, a)Tn verica l'ipotesi del lemma 1.3 e quindi ha una

modi-cazione continua. Da questo segue che G(·, a) ha una modimodi-cazione continua. Allora La t

ha una modicazione continua nella variabile t.

1.3.1 Variazione quadratica del Local Time di un processo di Itô.

Sia (πn)n∈N una successione di partizioni di [0, T ], T > 0, tale che πn = {0 = tn0 ≤ · · · ≤

tn_N = T } per ogni n ∈ N e limn→+∞|πn| = 0.

Proposizione 1.27. La variazione quadratica di L(t, x) è zero.

Dimostrazione. L(t, x) è quasi certamente continuo. Per denizione è crescente, allora la sua variazione totale è limitata per ogni partizioni π di [0, T ] con T > 0, tale che π = {0 = t0≤ · · · ≤ tn= T }, infatti la variazione totale di L rispetto a π è

V (L) = X

ti∈π

1.4. MOTO BROWNIANO RIFLESSO IN DIMENSIONE D > 1 17 Per la crescenza di L(·, x) è uguale a L(T, x) − L(0, x) che è minore o uguale a T per denizione di L. Allora ha variazione quadratica zero.

Proposizione 1.28. La variazione mutua [L(·, x), B], con B che indica il moto Brow-niano, rispetto a qualsiasi partizione πn di [0, T ] innitesima è identicamente nulla.

Dimostrazione. Il moto Browniano ha le traiettorie continue e il Local Time è continuo e a variazione limitata per quanto appena visto. Allora la variazione mutua è identicamente nulla rispetto a qualsiasi partizione innitesima.

Da questo segue che la variazione quadratica di |Xt− a|è uguale a σ2t.

Denizione 1.29. Il processo di Itô riesso ˜X(a) = ( ˜Xt(a))t≥0 nel punto a ∈ R è così

denito:

˜

Xt(a) = a + |Xt− a|.

1.4 Moto Browniano riesso in dimensione d > 1

Sia D ⊂ Rd _{un aperto limitato con ∂D liscio. Sia n(x) il versore normale interno a ∂D}

nel punto x ∈ ∂D, per ogni x ∈ ∂D.

Vogliamo denire un Moto Browniano riesso a valori in D e riesso normalmente ri-spetto ∂D.

Partiamo dal problema in dimensione 1. Abbiamo visto che ssato uno spazio di probabi-lità ltrato completo (Ω, F , Ft, P), esiste una base stocastica (Ω, F , Ft, P, W = (Wt)t≥0),

tale che il moto Browniano riesso ˜B = ( ˜Bt)t≥0 nel punto a ∈ R possa essere espresso

nel seguente modo

˜

Bt= ˜B0+ Wt+ Lat.

Il nostro obiettivo è generalizzare questa espressione al caso in dimensione d > 1. Con-sideriamo il seguente sistema di equazioni. Siano W un moto Browniano a valori in Rd

e L un processo stocastico a valori in Rd_{, consideriamo}

˜ Bt= x0+ Wt+ Lt, |L|_t= Z t 0 1{ ˜Bs∈∂D}d|L|s, Lt= Z t 0 n( ˜Bs)d|L|s, (1.20) per ogni t ≥ 0, dove |L|tindica la variazione totale di L in [0, t]. Con l'espressione (1.20)

vogliamo denire il moto Browniano riesso normalmente rispetto a ∂D.

Denizione 1.30. Se (Ω, F , Ft, P, W = (Wt)t≥0) è una base stocastica ed (X, L) =

(Xt, Lt)t≥0è una coppia di processi stocastici deniti su (Ω, F , Ft, P), continui, adattati

alla ltrazione (Ft)t≥0, che soddisfano l'equazione (1.20) uniformemente in t ≥ 0 con

probabilità 1: P  ˜ Bt= x0+ Wt+ Lt, ∀t ≥ 0  = 1 allora diciamo che (X, L) è una soluzione di (1.20).

Denizione 1.31. Diciamo che c'è esistenza forte per l'equazione (1.20) se, ssata una qualsiasi base stocastica (Ω, F , Ft, P, W = (Wt)t≥0) ed una variabile aleatoria x0

F0−misurabile, esiste una coppia di soluzioni ( ˜B, L).

Denizione 1.32. Diciamo che c'è esistenza debole per l'equazione (1.20) se, per ogni x0 ∈ D, esistono una base stocastica (Ω, F , Ft, P, W = (Wt)t≥0) ed una una coppia di

soluzioni ( ˜B, L), con ˜B0 = x0.

Vediamo di seguito un teorema senza dimostrazione che garantisce esistenza debole e unicità della coppia ( ˜B, L).

Teorema 1.33. Sia D ⊂ Rd _{un aperto limitato con ∂D liscio. Sia x}

0 ∈ D. Esistono

una base stocastica (Ω, F , Ft, P, W = (Wt)t≥0) ed una una coppia ( ˜B, L) continua in t

con ˜B0 = x0 che soddisfa (1.20), tale che L è a variazione limitata e ˜Bt ∈ D quasi

certamente. La coppia ( ˜B, L) è unica.

Teorema 1.34. Sia D ⊂ Rd _{un aperto limitato con ∂D liscio. Sia x}

0 ∈ D. Per ogni

W = (Wt)t≥0 moto Browniano tale che W0 = x0 esiste una una coppia ( ˜B, L) continua

in t con ˜B0 = x0 che soddisfa (1.20), tale che L è a variazione limitata e ˜Bt ∈ D quasi

certamente. La coppia ( ˜B, L) è unica.

Osservazione 1.35. Dalla formualzione di (1.20) vediamo che |Lt| è crescente e cresce

solo nelle x ∈ ∂D.

Inoltre L è continuo con variazione totale nita, allora la variazione quadratica del moto Browniano riesso ˜Bt è uguale alla variazione quaratica del moto Browniano Wt.

Osservazione 1.36. Possiamo considerare il processo continuo L come la generalizza-zione del Local Time denito in dimensione 1 al caso in dimensione maggiore di 1, infatti se L è il Local Time relativo al moto Browniano riesso in dimensione 1 nel punto x ∈ R, allora abbiamo Lt= Z t 0 dLs= Z t 0 1{ ˜Bs=a} dLs+ Z t 0 1{ ˜Bs6=a} dLs = Z t 0 1{ ˜Bs=a}dLs, per il teorema 1.9.

Allora possiamo denire il moto Browniano riesso in dimensione d qualsiasi. Denizione 1.37. Sia D ⊂ Rd_{un aperto limitato con ∂D liscio. Si dice moto Browniano}

riesso normalmente rispetto a ∂D, il processo continuo adattato ˜B = ( ˜Bt)t≥0 che

1.5. MOTO BROWNIANO CON POTENZIALE 19

1.5 Moto Browniano con potenziale

Vediamo un altro modo per denire il moto Browniano riesso.

Sia D ⊂ Rd _{un aperto limitato con ∂D liscio. In questo lavoro ci poniamo l'obiettivo di}

scrivere un modello che denisca l'evoluzione del carcinoma duttale. Il carcinoma duttale è un carcinoma che si origina all'interno di un dotto che si trova nel seno femminile. Le cellule tumorali inizialmente sono obbligate a stare all'interno del dotto, che è rappresen-tato dal dominio D. Descriviamo il moto di una cellula tumorale con un moto Browniano riesso all'interno di D, riesso normalmente a ∂D. Vogliamo cercare di rendere la co-sa più realistica possibile, per farlo obblighiamo il Moto Browniano e quindi la cellula tumorale di cui descrive il movimento a rimanere all'interno di D usando una funzione potenziale. Vediamo in dettaglio il problema.

Sia || · || la norma euclidea. Consideriamo la funzione distanza dist(x, ∂D) := inf

y∈∂D{||x − y||}.

Deniamo la funzione δ : D → R

δ(x) := dist(x, ∂D). Sia fn: D → R+ la funzione così denita

fn(x) := exp[(nδ(x))−1].

La funzione fnè tale che limδ(x)→0fn(x) = +∞, cioè quando x ∈ ∂D la funzione esplode,

invece se x è lontano da ∂D la funzione è molto piccola.

Sia (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità completo ltrato. Siano x0 ∈ De W = (Wt)t≥0

un moto Browniano a valori in Rd_{. Per ogni n ∈ N consideriamo l'equazione dierenziale}

stocastica dX_t(n)= −1 2∇fn  X_t(n)  dt + dWt, X0= x0. (1.21) Vediamo un teorema, la cui dimostrazione si trova nell'articolo [7] di Zheng.

Teorema 1.38. Per ogni n ∈ N esiste unico X(n)₌_X(n) t



t≥0 soluzione di (1.21) tale

che X(n)_{∈ D.}

Questo teorema ci assicura che il processo X(n) _{esiste per ogni n ∈ N e che}

appar-tiene a D. Abbiamo, quindi, trovato un altro modo per obbligare il moto Browniano a rimanere all'interno di D. Il processo X(n) _{è più facile da simulare rispetto al moto}

Browniano riesso, perché il Local Time in dimensione arbitraria è un oggetto molto astratto e quindi dicile da simulare.

precedenti e la successione di processiX(n)

n∈N.

Vediamo alcuni teoremi, le cui dimostrazioni si trovano nell'articolo [8] di Williams e Zheng.

Teorema 1.39. La successione X(n) ₌_X(n) t



t≥0 converge debolmente ad un processo

X = (Xt)t≥0, tale che X ∈ D.

Teorema 1.40. Il limite debole X ammette la seguente decomposizione Xt= X0+ Wt+ Lt per ogni t ≥ 0, Z t 0 1∂D(Xs)d|L|s = |Lt|, Z t 0 n(Xs)d|L|s= Lt

per ogni t ≥ 0, dove W = (Wt)t≥0 è un moto Browniano e n(x) è il versore interno

normale a ∂D nel punto x ∈ ∂D, per ogni x ∈ ∂D.

Il processo X(n) _{converge debolmente a X, che è il moto Browniano riesso denito}

nelle sezioni precedenti. Quindi il limite debole di X(n) _{gode di tutte le proprietà del}

moto Browniano riesso.

Per sviluppare un modello del carcinoma duttale partiremo dal processo X(n)_{, sia perché}

con questo modello vogliamo fare delle simulazioni di evoluzione del carcinoma, sia per-ché è più sensato dal punto di vista biologico. Infatti intuitivamente possiamo pensare il potenziale come una forza che respinge le cellule tumorali quando arrivano alla frontiera di D. Inoltre la funzione fnche abbiamo descritto non è unica, quindi possiamo

modi-care l'intensità con cui le cellule vengono respinte quando arrivano alla frontiera ∂D del dominio.

Osservazione 1.41. In questa sezione abbiamo visto che possiamo denire il moto Browniano riesso come limite debole di una successione di processi stocastici facilmente simulabili. Intuitivamente possiamo pensare che per n abbastanza grande il processo X(n)si comporti in modo simile al moto Browniano riesso.

Nel capitolo 3 vedremo una breve introduzione alla biologia del carcinoma dutta-le e capiremo meglio, perché partiamo da questo preocesso X(n) _{per denire il moto}

Capitolo 2

Legame tra il moto Browniano

riesso e le PDE

Nel capitolo precedente abbiamo visto la denizione del moto Browniano riesso, in que-sto capitolo analizziamo il legame tra il moto Browniano riesso e l'equazioni dierenziali alle derivate parziali (PDE). Vedremo che il moto Browniano riesso ha un legame con l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno.

Vediamo prima il caso in dimensione 1 e successivamente quello in dimensione d > 1.

2.1 Legame tra il moto Browniano riesso in dimensione 1

e le PDE

Sia (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità completo ltrato. Consideriamo il moto

Bro-wniano riesso ˜B(a) = ( ˜Bt(a))t≥0 nel punto a ∈ R. Il moto Browniano riesso è, quindi,

a valori in [a, +∞).

2.1.1 Equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione 1

Consideriamo l'equazione del calore in un dominio D = [a, +∞) ⊂ R con condizione di Neumann al contorno:      ∂pt ∂t = 1 2 ∂2pt ∂x2 x ∈ D, t ∈ [0, T ], ∂pt ∂x = 0 x = a, t ∈ [0, T ], p|t=0 = p0, x ∈ D. (2.1) Osservazione 2.1. Con CC([0, T ] × R) indichiamo lo spazio delle funzioni φ : [0, T ] ×

R → R a supporto compatto e con C_C1,2([0, T ] × R) indichiamo lo spazio delle funzioni φ : [0, T ] × R → R tali che φ,∂φ_∂t,∂φ_∂x,∂_∂x2φ2 ∈ CC([0, T ] × R). Inoltre

< µt, φ >:=

Z

D

φ(x)µt(dx).

Notazione. Deniamo

ut(x) := u(t, x).

Denizione 2.2. Si dice che ut(x)è soluzione forte dell'equazione del calore con

condi-zione di Neumann al contorno (2.1) se ut(x) ∈ C1,2([0, T ] × D) e ut(x)verica (2.1).

Denizione 2.3. La funzione ut(x) ∈ H1([0, T ] × D) si dice soluzione debole

dell'e-quazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1) in un dominio D se vale < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds −1 2 Z t 0  ∂us ∂x, ∂φ(s, ·) ∂x  ds (2.2) per ogni φ ∈ C1,2 C ([0, T ] × R).

Denizione 2.4. La funzione ut(x) ∈ L2([0, T ] × D)si dice soluzione ultra debole

del-l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1) in un dominio D se vale < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds (2.3) per ogni φ ∈ C1,2 C ([0, T ] × R) tale che ∂φ ∂x|x=a= 0.

Vediamo con i seguenti teoremi che, con determinate ipotesi, le denizioni 2.2, 2.3 e 2.4 sono equivalenti.

Teorema 2.5. Se u ∈ L2_{([0, T ] × D) è soluzione forte di (2.1), allora è anche soluzione}

debole e ultra debole.

Dimostrazione. Iniziamo dimostrando che u è soluzione debole. Consideriamo φ ∈ C_C1,2([0, T ] × R). u ∈ C1,2([0, T ] × D) per ipotesi, allora

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) > = Z t 0 ∂ ∂s < us, φ(s, ·) > d = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds + Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds. Dal momento che u soddisfa l'equazione del calore, quest'ultima espressione è uguale a

Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  ∂2_u s ∂x2 , φ(s, ·)  ds. Integriamo per parti il secondo termine e otteniamo

1 2 Z t 0  ∂2_u s ∂x2 , φ(s, ·)  ds = 1 2 Z t 0 Z +∞ a ∂2us(x) ∂x2 φ(s, x)dx  d = 1 2 Z t 0  ∂us(x) ∂x φ(s, x) x=+∞ x=a ds −1 2 Z t 0 Z +∞ a ∂us(x) ∂x ∂φ(s, x) ∂x dx  ds.

2.1. LEGAME TRA IL MOTO BROWNIANO RIFLESSO IN DIMENSIONE 1 E LE PDE23

∂us(x)

∂x

x=a = 0 perché u soluzione di (2.1) e limx→+∞φ(s, x) = 0, perché φ funzione a

supporto compatto, allora

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds −1 2 Z t 0  ∂us ∂x, ∂φ(s, ·) ∂x  ds.

Abbiamo quindi dimostrato che u è soluzione debole. Per dimostrare che u è anche soluzione ultra debole continuiamo ad integrare per parti, aggiungendo l'ipotesi che

∂φ ∂x   x=a= 0. −1 2 Z t 0 Z +∞ a ∂us(x) ∂x ∂φ(s, x) ∂x dx  ds = −1 2 Z t 0  us(x) ∂φ(s, x) ∂x x=+∞ x=a ds +1 2 Z t 0 Z +∞ a us(x) ∂2φ(s, x) ∂x2 dx  ds.  us(x)∂φ(s,x)_∂x x=+∞ x=a

= 0 perché ∂φ_∂x è a supporto compatto ed ha derivata zero in a. Allora < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds,

quindi u è soluzione ultra debole.

Teorema 2.6. Se ut è soluzione debole dell'equazione del calore con condizione di

Neu-mann al contorno (2.1), allora è anche soluzione ultra debole.

Dimostrazione. u ∈ H1_{([0, T ] × D) per ipotesi, allora u ∈ L}2_{([0, T ] × D). Sia φ ∈}

C_C1,2([0, T ] × R) tale che ∂φ_∂x

x=a = 0, allora abbiamo che

− Z t 0  ∂us ∂x, ∂φ(s, ·) ∂x  ds = Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds.

Da questo segue la tesi, infatti < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) > = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds −1 2 Z t 0  ∂us ∂x, ∂φ(s, ·) ∂x  ds = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds.

Teorema 2.7. Se u è una soluzione ultra debole di (2.1) ed inoltre u ∈ C1,2_{([0, T ] × D),}

Dimostrazione. Dal momento che u ∈ C1,2_{([0, T ]×D), allora, per ogni φ ∈ C}1,2 C ([0, T ]×R) tale che ∂φ ∂x  

x=a= 0, possiamo scrivere

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) > = Z t 0 ∂ ∂s < us, φ(s, ·) > ds = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds + Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds.

u è soluzione ultra debole, allora < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds per ogni φ ∈ C1,2 C ([0, T ] × R) tale che ∂φ ∂x  

x=a= 0. Allora abbiamo

Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds = 1 2 Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds. Integriamo per parti e otteniamo

Z t 0  us, ∂2φ(s, ·) ∂x2  ds = Z t 0  us(x) ∂φ(s, x) ∂x x=+∞ x=a ds − Z t 0 Z +∞ a ∂us(x) ∂x ∂φ(s, x) ∂x dx  ds = − Z t 0  ∂us(x) ∂x φ(s, x) x=+∞ x=a ds + Z t 0 Z +∞ a ∂2us(x) ∂x2 φ(s, x)dx  ds. Allora −1 2 Z t 0  ∂us(x) ∂x φ(s, x)  x=a ds+1 2 Z t 0 Z +∞ a ∂2us(x) ∂x2 φ(s, x)dx  ds = Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds, (2.4) per ogni φ ∈ C1,2 C ([0, T ] × R) tale che ∂φ ∂x  

x=a = 0. Per l'arbitrarietà di φ possiamo

considerare φ ∈ C1,2

c ([0, T ] × R) tale che ∂φ_∂x

x=a= 0e φ(a) = 0, allora l'uguaglianza (2.4)

diventa 1 2 Z t 0  ∂2_u s ∂x2 , φ(s, ·)  ds = Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds. Per l'arbitrarietà di φ abbiamo trovato che ∂ut(x)

∂t = 1 2

∂2_u t(x)

∂x2 . A questo punto, vale anche

Z t 0  ∂us(x) ∂x φ(s, x)  x=a ds = 0.

φè arbitraria, allora ∂ut(x)

∂x

x=a= 0 e quindi ut(x)è anche soluzione forte.

Denizione 2.8. Una famiglia di misure di probabilità (µt)t∈[0,T ] si dice soluzione

mi-sura dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1) se soddisfa l'identità (2.3) delle soluzioni ultra deboli.

2.1. LEGAME TRA IL MOTO BROWNIANO RIFLESSO IN DIMENSIONE 1 E LE PDE25

2.1.2 Legame tra la legge del moto Browniano riesso e l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione 1

Ricordiamo la denizione data nel capitolo precedente per il moto Browniano riesso. Sia (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità completo ltrato, con ltrazione Ft. Il moto

Browniano riesso ˜B(a) = ( ˜Bt(a))t≥0 nel punto a ∈ R è così denito:

˜

Bt(a) = a + |Bt− a|,

con B = (Bt)t≥0moto Browniano rispetto allo spazio (Ω, F , Ft, P).

Vogliamo vedere che legame c'è tra l'equazione del calore e il moto Browniano riesso. Osservazione 2.9. Ricordiamo la formula di Itô per semimartingale continue. Sia X = (Xt)t≥0 una semimartingala continua e sia f una funzione di classe C2, allora

f (Xt) = f (X0) + Z t 0 f0(Xs)dXs+ 1 2 Z t 0 f00(Xs)d[X, X]s.

Sia µ = (µt)t≥0 la legge di ˜B(a) = B˜t(a)

t≥0. Vediamo il seguente teorema di

esistenza di soluzione misura dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1).

Teorema 2.10. (Esistenza) La legge µt di ˜Bt(a) è una soluzione misura dell'equazione

del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1). Dimostrazione. Indichiamo con La

t il Local Time del moto Browniano B rispetto al punto

a ∈ R. Per la formula di Itô Tanaka

˜

Bt(a) = ˜B0(a) +

Z t

0

sgn(Bs− a) dBs+ Lat.

Dal momento che Wt:=

Rt 0sgn(Bs− a) dBs è un moto Browniano, ˜ Bt(a) = ˜B0(a) + Wt+ Lat. Consideriamo φ ∈ C1,2 c ([0, T ] × R) tale che ∂φ_∂x  

x=a = 0. Ricordiamo che la variazione

quadratica di ˜Bt(a)è t, allora per la formula di Itô per semimartingale continue, abbiamo

dφ(t, ˜Bt(a)) = ∂φ ∂t(t, ˜Bt(a))dt + ∂φ ∂x(t, ˜Bt(a))d ˜Bt(a) + 1 2 ∂2φ ∂x2(t, ˜Bt(a))dt = ∂φ ∂t(t, ˜Bt(a))dt + ∂φ ∂x(t, ˜Bt(a))dWt+ ∂φ ∂x(t, ˜Bt(a))dL a t + 1 2 ∂2φ ∂x2(t, ˜Bt(a))dt.

ER₀t∂φ_∂x(s, ˜Bs(a)) dWs= 0 per la limitatezza di ∂φ_∂x, da cui segue

E[φ(t, ˜Bt(a))] − E[φ(0, ˜Bt(a))] = E

Z t 0 dφ(s, ˜Bs(a)) = E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Bs(a)) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Bs(a)) dWs + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Bs(a))dL a s+ 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Bs(a)) ds = E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Bs(a)) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Bs(a))dL a s+ 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Bs(a)) ds. La

t( ˜Bt(a)) cresce solo quando ˜Bt(a) = a. Inoltre ∂φ_∂x(t, ˜Bt(a)) = 0 se ˜Bt(a) = a, allora

Rt 0 ∂φ ∂x(s, ˜Bs(a))dL a s = 0. Da questo segue E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Bs(a)) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Bs(a))dL a s + 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Bs(a)) ds = E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Bs(a)) ds + 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Bs(a)) ds.

Dal momento che E[φ(t, ˜Bt(a))] =

R

Dφ(t, x)µt(dx) =< µt, φ(t, ·) >abbiamo la tesi.

Osservazione 2.11. Dalla dimostrazione del teorema (2.10) osserviamo che, se la legge µ0ha densità p(0, ·) e quindi la legge µtha densità p(t, ·), allora p è soluzione misura

dell'e-quazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1). Se p ∈ C1,2_{([0, T ]×D),}

allora, per il teorema (2.7), p è soluzione dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.1).

Il moto Browniano riesso nel punto a ∈ R ha densità, infatti, sia x ≥ a, P ˜Bt(a) ≤ x
= P a + |Bt− a| ≤ x
= P − x + 2a ≤ Bt≤ x
.

Sia Ft la funzione di ripartizione di Bt.

P − x + 2a ≤ Bt≤ x
= Ft(x) − Ft(−x + 2a).

La densità di Bt è ft(x) = √_2πt1 exp −x2/(2t)

, allora la densità di ˜Bt(a) è pt(x) = 1 √ 2πtexp −x 2<sub>/(2t)
+ √</sub>1 2πtexp −(x − 2a) 2_/(2t)
, per x ≥ a. Per x < a, pt(x) = 0.

La funzione pt(x) ∈ C1,2([0, T ] × D) ed è soluzione forte dell'equazione del calore con

condizione di Neumann al contorno (2.1).

Abbiamo quindi visto che la densità del moto Browniano riesso è soluzione forte dell'e-quazione del calore con condizione di Neumann al contorno.

2.1. LEGAME TRA IL MOTO BROWNIANO RIFLESSO IN DIMENSIONE 1 E LE PDE27

2.1.3 Legame tra soluzioni riesse di equazioni dierenziali stocastiche ed equazioni dierenziali alle derivate parziali

Denizione 2.12. Sia (Ω, F , Ft, P) uno spazio di probabilità completo ltrato. Sia

B = (Bt)t≥0 un moto Browniano a valori in R. Si dice equazione dierenziale stocastica

un'equazione della forma

dXt= b(t, Xt)dt + σ(t, Xt)dBt, X

t=0= X0,

dove X0 è F0-misurabile, b : [0, T ] × R → R e σ : [0, T ] × R → R hanno una regolarità

specicata caso per caso e la soluzione X = (Xt)t∈[0,T ] è un processo continuo adattato.

Il signicato dell'equazione è l'identità Xt= X0+ Z t 0 b(s, Xs)ds + Z t 0 σ(s, Xs)dBs,

dove dobbiamo assumere condizioni su b e σ che assicurino che s 7→ b(s, Xs) sia

integra-bile, s 7→ σ(s, Xs) sia di quadrato integrabile, con probabilità uno.

Supponiamo di essere nelle ipotesi tali che X = (Xt)0≤t≤T esista. Consideriamo il

processo stocastico ˜X = ( ˜Xt)0≤t≤T, che è X riesso nel punto a ∈ R, cioè

˜

Xt:= a + |Xt− a|.

Vogliamo studiare se c'è un legame tra ˜Xe un'equazione dierenziale alle derivate parzia-li. Consideriamo l'equazione di Fokker-Planck con condizione di Neumann al contorno:

     ∂pt(x) ∂t = 1 2 ∂2_(σ2_p) ∂x2 − ∂(p˜b) ∂x , se x ∈ [a, +∞), ∂pt(x) ∂n = 0, se x = a, pt(x) = p0(x), se t = 0, (2.5) dove ˜b(t, Xt) := b(t, Xt)sgn(Xt− a).

Denizione 2.13. Una famiglia (µt)t∈[0,T ] di misure di probabilità su R si dice soluzione

misura dell'equazione di Fokker-Planck con condizione di Neumann al contorno (2.5) se t 7→< µt, φ(t, ·) > è misurabile per ogni φ ∈ Cb([0, T ] × R) e

hµt, φ(t, ·)i − hµ0.φ(0, ·)i = Z t 0  µs,  ∂φ ∂s + 1 2σ 2∂2φ ∂x2 + ˜b ∂φ ∂x  (s, ·)  ds per ogni φ ∈ C1,2 C ([0, T ] × R) tale che ∂φ ∂x   x=a= 0.

Osservazione 2.14. Valgono gli stessi teoremi visti nel caso dell'equazione del calore, con dimostrazioni analoghe. Quindi se una soluzione misura è C1,2_{([0, T ] × D), allora è}

soluzione dell'equazione di Fokker-Planck con condizione di Neumann al contorno (2.5). Vediamo un teorema di esistenza di soluzioni dell'equazione di Fokker-Planck con condizione di Neumann al contorno.

Teorema 2.15. La legge µt di ˜Xt(a) è una soluzione misura dell'equazione di

Fokker-Planck con condizione di Neumann al contorno (2.5).

Dimostrazione. Indichiamo con Lt il Local Time di ˜Xt. Per la formula di Tanaka per

processi di Itô ˜ Xt= ˜X0+ Z t 0 sgn(Xs− a) dXs+ Lt. Consideriamo φ ∈ C1,2 C ([0, T ] × R) tale che ∂φ ∂x  

x=a = 0. Ricordiamo che la variazione

quadratica di ˜Xtè σ2t, allora per la formula di Itô per semimartingale continue, abbiamo

dφ(t, ˜Xt) = ∂φ ∂t(t, ˜Xt)dt + ∂φ ∂x(t, ˜Xt)d ˜Xt+ 1 2 ∂2φ ∂x2(t, ˜Xt)σ 2_dt = ∂φ ∂t(t, ˜Xt)dt + ∂φ ∂x(t, ˜Xt)sgn(Xt− a)b dt + ∂φ ∂x(t, ˜Xt)sgn(Xt− a)σdBt+ ∂φ ∂x(t, ˜Xt)dLt+ 1 2 ∂2φ ∂x2(t, ˜Xt)σ 2_dt. ERt 0 ∂φ

∂x(s, ˜Xs)sgn(Xs− a)σ dBs= 0 per la limitatezza di ∂φ ∂x, da cui segue E[φ(t, ˜Xt)] − E[φ(0, ˜Xt)] = E Z t 0 dφ(s, ˜Xs) = E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Xs) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs)sgn(Xs− a)b ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs)sgn(Xs− a)σ dBs + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs) dLs+ 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Xs)σ 2_ds = E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Xs) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs)sgn(Xs− a)b ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs) dLs+ 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Xs)σ 2_ds.

Lt( ˜Xt)cresce solo quando ˜Xt= a. Inoltre∂φ_∂x(t, ˜Xt) = 0se ˜Xt= a, allora R₀t∂φ_∂x(s, ˜Xs)dLs=

0. Inoltre sgn(Xs− a)b = ˜b. Da questo segue

E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Xs) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs)sgn(Xs− a)b ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs) dLs+ 1 2E Z t 0 ∂2_φ ∂x2(s, ˜Xs)σ 2_ds = E Z t 0 ∂φ ∂s(s, ˜Xs) ds + E Z t 0 ∂φ ∂x(s, ˜Xs)˜b ds + 1 2E Z t 0 ∂2φ ∂x2(s, ˜Xs) ds.

Dal momento che E[φ(t, ˜Xt)] =

R

2.2. LEGAME TRA IL MOTO BROWNIANO RIFLESSO IN DIMENSIONE D > 1 E LE PDE29 Osservazione 2.16. Dal teorema appena visto osserviamo che c'è un'analogia tra il

moto Browniano riesso e un processo stocastico che è soluzione riessa di un'equazione dierenziale stocastica, infatti le leggi di entrambi sono soluzione misura di un'equazione dierenziale alle derivate parziali. Inoltre l'equazione è la stessa, infatti nel caso del moto Browniano riesso il termine ˜b dell'equazione di Fokker-Planck (2.5) è zero.

2.2 Legame tra il moto Browniano riesso in dimensione

d > 1

e le PDE

Continuiamo lo studio iniziato per il moto Browniano riesso in dimensione 1, per la sua generalizzazione in dimensione d > 1.

2.2.1 Equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione d > 1

Siano D ⊂ Rd _{un aperto limitato con ∂D liscio e n il versore interno normale a ∂D.}

Indichiamo con n(x) il versore interno normale a ∂D nel punto x ∈ ∂D

Consideriamo l'equazione del calore nel dominio D con condizione di Neumann al con-torno:      ∂pt ∂t = 1 2 Pd i=1∂i2pt in D × [0, T ], ∂pt ∂n = 0 in ∂D × [0, T ], p|t=0 = p0 in D. (2.6) Osservazione 2.17. Con C1,2_{([0, T ] × D)indichiamo lo spazio delle funzioni φ : [0, T ] ×}

D → R tali che φ,∂φ_∂t, ∂iφ, ∂i∂jφ ∈ C([0, T ] × D)per i, j = 1, . . . , d. Inoltre

< µt, φ >= Z D φ(x)µt(dx). Notazione. ut(x) := u(t, x).

Denizione 2.18. La funzione ut(x)si dice soluzione forte dell'equazione del calore con

condizione di Neumann al contorno (2.6) se ut(x) ∈ C1,2([0, T ] × D) e verica (2.6).

Denizione 2.19. La funzione ut(x) ∈ H1([0, T ] × D) si dice soluzione debole

dell'e-quazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.6) in un dominio D se vale ut, φ(t, ·) −u0, φ(0, ·) = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds−1 2 Z t 0  d X i=1 ∂ius, d X i=1 ∂iφ(s, ·)  ds (2.7) per ogni φ ∈ C1,2_{([0, T ] × D).}

Denizione 2.20. La funzione ut(x) ∈ L2([0, T ] × D) si dice soluzione ultra debole

dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.6) in un dominio D se vale hu_t, φ(t, ·)i − hu0, φ(0, ·)i = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  us, d X i=1 ∂_i2φ(s, ·)  ds (2.8) per ogni φ ∈ C1,2_{([0, T ] × D) tale che} ∂φ

∂n

∂D= 0.

Le denizioni 2.18, 2.19 e 2.20 con determinate ipotesi sono equivalenti. Vediamo i seguenti teoremi.

Teorema 2.21. Se u ∈ L2_{([0, T ] × D)è soluzione di (2.6) tale che u ∈ C}1,2_{([0, T ] × D),}

allora è anche soluzione debole e ultra debole.

Dimostrazione. Iniziamo dimostrando che u è soluzione debole. Consideriamo φ ∈ C1,2([0, T ] × D). u è C1,2([0, T ] × D)per ipotesi, allora

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) > = Z t 0 ∂ ∂s < us, φ(s, ·) > ds = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds + Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds. Dal momento che u soddisfa l'equazione del calore, quest'ultima espressione è uguale a

Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  d X i=1 ∂_i2us, φ(s, ·)  ds.

Integriamo per parti il secondo termine e otteniamo 1 2 Z t 0 4us, φ(s, ·)ds = 1 2 Z t 0 Z D 4u_s(x)φ(s, x)dx  ds = 1 2 Z t 0 Z ∂D ∇us(x)φ(s, x)n(x) dx  ds −1 2 Z t 0 Z D ∇us(x)∇φ(s, x)dx  ds. ∇usn   ∂D= ∂us ∂n  

∂D = 0perché u soluzione di (2.6), allora

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds −1 2 Z t 0 ∇us, ∇φ(s, ·)ds.

Abbiamo quindi dimostrato che u è soluzione debole. Per dimostrare che u è anche soluzione ultra debole continuiamo ad integrare per parti, aggiungendo l'ipotesi che

∂φ ∂n   ∂D= 0. Z t 0 Z D ∇us(x)∇φ(s, x)dx  ds = Z t 0 Z ∂D us(x)∇φ(s, x)n(x) dx  ds − Z t 0 Z D us(x)4φ(s, x)dx  ds.

2.2. LEGAME TRA IL MOTO BROWNIANO RIFLESSO IN DIMENSIONE D > 1 E LE PDE31 R

∂Dus(x)∇φ(s, x)n(x) dx = 0per ipotesi su φ. Allora

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0 us, 4φ(s, ·)ds,

quindi u è soluzione ultra debole.

Teorema 2.22. Se ut è soluzione debole dell'equazione del calore con condizione di

Neumann al contorno (2.6), allora è anche soluzione ultra debole.

Dimostrazione. u ∈ H1_{([0, T ] × D) per ipotesi, allora u ∈ L}2_{([0, T ] × D). Sia φ ∈}

C1,2_{([0, T ] × D) tale che} ∂φ ∂n

∂D= 0, allora abbiamo che

− Z t 0 ∇us, ∇φ(s, ·)ds = Z t 0 us, 4φ(s, ·)ds.

Da questo segue la tesi, infatti < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) > = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds −1 2 Z t 0  ∂us ∂x, ∂φ(s, ·) ∂x  ds = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0 us, 4φ(s, ·)ds.

Teorema 2.23. Se u è una soluzione ultra debole di (2.6) ed inoltre u ∈ C1,2_{([0, T ] × D),}

allora u è anche soluzione forte.

Dimostrazione. Dal momento che u ∈ C1,2_{([0, T ] × D), allora, per ogni φ ∈ C}1,2_{([0, T ] ×}

D) tale che ∂φ_∂n ∂D = 0, possiamo scrivere < ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) > = Z t 0 ∂ ∂s < us, φ(s, ·) > ds = Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds + Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds.

utè soluzione ultra debole, allora

< ut, φ(t, ·) > − < u0, φ(0, ·) >= Z t 0  us, ∂φ(s, ·) ∂s  ds +1 2 Z t 0  us, d X i=1 ∂2_iφ(s, ·)  ds

per ogni φ ∈ C1,2_{([0, T ] × D) tale che} ∂φ ∂n   ∂D = 0. Allora abbiamo Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds = 1 2 Z t 0  us, d X i=1 ∂_i2φ(s, ·)  ds.

Integriamo per parti e otteniamo Z t 0 < us, 4φ(s, ·) > ds = Z t 0 Z ∂D us(x)∇φ(s, x)n(x) dx  ds − Z t 0 Z D ∇u_s(x)∇φ(s, x)dx  ds = − Z t 0 Z ∂D ∇us(x)φ(s, x)n(x) dx  ds + Z t 0 Z D 4us(x)φ(s, x)dx  ds. Allora −1 2 Z t 0 Z ∂D ∇u_s(x)φ(s, x)n(x) dx  ds+1 2 Z t 0 Z D 4u_s(x)φ(s, x)dx  ds = Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds, (2.9) per ogni φ ∈ C1,2_{([0, T ] × D) tale che} ∂φ

∂n

∂D = 0. Per l'arbitrarietà di φ possiamo

considerare φ ∈ C1,2_{([0, T ] × D)tale che} ∂φ ∂n   ∂D = 0e φ∂D = 0, allora l'uguaglianza (2.9) diventa 1 2 Z t 0 < 4us, φ(s, ·) > ds = Z t 0  ∂us ∂s , φ(s, ·)  ds. Per l'arbitrarietà di φ abbiamo trovato che ∂ut(x)

∂t = 1 2

Pd

i=1∂2iut(x). A questo punto,

vale anche Z t 0 Z ∂D ∇u_s(x)φ(s, x)n(x) dx  ds = 0.

φè arbitraria, allora ∇ut(x)·n = ∂u_∂nt(x)

∂D = 0e quindi ut(x)è anche soluzione forte.

Denizione 2.24. Una famiglia di misure di probabilità µ = (µt)t∈[0,T ] si dice soluzione

misura dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno (2.6) se verica l'identità (2.8) delle soluzioni ultra deboli.

2.2.2 Legame tra la legge del moto Browniano riesso e l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno in dimensione d > 1

Vogliamo vedere che legame c'è tra l'equazione del calore e il moto Browniano riesso. Come nel caso in dimensione 1, vogliamo dimostare che la misura del moto Browniano riesso in dimensione d > 1 è soluzione misura dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno.

Sia D ⊂ Rd_{un aperto limitato con ∂D liscio. Esiste una base stocastica (Ω, F , F}

t, P, W =

(Wt)t≥0), con (Ω, F , Ft, P) spazio di probabilità completo ltrato e W moto Browniano,

tale che il moto Browniano riesso ˜B = ( ˜Bt)t≥0 sia denito nel seguente modo

˜

Bt= x0+ Wt+ Lt,

dove L = (Lt)t≥0 è il processo stocastico che rapprenta il Local Time generalizzato in