Capitolo 2 Studio Idrologico

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Capitolo 2

Studio idrologico

2.1 Premessa

Lo studio idrologico è svolto al fine di determinare, nella sezione di riferimento presa in esame del rio Leccio, il valore della portata riferita ad un tempo di ritorno tr =200 anni. Questo calcolo si rende necessario per le verifiche idrauliche, per la valutazione del rischio idraulico e per la conseguente progettazione di due casse di espansione in linea, oggetto di studio, atte a diminuire tale rischio.

I fenomeni che originano i deflussi sono le precipitazioni meteoriche; esse sono state modellate attraverso uno studio basato su metodi statistici.

A seguito delle piogge, le acque pluviali vengono raccolte nei vari bacini e convogliate nei corsi d’acqua; le modalità con cui avviene questo trasferimento dipendono dalle varie caratteristiche del bacino stesso (geografiche, morfologiche e geologiche) il quale è stato schematizzato mediante il modello del Soil Conservation Service (SCS), basato sul metodo

CN (Curve Number).

E’ stata quindi definita, in base a questo metodo, una legge di trasformazione “afflussi-deflussi”.

Lo studio idrologico si divide nelle seguenti fasi: - analisi statistica dei dati di pioggia raccolti ;

- determinazione delle curve di possibilità pluviometrica caratterizzate dal tempo di ritorno duecentennale ;

- analisi del bacino sotteso dalla sezione di riferimento attraverso la parametrizzazione delle caratteristiche morfometriche, litologiche (permeabilità dei terreni) e di uso del suolo; - determinazione del valore della portata nella sezione di riferimento avente tempo di ritorno tr= 200 anni.

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2.1 Individuazione dei sottobacini e loro caratteristiche

Il bacino idrografico è stato individuato utilizzando la cartografia CTR 1:10000 riportante le curve di livello; in seguito si è operata una suddivisione in sei sottobacini dei quali si riporta un elenco da monte verso valle, indicando per ciascuno di essi le principali caratteristiche e gli elementi del reticolo idrografico che lo interessano.

Sottobacino 1

• Estensione: 3.97 km2

• Lunghezza asta principale: 3734 m (rio Leccio)

• Lunghezza percorso idraulicamente più difficile: 4800 m

• Quota massima: 673 m

• Quota della sezione di chiusura: 45 m • Pendenza media dell’asta principale: 4%

• Pendenza media percorso idraulicamente più difficile: 6 %

Il reticolo idrografico che interessa il sottobacino 1 è costituito dai seguenti elementi:

 rio Leccio ;  rio Grande ;  rio Vavandara ;  Solco del Seccioli.

Sottobacino 2

• Lunghezza asta principale: 2710 m (rio di Scioppato) • Lunghezza percorso idraulicamente più difficile: 3910 m

• Quota della sezione di chiusura: 45 m • Pendenza media dell’asta principale: 1.4 %

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 affluenti del rio di Scioppato.

Sottobacino 3

 rio Leccio;  affluenti minori.

Sottobacino 4

• Lunghezza asta principale: 1398 m

• Quota massima: 85.8 m

• Pendenza media percorso idraulicamente più difficile: 2%

Il reticolo idrografico che interessa il sottobacino 4 è costituito da affluenti minori

Sottobacino 5

• Lunghezza asta principale: 1412 m (rio Caravizza) • Lunghezza percorso idraulicamente più difficile: 2147 m

• Quota della sezione di chiusura: 31 m • Pendenza media dell’asta principale: 2 %

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 rio Caravizza ;

 affluenti del rio Caravizza .

Sottobacino 6

 rio Leccio ;  affluenti minori .

Le pendenze medie sono state calcolate con la seguente formula: n n i L i L i L L i + + = 2 2 1 1

dove L , 1 L ...2 L sono le lunghezze dei tratti con pendenza rispettivamente pari a n i , 1 i ...2 n

i .

Si riporta la carta del bacino e del reticolo idrografico.

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2.3 Stazioni pluviometriche e individuazione aree di competenza

Al fine di definire il regime pluviometrico della zona in esame e valutare quindi gli idrogrammi di piena relativi ai vari tempi di ritorno, si è fatto riferimento ai dati relativi alle piogge di durata compresa tra 1 e 24 ore registrate alle stazioni pluviometriche presenti nelle vicinanze del bacino oggetto di studio, gestite dal Servizio Idrografico (Sezione di Pisa).

Dette stazioni pluviometriche risultano essere sette:

 Porcari  Chiesina di Padule  Montecarlo  Segromigno in Monte  Pescia  Villa Basilica  Boveglio

Tuttavia le stazioni di Porcari, Montecarlo e Pescia non sono dotate di pluviometro registratore, e le stazioni di Villa Basilica e Boveglio non hanno un numero di anni di osservazione sufficienti. Quindi vengono prese in considerazione le rimanenti, ovvero: Chiesina di Padule e Segromigno in Monte.

Delle due stazioni si è determinata l’area di competenza (o topoieto) col metodo dei poligoni di Thiessen, che consiste nel collegare, mediante segmenti, una generica stazione con quelle limitrofe, tracciando poi le normali passanti per i punti di mezzo di tali segmenti, fino a che esse non si intersecano.

La stazione di Segromigno in Monte è risultata la più significativa ricoprendo circa 10 km

2_{dei totali 12.9 km}2_.

La stazione di Segromigno in Monte interessa la zona nord del bacino, quindi il sottobacino 1, il sottobacino 2, il sottobacino3, il sottobacino 4 e l'80% del territorio del sottobacino 5 e una piccolissima parte del sottobacino 6. La stazione di Chiesina di Padule interessa la quasi totalità del territorio del sottobacino 4.

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Si riportano in dettaglio, sia numerico che cartografico, le porzioni di bacino che ricadono sotto ciascuna stazione.

 Segromigno in Monte : 10.00 km2  Chiesina di Padule : 2.99 km2

Figura 2.2: Aree di competenza delle stazioni pluviometriche.

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2.4 Elaborazione statistica dei dati pluviometrici

Le piogge delle due stazioni sono state modellate attraverso uno studio basato su metodi statistici riguardanti distribuzioni del valore estremo per poter poi determinare le curve di possibilità pluviometrica.

Per ricavare i valori delle piogge per le varie durate relativi a differenti tempi di ritorno,sono state utilizzate due distribuzioni : la distribuzione di Gumbel a due parametri e la distribuzione generalizzata dei valori estremi (Generalized Extreme Value, conosciuta con la sigla GEV) a tre parametri; quest’ultima è stata scelta in quanto dovrebbe fornire un buon adattamento al campione dei massimi annuali nello studio per stazioni dotate di un numero limitato di osservazioni. E’ stato poi valutato quale delle due presentasse un miglior adattamento ai dati misurati.

Le elaborazioni statistiche dei dati pluviometrici consistono nel supporre che tali dati seguano determinate distribuzioni statistiche di equazione nota e nel determinare i parametri delle distribuzioni stesse in base ai valori del campione disponibile per la grandezza idrologica, costituito dalle osservazioni effettuate in passato in un certo periodo. Per la determinazione della curva di possibilità pluviometrica sono stati eseguiti i seguenti passaggi:

• Suddivisione del campione di dati in classi in base alla durata in ore; • Applicazione delle distribuzioni di Gumbel e GEV;

• Applicazione del test χ 2 alle distribuzioni Gumbel e GEV;

• Applicazione del test K.S. Alle distribuzioni Gumbel e GEV;

• Scelta della distribuzione e determinazione della curva di possibilità pluviometrica.

Nelle tabelle sottostanti si riportano i valori delle massime altezze di pioggia per durate di 1-3-6-12-24 ore relativi rispettivamente alla stazione di Segromigno in Monte e a quella di Chiesina di Padule.

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STAZIONE PLUVIOMETRICA DI SEGROMIGNO IN MONTE (16 dati) ANNO 1h 3h 6h 12h 24h 1970 32.00 43.00 45.40 50.20 50.40 1971 34.60 55.00 69.00 75.40 76.20 1972 10.20 21.20 29.40 39.00 60.80 1973 41.20 63.20 64.00 78.40 32.20 1974 10.40 22.00 29.80 31.20 37.20 1975 23.20 41.20 67.00 107.00 120.60 1976 30.60 82.80 84.00 85.80 101.20 1977 18.40 30.20 50.40 64.20 64.20 1978 13.80 26.40 36.40 46.80 71.40 1979 18.20 29.00 31.60 43.80 83.60 1980 32.60 48.60 70.40 92.40 140.20 1981 1982 26.80 27.20 33.00 52.00 59.00 1983 32.60 34.40 34.40 38.20 58.00 1984 21.00 29.40 34.60 41.60 56.20 1985 22.80 32.00 55.20 55.20 56.80 1986 31.60 40.60 51.40 61.40 66.80

Tabella 2.1: Dati di pioggia della stazione di Segromigno in Monte.

STAZIONE PLUVIOMETRICA DI CHIESINA DI PADULE (26 dati)

ANNO 1h 3h 6h 12h 24h 1970 28.00 42.00 46.00 52.80 57.60 1971 22.00 34.00 42.40 46.80 65.00 1972 23.60 26.00 32.00 52.20 75.40 1973 57.20 61.60 68.00 68.00 81.20 1974 13.00 38.00 40.00 44.00 44.80 1975 21.20 24.20 40.40 77.00 104.40 1976 31.60 33.60 39.20 76.60 84.40 1977 36.00 57.80 57.80 59.60 66.20 1978 22.40 50.20 80.00 80.00 80.00 1979 16.40 38.20 56.40 61.60 111.40 1980 14.20 18.80 30.60 52.40 74.60 1981 35.60 69.00 84.60 85.20 87.40 1982 15.00 24.20 35.20 53.00 60.60 1983 14.80 25.00 38.00 58.00 67.40 1984 30.00 39.00 56.00 62.80 63.20 1985 24.00 34.40 47.60 47.60 48.00 1986 1987 1988 40.60 58.40 60.40 61.00 61.20 1989 19.10 27.30 41.40 42.80 44.00 1990 16.40 44.40 72.80 81.60 85.80 1991 35.00 74.80 97.60 104.80 106.80 1992 39.80 92.00 133.60 174.00 175.00 1993

(10)

1994 25.20 46.20 66.20 102.80 112.60 1995 37.40 42.40 48.00 49.20 67.80 1996 29.20 57.60 67.40 70.60 73.00 1997 44.40 99.60 116.80 116.80 117.20 1998 15.40 24.20 34.00 34.00 48.20

Tabella 2.2: Dati di pioggia della stazione di Chiesina di Padule.

2.4.1 Applicazione delle distribuzioni Gumbel e GEV al campione

di dati

1) Metodo statistico di Gumbel

Detto tr il tempo di ritorno, in anni, del valore x di una data grandezza idrologica, la

Probabilità P(x) di superamento (in un anno) del valore x è data da:

P(x) =

r t

1

(1)

la Probabilità Φ(x) di non superamento è data da:

Φ(x)=

r t

1

1− ₍₂₎

La _{F(x) è detta anche durata probabile del valore x e rappresenta la percentuale dei casi in} cui probabilisticamente si verifica un valore della grandezza idrologica minore o uguale a x.

Secondo la distribuzione di Gumbel, la Φ(x) ha la seguente espressione :

Φ(x)=        

−

e

x

N

e

α

₍₃₎

(11)

da cui linearizzando , y N t x _r = + ⋅ α 1 ) (

(4) dove:

− x(tr) è la grandezza idrologica (in questo caso l’altezza di pioggia espressa in mm),

avente una determinata durata e un determinato tempo di ritorno tr;

− tr è il tempo di ritorno espresso in anni (nel caso in esame tr = 200 anni);

− N e α sono i parametri della distribuzione di Gumbel, che si determinano elaborando i dati del campione (la serie storica dei massimi annuali della grandezza). Applicando il metodo dei momenti,tali parametri sono dati rispettivamente da:

σ α σ ⋅ = ⋅ − = 7797 , 0 1 45 , 0 M N in cui n h M n i i

∑

=

= 1 media aritmetica dei valori massimi annuali

1 1 2 − =

∑

= n n i i ε

σ scarto quadratico medio (o deviazione standard)

essendo n il numero delle osservazioni e

ε_i = h_i− M lo scarto dalla media M, per l’osservazione i-esima

 y è detta variabile ridotta della distribuzione, ed è un parametro funzione della Φ(x) e quindi del tempo di ritorno tr dato dalla relazione :

          − − − = r t y ln ln 1 1

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Segromigno in Monte:

Nella tabella 2.1 sono riportati i dati disponibili per la stazione pluviometrica di Segromigno in Monte relativi ai massimi annuali per le piogge della durata di 1h, 3h, 6h, 12h e 24h.

I parametri statistici sono stati calcolati con l’aiuto del foglio elettronico Excel. I risultati sono i seguenti:

1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore Media 25.00 39.14 49.13 60.16 70.93

Dev.

Stan. 9.20 16.57 17.48 21.94 28.66

N 20.86 31.68 41.26 50.29 58.03

1/α 7.17 12.92 13.63 17.11 22.35

ALTEZZE DI PIOGGIA DI DURATA DA 1 A 24 ORE IN FUNZIONE DEL Tr (Gumbel)

Tr (anni) Φ(x) y 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

200 0.995 5.296 58.84 100.10 113.43 140.90 176.37

Chiesina di Padule:

Nella tabella 2.2 sono riportati i dati disponibili per la stazione pluviometrica di Chiesina di Padule relativi ai massimi annuali per le piogge della durata di 1h, 3h, 6h, 12h e 24h. I parametri statistici sono stati calcolati con l’aiuto del foglio elettronico Excel.

I risultati sono i seguenti:

1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore Media 27.21 45.5 58.94 69.82 79.35

Dev.

Stan. 11.14 21.00 26.21 29.47 28.83

N 22.20 36.05 47.14 56.56 66.38

1/α 8.69 16.37 20.44 22.97 22.48

ALTEZZE DI PIOGGIA DI DURATA DA 1 A 24 ORE IN FUNZIONE DEL Tr (Gumbel)

Tr (anni) F(x) Y 1 ora 3ore 6 ore 12 ore 24 ore

(13)

Una volta stimati i parametri della distribuzione di Gumbel è necessario verificarne l’adattamento ai dati del campione a disposizione, per ogni tempo di pioggia. Questo controllo viene eseguito attraverso la cosiddetta carta probabilistica di Gumbel, che ha in ascissa la variabile ridotta y (che è funzione del tempo di ritorno) e in ordinata i valori delle varie altezze di pioggia, entrambe in scala lineare. Su questa carta i campioni sono rappresentati da una serie di punti (le cui coordinate sono rispettivamente la y corrispondente a un determinato tempo di ritorno e le altezze di pioggia misurate), mentre la distribuzione di Gumbel è rappresentata con la retta di equazione

y N

x= + ⋅

α

1

Per riportare un campione analizzato sulla carta di Gumbel, si procede nel seguente modo:

• si ordinano in ordine crescente le n osservazioni;

• si calcola la durata probabile dell'osservazione di ordine m: 1 ) ( + = Φ n m m

• si calcola la variabile ridotta y

In questo modo, ad ogni altezza di pioggia misurata si può associare un valore della variabile ridotta y, tale da poter rappresentare il campione sulla carta di Gumbel.

Per rappresentare invece la retta associata alla distribuzione di Gumbel si procede nel seguente modo

• si calcola il valore : x= N+ ⋅y

α

1

• si riportano i punti (y,x) trovati sulla carta di Gumbel

Fatto questo si confrontano le osservazioni con i punti (y,x) così ottenuti.

Nelle figure di seguito riportate vengono rappresentate le carte di Gumbel per le piogge di durata 1h, 3h, 6h, 12h, 24h per le stazioni di Segromigno in Monte e di Chiesina di Padule.

(14)

Segromigno in Monte: -2 -1 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40

Segromigno in M onte: carta di Gumbel (piogge di 1 ora) Gumbel Oss. y h (m m )

Figura 2.3: Adattamento della distribuzione di Gumbel ai dati osservati per piogge di 1 ora.

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80

Segromigno in M onte: carta di Gumbel (piogge di 3 ore) Gumbel Oss. y h (m m )

(15)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80

Figura 2.5: Adattamento della distribuzione di Gumbel ai dati osservati per piogge di 6 ore.

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80 100 120

(16)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160

Chiesina di Padule : -2 -1 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40 50 60 70

Chiesina di Padule: carta di Gumbel (piogge di 1 ora) Gumbel Oss. y h (m m )

(17)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80 100 120

Chiesina di Padule: carta di Gumbel (piogge di 3 ore) Gumbel Oss. y h (m m )

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160

(18)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 40 80 120 160 200

(19)

2)

Distribuzione GE

V (Generalized Extreme Values)

La distribuzione GEV ha la seguente espressione:



































 −

−

=

k

x

k

x

1

1 exp

)

(

α

ξ

φ

(5) da cui,

{

(

)

k

}

k

x

(

φ

)

₌

ξ

₊

α

1 ₋

log

φ

(6) dove:

x = variabile che esprime la grandezza idrologica adimensionalizzata;

Φ= probabilità di non superamento;

ξ,α ,κ = parametri che rappresentano rispettivamente posizione, scala, forma; sono stimati sulla base dei dati, mediante l'utilizzo del software “Easy Fit 3,4” della MathWave e riportati nelle tabelle 2.3 e 2.4 per le due stazioni e per le varie durate.

SEGROMIGNO IN MONTE ore 1 3 6 12 24 ξ 21.198 32.482 40.7 49.17 56.46 α 8.034 15.382 14.56 21.216 22.93 κ -0.01 0.10 0.03 -0.02 -0.11

Tabella 2.3: Parametri della distribuzione GEV per la stazione di Segromigno in Monte.

CHIESINA DI PADULE

ore 1 3 6 12 24

ξ 21.98 35.02 45.54 56.34 65.54

α 9.16 19.463 22.944 22.648 22.64

κ -0.085 -0.01 -0.05 -0.14 -0.16

(20)

Le loro espressioni risultano (Hosking, 1990): κ = 7 . 8 5 9 0 z + 2 . 9 5 5 4 z2 ξ = l₁ + α Γ

( )

1+κ −1 κ α = l₂ κ 1− 2 −k

(

)

Γ

(

1 + κ

)

in cui: z = 2 3 + t₃ − l o g 2 l o g 3 , t3 = l₃ l₂ , 3 2 1,l ,l

l sono gli L-moments del primo, secondo e terzo ordine e Г è la funzione Gamma definita nel seguente modo

Γ

( )

n = tn−1

0

∞

∫

e −t d t

Per ciascuna durata sono stati riportati sulla Carta di Gumbel i dati osservati e le due distribuzioni, Gumbel e GEV.

(21)

Segromigno in Monte : -2 -1 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40

Segromigno in M onte: carta di Gumbel (piogge di 1 ora) Oss Gumbel GEV y h (m m )

Figura 2.13: Adattamento delle distribuzioni di Gumbel e GEV ai dati osservati per piogge di 1 ora.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80

Segromigno in M onte: carta di Gumbel (piogge di 3 ore) Oss Gumbel GEV y h (m m )

(22)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80

Segromigno in M onte: Segromigno in M onte (piogge di 6 ore) Oss Gumbel GEV y h (m m )

Figura 2.15: Adattamento delle distribuzioni di Gumbel e GEV ai dati osservati per piogge di 6 ore.

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80 100 120

(23)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 40 80 120 160

Chiesina di Padule : -2 -1 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40 50 60 70

Chiesina di Padule: carta di Gumbel (piogge di 1 ora) Oss Gumbel GEV y h (m m )

(24)

-2 -1 0 1 2 3 4 0 20 40 60 80 100

Chiesina di Padule: carta di Gumbel (piogge di 3 ore) Oss Gumbel GEV y h (m m )

-2 -1 0 1 2 3 4 0 40 80 120 160

(25)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 0 40 80 120 160 200

-2 -1 0 1 2 3 4 0 40 80 120 160 200

(26)

2.4.2 Test statistici

Dopo aver stimato le funzioni di probabilità che adattano la distribuzione di una variabile aleatoria campionaria, possiamo eseguire un test per verificare se l’adattamento è accettabile o meno.

Il test parte dalle considerazioni:

1. - i parametri delle due distribuzioni vengono stimati, quindi hanno una certa variabilità e possono così essere interpretati come variabili aleatorie;

2. - sotto particolari ipotesi, possiamo ritenere nota la distribuzione di probabilità di tali parametri;

3. - in funzione dei parametri è possibile valutare la statistica del test, ossia una misura, determinata mediante opportune regole di calcolo, del grado di veridicità di una certa ipotesi iniziale; nel nostro caso la statistica è fondamentalmente la differenza tra la distribuzione del campione e la distribuzione teorica adottata; 4. - in base alle distribuzioni osservate e adottate, e alla misura della statistica

calcolata, possiamo fissare un criterio di confronto, ossia un limite di rigetto per i valori della statistica, superato il quale l’ipotesi iniziale non è verificata;

La sequenza logica nella produzione dei test considerati per questo studio è quindi la seguente:

• si identifica un’ipotesi ;

• si definisce una statistica, tipica del test; • si calcola la statistica;

• si controlla che l’ipotesi iniziale sia verificata.

1) Applicazione del test _χ 2_{sulle distribuzioni Gumbel e GEV}

L’ipotesi del test è che le frequenze osservate coincidono con quelle teoriche. Le operazioni da fare sono le seguenti

 dividere l’asse delle variabili aleatorie x in M classi;

(27)

omogenee), ottenendo una frequenza teorica,ossia il numero atteso di uscite N pi

all’interno della singola classe;

 vedere il numero di elementi N del campione che ricadono in una certa _i

classe,ottenendo una frequenza osservata;

 calcolare la statistica come:

∑

= − = M i pi pi i N N N 1 2 2 ( ) χ (7)

 calcolare il valore test _χ_2 in funzione del grado di libertà del campione dato da:

υ = K − m− 1 dove

K = numero di classi in cui è stato diviso il campione; m = numero dei parametri della distribuzione;

υ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₁₀

_ 2

χ 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3

 confrontare il χ 2 calcolato con il valore test _χ_2 :

quando _{χ <}2 _χ_2 accettiamo l’ipotesi di base, e quindi la distribuzione adottata è

rappresentativa del campione. Se invece _{χ >}2 _χ_2 non possiamo accettare l’ipotesi

di base.

2) Applicazione del test K.S. sulle distribuzioni Gumbel e GEV

(28)

osservate coincidono con quelle teoriche.

Questo test consiste nel trovare il valore KS (statistica del test) rappresentato dal massimo, in valore assoluto, tra la Φ(x) calcolata e quella osservata e confrontare tale valore con il valore test.

Le operazioni da fare sono le seguenti:  calcolare la Φ(x) osservata;

 calcolare la Φ(x) per la distribuzione considerata;

 determinare il massimo tra Poss− Pcalc, che rappresenta il KS;

 calcolare il KS test, dato da:

n KStest 1,36

_

= n = numero dei dati

 confrontare KS calcolato con _KS_ _test:

quando _KS _< _KS_ _test accettiamo l’ipotesi di base, e quindi la distribuzione adottata è rappresentativa del campione. Se invece _KS_> _KS_ _test non possiamo accettare l’ipotesi di base.

Si riportano di seguito le tabelle riassuntive con i valori dei due test, trovati per le due stazioni e per ogni durata.

1 ORA DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.19 0.58 G.E.V 0.14 0.67 3 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.09 5.25 G.E.V 0.12 0.67 6 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.17 5.25 G.E.V 0.15 1.25

(29)

12 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.09 0.67 G.E.V 0.07 0.58 24 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.29 2.58 G.E.V 0.13 2.58 DISTRIBUZIONE Kstest 2 χ test Gumbel 0.34 5.99 G.E.V 0.34 3.84

Tabella 2.5: Valori Risultati dei test per la stazione di Segromigno in Monte.

1 ORA DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.12 1.57 G.E.V 0.1 1.57 3 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.8 2.77 G.E.V 0.1 2.77 6 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.1 3.97 G.E.V 0.11 3.47 12 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.09 3.47 G.E.V 0.1 3.07 24 ORE DISTRIBUZIONE KS χ 2 Gumbel 0.07 2.8 G.E.V 0.08 1.2 DISTRIBUZIONE Kstest 2 χ test Gumbel 0.27 5.99 G.E.V 0.27 3.84

(30)

2.4.3 Scelta della distribuzione

L

a GEV presenta un miglior grado di approssimazione ai dati pluviometrici, e quindi si è scelta tale distribuzione per determinare la curva di possibilità pluviometrica. Sebbene a causa del ridotto numero dei ossevazioni, in particolare per la stazione di Segromigno in Monte, i risultati dei test statistici non evidenziano una netta superiorità della GEV nell'adattatamento ai dati misurati.

2.4.4 Determinazione della curva di possibilità pluviometrica

duecentennale

La curva di possibilità pluviometrica permette di stabilire, fissato un tempo di ritorno (in questo caso pari a tr = 200 anni), il valore dell’altezza di pioggia per una determinata

durata dell’evento meteorico.

Utilizzando i valori delle altezze di pioggia di varia durata ottenuti con la distribuzione GEV delle due stazioni di misura è stata determinata la relazione tra altezze di pioggia e durata secondo l’espressione monomia:

_h

₌

_a

_⋅

_t

n₍₈₎ dove:

h = altezza di pioggia in mm; t = durata della pioggia in ore;

I parametri a e n , sono stati calcolati con il metodo dei minimi quadrati, che rende minima la somma dei quadrati degli scarti tra i valori dei dati osservati e quelli corrispondenti che si ricavano dalla relazione (8) in forma lineare :

t n a

h log log

log = + .

(31)

quadrati sono date da:

∑

+ = + = 2 1 0 1 0 X A X A XY X A N A Y

in cui N sono il numero dei dati. Risolvendo questo sistema si ottiene:

( )

(

)

(

)(

)

(

)

∑

− − = ₂ 2 2 0 X X N XY X X Y A

(

)

∑

∑ ∑

∑

− − = ₂ 2 1 X X N Y X XY N A

Seguendo questo procedimento per le due stazioni si ha :

Segromigno in Monte :

Calcolando il logaritmo dei valori delle altezze di pioggia di durata da 1 a 24 ore e il logaritmo delle durate si ottiene :

t(ore) h(mm) log(t) log(h)

1 65.42 0 1.816

3 95.91 0.477 1.982

6 123.38 0.778 2.091

12 167.28 1.079 2.223

24 221.47 1.380 2.345

E riportando i suddetti punti nel piano logaritmico [log(t), log(h)] e si traccia la retta interpolante:

(32)

Segromigno in Monte: curva di possibilità climatica, con tempo di ritorno 200 anni, per piogge di durata da 1 a 24 ore

y = 0.3851x + 1.8054 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 log (t) lo g ( h )

Figura 2.23: Retta interpolante i logaritmi delle altezze di pioggia.

I parametri a e n della curva di possibilità pluviometrica sono:

0.39 63.89 = = n a

segue che l’equazione della curva di possibilità pluviometrica è:

39 . 0 89 . 63 t h= × per tr = 200 anni.

(33)

Curva di possibilità pluviometrica per Tr=200 anni 0 50 100 150 200 250 300 0 5 10 15 20 25 t(ore) h (m m )

Figura 2.24: Curva di possibilità pluviometrica per la stazione di Segromigno in Monte.

Chiesina di Padule :

1 83.67 0 1.923

3 93.93 0.477 1.973

6 185.60 0.778 2.269

12 230.51 1.079 2.363

24 256.44 1.380 2.409

(34)

Chiesina di Padule: curva di possibilità climatica, con tempo di ritorno 200 anni, per piogge di durata da 1 a 24 ore

y = 0.3996x + 1.8902 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 log (t) lo g ( h )

0.40 77.66 = = n a

40 . 0 66 . 77 t h= × per tr = 200 anni.

(35)

Curva di possibilità pluviometrica per Tr=200 anni 0 50 100 150 200 250 300 0 5 10 15 20 25 t(ore) h (m m )

Figura 2.26: Curva di possibilità pluviometrica per la stazione di Chiesina di Padule.

2.4.5 Determinazione delle Curve di Possibilità Pluviometrica

ponderate

Le Curve di Possibilità Pluviometrica relative alle due stazioni prese in considerazione, ricavate per un tempo di ritorno di 200 anni, sono quindi:

• Segromigno in Monte: h= 63.89⋅t0.39

• Chiesina di Paduqle: h= 77.66⋅t0.40

La Curva di Possibilità Pluviometrica di Segromigno in Monte verrà utilizzata nei sottobacini 1, 2, 3 e 4; per i sottobacini 5 e 6 si è proceduto all’individuazione delle curve medie pesate con le superfici dei due topoieti.

Si sono quindi ricavati i valori, ponderati in base all’area, delle altezze di pioggia per le durate di 1, 3, 6, 12, 24 ore e per il tempo di ritorno di 200 anni, mediante la seguente

(36)

formula di validità generale: tot staz staz tot staz staz pond

A

h

A

h

2 2 1 1

⋅

+

⋅

=

(9)

I simboli sopra assumono i seguenti significati per ogni sottobacino: Segromigno staz

h

₁

=

a Chie staz

h

₂

=

_sin = 1 staz

A Area di competenza di Segromigno in Monte

=

2 staz

A _{Area di competenza di Chiesina di Padule}

=

tot

A Area totale del sottobacino

Nelle seguenti tabelle sono indicati i valori delle altezze di pioggia, per le varie durate (in ore) e per un tempo di ritorno di 200 anni, delle due stazioni pluviometriche e i corrispondenti valori ponderati dei due sottobacini:

Segromigno in Monte Chiesina di Padule Sottobacino 5 Sottobacino 6 t(ore) h(mm) 1 69.07 3 105.06 6 135.82 12 179.93 24 12.47

Come già fatto in precedenza, per ricavare le Curve di Possibilità Pluviometrica si procede nel seguente modo.

t(ore) h(mm) 1 82.94 3 139.83 6 183.11 12 227.98 24 225.04 t(ore) h(mm) 1 83.67 3 93.93 6 185.60 12 230.51 24 256.44 t(ore) h(mm) 1 65.42 3 95.91 6 123.38 12 167.28 24 221.47

(37)

Sottobacino 5

1 69.07 0 1.839

3 105.06 0.477 2.021

6 135.82 0.778 2.133

12 179.93 1.079 2.255

24 228.47 1.380 2.359

Sottobacino 5: curva di possibilità climatica,

con tempo di ritorno 200 anni, per piogge di durata da 1 a 24 ore

y = 0.3787x + 1.8402 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 log (t) lo g (h )

0.379 69.217 = = n a

379 . 0 217 . 69 t h= × per tr = 200 anni.

(38)

Di seguito si riporta la rappresentazione grafica.

Sottobacino 5: curva di possibilità pluviometrica per Tr=200 anni

0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 t(ore) h( m m )

Figura 2.28: Curva di possibilità pluviometrica per il Sottobacino 5.

Sottobacino 6

1 82.94 0 1.919

3 139.83 0.477 2.146

6 183.11 0.778 2.263

12 227.98 1.079 2.358

24 255.04 1.380 2.407

(39)

Sottobacino 6: curva di possibilità climatica,

con tempo di ritorno 200 anni, per piogge di durata da 1 a 24 ore

y = 0.359x + 1.9516 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 log (t) lo g (h )

0.359 89.454 = = n a

359 . 0 454 . 89 t h= × per tr = 200 anni.

(40)

Sottobacino 6: curva di possibilità pluviometrica per Tr=200 anni 0 50 100 150 200 250 300 0 5 10 15 20 25 t(ore) h( m m )

Figura 2.30: Curva di possibilità pluviometrica per il Sottobacino 6.

Le Curve di Possibilità Pluviometrica dei sottobacini 5 e 6 sono molto simili rispettivamente a quella di Segromigno in Monte e a quella di Chiesina di Padule; questo risultato era prevedibile in quanto la maggior parte del territorio dei due sottobacini (80% e 96%) è occupato da un solo topoieto.

(41)

2.4.6 Calcolo del coefficiente di ragguaglio all’area

Le Curve di Possibilità Pluviometrica ottenute sono curve segnalatrici puntuali, forniscono cioè valori di pioggia relativi ad un punto (normalmente quello dove è sita la stazione stessa); è pertanto necessario ragguagliare tali valori all’intera area del bacino tramite un coefficiente di ragguaglio.

Tale coefficiente ARF (areal reduction factor) è stato determinato facendo uso della seguente espressione, proposta dai professori V.Milano e S.Pagliara (2006), in base all'analisi di molti eventi pluviometrici intensi, che hanno interessato il bacino del Fiume Arno, sia a monte che a valle di Firenze, e del Fiume Serchio e valida per l'intero territorio nazionale.

La formula utilizzata è la seguente:

12 . 0 23 . 0

_ln(

₁

₎

0109

,

0

1 −

⋅

+

⋅

−

=

S

t

ARF

(10)

t = durata di pioggia (espressa in ore e compresa tra 1 e 24 ore) S = area del bacino (espressa in km2₎

ed è valida per t compresa fra 1 e 48 ore e S fra 1 e 4000 km2

Si riportano i valori delle altezze ragguagliate per la Curve di Possibilità Pluviometrica di Segromigno in Monte e per le curve ponderate dei sottobacini 5 e 6, per tr = 200.

Segromigno in Monte Sottobacino 5 Sottobacino 6

durata (h) ARF h hrag h hrag h hrag

1 0.948 63.89 60.58 69.22 65.63 89.45 84.81 2 0.952 83.44 79.46 89.99 85.70 114.73 109.25 3 0.955 97.54 93.10 104.92 100.15 132.71 126.67 4 0.956 108.96 104.18 117.00 111.86 147.15 140.68 5 0.957 118.74 113.66 127.32 121.87 159.42 152.60 6 0.958 127.37 122.05 136.42 130.71 170.20 163.08 7 0.959 135.16 129.61 144.62 138.68 179.89 172.50 8 0.960 142.30 136.54 152.12 145.97 188.72 181.09 9 0.960 148.90 142.96 159.05 152.72 196.87 189.03 10 0.961 155.06 148.96 165.53 159.01 204.46 196.42

(42)

I valori delle altezze ragguagliate sono stati poi inseriti nel software HEC-HMS per effettuare lo studio idrologico.

(43)

2.5 Studio idrologico mediante il software HEC-HMS

Lo studio idrologico è stato eseguito mediante il software HEC-HMS (Hydrologic Engineering Center – Hydrologic Modeling System) con cui è stato realizzato un modello semidistribuito nel quale ciascun sottobacino viene considerato con le proprie caratteristiche in termini di superficie, CN, perdita iniziale e tempo di ritardo (Lag time). Tali sottobacini sono stati quindi collegati tra loro mediante elementi junction e reach, secondo lo schema indicato nella figura sottostante.

(44)

HEC-HMS, a partire dallo ietogramma di progetto, considerando le perdite ed adoperando un metodo di trasformazione afflussi-deflussi, fornisce le portate in uscita dall’intero sistema e da ciascun sottobacino indicando anche il valore del picco di piena e il momento in cui questo si verifica.

Esamino adesso, uno per uno, i vari dati di input del programma.

2.5.1 Ietogramma di progetto

Lo ietogramma indica la variazione dell’intensità della pioggia col tempo nel corso dell’evento meteorico preso in considerazione.

L’intensità della pioggia è legata all’altezza di pioggia dalla seguente relazione:

t h

l = (11) e può pertanto essere calcolata in questo modo:

_l

=

_a

⋅

_t

n−1 (12)

Si è preso in considerazione lo ietogramma ad intensità costante; per la costruzione di tale ietogramma si è proceduto per tentativi al fine di determinare la durata critica, ossia quella durata dell’evento meteorico che genera il valore più alto della portata nella sezione di chiusura. Per far ciò si sono considerate varie durate finché una di queste non ha fornito un valore di portata maggiore di quelli forniti dalla durata subito inferiore e da quella subito superiore.

Ciascuna durata è stata suddivisa in intervalli di ampiezza pari a 15 minuti ed a ciascuno di essi è stato assegnato un valore dell’altezza di pioggia pari al quoziente tra l’altezza ottenuta dalla Curva di Possibilità Pluviometrica per quella durata e il numero degli intervalli in cui tale durata è stata suddivisa.

Ovviamente l’altezza totale considerata è un’altezza ragguagliata, quindi moltiplicata per il coefficiente ARF; in particolare, per i sottobacini 1, 2, 3 e 4 si è utilizzata la Curva di

(45)

Possibilità Pluviometrica di Segromigno in Monte, per il sottobacino 5 e 6 le rispettive curve ponderate.

Procedendo in questo modo, nella sezione di chiusura ho ottenuto una durata critica pari a 1 ora, cui corrisponde uno ietogramma del tipo indicato in figura.

Figura 2.32: Ietogramma costante relativo alla pioggia critica per la CCP della stazione di Segromigno in Monte.

Figura 2.33: Ietogramma costante relativo alla pioggia critica per la CCP del sottobacino 5.

(46)

Figura 2.34: Ietogramma costante relativo alla pioggia critica per la CCP del sottobacino 6.

2.4.3 Calcolo della pioggia netta (metodo CN)

La pioggia netta è quella parte della pioggia totale che dà luogo a deflusso superficiale e che quindi, in tempi più o meno brevi, va ad interessare il reticolo idrografico del bacino oggetto di studio. L’altra parte della pioggia in parte si infiltra nel terreno, in parte viene intercettata prima di cadere al suolo ed evapora ed in parte può rimanere immagazzinata nelle depressioni superficiali.

Il metodo Curve Number (CN) del Soil Conservation Service calcola il quantitativo di pioggia che va a produrre deflusso superficiale in funzione dei seguenti parametri:

• litologia del suolo (permeabilità)

• uso del suolo

• grado di imbibizione del suolo

(47)

Più in particolare il parametro CN si ricava tramite una tabella in corrispondenza di ciascun incrocio righe - colonne, ossia uso del suolo – litologia (o permeabilità).

Per la determinazione del parametro CN si è fatto dunque uso delle seguenti carte disponibili sul sito dell’Autorità di Bacino del fiume Arno:

 carta della permeabilità

 carta dell’uso del suolo

(48)

La carta della permeabilità mostrata in figura 2.35 indica la presenza di 4 livelli diversi di permeabilità che sono stati associati ai 4 gruppi in cui l’SCS divide i suoli sotto l’aspetto litologico.

Di seguito riporto la tabella dell’SCS con la suddivisione dei suoli in 4 gruppi in base alla permeabilità.

Caratteristiche geomorfologiche e di permaeabilità

GRUPPO Caratteristiche

A Scarsa potenzialità di deflusso. Comprende sabbie profonde con scarsissimo limo e _{argilla; anche ghiaie profonde, molto permeabili.} B Potenzialità di deflusso moderatamente bassa. Comprende la maggior parte dei suoli sabbiosi meno profondi che del gruppo A, ma il gruppo nel suo insieme mantiene alte

capacità di infiltrazione anche a saturazione.

C Potenzialità di deflusso moderatamente alta. Comprende suoli sottili e suoli contenenti considerevoli quantità di argilla e colloidi, anche se meno del gruppo D. Il gruppo ha scarsa capacità di infiltrazione a saturazione.

D

Potenzialità di deflusso molto alta. Comprende la maggior parte delle argille con alta capacità di rigonfiamento, ma anche suoli sottili con orizzonti pressoché impermeabili in vicinanza della superficie.

La carta dell’uso del suolo è riportata di seguito e divide il territorio studiato in tre diverse zone; in particolare le utilizzazioni del suolo presenti sono:

• seminativi;

• colture permanenti;

(49)

Figura 2.36: Carta di uso del suolo.

Ciascuna di tali categorie è stata associata ad una di quelle previste dalla tabella del SCS e quindi, incrociando le colonne rappresentative dei 4 gruppi di suolo (permeabilità), è stato determinato il CN per ciascuna combinazione possibile; si riporta nella carta sottostante la suddivisione del bacino in base al CN.

(50)

Figura 2.37: Carta CN.

(51)

Si è determinato un CN medio pesato in base all’area per ciascun sottobacino. Sottobacino 1 CN Area (kmq) 45 0.33 62 0.23 66 0.02 71 0.05 72 0.54 77 0.73 78 0.66 81 1.09 83 0.07 88 0.03 91 0.24 CN Area Tot mediato (Kmq) 75.1 3.97 Sottobacino 4 CN Area (kmq) 45 0.04 62 0.10 72 0.29 81 0.05 91 0.16 CN Area Tot mediato (Kmq) 74.26 0.64

I valori del CN ottenuti sono relativi ad una condizione di umidità del suolo della 2° classe (AMC 2).

Per la determinazione della pioggia netta corrispondente ad una determinata altezza di pioggia h, è stata utilizzata la seguente formula:

Sottobacino 3 CN Area (kmq) 45 0.42 62 0.25 66 0.04 71 0.03 72 0.45 81 0.42 91 0.24 CN Area Tot mediato (Kmq) 68.89 1.85 Sottobacino 2 CN Area (kmq) 45 0.18 62 0.06 72 0.26 77 0.01 78 0.10 81 1.86 83 0.01 91 0.44 CN Area Tot mediato (Kmq) 81 2.92 Sottobacino 6 CN Area (kmq) 45 0.30 62 0.44 72 0.17 78 0.07 81 0.91 88 0.26 91 0.47 CN Area Tot mediato (Kmq) 75.51 2.62 Sottobacino 5 CN Area (kmq) 45 0.2 72 0.05 81 0.11 91 0.53 CN Area Tot mediato (Kmq) 69.35 0.99

(52)

S i h i h h a a n + − − = ( )2 (13) dove: • ia= perdita iniziale (mm)

• S = altezza di pioggia massima immagazzinabile nel suolo in condizioni di saturazione (mm).

Il valore di S viene determinato con la seguente formula ed è funzione del CN prima calcolato: _     ₋       ⋅ = 25.4 1000 10 CN S (14)

La perdita iniziale

i

_a è quella che si manifesta prima dell’inizio dei deflussi superficiali. Tale valore è correlato al parametro S tramite la seguente formula:

i_a = β ⋅S β = 0.1 (15)

Di seguito si riportano valori dei parametri CN e delle perdite iniziali

i

adei vari sottobacini. CN ia (mm) Sottobacino 1 75.1 8.42 Sottobacino 2 81 5.96 Sottobacino 3 68.89 11.47 Sottobacino 4 74.26 8.80 Sottobacino 5 69.35 11.22 Sottobacino 6 79.90 6.39

(53)

2.5.3 Metodo di trasformazione afflussi - deflussi

Il metodo di trasformazione afflussi-deflussi è basato sul tempo di ritardo (lag time),cioè sul tempo che intercorre tra l'istante che corrisponde al baricentro dello ietogramma di pioggia e l'istante in cui si verifica il picco di piena (figura 2.38).

Figura 2.38: Idrogramma di pieno secondo il metodo SCS.

A partire dal tempo di ritardo il software HEC-HMS calcola la portata di picco, la durata dell'idrogramma dei deflussi e la forma stessa di questo ultimo.

Secondo il metodo SCS il tempo di ritardo è :

t

lag

=

0 .

6 ⋅

t

c (16)

c

t

= tempo di concentrazione .

Il tempo di concentrazione

t

_c del bacino è dato dalla formula:

[

(

)

]

5 . 0 7 . 0 . 8 . 0

1000

₉

571 .

0 i

CN

L

t

_c

₌

⋅

−

(17) dove:

tc= tempo di concentrazione in ore ; L= lunghezza asta più lunga in km ;

(54)

2.5.4 Risultati

Applicando il metodo SCS non è possibile conoscere a priori la durata Tp della pioggia che dà luogo alla portata massima; perciò per un dato tempo di ritorno, occorre assumere diverse durate di pioggia, fino a trovare quella che dà luogo alla massima portata.

Nel caso in esame la portata massima nella sezione di chiusura si ha per un tempo di pioggia di 1 ora ed è pari a Qmax= 104.35 m3_/s.

Figura 2.39: Idrogramma di piena del sottobacino1 per la pioggia di 1 ora.

Tcorr. Tlag (min) (min) Sottobacino 1 71.94 43.16 Sottobacino 2 95.88 57.53 Sottobacino 3 97.38 58.43 Sottobacino 4 40.32 24.19 Sottobacino 5 33.48 26.57 Sottobacino 6 100.2 40.11

(55)

Figura 2.40: Idrogramma di piena del sottobacino 2 per la pioggia di 1 ora.

(56)

(57)

(58)