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Successivamente si ha la caratterizzazione globale e locale della struttura, che consente la valutazione del carico per l’analisi globale della costruzione e per valutare gli effetti locali sulla copertura.

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CAPITOLO 5 – L’ANALISI STATICA

5.1 L’azione della neve: prescrizioni normative

La neve può depositarsi su una copertura in più modi tra loro differenti in funzione della forma della stessa, delle sue proprietà termiche, della rugosità della sua superficie, della quantità di calore generata sotto la copertura, della prossimità con gli edifici limitrofi, del terreno circostante ed, infine, del clima meteorologico locale e regionale.

Il procedimento per la valutazione del carico della neve, riportato nelle “Norme Tecniche per le Costruzioni” del 2005, considera la localizzazione e la caratterizzazione del sito in cui verrà realizzata la costruzione, funzione della sua altitudine e topografia.

Successivamente si ha la caratterizzazione globale e locale della struttura, che consente la valutazione del carico per l’analisi globale della costruzione e per valutare gli effetti locali sulla copertura.

Il carico da neve sulle coperture si ottiene mediante la seguente espressione:

q

s

= µ

i

· q

sk

· C

E

· C

t

dove

q

s

è il carico neve sulla copertura;

µ

i

è il coefficiente di forma della copertura;

q

sk

è il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo [kN/m

2

] relativo ad un periodo di ritorno di 200 anni;

C

E

è il coefficiente di esposizione;

C

t

è il coefficiente termico.

Si ipotizza che il carico agisca in direzione verticale e lo si riferisce alla proiezione orizzontale della superficie della copertura.

Il sito di costruzione del progetto in esame, appartiene alla zona II e la quota del suolo sul livello del mare, a

s

, è inferiore a 200 m, perciò la normativa fornisce q

sk

= 1,15 kN/m

2

. Tale valore è stato utilizzato nei calcoli seguenti.

Il coefficiente di esposizione C

E

deve essere utilizzato per modificare il valore del carico neve in copertura in funzione delle caratteristiche specifiche dell’area in cui sorge l’opera. Nel caso in esame si pone C

E

= 1.

Il coefficiente termico C

t

viene utilizzato per tener conto della riduzione del carico da

neve a causa dello scioglimento della stessa, causata dalla perdita di calore della

(2)

costruzione. Tale coefficiente tiene conto delle proprietà di isolamento termico del materiale utilizzato in copertura. Nel caso in esame si assume C

t

= 1.

Il coefficiente µ

i

tiene conto della geometria della copertura. Secondo la normativa, si deve fare una distinzione fra il caso in cui è presente la sola neve e il caso in cui la neve si verifica in presenza di vento, poiché quest’ultimo genera fenomeni d’accumulo.

Per la copertura utilizzata nel progetto, la normativa prevede nella prima situazione un valore µ

i

= 0,8 (Figura 5.1) . Ne consegue una distribuzione uniforme di valore:

q

s

= µ

i

· q

sk

· C

E

· C

t

= 0,8 · 1,15· 1 · 1 = 0,92 kN/m

2

= 92 N/m

2

.

Nel secondo caso, invece, la distribuzione varia in modo lineare lungo l

s

(lunghezza d’accumulo): come si può notare dalla Figura 5.2, per cui µ

i

= 0 per l

s

= 0, l

s

= ½, l

s

= 1;

per l

s

= ¼ , µ

i

raggiunge un massimo relativo pari a µ

i

= 0,5 µ

3

, mentre per l

s

= ¾ µ

i

raggiunge il massimo assoluto pari a µ

i

= µ

3

. Dalla tabella 3.5.VII della normativa, risulta che per la copertura in esame µ

3

= 2, quindi i valori del carico neve diventano:

q

s

= µ

i

· q

sk

· C

E

· C

t

= 1 · 1,15· 1 · 1 = 1,15 kN/m

2

= 115 N/m

2

per l

s

= ¼, q

s

= µ

i

· q

sk

· C

E

· C

t

= 2 · 1,15· 1 · 1 = 2,3 kN/m

2

= 230 N/m

2

per l

s

= ¾.

Figura 5.1: disposizioni di carico per il Caso I.

Figura 5.2: disposizioni di carico per il Caso II.

l

s

µ

i

= 0,5 µ

3

µ

i

= µ

3

l

s

µ

i

= 0,8

(3)

5.2 L’azione del vento: prescrizioni normative

Il vento è un’azione dinamica ma può essere considerato mediante un’azione statica equivalente. Le “Norme Tecniche per le Costruzioni” del 2005 illustrano la procedura di calcolo per giungere all’azione equivalente.

Il procedimento inizia con la caratterizzazione del sito dove verrà ubicata la costruzione.

La determinazione dell’azione del vento parte dall’individuazione della “velocità di riferimento” v

ref

: questa è definita come il valore massimo della velocità media del vento su un intervallo di tempo di 10 minuti, misurata a 10 metri dal suolo, su un terreno di II categoria. Tale velocità corrisponde ad un periodo di ritorno T

r

= 50 anni, ovvero ad una probabilità di essere superata in un anno pari al 2%. In mancanza di specifiche ed adeguate indagini statistiche che tengano conto della scabrezza del sito, della topografia del terreno e della direzione del vento, per località poste a quota inferiore di 1500 m sul livello del mare, tale velocità non dovrà essere assunta minore del valore fornito dall’espressione:

v

ref

= v

ref,0

per a

s

<= a

0

v

ref

= v

ref,0

+ k

a

· (a

s

– a

0

) per a

s

> a

0

dove:

v

ref,0

, a

0

, k

a

sono parametri legati alla regione in cui sorge la costruzione in esame e sono forniti dalla normativa;

a

s

è l’altitudine sul livello del mare (in metri) del sito ove sorge la costruzione.

Il sito di interesse è a pochi metri dal mare, perciò a

s

= 0 m. Secondo la normativa, la regione Toscana è una zona di tipo 3, quindi a

0

= 500 m; ne consegue che a

s

<= a

0

e che v

ref

= v

ref,0

= 27 m/s. Nei calcoli seguenti si utilizza il valore v

ref

= 27 m/s.

Tale valore va modificato per tenere conto degli effetti locali del sito dove è posta la costruzione e dell’altezza dal suolo dei componenti della stessa. Per altezze sul suolo non superiori a 200 m, oltre le quali è necessario sviluppare e documentare studi specifici, si definisce la “velocità di picco del vento” v

p

(z), che tiene conto degli incrementi di velocità relativi a fenomeni di raffica, da usarsi per la determinazione della pressione cinetica di picco dalla quale sono calcolate le sollecitazioni statiche equivalenti:

v

p

(z) = c

ev

(z) · v

ref

dove il “coefficiente di esposizione per le velocità” c

ev

(z) è fornito dall’espressione:

c

ev

(z) = k

r

· √[ c

t

· α(z) · (7 + c

t

· α(z))] per z

>= zmin

c

ev

(z) = c

ev

(z

min

) per z

< zmin

(4)

in cui:

α(z) = ln (z/z

o

) è la funzione che definisce la forma base del profilo delle velocità che cambia con la quota z (distanza di un generico punto della costruzione dal suolo), con z

>=

z

o

;

k

r

, z

o

, z

min

sono parametri assegnati dalla normativa in funzione della categoria di esposizione del sito ove sorge la costruzione;

c

t

è il coefficiente di topografia, funzione delle caratteristiche topografiche e orografiche del sito, che modifica localmente il profilo delle velocità.

Il sito in esame è collocato in zona 3, dista meno di 2 km dal mare e la classe di rugosità del terreno è D, perciò dalle tabelle della normativa risulta appartenere alla I categoria di esposizione; di conseguenza i parametri precedenti assumono i seguenti valori:

k

r

= 0,17, z

o

= 0,01 m, z

min

= 2 m.

Poiché la costruzione non è posta presso la sommità di colline o di pendii isolati, il coefficiente di topografia c

t

nel caso in esame vale 1.

Come è stato osservato, la velocità di picco del vento varia con la quota z. Per semplificare il problema, la distribuzione effettiva delle velocità, che rimane costante da z

= 0 fino a z = z

min

= 2 m e poi varia in modo logaritmico in funzione di z, è stata approssimata con una distribuzione costante (Figura 5.3), essendo piccole le differenze di velocità tra una quota e l’altra. Si è proceduto scegliendo quattro punti posti a quote diverse (superiori a z

min

), calcolando il v

p

per ciascun punto e la media di questi valori, assumendola poi come valore della distribuzione costante:

v

p

(z

=

z

min

) = c

ev

(z

min

) v

ref

= 0,17 √[ 1 ln(2/0,01) (7 + 1 ln(2/0,01) )] 27 = 37,044 m/s v

p

(z

=

3,8m) = c

ev

(3,8m) v

ref

= 0,17 √[ 1 ln(3,8/0,01) (7 + 1 ln(3,8/0,01)) 27 = 40,230 m/s v

p

(z

=

6,8m) = c

ev

(6,8m) v

ref

= 0,17 √[ 1 ln(6,8/0,01) (7 + 1 ln(6,8/0,01)) 27 = 43,092 m/s v

p

(z

=

15,1) =c

ev

(15,1m) v

ref

= 0,17 √[ 1 ln(15,1/0,01) (7+1 ln(15,1/0,01))] 27=46,980 m/s v

p

(z

=

18,3) = c

ev

(18,3m) v

ref

= 0,17 √[ 1 ln(18,3/0,01) (7+1 ln(18,3/0,01))] 27=47,925 m/s

v

p,medio

= (40,230 + 43,092 + 46,980 + 47,925) / 4 = 44,557 m/s.

(5)

Figura 5.3: profilo delle velocità.

Alla velocità di picco v

p

(z) è associata la “pressione cinetica di picco”, q(z), pari a:

q (z) = ½ · ρ · (

v

p

(z))

2

nella quale ρ è la densità dell’aria, che può essere assunta pari a 1,25 kg/m

3

.

Anche la pressione cinetica di picco varia, quindi, con la quota, ma nel caso in esame, avendo semplificato i calcoli considerando un v

p,medio

, si assume un valor medio di tale pressione posto pari a:

qmedio = ½ · ρ · [

v

p,medio

]

2

=

½ · 1,25 · (44,557) 2

= 1241 (N/m

2

)

da utilizzare successivamente per trovare le pressioni agenti sui pannelli della cupola.

La determinazione dell’azione statica equivalente dipende anche dalle caratteristiche della costruzione: in questo progetto si tratta di un elemento sferico, quindi la normativa stabilisce che le azioni statiche del vento si traducono in pressioni (positive) e depressioni (negative), agenti normalmente alle superfici degli elementi che compongono la costruzione, e fornite dall’espressione:

w(z) = c

p

· c

d

· q(z) in cui

q è la pressione cinetica di picco;

c

d

è il coefficiente dinamico;

c

p

è il coefficiente di pressione esterna.

2,0 m 3,8 m 6,8 m 15,1 m

18,3 m

(6)

La pressione di picco si suppone costante e pari a

qmedio

, mentre si considera c

d

= 1.

Il coefficiente c

p

varia in funzione dell’angolo α, angolo di incidenza del vento sulla superficie, secondo i valori riportati nella Tabella 3.3.VII della normativa; di conseguenza anche la pressione sugli elementi della cupola varia: tra 0° e 30° si ha compressione, con pressioni che hanno valor massimo pari a w = 1241 (N/m

2

) per α = 0° e si annullano in prossimità di α = 30°; tra 30° e 120° si ha depressione, con valore delle depressioni che oscillano tra w = 0 e il valor minimo w = - 3040 (N/m

2

) per α = 90° , mentre tra 120° e 180° si ha sempre depressione con valore costante pari a w = - 310 (N/m

2

).

Anche in questo caso, per semplificare il problema, la distribuzione effettiva delle pressioni è stata approssimata con una distribuzione costante (Figura.5.4): il tratto in compressione è stato sostituito con una distribuzione costante e pari al valor massimo w = 1241 (N/m

2

) per motivi cautelativi; il tratto in depressione variabile è stato approssimato con una distribuzione costante pari al valor minimo w = - 3040 (N/m

2

) sempre a favore di sicurezza; l’ultimo tratto della distribuzione effettiva, essendo costante, coincide con la distribuzione approssimata.

Figura 5.4: distribuzione delle pressioni.

distribuzione effettiva distribuzione approssimata

180°

30°

120°

(7)

5.3 Condizioni e combinazioni di carico

Operando secondo l’EC1 o il DM 16/01/1996, le combinazioni di carico da considerare, per gli S.L.U. sono quelle che si ottengono dalla seguente formula:

∑ γ

Gj

G

kj

+ γ

P

P

k

+ γ

Q1

Q

k1

+ ∑ γ

Qi

ψ

0i

Q

ki

con j≥1 e i>1.

dove

G

kj

= valore caratteristico della j-esima azione permanente,

P

k

= valore caratteristico della precompressione (assente nel nostro caso), Q

k1

= valore caratteristico dell’azione variabile dominante,

Q

ki

= valore caratteristico della i-esima azione variabile, γ

G

, γ

P

, γ

Q

= coefficienti parziali per le azioni,

ψ

i

= coefficienti di combinazione.

Più in dettaglio, sono state considerate le seguenti combinazioni di carico:

a) 1,35×peso proprio + 1,5×carico da neve in assenza di vento (ritenuto uniforme e pari a 92 kg/m

2

);

b) 1,35×peso proprio + 1,5×vento in assenza di neve;

c) 1,35×peso proprio + 1,5×vento adottata come azione variabile dominante + 1,05×neve come seconda azione variabile assunta non uniforme;

d) 1,35×peso proprio + 1,5×neve adottata come azione variabile dominante + 1,05×vento come seconda azione variabile.

5.4 La soluzione numerica

Tutti i calcoli sono stati effettuati utilizzando il codice di calcolo strutturale SAP2000.

Per conoscere le modalità operative del programma ed il tipo di risultati grafici ottenibili con tale codice, è stato effettuata un’analisi iniziale mettendo in conto il solo peso proprio della cupola. I risultati ottenuti per tale caso sono riportati nelle seguenti Figure 5.5.

La Figura 5.5a mostra la risposta in termini di sforzo assiale delle aste (le compressioni

sono indicate in rosso e le trazioni appaiono in giallo), mentre le successive Figure

mostrano due tipiche configurazioni deformate della struttura. La Figura 5.5b mostra il

prospetto e la 5.5c la pianta della cupola deformata. Il massimo spostamento verticale è

(8)

v = 0,02 cm; mentre il massimo spostamento orizzontale è u = 0,011 cm mostrando la grande rigidità dell’assieme strutturale.

Figura 5.5a: Peso proprio - diagramma dello sforzo assiale.

Figura 5.5b: Peso proprio –cupola deformata in prospetto.

(9)

Figura 5.5c: Peso proprio –cupola deformata in pianta.

Caso a) 1,35×peso proprio + 1,5×carico da neve in assenza di vento (ritenuto uniforme e pari a 92 kg/m

2

).

Figura 5.6a: Peso proprio+carico da neve - diagramma dello sforzo assiale.

(10)

La Figura 5.6a mostra la risposta in termini di sforzo assiale delle aste. La Figura 5.6b mostra il prospetto e la 5.6c la pianta della cupola deformata. Il massimo spostamento verticale è v = 0,636 cm; mentre il massimo spostamento orizzontale è u = 0,189 cm.

Figura 5.6b: Peso proprio+carico da neve –cupola deformata in prospetto.

(11)

Caso b) 1,35×peso proprio + 1,5×vento in assenza di neve;

Figura 5.7a: Peso proprio+carico da vento - diagramma dello sforzo assiale.

Figura 5.7b: Peso proprio+carico da vento –cupola deformata in prospetto.

(12)

Figura 5.7c: Peso proprio+carico da vento –cupola deformata in pianta.

La Figura 5.7a mostra la risposta in termini di sforzo assiale delle aste. La Figura 5.7b mostra il prospetto e la 5.7c la pianta della cupola deformata. Il massimo spostamento verticale è v = 0,629 cm; mentre il massimo spostamento orizzontale è u = 1,100 cm.

Caso c) 1,35×peso proprio + 1,5×vento dominante + 1,05×neve;

(13)

Figura 5.8b: Peso proprio+carico da vento dominante+neve –cupola deformata in prospetto.

Figura 5.8 c: Peso proprio+carico da vento dominante+neve –cupola deformata in pianta.

La Figura 5.8a mostra la risposta in termini di sforzo assiale delle aste. La Figura 5.8b

mostra il prospetto e la 5.8c la pianta della cupola deformata. Il massimo spostamento

verticale è v = 0,53 cm; mentre il massimo spostamento orizzontale è u = 1,045 cm.

(14)

Caso d) 1,35×peso proprio + 1,5×neve dominante + 1,05×vento;

Figura 5.9a: Peso proprio+carico da neve dominante +vento - diagramma dello sforzo assiale.

Figura 5.9b: Peso proprio+carico da neve dominante+vento –cupola deformata in prospetto.

(15)

Figura 5.9 c: Peso proprio+carico da neve dominante+vento –cupola deformata in pianta.

La Figura 5.9a mostra la risposta in termini di sforzo assiale delle aste. La Figura 5.9b mostra il prospetto e la 5.9c la pianta della cupola deformata. Il massimo spostamento verticale è v = 0,81 cm; mentre il massimo spostamento orizzontale è u = 0,920 cm.

5.5 Verifica di resistenza e stabilità delle aste

Da un attento esame delle singole condizioni di carico e delle varie combinazioni di carico considerate, è risultato che la condizione di carico più severa è costituita dal caso c), ovvero 1,35×peso proprio + 1,5×vento dominante + 1,05×neve.

Per tale condizione di carico il massimo sforzo assiale si verifica nell’asta 292 e lo sforzo assiale risulta:

kN N 117 , 33

max =

Contemporaneamente, nell’asta 258 si verifica il minimo sforzo assiale che vale:

kN N 111 , 87

min = − .

Tenuto conto dei valori di resistenza delle aste, si ottengono i seguenti coefficienti di sicurezza:

• alla rottura per trazione: 2 , 20

33 , 117

84 , max 256

0

⋅ / = =

= A N

T

σ

η ,

(16)

• alla stabilità dell’equilibrio locale: 1 , 262 87

, 111

18 , min 141

/ = =

= P

E

N

η

E

,

per cui entrambe le verifiche risultano ampiamente soddisfatte.

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