Il trend: analisi globale

Capitolo 3 (parte seconda)

Analisi del trend mediante funzione

analitica, e previsione

Il trend: analisi globale

L’evoluzione di lungo periodo di una serie storica è denominata trend.

Nell’economia, il trend è determinato dal lento sviluppo delle tecnologie, dei fenomeni demografici e sociali, ecc.

L’esistenza di una evoluzione di lungo periodo può essere evidenziata dall’andamento dei dati destagionalizzati risultanti da un’analisi di scomposizione, oppure dalla serie di dati annuali (anch’essi privi della stagionalità).

La stima del trend mediante specificazione e stima di una funzione analitica del tempo t. Questo procedimento è denominato analisi globale poiché la funzione stimata definisce come una sorta di legge che lega il trend dal tempo t.

Varie forme funzionali sono utilizzate per rappresentare il trend. Quelle che vedremo in queste note sono: la forma lineare, la quadratica e

Trend lineare

Ipotizziamo che y_t=T_t+e_t,

dove y_t qui rappresenta o il dato annuale o quello destagionalizzato e e_t la componente di disturbo (teorica, non osservabile).

La forma lineare in t è:

T_t=β₀+β₁ t t=1,…,n

dove β₀ è l’intercetta e β₁ è la pendenza della retta.

Se β₁>0 il trend è crescente;

Se β₁<0, il trend è decrescente;

Se β₁=0 esiste un pattern orizzontale.

Come si riconosce un trend lineare ?

Un modo per capire se il modello lineare è appropriato per rappresentare il trend, consiste nel verificare se le differenze successive della serie (destagionalizzata o annuale) sono approssimativamente costanti rispetto a t.

Ciò scaturisce dal fatto che, se vale il modello lineare della diapositiva precedente, allora:

1 1

0 1

0

1

= β + β − β − β − 1 = β

−

=

∆

T

T

t ( t )

Trend quadratico

Ipotizziamo che

T_t=β₀+β₁ t+ β₂ t² t=1,…,n

Questa funzione può assumere varie forme a seconda del segno dei coefficienti. In particolare se β₂ =0 si ritrova la retta.

Un modo per capire se il modello quadratrico è appropriato per rappresentare il trend, consiste nel verificare se le differenze seconde della serie (destagionalizzata o annuale) sono approssimativamente costanti rispetto a t.

Ciò scaturisce dal fatto che, se vale il modello quadratico, allora:

∆

- ∆

=2 β

costante in t

Trend esponenziale

Un’altra forma spesso usata per rappresentare il trend è quella esponenziale:

T_t=β₀ exp(β₁ t) t=1,…,n Se il trend è di questo tipo, allora si ha:

costante in t

Un modo per verificare l’adeguatezza del modello esponenziale consiste nell’effettuare i rapporti fra termini successivi della serie (destagionalizzata o annuale) e verificare se questi sono approssimativamente costanti rispetto a t.

) exp( ₁

1 0

t = =

β

)) 1 t ( exp(

) t exp(

T T

1 0

1

t

β β

β β

− −

Esempio: modello moltiplicativo (dati mensili)

Dati mensili per 3 anni (totale 36 osservazioni) File esempiotrend.xls

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Originari Destagionalizzati

Stima del trend lineare

y = 9.5453 t + 380.05 R² = 0.9853

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Serie osservata e serie stimata

Stima(y_t)= (380.05 + 9.5453 t ) x Stima(S_t) , t=1,…,36

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Originari Stima

Previsione al 1 mese successivo (t=37; mese gennaio)

Previsione(y₃₇)= (380.05 + 9.5453 x 37) x Stima(S₁) =

= 361.4

Stagionalità gennaio