Exercice II-5 : Modèle de l’ingénieur, poutre longue

Exercices de cours du chapitre II

3

Exercice II-5 : Modèle de l’ingénieur, poutre longue

(modèle de Bernoulli).

y

G

_o

x

G

_o

fibre moyenne

z

G

_o état initial

u

G

_G

1- Donnez la forme générale du champ des déplacements, supposés petits, correspondant à l’hypothèse de Bernoulli : «toute section droite reste droite et perpendiculaire à l’axe neutre».

2- En déduire l’expression du tenseur de la transformation linéaire tangente, et en petites déformations, l’expression linéarisée du tenseur de Green - Lagrange.

3- Justifiez physiquement que l’état des contraintes peut être supposé anti-plan.

a - Pour un milieu homogène isotrope élastique, montrez que cette hypothèse conduit à des contradictions avec les hypothèses sur le champ des déplacements. Analysez ces résultats.

b - En déduire la forme des lois de comportement simplifiées utilisées pour les poutres longues homogènes isotropes élastiques.

4- À partir de l’état de contrainte défini sur une section calculez le torseur des efforts de cohésion. En déduire les lois de comportement intégrées pour les problèmes de traction, flexion.

Corrigé de l’exercice II-5 :

Cet exercice suppose que la théorie des poutres longues (St Venant- Bernoulli) a été abordée en cours de MMC - RDM.

x G

_o

n G

M G

Section droite enG

y G

_o

x G

_o

fibre moyenne

G z

_o état initial

u G

_G

Champ de déplacement : H1 hypothèse de Bernoulli

Toute section droite reste droite Î

u M G ( ) = u G G ( ) + Λ θ G GM JJJJG

Et orthogonale à la fibre moyenne Î

θ G = rot u JJJG ( G

( )G

)

Posons :

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

) , (

) , (

) , (

) , (

t x

t x

t x bo

t G

w v u u G

Î

( , )

( , ) ,

( , ) ,

0

x t

x t x

x t x

x u

y v w

z w v

θ

⎧ ⎫

⎧ ∂ ∂ ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ∂ ∂ Λ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ = − ⎬

⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

G

D’où

, ,

( , ) bo

x x

M t

u z w y v

u v

w

− −

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

G

Champ de déformation : En petites déformations

Î

2

T

H H

ε = ⁺

avec

, , , , ,

,

,

0 0

0 0

x xx xx x x

x

x

u yv zw v w

H gradu v

w

⎡ − − − − ⎤

⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

G

D’où

0 0

0 0 0

0 0 0

ε

xx

ε

⎡ ⎤

⎢ ⎥

== ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

avec

ε

_xx

= u

_,x

− yv

_,xx

− zw

_,xx

Notation utilisée A x A, x

∂ ∂ =

Exercices de cours du chapitre II

4 Il y a superposition des 3 problèmes plans :

La traction suivant

x G

_o

La flexion dans le plan

(0, x y G G

_o

,

_o

)

La flexion dans le plan

( 0 , x G

_o

, z G

_o

)

Do v

xGo

zGo

yGo

w

,

z vx

θ =

,

y wx

θ = − u

Champ de contrainte : La surface latérale n’est pas chargée Î

∀ n G σ n G = 0 G

avec

0

y

z

n n n

⎧ ⎪

= ⎨ ⎪ ⎩ G

Î

σ

_yy

= σ

_zz

= σ

_yz

= 0

sur la surface latérale. La section étant faible devant la longueur L’état de contrainte est supposé anti plan dans le milieu.

H2 état de contrainte anti plan

0 0

0 0

xx xy xz

xy

xz

σ σ σ

σ σ

σ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Partons de l’hypothèse H1 est écrivons la loi de Hooke

σ = λ trace( ε ) 1 + 2 μ ε

Î

( ² ) ^{0 0}

0 0

0 0

xx

xx

xx

λ μ ε

σ λε

λε +

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

il y a contradiction avec l’hypothèse H2.

En partant de H2 avec la loi inverse

ε - ν σ 1 ¹ ν σ ) E

trace(

E

+ +

=

il y a contradiction avec l’hypothèse H1.

Dans le modèle de l’ingénieur on ne conserve que les termes des tenseurs contribuant à une énergie de déformation élastique élémentaire

2 E

_d

= σ ε :

Î

σ

_xx et

ε

_xx

La loi de comportement simplifiée est alors

σ

_xx

= E ε

_xx

Efforts de cohésion :

Calculons le torseur résultant des contraintes sur la surface de normale

x G

_o

Le repère

( , G x y z G G G

_o

,

_o

,

_o

)

est supposé principal d’inertie

0

S

y dS =

∫

^,

⁰

S

z dS =

∫

^et

⁰

S

yz dS =

∫

On pose _z ²

S

I = ∫ y dS

^{et y 2}

S

I = ∫ z dS

pour les moments quadratiques En traction

Effort normal :

u

x

ES

N =

_,

σ

^xx

= E

x G

_C

Mf =

0

G

G G

Torseur résultant Contraintes

u

_,x

x G

=

ES

R u

_,x

x

En flexion /

y G

Moment de flexion :

, 2

fy y x

M

=

EI w

σ

^xx

= − Ez w

_,^xx

x G

C S ^xx

xxdS EIw

z Mf avec

y Mf Mf

= ,

−

=

=

∫

^σ

G

x G

0 G G = R Torseur résultant Contraintes

z ^G

o

y y

Exercices de cours du chapitre II

5 En flexion /

z G

Moment de flexion :

, 2

fz z x

M

=

EI v

σ

^xx

= − Ey v

_,^xx

x G

C

xx S

xxdS EIv

y Mf avec

z Mf Mf

= ,

−

=

=

∫

^σ

G

x ^G

0 ^G G = R Torseur résultant Contraintes

y

o

G

z z