Universit`a degli Studi di Udine Anno Accademico 2006/07 Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
Analisi Matematica 6
Prova Scritta del 12 settembre 2007 Cognome e Nome:
Matricola: Documento d’identit`a (se chiesto):
Tempo a disposizione: 3 ore.
1.
Sia (X,M, µ) uno spazio di misura con 0< µ(X)< +∞, e sia f:X →R misurabile, con 0<kfk∞ <+∞. Poniamo ap :=kfkpp =RX|f|pdµ per p≥1.
a.
Dimostrare che se 0< λ <kfk∞ e p≥1 allorakfk∞ ≥ ap+1
ap ≥ kfkp+1
µ(X)1/(p+1) ≥λ·
µ {|f|> λ}
µ(X)
1/(p+1) .
(La prima disuguaglianza `e ovvia; la seconda viene da H¨older applicata a R
|f|p).
b.
Dimostrare che ap+1/ap → kfk∞ per p→+∞.2.
Sia U il cerchio unitario di C e F:C\ {2} →C definita da F(z) := 1/(2−z). Indichiamo la base hilbertiana usuale di L2(U) con un(z) :=zn per n∈N, z ∈U.a.
Mostrare cheF(z) =Pn≥0zn/2n+1 se|z|<2, e che la serie converge uniformemente suU (usare la somma della serie geometrica 1/(1−x) = 1 +x+x2+. . .).
b.
Mostrare che hF, uniL2 = 1/2n+1 se n≥0, e hF, uniL2 = 0 se n <0.c.
Calcolare i coefficienti di Fourier della parte reale e della parte immaginaria diF (ristretta ad U).3.
Calcolare iln→+∞lim Z n
1
1− 2 logt n
n
dt.
(Usare la disuguaglianza log(1 +x)≤x).
Punti: 8+5, 8+8+8, 10.
