Universit` a degli Studi di Udine Anno Accademico 2003/2004 Facolt` a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in T.W.M.
Esercizi di Analisi Matematica
Esercizi del 20 maggio 2004
Esercizio 1. Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando il criterio del confronto:
∞
X
n=1
nsen2n−1 3n3+n+ 1
∞
X
n=1
lnn n2
∞
X
n=1
lnn n
Esercizio 2. Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando il criterio di asintoticit`a:
∞
X
n=1
arctg 1 n
∞
X
m=1
sen3 1
√m
∞
X
m=1
√mtg 1 m
∞
X
n=1
3
r
nsen 3 n2
∞
X
n=1
n2
1−cos1 n
∞
X
m=1
1
m −arctg 1 m
∞ X
m=1
cos(1/m)−cos(1/m2)
√m
∞
X
n=1
√1 n sen
3n+ 1 n2+ 2n+ 3
Esercizio 3. Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando i criteri della radice e/o del rapporto:
∞
X
n=1
3n+ 1 2n+ 5
n ∞
X
n=1
n2+ 2 4n2+ 1
n ∞
X
m=1
2m2+ 3 m3+ 1
3m+2
∞
X
n=1
2n2+n−1 5n2+ 2
n ∞
X
n=1
arctgn 2 cos(1/n3)
n ∞
X
n=1
n+ 2 n+ 1
n2
∞
X
n=1
5n n!
∞
X
m=1
m3 m!
∞
X
n=1
1 (n!)n
∞
X
n=1
1 nn!
∞
X
n=1
(n!)2 (2n)!
Esercizio 4. Studiare la convergenza semplice ed assoluta delle seguenti serie. Per la prima utilizzare, qualora necessario e possibile, il criterio di Leibniz:
∞
X
n=1
(−1)n 3n 5n3+ 2
∞
X
m=1
(−1)m m+ 4 3m4+ 1
∞
X
n=1
(−1)nsen 1
√n+ 1
∞
X
n=1
(−1)n nln(n+ 1)
∞
X
n=2
(−1)n n−√
n
∞
X
m=1
(−1)m
1−cos 1 m
√ m
∞
X
m=1
(−1)m2m+ 3 m2+ 1
∞
X
n=1
(−1)nln
1 + 1
2n+ 3
∞ X
n=1
(−1)n 3n+ 1 1 +√
n4 + 2
