(i) U n caso particolare, di notevole interesse, ~ quello in eui V~ sia speciale di d e t e r m i n a n t e uno (n. 3): allora V~ t~ b i r a z i o n a l m e n t e equivalente ad un prodotto Vq X Vp_q. U n a ulteriore particolarizzazione si ha supponendo che 1~ sia il prodotto di due involuzioni I', 1" di cui u n a abbia sostegno Vq e l ' a l t r a V~_q: allora Wp ~ essa stessa prodotto della f o r m a Wq >< W~_q, i eui fattori sono variettt abeliane, i m m a g i n i rispettive di I ' e I".
Abbiamo osservato (n. 5) che u n a variet'~ W~ chiamasi totalmente r e g o l a r e se, e soltanto se, m a n c a n o tutte le forme differenziali di p r i m a specie e di grado k (1 ~.~ k ~_~ p - 1). 0 r a possiamo d i m o s t r a r e che
Esistono variet~ abeliane lotalmenle regolari, e non razionali, per ogni p ~ 2.
Notiamo d a p p r i m a ehe nel caso attuale, W~-~ W q X W~_q, i e a r a t t e r i g~(W~) vengono forniti dalle (8). Ora risulta dalle r i c e r e h e di BAGlqE:aA-D]~
Ft~AI~C~IIS (n. 18) ehe esistono delle W~ non razionali per cui gl(l;V~)--g~(W2)--0.
E possiamo costruire esempi di IYa non razionali p e r cui gk(W3) --- 0 (k ~ 1, 2, 3)
~ e l caso p -- 4, basta c o n s i d e r a r e il prodotto W4 ~ W2 ><: W~, o r e i fattori abbiano i c a r a t t e r i come sopra. Ed a n a l o g a m e n t e p e r p > 4.
Ora, queste variett~ in g e n e r a l e non sono n~ birazionali nb unirazionali.
Difatti, in base alle (9), u n a variett~ c a n o n i c a X~_~(Wp) ~ esprimibile quale s o m m a di un certo n u m e r o di prodotti del tipo
Xh(Wp)~ Xp--h--l(Wp--q).
t~el caso che tale varieth, fosse virtuale, un suo multiplo positivo r i u s c i r e b b e g e n e r a l m e n t e effettivo, sicehb l;V, avrebbe q u a l c h e p l u r i g e n e r e uguale ad un%e tanto basta per d i m o s t r a r e Fasserto.
260 L. tRow~: Sulle variet~t abeiiane
(ii) U n a classe importante di W'~ abeliane b quella g e n e r a t a da un insieme di sostituzioni di cui u n a sola a s s u m e la f o r m a che c a r a t t e r i ~ a u a a variet~
p s e u d o - a b e l i a n a , c ciob
u~ = u~ A- c~ (i = 1, 2, ..., q),
P
u~ = E aiku j -~ b i (j -~ q -{- 1, q + 2, ..., p).
k=qq-1
Denotiamo con W ; la varietg cosi de[inita. AUora possiamo p e n s a r e la 1¥v in parola quale i m m a g i n e d ' u n a involuzione sopra W~, definita dalle rima- nenti sosfituzioni dell'insieme. Tale Wp, che ~ ovviamente s u p e r f i c i a l m e n t e regolare, contiene due congruenze complementari, t r a s f o r m a t e delle due congru- enzo i n e r e n t i a ~V~. E tall c o n g r u e n z e debboao essere s u p e r f i c i a l m e n t e rego- lari tutte e due, perch/~ a l t r i m e n t i si avrebbe g,(~V~)> 0.
Aggiungiamo che tutte le W2 regolari (non r a z i o n a l i ) a g e n e r e geometrico hullo (n. 18) appartengono a questa categoria.
(iii) Abbiamo gi/~ a c c e n n a t o (n. 9) alle W~ dotate di sistemi anticanonici.
Possiamo dimostrare t h e tall variet& esistono, per ogni valore d i p ~ 2, tra le W v im.propriamenle abeliane.
Sia In u n a involuzione sopra V_., dotata di c<~v-~ coincidenze, u n a delle quali stia all'origine ui ~ 0; allora si vede che u n a a l m e a o delle sostituzioni g e n e r a t r i c i di G~, ridotta a forma canonica, dev'essere
(18)
u} = u i (j = 1, 2, ..., p - - 1); up = ),%. ie r a (n. 10) i moltiplicatori della sostituzione debbono soddisfare ad u n a equa- zione eli g r a d e 2p di cui, nel case attuale, 2 p - - 2 delle radici sono uguali ad uno. Quindi, come al n. 15, ne discende t h e ), dove a s s u m e r e uno dei valori
--1, ~ i ,
± e , ± ~ .Se Gn 6 ciclico, le (18) dgnno h o g o ad u n a variet/~ W v che non ~ altro che il prodotto d ' u n a F~-i di PIOARD ed u n a c u r v a razionale; difatti, sulla Vv (speciale di ripe 1) sostegno di I,,, la c o n g r u e n z a / V1} appar~iene a I n , m e n t r e il luogo delle coincidenze consta di un certo n u m e r o di i p e r s u p e r f i c i e del faseio (ellittico) { Vv_, }. Quindi ~/Vv contiene un fascio razionale di Vp_l ed u n a c o n g r u e n z a p i c a r d i a n a di curve razionali. E v i d e n t e m e n t e la relativa Vv di PICARD b prodotto d ' u n a Vv_, ed u n a V~.
Se invece G,, non b ciclico, le r i m a n e n t i sostituzioni ci d~mno, come nel (ii), u n a involuzione sulla W~, la cui i m m a g i n e ~ s e m p r e u n a Wv dota~a di sistema anticanonico. I n conctusione, d u n q a e ,
Esistono, per ogni valore d i p ~ 2, delle W v abeliane dotate di sistema anticanonico, ehe sono i m m a g i n i di involuzioni cicliche su V~. Una tale W , contiene u n fasvio razionale di varie& Wv_~ ed una eongruenza picardiana di
L. ROTH: Sulle varivt4 abeiiane 261 curve razio~ali, ad esso unisecante, che ha irregolarit4 superficiale p - i.
Esistono pure delle W , , dotate di sistema anlicanonico, che sono superfi.
cialmente regolari ; esse sono immagini di involuzioni non cicliche suUe relative V~, oppure sulle Wp sopra descritte.
20. Yarietk quasi abeliane. - Le Wp dotate di sistema anticanonico rien- trano in u n ' a l t r a e a t e g o r i a di varieth t h e or ora passiamo ad e s a m i m a r e . Osserviamo d a p p r i m a che, per le varieth i m p r o p r i a m e n t e abeliane in g e n e r e , il p r i s m a U~p dei periodi (u. 7) ~ s e m p r e ben definito, m a l g r a d o l ' a n n u l l a r s i di vari dei periodi. ) f a nel caso ehe v e n i a m o a considerare, il relativo p r i s m a a s s u m e delle f o r m e d e g e n e r i ; ed allora sorgono le funzioni e varieth quasi abeliane.
Nella trattazione di SEVERI (n. 4), il punto di partenza p e r la teoria ~ il eoncetto d ' u u a varieti~ 6))p dotata di uu gruppo G~ iI quale, in contrasto col solito gruppo Gv, risulta soltanto generalmertte transitivo su +-))v. Ed il t e o r e m a di SEVERI, n e l l ' a t t u a l e linguaggio, ci dice c h e s e +)), ha irregolaril~t superficiale q (0 ~_~ q ~ p - - 1), essa ~ pseudo-abeliana di tipo q e di determinante uno. Pifi p r e c i s a m e n t e , o/)p ~ b i r a z i o n a l m e n t e e q u i v a l e n t e al prodotto Vq ><; Sp_q.
Siecome tutti i c a r a t t e r i g~(Sp_a) sono nulli, segue dalle (8) che i 9z(+))p) sono nulli aneh~essi. ~ a il calcolo delle Xh(~'))v) non riesce u g u a l m e n t e facile:
poggiando sulle f o r m u l e (9) e i noti valori di Xh(Sp_q), possiamo trovare subito le equivalenze p e r le X a ( V q X S v _ q ) . Perb, si passa da queste alle Xh(~)v) attraverso u n a trasformazione birazionale in cui possono p r e s e n t a r s i degli ele- m e n t i eccezionaH di n a t u r a n o n precisata.
A p r e s c i n d e r e dal caso q - - 0 , in cui le relative funzioni del corpo sono tutte razionali e quindi prive di periodi, la +)), b u n a varieti~ quasi picardiana, in quanto la eorrispondenza tra p u n t i di +'))~ e quelli del prisma f o n d a m e n t a l e (degenere) b g e n e r a l m e n t e , m a non eompletamente, (1,1). P a s s i a m o ora alle varieth quasi a b e l i a n e di rango maggiore di uno. Lo studio di quest' ultime b tutto da fare. U n Solo esempio 6 stato indagato da SEVERI [21]: si t r a t t a della superficie, detta di ProVOKER, a n a l o g a a quella di KU~v~ER (n. 11), t h e r i s p e e c h i a t ' i n v o l u z i o n e Is g e n e r a t a da u n a t r a s f o r m a z i o n e del tipo (2)" nel caso quasi abeliano. V a r r e b b e la p e n a di e s a m i n a r e la varieth quasi abeliana t h e eorrisponde alla stessa t r a s f o r m a z i o n e per p ~ 3.
C o n f o r m e m e n t e con la teoria delle varieti~ abeliane, u n a c)49~ quasi abeliana di rango r > 1 sar~ r a p p r e s e n t a t a da u n a involuzione sopra +'~p; quindi il p r o b l e m a delle czt/]p r i e n t r a come caso p a r t i c o l a r e del n. 18 (ii). I n altri termini, Ogni varietit quasi abeliana c)~ di tango maggiore di uno ~ l' immagine d'una iuvoluzione sopra il prodotto d'urta variet~ Vq di Pieard ed uno spazio lineare S~_q(O ~ q ~ p - 1). ~4?~ eonliene due congruenze complemenlari, senza p u n t i base, eostituite da variet~ abeliane o quasi abeliane, di cui u n a al pii~
picardiana e l' altra abeliana o quasi abeliana.
262 L. R e , H : Sulle v arietd abe liane
E v i d e n t e m e n t e anehe c~/?p ~ i m p r o p r i a m e n t e a b e l i a n a (n. 18). Perb, l'ana- logia con le variet~ abeliane, p e r quel t h e e o n c e r n e il late algebrico della teoria, non va oltre. ]~ vero, come ha dimostrato COIeFOR~O [4, 5] ehe esistono sulle 6))~ degli a u t o m o r f i s m i f o r m a l m e n t e simili alle (11); ma nel case attuale le variabili u~ r a p p r e s e n t a n o integrali ehe non sono che virtualmente di prima specie, e che in generale possiedono delle siugolarit/~. P e r di pifi, gli automor- fismi d ' u n a ~))~ sono in generale non algebriei b e u s l analitici, e quindi ad essi non possiamo a p p l i e a r e le p r e c e d e n t i considerazioni di n a t u r a gruppale.
Se volessimo i n t r o d u r r e altre variabili pi~ adatte, ei t r o v e r e m m o di fronte al p r o b l e m a di elassifieare tutti gli a u t o m o r f i s m i degli spazi lineari, il che non
risolubile, nella forma qui riehiesta, n e a n c h e nel case del piano.
A parte il lavoro, gih menzionato, sulla super~icie di PLUCKER, gli uniei studi dettagliati in questo eampo sono dovuti a M. BENEDICTY; essi trattano di eerte varieth ~l)p analoghe alla varieth di JAcOB~ (u. 22). P e r le relative eita- zioni bibliografiche r i m a n d i a m o alla I~[onografia di M. RosAw~ [14].
21. R i a s s u n t o . - A questo punto conviene r i a s s u m e r e i vari concetti e v e d u t e dei p a r a g r a f i precedenti.
I . - P r e n d i a m o le mosse da u n a V v di PIC_~CD, ossia una varieth abeliana
di range r -- 1. Tale variet~ b caratterizzata dal fatto che a m m e t t e il gruppo G, definite aI n. 2. Se Vp ~ a moduli generali, Gp non contiene n e s s u n sot- t o g r u p p o i n v a r i a n t e ; nel case contrario, essa r i e n t r a netla categoria pifi vasta che p r o c e d i a m o a descrivere.
II. - Come estensione n a t u r a l e del concetto p r e c e d e n t e consideriamo una varieti~ W~ la quale a m m e t t a un gruppo ~q(1 ~ q _ ~ p - - 1 ) le cui traiettorie costituiscono u n a congruenza I Vql di variet~t di PICARD. Tale W~ si chiama p s e u d o - a b e l i a u a di tipo q. Aceanto alia c o u g r u e n z a I Vq I troviamo u n a eongru- enza c o m p l e m e n t a r e ( ~Vp_q I che ~ picardiana, ma i cui elementi non sono in generale varieth di PICARD. I1 n u m e r o [Vpi4~_q] ~ d, c h i a m a s i determinante di
U n case particolare, per noi importante, e quello delle V~ speciali di tipo q, oppure p - - q, in cui Wp_q -" Vp_q, e in eui la congruenza { Vq 1 risulta p i c a r d i a n a .
I I L - P a s s i a m o e r a alla varieth a b e l i a n a Wp di range r ~ 1. Tale varieti~
pub coneepirsi quale i m m a g i n e d ' u n a involuzione I ~ ( n ~ r ) sopra u n a Vp oppor- t u n a m e n t e seelta. E s u p p o u i a m o d'ora iunanzi che Wp a b b i a qualche pluri- genere uguale ad uno -- condizione~ non sempre necessaria, che g a r a n t i s c e la validiti~ del metodo g r u p p a l e per classificare i vari tipi di I,,.
W~ chiamasi i m p r o p r i a m e n t e a b e l i a n a se essa a m m e t t e una r a p p r e s e n t a - zione p a r a m e t r i c a m e d i a n t e funzioni abeliane di genere minore d i p . In quel case la Vp sostegno di In deve r i s u l t a r e speciale,
L. Ro~:~: Sulle variet~ abeliane 263 Sussiste il t e o r e m a : se g ~ ( W p ) - - q ~ O, W~ ~ p s e u d o - a b e l i a n a di tipo q:
essa contiene u n a c o n g r u e n z a a b e l i a n a di traiettorie ed u n a e o n g r u e n z a com- p l e m e n t a r e costituita di variet~ di PICARD. R i s u l t a poi ehe IVp ~ non solo p s e u d o - a b e l i a n a ma anche i m p r o p r i a m e n t e abeliana,
IV. - Sostituendo il g r u p p o G~ con un g r u p p o G~, g e n e r a l m e n t e transitivo, p e r v e n i a m o al concerto di varieth quasi p i c a r d i a n a ~2)~ (o quasi a b e l i a n a di rango r - - 1). P e r essa vale il t e o r e m a di SEVERI: se g~(~)~) ~ q ~ 0, ~2)~
bira~ionalmente e q u i v a l e n t e ad un prodotto Vq X Sp_q, il che vuol dire ehe 6~))p b u n a variet~ p s e u d o - a b e l i a n a di tipo q e di d e t e r m i n a n t e uno.
P e r q u a n t o e o n c e r n e la varieth quasi a b e l i a n a ~)4Z, di rango r ~ 1, possiamo a f f e r m a r e che essa ~ immagine d'una involuzione sopra e))p. Conseguentemente, se q ~ 0, c)~p contiene due congruenze c o m p l e m e n t a r i del tipo gih descritto nel II. Ne discende t h e tutte le varieth quasi a b e l i a n e - che possono essere birazionali o p p u r e unirazionali - - sono anche i m p r o p r i a m e n t e abeliane.
22. Sulla variet~ d~ Jacobi. - U n tipo i n t e r e s s a n t e di V~ picardiana, il eui studio si p r e s t a b e n e ai metodi elementari, ~ la cosidetta varieti~ di J~COBI, ehe r a p p r e s e n t a i g r u p p i d i p p u n t i d ~una c u r v a C p di genere p. Abbiamo visto (n. 2) c h e l a Vp generale dipende da 2 p ( p -~ 1) m o d u l i : invece la C p 1 generale dipende da soli 3 p - - 3 moduli, siech~, per p ~ 3, la variet~t di JAco]~I, che d e n o t e r e m o con Jp~ risulta p a r t i c o l a r e ; ma tale grado di par~icolariti~
non si sa ancora preeisare.
Converri~ d i s t i n g u e r e tre classi di Jp a s e c o n d a che C ~ i~
(i) i r r i d u e i b i l e e non iperelli~tiea, (ii) irriducibile, iperellittiea,
(iii) r i d u c i b i l e (a e o m p o n e n t i tutte semplici).
I1 easo (iii) verr~t eseluso in seguito perch~ in un certo senso esso d i p e n d e dagli aliri due, limitati a valori del genere inferiore a p.
D e n o t i a m o con vi (i.-- 1, 2, ..., p) gti integrali di p r i m a specie, l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i tra loro, attaccati a C ~. Allora i p integrali analoghi ui, asso- eiati a J~, vengon forniti dalle f o r m u l e
(19) u~ : v~(x~) + v~(x2) + ... + vi(x~) (i -- 1, 2, ..., p), o r e (x~, x~, ..., xp) denota un gruppo generico d i p punti di C~.
P a s s a n d o agli automorfismi di J~, osserviamo che le trasforma~ioni ordina- rie sono collegate, tramite il t e o r e m a di ABEL, alle serie lineari di punti su C~: come ~ ben noto, esse provengono dalle serie g~p ( n e c e s s a r i a m e n t e non speciali) sulla curva.
264 L. R o ~ :, Sulle varietdt abeliane
P e r quanto c o n c e r n e gli a u t o m o r f i s m i singolari di J~, notiamo d a p p r i m a che in generale C~(p ~ 2) non a m m e t t e n e s s u n a trasformazione birazionale in s~, o che per p > ' 1 , il n u m e r o di tali trasformazioni ~ s e m p r e finito.
Orbene, ogni a u t o m o r f i s m o di C p dh origine ad una trasformazione linea- re, a coefficienti costanti, sugli m t e g r a l i vi; e segue dalle (t9) che ogni a u t o m o r f i s m o di C z dh luogo ad un a u t o m o r f i s m o singolare di J~. )[a ~ valida anche la proposizione i n v e r s a : in base alle (19), ogni automorfismo singolare di Jp proviene da qualehe automorfismo di C ~.
5Te c o n s e g u e che il p r o b l e m a di classificare le W~ abeliane, .con qualche p l u r i g e n e r e positivo, r a p p r e s e n t a b i l i su J ~ , e q u i v a l e a quello di elencare tutti i gruppi (finiti) di a u t o m o r f i s m i che possano snssistere sulle curve di un dato genere p. Ed ~ i m p o r t a n t e n o t a t e che in ogni tal caso, l'esislenza della relativa malrice di Riemann ~ garantita da quella della corrispondente curva C p. I periodi degli integrali v~ possono venir calcolati sulla r i e m a n n i a n a di C p.
23. - A questo punto bisogna s e p a r a r e i casi (i) e (ii). Difatti, ogni C p iperellittica (p ~ 2) possiede 1' a u t o m o r f i s m o definito dalF unica serie g~2 sulla curva. ~[a a parte q u e s t a circostanza, i problemi p r e s e n t a t i dai due casi sono e s s e n z i a l m e n t e diversi.
L i m i t a n d o c i al caso (i), osserviamo che la corrispondenza tra punti di J~
e gruppi di C ~ pub p r e s e n t a r e un inconveniente, anche se essa risulta senza eccezioni. Invero, ai ~ _ 1 gruppi speciali di p punti - - e cio~ contenuti nella serie canonica g~--~2 di C p - - corrispondono punti d ' u n a varieth M~_I che risulta eccezionale; essa ~ luogo delle curve razionali immagini delle g~ speciali su C ~. S a p p i a m o [17] che u n a varieti~ di PICARD nella forma n o r m a l e del n. 2 non contiene n e s s u n a c u r v a razionale. E difatti, possiamo costruire u n a varieti~
non singolare J~, b i r a z i o n a l m e n t e e q u i v a l e n t e a Jp, su cui M~_~ i~ rappresen- tara du u n a varieth M~-2: b a s t a all'uopo p r e n d e r e il modello che r a p p r e s e n t a senza eccezioni le serie gp a p p a r t e n e n t i a C p.
S e m p r e nel caso (i), possiamo r a p p r e s e n t a r e C ~ b i r a z i o n a l m e n t e sulla curva c a n o n i c a [~, di ordine 219- 2, situata in uno spazio Sp_l. Su tale c u r v a (che non singolare) ogni g r u p p o di a u t o m o r f i s m i di C p corrisponde ad un gruppo finito di auto-collineazioni di F, il che porta u n a notevole sempli.fica~ione del nostro problema.
5Tel caso (ii), al contrario, il modello canonico di C ~ ~ una retta doppia, i m m a g i , e della g~ sulla curva, sicch~ l'equazione di C ~' pub a s s u m e r e la forma
(20) y~ =
f(x),
o r e f(x) ~ un polinomio di grado 2 p - ] - 2 . I1 p r o b l e m a degli automorfismi si r i d u c e quindi a quello di d e t e r m i n a r e tutti i gruppi finiti di proiettivith della retta.
L. RowI~: S u l l e v a r i e t ~ a b e b ~ a n e 265
P e r o g n i c u r v a del tipo (20) gli i n t e g r a l i vi s o n o b e n noti, ed a l l o r a il p a s s a g g i o alle r e l a t i v e v a r i a b i l i ui ~ i m m e d i a t o .
l~ella 5 [ e m o r i a [12] il L]~I~SC~EWZ h a s t u d i a t o la v a r i e t ~ J v a t t a c c a t a a l l a C p la e u i e q u a z i o n e ~ y r - - f(~c) (r ~> 2): p e r t a l e c u r v a , c h e g e n e r a l i z z a la (20) i n m a n i e r a e v i d e n t e , gli i n t e g r a l i vi sono f a c i l m e n t e d e t e r m i n a b i l i . L a Jp a m m e t . te in g e n e r a l e u n solo g r u p p o c i c l i c o di a u t o m o r f i s m i .
N e l l a a n a l i s i dei c a s i (i) e (ii) i n c o n t r i a m o v a r i e s e m p i di J , s p e c i a l i di tipo q (n. 2); q u e s t e p r o v e n g o n o s e m p r e d a c u r v e C p c h e c o n t e n g o n o i n v o l u . z i o n i di g e n e r e q ~ 0. P e r b tall variet/~ si r i t r o v e r e b b e r o n e l c o r s o di i n d a g a r e il c a s o (iii), c h e o v v i a m e n t e c o n d u c e alle Wp i m p r o p r i a m e n t e a b e l i a n e .
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A n n a l i d~ M a t e m a t i c a