SuIle variet~ abeliane.

(1)

SuIle v a r i e t ~ abeliane.

Memoria di LEONARD ROTH (Pittsburgh~ U. S. i . )

Alla m e m o v i a di Guido Castelnuovo, nel p r i m o e e n t e n a r i o della nascita.

8unto. - V e d i la s e g u e n t e I n t r o d u z i o n e .

Introduzione.

Lo studio sistematieo delle varieth a b e l i a n e si inizia nel 1907 con le eelebri Memorie [2], [9, 10], r i s p e t t i v a m e n t e di BAal~ERA-DE F R A N C H I S e di EI~RIQUES-SEYERI, sulle s u p e r f i e i e i p e r e l l i t t i c h e ; esse erano in parte b a s a t e su r i c e r c h e antecedenti di :PICARD e HUMBERT. L ' i n t r o d u z i o n e della eosidetta variet~t di PICARD, e lo s f r u t t a m e n t o di q u e s t ' u l t i m a da p a r t e di CASTELI~UOVO [3], hanno poi aperto la via allo studio generale. ~ curiosa la circostanza che in tutti i lavori gi~ nominati r i m a n e v a n o delle lacune, a l c u n e delle quali si son rivelate s o l a m e n t e dopo 30 anni di rieerca.

I passi decisivi verso un a s s e s t a m e n t o definitivo della teoria possono venir r i a s s u n t i come segue (1):

(i) Anzitutto vi ~ luogo a c o n s i d e r e r e le forme di#erenziali di p r i m a specie, a t t a e e a t e ad u n a data varieth algebrica: il loro l e g a m e f o n d a m e n t a l e con la g e o m e t r i a algebrica, t r a m i t e il t e o r e m a di HODG]~, ~ stato sottolineato da KAHLEn (I932).

(ii) A KAHLER p u r e b dovuto il concerto di forma tensoriale, t h e forni.

see u n a definizione di c a r a t t e r e t r a s e e n d e n t e dei p l u r i g e n e r i d ' u n a variet~

algebrica.

(iii) Con questo s t r u m e n t o si perviene quasi subito ad u n a dimostrazione del ~(teorema p r i n c i p a l e >> (n. 9) su cui si b a s a la classificazione delle varieth a b e l i a n e a pl~urigeneri non tutti nulli: di tale fatto D~ FRANCHIS si ~ aceorto nel 1936~ eosi colmando u n a l a c u n a - e s p l i c i t a m e n t e r i c o n o s c i u t a - nella dimostrazione offerta da lui e il sno c o l l a b o r a t o r e nella loro Memoria. (La r e l a t i v a dimostrazione di E N R I Q U E S - S E V E R I , che ~ di c a r a t t e r e geometrico, r i m a n e s e m p r e incompleta).

(iv) 3Tello stesso anno 1932 viene a n n u n c i a t o da S:~VE:aI il concerto di serie canonica d ' u n a superficie algebrica. D u r a n t e i seguenti 20 anni questo

(l) P e r le relative eitazioni rimandiamo il lettore alla Monografia [16].

(2)

240 L. RoTH: Sulle variet~ aSe l~ane

conoetto viene esteso e rielaborato~ a pifi riprese, ia una serie imponente di ricerche dovute a B. SE~RE~ J. A. TODD, ~i. ]~ER ed altri, sia dal punto di vista, algebrieo sia da quello traseendente-topologico.

(v) Nel 1947 il SEVERI, modifieando lievemente la definizione di variet~

di PIC~nD, presenta la nozione di variet~ quasi abeliana (ehe sarebbe meglio ehiamare quasi pieardiana). Lo studio [21] di tale varieti~, noneh~ delle funzioni quasi abeliane ad essa aderenti, ~ stato ripreso da altri, notevolmeute da F. Col~Fo~o e M. BENEDICTY [14].

(vi) L ' u l t i m o risultato essenziale allo sviluppo della teoria ~ di recente acquisizione. I pionieri sopranominati o credevano di poter operare con superficie abeliane dotard di singolarita qualunque oppure ritenevano possibile lo seioglimento di tall singolariii~ mediante trasformazioni birazionali opportuna- mente scelte. 1Via la prima dimostrazione eompleta dello scioglimento apparisce solamente nel 1934, mentre una dimostrazione algebrica (di ZARISKI) non si trova prima del 1939. E per quanto riguarda le variet~t di dimensione qualsiasi, la questione ~ rimasta aperta finD a qualche anno fa, quando ~ stata risolta da HIRONAK•. I1 SUO teorema generale ha finalmente reso possibile l'applicazione della teoria delle corrispondenze algebriehe e degli invarianti birazi0nali alle varieti~ abeliane, senza rieorrere ad alcuna ipotesi di lavoro.

Scopo della presente Memoria, che ~ di earattere prevalentemente geometrico, i~ di raecogliere i metodi e risultati della teoria delle varieta abeliane, alcuni dei quali compaiono qui per la prima volta. Come si vedri~, in questa teoria il posto eentrale ~ occupato dalle varieta pseudo-abeliane: difatti appa- riri~ che non sol0 le varieth abeliane superfieialmente irregolari, ma anehe quelle quasi abeliane di SEVElCI, formano delle semplici sottoelassi delle varieta pseudo-abeliane generali. Cosl siamo in grado di d a r e un quadro abbastanza eompleto sia delle varieta abeliane propriamente dette sia delle varieta quasi abeliane. Inoltre deseriviamo i tipi principali di tall varieta; stabiliamo varie delle lord proprieta, con speciale riguardo alla teoria degli invarianti; e espo- niamo i relativi metodi di elassificazione.

P e r quanto eoncerne il lato funzionale della teoria, che qui non ei tocca che ineidentalmente, rimandiamo al trattato [6] di CONFORTO ed atla rassegna recente [14] di RosA~I. Per una trattazione di indole geometrica it lettore potrh~

eonsultare la l~[onografia [16]; u n ' a l t r a esposizioue, di n a t u r a topologiea, si trovera net lavori [12, 13] di L]~FSCltE~Z.

Come abbiamo aecennato sopra, i metodi di classificazione delle varieth abeliane di~nno dei risultati compteti soltanto nel easo delle varieth aventi qualche pturigenere positivo (e quindi uguale ad uno). Ma tail metodi non si prestano affatto alle varieth quasi abeliane in genere, per le quali il problema analogo rimane tuttora aperto. L ' i n t i m a ragione di questo eontrasto risiede nel fatto ehe gli automorfismi d ' u n a varieta di PICARD sono sempre enume-

(3)

rabili e ben definiti, mentre quelli d i uno spazio lineare di dimensione maggiore di uno non lo sono,

Ij I.

- Varietk abeliane e pseudo-abeliane.

1. Funaioni

e

varieth abeIiane. - I n questo capitolo diamo uno sguardo rapido alla teoria generale, limitatamente a i risultati gi8 noti, d i eui avremo bisogno nel seguito.

I n tutta l'indagine B fondamentale il concetto di coqo di funzioni abeliane di u n dato genere p, associato ad una matrice w di RIEMANN [6]; lo studio geometrico di quelle matrici B stato argomento d i u n laxoro importante d i SCOREA 1181. Una funeione abeliana d i genere p

-

diciamola f(u,, a,,

... ,

up)

-

dipende effettivamente dalle p variabili complesse uc, B meromorfa ovunque a1 finito, e possiede 2p periodi simultanei definiti da w. Ilenoteremo con U& la regione fondamentale, o prisma (a 2p dimensioni reali) dei periodi primitivi.

Osserviamo qui che ogni matrice di RIEMANN pub venir ridotta alla for.

ma normale

zi/Tjl

. . .

^{0 all}

. .

^:

0 ni/6,

. . .

₀ a,,

. . .

azp (1)

. . , . . .

0

. . .

ni/Tj, apl

. . .

ove a,.,

=

a,,., e i caratteri 8,, Zz,

...,

8,, detti i divisori d i w, sono interi positivi tali che ciascuno divide il successore.

Chiameremo varieta abeliana ogni varieth W, irriducibile p-dimensionale che ammetta una rappresentazione parametrica mediante funeioni abeliane appartenenti a w : il ,rungo r d i W, B il numero dei punti di U,, corrispondenti a1 punto generic0 d i

W'.

I n particolare W p chiamasi varieth di Picurd se, e soltanto se, r

=

1. Possiarno dimostrare ohe ogni W, 6 algebrica.

E di grande importanna il teorema: 4 sefnpre possibile costruire un wodello proiettivo now singolare di una data varieta d i Picard talehehe i suoi punti siano i n corrispondenzu biunovica, senza ecceaioni, coi pztnti di U,,

.

L a prima dimostra~ione rigorosa di questo risultato devesi a SIEG-EL 161.

2. Varieta di Picard.

-

D'ora innanzi denoteremo il modello suddetto con V, e adopereremo il simbolo VQ analogamente. Osserviamo dapprima che nella (1) compaiono 1 - p ( p

+

¹⁾^costanti^a,, che possono variare con continuith;

2

esse chiamansi moduli di

V'.

I n seeondo luogo notiamo ehe l e variabili ui costituiscono delle coordinate universali su V , ; allora si vede subito che V,

(4)

242 L. RO~H: Sulle varget4 abe liane

a m m e t t e sempre due tipi di a u t o m o r f i s m i (cio~ trasformazioni birazionali in s~), r a p p r e s e n t a t i r i s p e t t i v a m e n t e dalle equazioni (mod. co)

(2)' u' ---- u, 4- c~ (i -- 1, 2, ..., p)

(2)" u'~ -- - - u~ -~ c~ (i -" 1, 2, ..., p),

ove le c~ sono costanti arbitrarie. E v i d e n t e m e n t e l ' i n s i e m e delle trasformazioni (2)', dette di p r i m a specie, forma un gruppo continuo commutativo Gp che risulta completamente e semplicemente transitivo su V~. I n v e c e ogni trasformazione (2)", detta di seconda specie, ¢~ involutoria. E si pub dimostrare c h e l a V~ a moduli g e n e r a l i non a m m e t t e altri automorfismi che questi (detti ordinari).

Gli altri automorfismi, se tali esistono, c h i a m a n s i singolari. Possiamo dimos- t r a r e inoltre che il fatto di possedere u n gruppo Gp caratterizza V~.

I n g e n e r a l e G~o non a m m e t t e n e s s s u n sottogruppo i n v a r i a n t e ; se eccezio- n a l m e n t e esso contiene u n tale sottogruppo Gq(1 ~ q ~ p - 1)~ le sue traiettorie costituiscono u n a congruenza (sistema d' indiee uno), senza punti base di variet~

di PICARD, tutte birazionali e q u i v a l e n t i t r a loro; e la c o n g r u e n z a stessa r i s u l t a picardiana, cioi~ la variet/~ i m m a g i n e dei suoi elementi b u n a V~_q.

Questa propriet/~ b e q u i v a l e n t e alla s e g u e n t e : se Vp contiene u n a Vq(1 q ~ p - - 1), aliora essa contiene u n a c o n g r u e n z a { Vq } del tipo gi~ descritto;

per di pifi, V~o deve c o n t e n e r e u n a congruenza c o m p l e m e n t a r e I V~-ql p i c a r . d i a n a e senza p u n t i base, e costituita d a varieti~ di PICAI~D che sono tutte birazionalmente equivalenti tra loro. Questa proposizione, che risale a POI~CAR~, ha rieevuto u n a semplice dimostrazione g e o m e t r i c a da p a r t e di ScO~ZA [I9].

U n a V~ dotata di questa proprieti~ verrh c h i a m a t a speciale di tipo q (op- p u r e p - q ) ; essa ~ caso partieolare delle varieti~ p s e u d o - a b e l i a n e del n. 3.

U n caso a n c o r a pifi particolare ~ quello in cui le due congruenze I Vq}

e { Vp_q } risultano u n i s e c a n t i ; allora V~ pub venir r a p p r e s e n t a t a quale prodotto Vq X V~_q di due varieth di PICARD. Possiamo dire che V~ ~ impropriamente abeliana, in quanto le coordinate del suo punto generico sono esprimibili in funzioni razionali di funzioni abeliane (di rango 1) di g e n e r e q, e di altre funzioni abeliane (di rango 1) di genere p - - q .

Possono verificarsi u l t e r i o r i specializzazioni di V:~: nel caso estremo V~

pub essere b i r a z i o n a l m e n t e equivalente al prodotto d i p curve ellittiche: anzi, dal punto di vista topologico, ogni Vp ~ equivalente ad un tal prodotto. Segue quindi che ogni proprieth topotogica della l ~ viene pi/t f a c i l m e n t e stabilita t r a m i t e questa forma ~semplificata: in particolare, la teoria delle variet/~ cano- n i c h e (n. 6), le quali sono n o t o r i a m e n t e invarianti topologici [20].

3. Variet~ pseudo-abeliane. - Con una semplice generalizzazione delle V~

speeiali di tipo q ei siamo condotti al concerto di varietd pseudo-abeliana di

(5)

L. Ro+~: Sulle v ariet4 abe l~a~e 243 tipo q: essa b earatterizzata dal fatto di p o s s e d e r e un g r u p p o ~q continue di a u t o m o r f i s m i le cui traiettorie formano una congruenza, senza p u n t i base, di variet~ Vq di PICARD. P e r u n a d i s c u s s i o n e dettagliata di q u e s t e varieti~ rimandiamo a [16] ed ai lavori ivi eitati. Ai nostri scopi attuali b a s t a r i c o r d a r e i fatti seguenti.

(i) U n a varieti~ p s e u d o - a b e l i a n a ~l;Vp di tipo q(1 ~ q ~ p - 1) contiene, aceanto alla congruenza { Vq} delle sue traiettorie, u n a seconda congruenza (W~_q} di varieth i eni elementi sono t r a s f o r m a t e birazionali l'una d e l F a l t r a m e d i a n t e il g r u p p o ~q i n e r e n t e a ~;I~. Questa seconda c o n g r u e n z a ~ pieardiana, e sega ogni Vq secondo gruppi d'una involuzione Id, o r e d--[VqWp_q], ehe (~ priva di coineidenze (cfr. n. 12).

(ii) I1 numero d, ehe ehiamasi delerminanle di W~, ~ un c a r a t t e r e ira.

portante della varietY. Nel caso d - - 1 , le congruenze ( Vq }, I W~_q } sono bi- r a z i o n a l m e n t e e q u i v a l e n t i a W~_q e a Vq r i s p e t t i v a m e n t e , e quindi Wp pub r a p p r e s e n t a r s i sul prodotto Vq N( W~_q. Nel caso d ~ 1, c o s t r u i a m o d a p p r i m a la varieth W ; -- V; X Vff_q, eve V~* e Vff_q sono bira~ionalmente equivalenti, senza eeeezioni, a { Vp_q } e t Vq} r i s p e t t i v a m e n t e ; sieeh~ ~ b u n a varietk p s e u d o - a b e l i a n a di d e t e r m i n a n t e uno. 0 r a f a e c i a m o e o r r i s p o n d e r e al punto generieo di W~ il g r u p p o d i d punti (VqV~_q), in tal modo Wr viene rappre- s e n t a t a sulla varieti~ d - p l a ~V~.

(iii) 0 s s e r v i a m o in fine ehe la eongruenza t Vq } sega ogni V~_q seeondo gruppi d ' u n a involuzione Ja ehe ~ g e n e r a b i l e con un g r u p p o ~a, d i ordine d, di a u t o m o r f i s m i di V~_q, il q u a l e ~ cielieo o commutfftivo (abeliano) a base 2q. Infatti il g r u p p o ~a consta di quelle trasformazioni di S o ehe lascino i n v a r i a n t e ogni V~_q; la s e c o n d a asserzione segue dalla r a p p r e s e n t a z i o n e aria.

litica d ' u n a varieth di P:[CARD sopra un~altra [16]. 5Te discende ehe le V~_q non possono essere varieth scelte ad arbitrio, in quanto a m m e t t o n o s e m p r e un g r u p p o ~a di automorfismi.

4. Varietk quasi pieardiane. - Abbiamo osservato che ogni V~ di t)ICAI~D caratterizzata dal fatto di a m m e t t e r e un g r u p p o G~, continuo e commutativo, di automorfismi, che riesce c o m p l e t a m e n t e transitivo su V~. Consideriamo ora u n a variet~ ~)~ (non singolare) dotata di un gruppo G~ il quale, in contrasto con Gp, risulti generalmente transitivo su e))~ : il che impliea che esista q u a l e h e sottovarieti~ i n v a r i a n t e su o'~p. Quest'ultima, ehe p o s s i a m o d e n o m i n a r e quasi picctrdiana, ~ stata studiata da SEVE~I [21], ehe ha stabilito il s e g u e n t e t e o r e m a generale in m e r i t o :

Ogni variet~ 6))~ di irregolarit& superficiale q(O ~ q ~ p -- 1) ~ birazional.

mente equivalente al prodotto d'una variet~ Vq di Picard ed uno spazio lineare S~_q.

(6)

244 L. RO~H: Sulle variet~ abe l~ane

I n partieolare, d u n q u e , se ~'))~ ~ s u p e r f i c i a l m e n t e regolare, essa dev'essere birazionale.

L a r a p p r e s e n t a z i o n e p a r a m e t r i c a di ~):~, p e r q > 0, si e f f e t t u a con funzioni ehe, p e r ragioni ovvie, e h i a m a n s i quasi abetiane. Lo studio di tall funzioni si inizia con PA:E~LEV]~ (1903); il punto di partenza della s u a indagine, suggeri- ta da

WEIERSTRASS,

~ di d e t e r m i n a r e tutte le funzioni m e r o m o r f e di pifi variabili c o m p l e s s e che a m m e t t a n o un t e o r e m a algebrico di addizione. L a con- elusione r a g g i u n t a ~ che tali funzioni sono tutte e sole le funzioni abeliane e le forme a s s u n t e da quelle in corrispondenza alle varie degenerazioni del p r i s m a dei periodi. Lo studio parallelo delle matrici di R I E ~ A ~ , che defini- seono i corpi di funzioni quasi abeliane, devesi a Co~Fon~o [4, 5].

§ II. - P r o p r i e t k g e n e r a l i d e l l e v a r i e t h a b e l i a n e .

5. S u g l i i n v a r i a n t i di u n a varieth abeliaua. - P r i m a di p a s s a r e allo stu.

dio delle variet~t a b e l i a n e di t a n g o r > 1, conviene r i e h i a m a r e a l c u n e nozioni di g e o m e t r i a birazionale, non tutte delle quali si trovano a n c o r a esposte nei

trattati (~).

Sia Wp una variet~ a l g e b r i e a non singolare (e cio~ i r r i d u e i b i l e e priva di punti multipli) i m m e r s a in q u a l c h e spazio lineare SR(R ~ p). P e r essa risulta ben definito il suo sistema canonieo }X~_~ I di dimensione massima. Il n u m e r o P g - - d i m [ X ~ _ l [ - - 1 , che ~ il genere geometrico di W~, ~ un invariante assoluto, almeno per quelle trasformazioni birazionali che portano W~ in un' altra varieth non singolare. Nel caso in cui il sistema I X~_I I risulti virtuale, ponia- mo P a - 0. ~ a allora pub darsi che q u a l c h e sistema i - e a n o n i c o ]iX~_~ ] (con i intero ~ 1), riesca effettivo, avente dimensione P ~ - - 1 : il carattere P~ chiamasi i - g e n e r e (o p l u r i g e n e r e di indiee i) di ~Vp.

P r o i e t t a n d o ~Vp g e n e r i c a m e n t e su uno spazio S~+~, otteniamo u n a forma F~ d o t a t a di singolarit~ ordinarie, e r a p p r e s e n t a t a da u n a equazione

~3) f ( x l , x2, ..., x~+l) = O.

Qualora si voglia caleolare gli invarianti di W~ ~ preferibile sostituire W~

con F~, donde il passaggio a W~ 5 immediato e per cui la teoria si s v i l u p p a u g u a l m e n t e bene. Ad esempio, il genere Pg non ~ altro che il numero delle forme differenziali di prima specie (e cio~ o v u n q u e olomorfe su W~ o su F~), di grado p, l i n e a r m e n t e indipendenti ira loro. U n a tale forma a s s u m e l'espres- sione Adxldx~ ... dx~, o r e A denota una funzione razionale di wl, x2, ..., x~+l,

(~) A proposito di quest% il lettore potrh utilmente consultare il volume [22] di SEVERI.

(7)

L. RoTH: Sulle varict~ abeliane 245 o p p o r t u n a m e n t e scelta. E si vede f a c i l m e n t e che d e v ' e s s e r e

A = P(x~, x~,..., x~+l)/~x~+~,

~f

ove P d e n o t a un polinomio di grado n - - p - - 2 (essendo n il grado di f) tale che l'equazione P - - 0 r a p p r e s e n t a u n a forma a g g i u ~ t a a F~, e cio~ una va- riet/~ p a s s a n t e s e m p l i c e m e n t e per l ' i p e r s u p e r f i c i e doppia di Fv, d o p p i a m e n t e p e r la sua varieth tripla, e cosi via. Tanto basta per a c c e r t a r e che le due definizioni, r i s p e t t i v a m e n t e classica e trascendente~ sono equivalenti.

0 r a KAItLER [11] ha osservato che il p l u r i g e n e r e P~ pub v e n i r definito mediante u n a semplice estensione del metodo t r a s e e n d e n t e gih, adoperato. Preci- samente, P~ non b altro che il n u m e r o delle forme di p r i m a specie

(4)

@ = A ( x l , x~, ..., x~+~) ~(u~, ~2, -.-.: uv)

l~(x~, x~, .., x~) I

'

l i n e a r m e n t e indipendenti tra loro, essendo ul, u~, ..., uv coordinate locali su Fp. Difatti, la funzione A c h e c o m p a r e nella (4) d e v ' e s s e r e della forma

P ( x l , x 2 , . . . , x~+l)/( 3~cf)~,

eve P - - 0 r a p p r e s e n t a u n a forma di ordine i(n - - p - - 2), i - a g g i u n t a a F v.

L a p r e c e d e n t e definizione di Pg, tramite le [orme differenziali di prima specie a t t a e c a t e a W~ o p p a r e a / ~ , si lascia generalizzare in u n a s e c o n d a direzione. Consideriamo ora le forme differenziali di prima specie e di grado k(1 ~ k ~ p - - 1). I1 n u m e r o gk di tali forme, l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i tra loro,

@ un i n v a r i a n t e assoluto della varieth. Di questi caratteri, il pifi i m p o r t a n t e e gl, t h e chiamasi irregolarit~ superficiale di W v . Si dice che W~ ~ superfi- cialmente regolare se, e soltanto se, g l - - 0 . W~ chiamasi totalmente regolare se, e soltanto se, essa @ priva di forme differenziali di p r i m a specie p e r ogni valore di k ~ p - - 1 [22].

U n altro i n v a r i a n t e i m p o r t a n t e di W~ ~ il genere arilmetico Pa; esso viene dato dalla f o r m u l a di SEVERI-KODAIRA [22],

(5)

Pa - - gp - - g ~ - i -4= ... -4- ( - - 1)V-lgl,

dalla quale segue che Pa ~ un invariante assoluto della varieth.

6. S u i s i s t e m i c a n o n i c i . - I1 s i s t e m a canonico 1X~-I I fa parte di un insieme d i p sistemi che sono i n v a r i a n t i in senso stretto, e cioi~ per trasformazioni regolari di l, Vv, i.e. quelle che non introducano elementi eccezionali. )Ia m e n t r e ] X p - l [ ~ un sistema lineare, i r i m a n e n t i sistemi sono di equivalenza

(8)

246 L. R o ~ : S~lle var ict~ abeliane

razionale. Delle varie definizioni possibili di tali sistemi, detti canonici anch'essi, due sono s p e c i a l m e n t e importanti ai nostri scopi.

I. - L a p r i m a definizione, che ~ p u r a m e n t e geometrica, devesi a B. SEGRE [20]. Sia IS[ un sistema lineare di i p e r s u p e r f i c i e su W~ di tipo g e n e r a l e : vale a dire che t SI b variabile in un sistema l i n e a r e ~ almeno, il cui e l e m e n t o generico sia non singolare, e che ogni suo sottosistema c~a(1 ~ h ~ p ) ammet- to u n a variet~ j a c o b i a n a Jh_~(S), luogo di punti doppi, la quale sia p u r a c (h ~ 1)-dimensionale. Allora, fissato un q u a l u n q u e intero s ~ p - - h , e scelti ad arbitrio s sistemi lineari generali I S~ I, t $2 I, .... 1S~ I, risulta t h e la varietk (6) Xh(W~) -- ~ Jh(S~) - - E Ja(S~ + S i) + ... (h ~ O, 1, 2 ...), o r e le somme vanno r i s p e t t i v a m e n t e estese a tutte le combinazioni semplici delle St, v a r i a in un sistema di equivalenza razionale su W~, il quale non dipende dalla seelta delle Si. P e r di pifi. se W~ pub essere posta in corrispon- denza birazionale regolare con u n ' a l t r a varieth W'p, il sistema { Xa(W~)} m u t a nel sistema { X h ( W ~ ) } .

II. ^- La seconda definizione, dovuta a M. ]~o]~R, ~ la seguente [8].

Supponiamo che Wp possegga p integrali semplici di p r i m a specie, dicia- moll u~, us, ..., up, l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i tra loro, con la propriet~ the, p e r h - - 0, 1, ..., p - - 1, la varieth j a c o b i a n a di ogni h -b 1 degli integrali, ad esempio Jh(U~, u~, ..., Uh+~), sia u n a variet~t p u r a h - d i m e n s i o n a l e a componenti tutte semplici. Allora si pub d i m o s t r a r e ehe Jh(U~, us, ..., u~+~) non ~ altro che la Xh(VV~) definita sopra.

0 s s e r v i a m o p u r e che, adoperando le notazioni del calcolo delle forme differenziali, possiamo r a p p r e s e n t a r e tali j a c o b i a n e con i simboli

du~ -- O, du~du2 ~ O, ecc.

7. P r i m e applicazioni. - I p r e c e d e n t i conc.etti e risultati trovano imme- diata applicazione alla varieth di PICARD, come ora vedremo.

(i) Se V~ ~ u n a tale varieth, segue che le solite variabili u~ forniscono tutte e sole le forme differenziali di p r i m a specie e di p r i m o grado attaccate a V~. Difatti, se per esempio A(ul, us, ..., u~)dul ne fosse una, la funzione A, che ~ abeliana, dovrebbe essere o v u n q u e olomorfa al finito, e quindi si ridur- rebbe ad u n a costante. E p p e r t a n t o g~(V~)~-p. Analogamente, tutte le forme differenziali di p r i m a specie e di grado k(1 ~ k ~ p) provengono da prodotti quali duldu2.., du~. E cosi troviamo le f o r m u l e

(7) gk(V,)--- (P) (k - - 1, 2, ..., p).

I n particolare, il g e n e r e geometrico di V~ risulta u g u a l e ad uno. Ed in

(9)

L. RoT~: Sulle v ar~e" ta' abe li~ane 247 virtfi dell'esistenza del gruppo G~ c o m p l e t a m e n t e transitivo su V~ (n. 2), segue ehe l' ipersuperficie X~_~(V~) ~ nulla (cio~ effettiva e d'ordine zero). Ed analoga- mente, tutte le ipersuperficie i-vanoniche sono nulle anch'esse.

Dalle (5), (7) si ha che Pa(V~)-~ (--1)~-~.

(ii) Pifi g e n e r a l m e n t e , tutte le varlet& eanoniche Xh(V~) ( h - - O , 1, ..., p ~ 2) sono le variet~ nulle delle relative equivalenze razionali. Infatti, consi- d e r a n d o la corrispondenza ira i punti di V~ e quelli dello spazio S~ delle variabili u~, si ottiene il risultato come conseguenza della definizione delle X g V ~ ) data da ]~G]~.

(iii) Siano Wq e W~_q due varieth non singolari: allora sussiste la for- mula. per k - - 1, 2, ..., p,

k

(8) gk( Wq X W~_q) -- v_ g~( Wq)gk_~( W~_q),

ove go - - 1, e con la convenzione t h e vengono omessi tutti i t e r m i n i nel secondo m e m b r o p e r cui i ~ q o p p u r e k - - i ~ p - - q . Difatti, si pub d i m o s t r a r e t h e ogni forma differenziale di p r i m a specie e di grado k a t t a c c a t a al prodotto Wq X W~_q proviene dal prodotto di d u e forme differenziali di prima specie a t t a c c a t e r i s p e t t i v a m e n t e a Wq e W~_q. Questo risultato ci sarh utile nel seguito.

]~ i n t e r e s s a n t e n o t a r e che sussiste u n a equivalenza analoga alla (8) per le varieti~ Xh(Wq X W~_~), e p r e c i s a m e n t e

h

(9) Xh( Wq X W~_q) - . Z X~( Wq) X Xh_~( W~o-q),

i,~c.)

con le stesse convenzioni di quelle sopra.

(iv) 0 s s e r v i a m o ehe la defini~ione delle Xh fornita dalle (6)ci p e r m e t t e di stabilire i legami che passano tra i sistemi canonici di due variet~ in corrispondenza razionale, almeno in casi abbastanza semplici [15]. Siano, per esempio, W~ e W~ d u e variet~ non singolari posta i n eorrispondenza (1, n) che sia p r i v a a d d i r i t t u r a di coincidenze e di elementi eecezionali : in particolare - - ed ~ questo il caso che qui ei interessa - - supponendo che W~ sia u n a V~

di PICARD, segue subito che tutte le variet~ canoniche di W~ sono (e)~ettive o virtuali) di ordine zero. Va rilevato il fatto che questa seconda a l t e r n a t i v a pub e f f e t t i v a m e n t e realizzarsi: come tosto vedremo.

Se nella corrispondenza s u d d e t t a intervengono detle coineidenze o p p u r e delle varieth eccezionali (o tutte e due), le relative formule per Xh(W~) debbono essere rieostruite ex novo, giacchb per ora a l m e n o non esiste n e s s u n a teoria g e n e r a l e a eui si potesse f a r appello.

(10)

248 L. R o ~ : Sulle varle$~ abel~ane

8. P r o p r i e t ~ delle variet~ abeliane. - P a s s i a m o ora a c o n s i d e r a r e u n a v a r i e t g abeliana ~¥~ di rango r ~ 1; e v i d e n t e m e a t e ~ITp ~ t r a s f o r m a t a razionale di qualche V~ a p p a r t e n e n t e alla m a t r i c e ~o associa~a a ~Vp: oppure - - che (~

lo stesso - - i m m a g i n e d' u n a involuzione (di punti) sopra V;~.

L ' o r d i n e di q u e s t a involuzione viene fissata come segue. Anzitutto, dalla definizione di r segue t h e W~ ~ i m m a g i n e d ' u n a involuzione di ordine r sopra V~. Ma si pub fare un secondo passo nella d i s c u s s i o n e : se V~ ~ a divisori

~(n. 1), essa ~ a sua volta i m m a g i n e d ' u n a involuzione di ordine 8 ~ . . . ~ su u n a variet'~ V~ r e l a t i v a ad u n a m a t r i c e con gli stessi moduli di to ma a divisori unitari. Quest'ultimo r i s u l t a t o si d i m o s t r a considerando le congruenze

u~ = us + n~7:~/~i (i---1, 2, ..., p), ove le n~ sono interi che possono variare da 0 a 8~ - - 1. L' insieme delle relative sostitazioni costituisce un gruppo di ordine ~1~2... ~ di a u t o m o r f i s m i di V~.

I n conclusione,

Ogni W~ abeliana di rango r appartenenle ad u n a matrice a divisori

~ , ~ , .... 8p pub ritenersi i m m a g i n e d ' u n a involuzione di ordine r ~ 2 ... ~;~ sopra u n a variet~ di P i c a r d a divisori unitari.

Denoteremo s e m p r e con n l'ordine di questa invotuzione I , . Orbene, per poter applicare le considerazioni dei nn. 5-6 ad u n a varieth cosi definita, oecorre sapere ehe esiste u n a t r a s f o r m a t a birazionale di £I~ che sia p r i v a di p u n t i multipli. E per F a p p u n t o i modelli delle I , ehe n a t u r a l m e n t e si p r e s e n t a n o sono quasi sempre dotati di singolarith complicate. L'esistenza di un tal modello, nel caso (s)p ~ 2, ~ ormai g a r a n t i t a da certi r i s u l t a t i di ItIRONA];A di pros- sima pubblicazione.

Applicando alla corrispondenza tra V~(oV~) e quest0 modello non singolare, t h e c o n t i n u e r e m o a d e n o t a r e con W~, i r i s u l t a t i suddetti, abbiamo subito che tutte le ipersuperficie canoniche e pluricanoniche di W~ sono o virtuali o nulle.

Quindi sussistono le d i s u g u a g l i a n z e

(i ~ 2).

OSS. -- I n generale non possiamo e n u n c i a r e un risultato analogo per le varietit Xh(Wp) (h ~ p - 1), in q u a n t o le relativ'e equivalenze dipendono dalla n a t u r a delle coincidenze che si p r e s e n t a n o in I,,.

Dalla stessa corrispondenza tra V:, e W~ r i s u l t a che gk(W~)~g~(Vp), eppertanto, in base al n. 7, abbiamo che

g k ( W p ) ~ ( P t ( k : l, 2, ..., p).

(lO)

(a) ~el easo p ~ 3, il risultato er~ gii~ stabilito da ZAI~ISKL

(11)

L. R o ~ : S~lle variet~ abeliane 249 I valori esatti degli invarianti n u m e r i c i di Wp possono venir calcolati come segue. Sia P(u~) un punto generico di I~, : allora la forma differenziale d ~ d u ~ . . , du~ a t t a e c a t a a I~ ~ p u r e u n a forma di p r i m a specie attaccata a ~ se, e soltanto se, essa m a n t i e n e lo stesso valore a tutti i punti coniugati a P in I , ; e tutte le forme differenziali di prima specie - - s e v e ne sono provengono in q u e s t a maniera. U n a volta d e t e r m i n a t i i caratteri g~, il g e n e r e aritmetico P~(W~) ~ fornito dalla (5).

I p l u r i g e n e r i P~(W~) vengono calcolati analogamente, poggiando sulla for- ma (4): eosi lo i - g e n e r e P ~ ( W p ) - - 1 se, "e soltanto se, il d e t e r m i n a n t e

J - - ~ ( u ~ , u2, ..., u~)/~(u'~, u2, ..., u'p), t

calcolato rispetto ad una q u a l u n q u e coppia (u~), (u~) di p u n t i coniugati in I . , m a n t i e n e lo stesso valore (e p r e c i s a m e n t e una radiee i - e s i m a dell'unith) q u a n d o (u~) r i m a n e n d o fisso, (u~) varia entro il g r u p p o dei coniugati in I , .

9. - Il t e o r e m a prineipale. - I1 r i s u l t a t o che sta alla base della classificazione delle varieth abeliane ci darh~ fra l'altro u n a semplice regola per ese- guire i calcoli gii~ deseritti. La dimostrazione del teorema, per cui r i m a n d i a m o a [16], poggia sui seguenti l e m m i :

I. - Se t'involuzione I,, possiede ~ P - ~ coincidenze, allora Pg( Wp) ~ Pi( ~ ) ~- - - 0 . Difatti, secondo la prima defini~ione (n. 6) del sistema ]X~_I(W~ 1, la t r a s f o r m a t a della varieth X~_~(W~), s o m m a t a alla i p e r s u p e r f i c i e luogo delle c,c~ -1 coincidenze, deve essere l i n e a r m e n t e e q u i v a l e n t e alla variet~ X~_~(V~), che ~ la variet~t nulla; e p p e r t a n t o X~_z(Wp)-~ ~ A , ove A denota una ipersu- perficie effettiva di ordine positivo. 5;e consegue c h e l a varietit X~_~(W~) ed anche tutti i suoi multipli positivi sono v i r t u a l i : onde l~asserto. In questo easo si dice ehe ~,V~ possiede un sislema anticanonico.

I L - Se W~ ha qualche plurigenere positivo, la relativa involuzione I,, priva di p u n t i fondamentali (e cioi~ punti di I , eoniugati a varieth ( p - - l ) - dimensionali).

P e r ipotesi, il d e t e r m i n a n t e che compare nella (4) non pub mai a n n u l l a r s i in u n punto di I , : il che vuol dire che il j a c o b i a n o J del n. S non pub an- nullarsi nemmeno. Allora non possono esistere punti f o n d a m e n t a l i in 1 . .

IL TEORE~[A P : R I N C I P A L E . - Ogni involuzione I , su V v che abbia qualche plurigenere uguale ad uno e the non sia composla con una involuzione picar- diana, ~ generabile con u n gruppo Gn, di ordine n, di automorfismi di V~.

L a dimostrazione~ che 6 di c a r a t t e r e t o p o l o g i c o - t r a s c e n d e n t e , devesi n e l

e a s o ~ ~ 2 a ]~AG-NEt~A e D E ] ~ R 2 k ~ C t t I S ; l'estensione al caso generale fu data da ANDREOTTI [1]. Essa dipende dai fatti ehe In possiede al pifi ~ , , _ 2 coincidenze e non a m m e t t e p u n t i f o n d a m e n t a l i .

A n n a l i tl~ M a t e m a t i c a 32

(12)

250 L. Row~: Sulle varlet4 abeiiane

Oss. 1. - I n virtfi delle ipotesi fatte, i metodi di ctassifieazioni ci possono dare dei r i s u l t a t i completi solamente per quelle Wp aventi q u a l e h e plurigenere n g u a l e ad uno. Cib nonostante, esistono - - come vedremo -- delle W,, a p l u r i g e n e r i tutti nulli, tali che le relative involuzioni 1;n siano generabili con gruppi G~ di automorfismi. T r a quelle vi sono dei tipi per cui I~ possiede cx~ p-~ coineidenze (n. 19).

Oss. 2. - I1 teorema p r i n e i p a l e ha u n a notevole conseguenza g e o m e t r i c a : se Wk ~ u n a qualsiasi sottovariel& irriducibile di V~, non appartenente a I~, aUora la s u a t r a s f o r m a t a mediante gli automorfismi di G,, si scinde i n n - - 1 variet4 birazionalmente identiche a W k .

Oss. 3. - Nel caso n - - 2 , non ci occorre n e s s u n a ipotesi circa i valori dei plurigeneri, in q u a n t o l ' i n v o l u z i o n e /2 definisce un a u t v m o r f i s m o di Vp.

L a W~ ad essa associata verri~ e s a m i n a t a al n. 11.

§ I I I . - S u l l a e l a s s i f i e a z i o n e d e l l e v a r i e t a a b e l i a n e .

10. I I metodo generale: l'equazione e a r a t t e r i s t i e a . - Sia B~ u n a varieti~

a b e l i a n a n o n singolare, avente q u a l e h e t)lurigenere u g u a l e ad u n o ; allora, in base al t e o r e m a principate, la relativa involuzione In sulle variet~ V~ sarh g e n e r a t a da u n gruppo G~ di a u t o m o r f i s m i di V~, r a p p r e s e n t a t o da un n u m e r o finito di sostituzioni (mod. to) della f o r m a

k

(11) u~ -- Z a#u i + b~ (i -- 1, 2, ..., p),

o r e le a~ i e le b~ sono costanti.

Osserviamo d a p p r i m a ehe ogni tale sostituzione, t r a m i t e un c a m b i a m e n t o di variabili, pub v e n i r r i d o t t a alla f o r m a canonica

(12) u~ -- ~u~ -k- ~ (i -- 1, 2, ..., p).

E v i d e n t e m e n t e le ),i, dette moltiplicatori della sostituzione, debbono essere tutte radici dell'unith. ~ a possiamo dire qualcosa di pifi: quando u~, ad esem.

pio, viene a u m e n t a t a di un periodo a)ii della relativa m a t r i c e o), u~. viene au.

m e n t a t a da u n a eombinazione lineare, a coefficienti interi, degli e l e m e n t i della stessa riga di ¢o a eui a p p a r t i e n e o)~j: ed a n a l o g a m e n t e per tutti i periodi si- m u l t a n e i . Me consegue - - come h a dimostrato SconzA [18] - - c h e ogni molti- plicalore soddisfa ad u n a equazione di grado 2p, the si spezza i n due equazioni

di grado p, a coefficienti complessi coniugati.

Da eib scaturiseono varie conseguenze i m p o r t a n t i su cui non ~ il caso di f e r m a r c i ; ci l i m i t e r e m o a dire che questo teorema ci dh~ per ogni valore

(13)

L. Roan: Swlle variet4 abe liane 251 assegnato di p, tutti i valori a priori possibili per i moltiplieatori.

I n secondo luogo, s u p p o n e n d o noti tutti i gruppi finiti G,, di collineazioni in p variabili indipendenti, possiamo fare un passo ulteriore verso la soluzio- ne del p r o b l e m a di c]assificazione.

F i n a l m e n t e , dobbiamo v e r i f i c a r e che esistono e f f e t t i v a m e n t e delle matrici co corrispondenti ai gruppi G~ p r e e e d e n t e m e n t e trovati.

Da questi risultati si d e d u c o n o tutti i valori possibili del rango r e dei divisori di co. Nel corso dell'indagine, t r o v e r e m o anehe q u e l l e variet~ abeliane, a p l u r i g e n e r i tutti nulli, che r i s p e c e h i a n o involuzioni I~ generabili con gruppi G~.

P e r tutte le varieth W~ ottenute col p r e s e n t e metodo gruppale, possiamo calcolare gli invarianti n u m e r i c i s e g u e n d o la via del n. 8, e poggiando sulle apposite sostituzioni generatrici quali le (11). Diamo un i m p o r t a n t e esempio in proposito.

1L La variet'k di W i r t i n g e r . - Consideriamo la variet/~ W~ il cui gruppo Gn ~ generato da]la sola sostituzione

(13) u~ - - - - u~ (i -- 1, 2, ..., p).

E v i d e n t e m e n t e si tratta d ' u n a invotuzione I~ con n u m e r o finito (e p r e c i s a m e n t e 2 :p) di coincidenze. ~ e l caso p -- 1 a b b i a m o u n a serie g~ su urea V1 ellittiea, i m m a g i n e d u n q u e d ' u n a e u r v a razionale; nel caso p =-2, la notissima superficie di KUMMEn; e~ per p ~ 3, la cosidetta varieth di WI~tT~NGEn (+).

ovvio ehe ogni prodotto del tipo du~du2.., duk r i m a n e i n v a r i a n t e sotto le (13) se, e soltanto se, k b pari, siceh~

g ~ - - ( ~ ) (k pari); g k - - 0 (k dispari).

S o s t i t u e n d o questi valori nella (5), troviamo che P ~ - = ( - - 1 ) P ( 2 ~ - 1 - - 1 ) ; questo risultato i~ stato trovato da GRiiB~ER [6], poggiando sulla teoria delle funzioni theta e la f o r m u l a di postulazione di HILBERT.

Considerando ora le forme (4), troviamo per i p l u r i g e n e r i di ~V~ i valori P ~ -- 1 (ip pari); P~p--O (ip dispari).

12. Tipi s u p e r f i c i a l m e n t e i r r e g o l a r i . - In questo e i seguenti h u m e r i consideriamo ]e W~ s u p e r f i c i a l m e n t e irregolari; in base al n. 8, abbiamo s e m p r e gl(Wp)~__p. I n e o m i n c i a m o col t e o r e m a di SEVERI:

Ogni variet&. Wp immagine d'una involuzione di irregolaritd~ superfw~iale p sopra V~, ~ essa slessa una variet~ di Picard; e l'involuzione su V~ ~ generabile

(4) A dire la verith, tale denominazione si limita ad un tipo meno generale, corrispondente ad una matrice a divisori unitari.

(14)

252 L. R o ~ : Sulle varivt~ abeiiane

con u n gruppo finito di trasforma~ioni di p r i m a specie, ed ~ priva di coincidenze.

L a nostra dimostrazione segue le orme della p r e s e n t e trattazione. Suppo.

niamo, se possibile, che P g ( W ~ ) - - 0 ; allora, in base ad un ben noto t e o r e m a di SEVERI, Wp deve c o n t e n e r e u n a congruenza, senza punti base, di sottova- rieta, avente irregolarit~ superficiale p ; lungo ciascuno dei suoi elementi i p integrali di p r i m a specie si m a n t e n g o n o costanti. Eppertanto, dalla corrispondenza tra V~ e W~, si d e d u c e t h e V~ deve c o n t e n e r e u n a congruenza, senza punti base, di irregolarit~ superficiale almeno p. Orbene, si pub stabilire u n t e o r e m a inverso a quetlo del n. 2 [17], t h e ci dice che tale congruenza, costituita di variet/~ di P~CARD, non pub avere irregolarith superficiale superiore a p - - 1.

Allora dev'essere P~(W) --- 1, e possiamo quindi applieare il t e o r e m a principale:

con scelta o p p o r t u n a detle variabili us, le ( t l ) assumono la forma

(14) u~ = u~ + c~ (i - - 1, 2, ..., p).

il che dimostra che W~ a m m e t t e il gruppo Gp che caratterizza la varieta di

~DICARD.

D'ora innanzi s u p p o r r e m o che g~(W~) = q(O < q < p ) . P e r poter applicare i presenti metodi s u p p o r r e m o p u r e che W~ abbia q u a l c h e p l u r i g e n e r e u g u a l e ad uno. Allora~ con scelta o p p o r t u n a delle variabili te relative sostitu~ioni (11) diventano

(15)' u~ -- us ~ c~

(15)" u} = ~, aiku~ + bj P

k=q+l

( i - 1, 2, ..., q),

(~ - - q -[- 1, q -~- 2, ..., p ; aik ~: 1).

Nel caso in cui G~ non risulti ciclico, tutte le sostituzioni dei relativi sottogruppi eontengono il sistema (15)' come parte eomune.

Osserviamo ora che le (15) r i m a n g o n o i m m u t a t e sotto la sostituzione u ' - - us ~ a~, u ~ - - u]; in altre parole ~V~ a m m e t t e u n gruppo ~q continuo.

c o m m u t a t i v o di c~zq automorfismi le cui traiettorie f o r m a n o u n a congruenza di varieth Vq di PICARD. ~]e consegue che anche V~ deve eontenere u n a con- gruenza { Vq}, sicchb V~ ~ speeiale di tipo q (n. 2). La congruenza comple- m e n t a r e ( V~_q} su V~ ~ i m m a g i n e d ' u n a seconda congruenza su W~, che u n a varieti~ p s e u d o - a b e l i a n a di tipo q (n. 3).

]~ chiaro che, m e n t r e gli elementi di ( Vq } sono tutti varieth di PICARD, la e o n g r u e n z a stessa non ~ picardiana, bensi abeliana, in quanto ~ t r a s f o r m a t a razionale di u n ente pieardiano. P e r b la seeonda congruenza t V~-q} su W~

p i e a r d i a n a e eostituita da varieth di PICARD.

I risultati finora ottenuti possono r i a s s u m e r s i come segue.

Ogni variet~ abeliana W~ con qualche plurigenere uguale ad uno e avente irregolarit~ superficiale q(1 ~ q ~ p - 1) ~ pseudo-abeliana di tipo q. Essa

(15)

L. Ro+~: SuIle varietit abeliane 253 contiene una congruenza abeliana (non pieardiana) di traiettorie che sono variet~

di Pieard, e una seconda eongruenza, picardiana e eoslituila da variet& di Picard, che sono trasformate birazionali l'una dell'altra mediante il gruppo ~q inerente a Wp. La variet~ Vv sostegno della relativa involuzione I,~ ~ speciale di tipo q.

13. - Nel caso in cui il d e t e r m i n a n t e d ~ [VqVp_q] ~ 1, possiamo rappre- s e n t a r e ~I~ sopra u n a W~ d - p l a come al n. 3: per i vari dettagli di tale r a p p r e s e n t a z i o n e r i m a n d i a m o alla Monografia [16]. Qui osserviamo s o l a m e n t e che~ dal lato analitico, segue che

Ogni variet4 abeliana W~ con qualche plurigenere uguale ad uno e avenle irregolarit~ superficiale q (1 ~ q ~ p - - 1) ~ rappresentabile analiticamente me.

diante funzioni abeliane di genere q ed altre funzioni abeliane di genere p - - q.

Notiamo c h e s e helle (15)' non tutte le c~ sono nulle, la relativa I~ dev'essere priva di coincidenze. Se inveee le e~ sono tutte nulle~ vi sono c, oq coincidenze; ma in questo caso, che qui escluderemo, si tratta del prodotto d~una Vq e q u a l c h e varieth a b e l i a n a W~_q. I n v e r s a m e n t e se In i~ priva qli coincidenze, ovvio che g~(W~)~ O, poich~ in caso contrario m a n c h e r e b b e r o le (15)', ed allora I,~ a m m e t t e r e b b e s e m p r e delle coincidenze. Quindi

Condizione necessaria e sufficiente affinch~ una in~'oluzione I,, su V,, non del tipo escluso, e avente qualche plurigenere positivo, sia picardiana o pseudo- abeliana, ~ che sia priva di coincidenze.

Oss. - Senza invocare la solita ipotesi P~(~;V~)- 1, possiamo stabilire che Se I~ ~ priva di coincidenze ed anche di p u n t i fondamentali, W~ ~ super.

fieialmente irregolare (e quindi ~ pseudo-abetiana o picardiana).

Invero, segue dalle n o s t r e ipotesi che vale il t e o r e m a principale, sicch~ I,~

g e n e r a b i t e m e d i a n t e un g r u p p o Gn. U n a q u a l u n q u e sostituzione di Gn, sotto f o r m a canonica, deve r i d u r s i a

u~ - - u~ + c~ (i = I, 2, ..., q), u~ - - ~iv~j (j = q + 1, ..., p),

con q ~ 0, poich~, in caso contrario, In a m m e t t e r e b b e delle coincidenze. He consegue che V~ ~ n e c c e s s a r i a m e n t e speciale di tipo q (almeno), onde l'asserto.

P a s s a n d o alle variet~t c a n o n i c h e Xh(W~), osserviamo t h e la corrispondenza tra W~ e V~ ~ priva sia di coincidenze sia di elementi f o n d a m e n t a l i ; qnindi (n. 7) risulta ehe

Tutte le variet~ canoniche Xh( W~) d'una Wp pseudo-abeliana sono (effettive o virtuali) di ordine zero.

(16)

254 L. ROTH: Sulle varivt5 abeliane

Questo t e o r e m a pub essere stabilito in p a r t e almeno con il metodo traseen.

dente del n. 6. Se W~ ha irregolarit~t superficiale q, possiamo supporre che le forme differenziali di p r i m a specie e di primo gr.ado ad essa associate siano du~(i -- 1, 2, ..., q). Allora u n gruppo Xo della serie c a n o n i c a ~ dato da du~ ~ O, una e u r v a c a n o n i c a da du~du2-~ O, e cosi via, sino alla varieth Xq_~. E sic- come su Vp le analoghe varieti~ sono tutte nulle, lo sono a n c h e su W~.

Oss. - I1 fatto ehe le Xh(]¥~) possono essere virtuali, m a l g r a d o la circostanza ehe corrispondono a varieth Xh(V~) effettive~ v e r r h d i m e s t r a t o con esempi.

14. Sugli i n v a r i a n t i d ' u n a variet~ a b e l i a n a irregolare. - Consideriamo u n a W~ abeliana con g,(W~)~--q(1 ~ q ~ p - - 1 ) , Ia cui relativa involuzione I,~ sia generabile m e d i a n t e u n gruppo G~: allora possiamo s u p p o r r e che ogni sostituzione di Gn sia del tipo (15), e che nel caso di u n gruppo non ciclieo ogni sostituzione c o n t e n g a le (15)' come p a r t e comune. Possiamo a n c h e supporre che u n a q u a l u n q u e delle sostituzioni sia ridotta a forma c a n o n i c a ; con lieve c a m b i a m e n t o di notazioni, scriveremo

(16) v~ ~- )~iv~ -Jr- ~ (j - - q + 1, q-t- 2, ..., p).

(In generale, tale riduzione lascierh le altre sostituzioni del gruppo G, nella loro f o r m a originale).

Le q forme differenziali di p r i m a specie e di primo grado at~accate a l ~ sono tutte e sole le dui. Ora, ogni forma differenziale di p r i m a specie e di grado k ( > 1) a t t a c c a t a a W~ b del tipo (du~d'a2... dub) (dvh+~duh+2 ... dvk). Allora, per calcolare il n u m e r o g~(Wr), possiamo proeedere come segue. Osserviamo che le (15)' r a p p r e s e n t a n o u n a u t o m o r f i s m o d ' u n a Vq di P~CARD, m e n t r e l'insieme di equazioni quali le (15)" g e n e r a u n a involuzione sopra u n Vv_q la cui i m m a g i n e b una varieti~ abeliana W~_q ( s u p e r f i c i a l m e n t e regolare). Quindi i vari humeri gk(Wv) (1 ~ k ~ p) sono uguali ai corrispondenti caratteri del prodotto Vq X ~I~_q. Siano d u n q u e g~ (k "--1, 2, ..., p - q) (con gl = 0) gIi

i n v a r i a n t i di ~¥r_q; allora, in base alle (7), (8), troviamo che

k q ,

(17)

= z ( (k = 1, 2, ..., p).

~ 0

Qui, di solito, vengono omessi tutti quei t e r m i n i che siano privi di significato.

Sostituendo per i gk nella relazione (5) di SEVEt~I-KODAIRA, vediamo t h e il risultato finale non d i p e n d e dai g~:; in definitiva abbiamo che P~(W~)-~

- - ( - - 1 ) P -1, c o n f o r m e m e n t e con la teoria g e n e r a l e delle varieth p s e u d o - abeliane [16].

I1 valore del genere geometrico Po--g~(W~) si d e d u c e dalle (15); i vari p l u r i g e n e r i P~ vengono calcolati secondo il metodo del n. 10.

(17)

L. ROTH: Sulle var iet~ abe l~ane 255 15. Un a l t r o metodo di classificazione. - I1 problema di classificare le variet'~ abeliane s u p e r f i c i a l m e n t e irregolari pub v e n i r affrontato in m a n i e r a diversa. Come abbiamo a c c e n n a t o (n. 3), su ogni tale variet~ Wp, le varieti~

p i c a r d i a n e della seconda c o n g r u e n z a l V~_q / - - che ~ p i c a r d i a n a a n c h ' e s s a - souo t r a s f o r m a t e l ' u n a dell'altra m e d i a n t e il gruppo ~q i n e r e n t e a W~. )/[a c'~

di pifi: seconda la teoria delle variet~ p s e u d o - a b e l i a n e [161, ogni ~V~_q a m m e t t e u n g r u p p o finito (di ordine d) di automorfismi, che r i s u l t a ciclico o p p u r e c o m m u t a t i v o a base ~ 2~. Il primo compito ~ quindi di d e t e r m i n a r e , per valori assegnati di p, q(q ~ p ) , tutte ]e variet~ V~_q di PICARD dotate di tall gruppi finiti. I n ogni singolo caso si trova COSi il valore del d e t e r m i n a n t e d di W~

e i l c a r a t t e r e g e n e r a l e delta r a p p r e s e n t a z i o n e analitica. D'altro canto bisogna t e n e t couto del fatto c h e l a c o n g r u e n z a f Vqt delle traiettorie del gruppo ~q ha p e r i m m a g i n e u n a varieti~ a b e l i a n a ~;Vp_q. Quindi~ procedendo i n d u t t i v a m e n t e rispetto al n u m e r o p, troviamo tutti i tipi possibili di congruenze ( ~ q t e l VI~-q 1"

16. Varietk abeliane ad i n v a r i a n t i assegnati. - Abbiamo visto (n. 8) che i c a r a t t e r i g~ di W~ soddisfano alle d i s u g u a g l i a n z e g~ ~ (~) ( k - - 1, 2, ..., p).

Ci si pub d o m a n d a r e se esiste s e m p r e una q u a l c h e variet~ abeliana, non di PICARD, per cui uno o pifi dei h u m e r i gk r a g g i u n g a n o i relativi massimi. Gi~

nel caso k - - 1 sappiamo c h e l a risposta b negativa, in quanto il t e o r e m a di SEVERI (n. 12)ci dice c h e l a sola condizione g ~ ( W ~ ) - - p serve a caratterizzare la V~ di PICAnD.

D i m o s t r e r e m o e r a un risultato pifi generale:

Ogni variet~ abeliana W~, avente qualche plurigenere positivo, e tale che, per u n solo valo/e di k(1 ~ k < p), si abbia gk(W~) -- (~), ~ di Picard oppure

di Wirtinger; e la prima possibilit& ~ sempre verifieata alloreh~ il numero k dispari.

La dimostrazione poggia sul seguente l e m m a :

S e i l gruppo G,, inerente a W~ contiene qualche sostituzione generatrice della forma u ~ - - )~i -~ ~j ( J - - l , 2, ..., p), allora ~ ~ - - ± 1 (e eio~ W~ ~ o pi~ardiana oppure wirtingeriana).

Q u e s t ' u l t i m o risultato devesi a SCORZA [18], che l ' h a dedotto dalla equazione c a r a t t e r i s t i c a (n. 10). Nel caso attuate, q u e l l a equazione deve avere come radici p - p l e ), e ~. (complesso coniugato), sicch~ )~ e ). sono radici d ' u n a equazione della f o r m a w~ -~ a~c ± 1 - - 0, con a intero. Ne d i s c e n d e che i soli valori di ). e f f e t t i v a m e n t e possibili sono - l - i , :i:i,-+-~, : t : ~ (~___ exp 2~i) E t r a n n e - - . nei due primi casi, si pub d i m o s t r a r e inoltre che V~ ~ il prodotto di p c u r v e ellittiche che sono o tutte a r m o n i c h e o p p u r e e q u i a n a r m o n i c h e .

Ora si verifica che in tutti quest~ultimi casi abbiamo P ~ ( W ~ ) - - 0 (i~_ 1), g~(W~) = 0 (k ~ 1). Ma dal punto di vista geometrico ~ ovvio che allora W~

(18)

256 L. Ro~n: S u l l e v a r i e t ~ a b e l i a n e

d e v ' e s s e r e birazionale; difatti le relative sostituzioni del gruppo G,~ ci mostrano che su c i a s e u n a delle p c u r v e abbiamo u n a involuzione razionale, sicch~ I+~

/~ b i r a z i o n a l m e n t e e q u i v a l e n t e al prodotto d i p rette.

I n conclusione, dunque, l ' i n v o l u z i o n e 1,, immagine di ~Vp d e v ' e s s e r e o p i c a r d i a n a o w i r t i n g e r i a n a .

0 s s . - h_bbiamo eosi trovato, per ogni p ~ 1, esempi di involuzioni con Pi -- 0 (i ~ 1) - - anzi, involuzioni birazionali - - con n u m e r o finito di eoinci- denze, e generabili m e d i a n t e gruppi Gn di automorfismi.

P a s s a n d o alla dimostrazione del teorema, s u p p o n i a m o che, per un solo valore di k (1 ~ ' k < p ) , si abbia g ~ ( W ~ ) "-- (P). Consideriamo una q u a l u n q u e sostituzione g e n e r a t r i c e di Gn, ridotta a f o r m s c a n o n i c a :

u ) - - ~ i u i + P'i ( j = 1, 2, ..., p).

Pereh~ g~ sia u g u a l e a (~), oceorre (ma forse non basra) ehe ogui prodotto quale ),1),2...),~ sia u g u a l e ad uno. )/Ia da queste condizioni segue subito che ) ` 1 - - ) ` 2 - - - - ) , k , con ),~----1. Quindi, in base al lemma, o )'i ~ 1, oppure )'i ~ - - 1 (j -- 1~ 2, ..., p). E sappiamo (n. 11) che per la varieth di WIRTIZ~GER, g~---0, q u a l o r a k sia dispari: onde le conclusioni.

17. Sui v a l o r i lacunosi. - ]~ pressoch~ ovvio che, p e r Un d a t o valore di k sodclisfacente alle disuguaglianze 1 ~ k ~ p - 1, non ei occorrono tutte le (~) equazioni dei tipo )`~),2 ... )'~ ---- 1, pe r poter c o n e l u d e r e che )`~ - - )'~ - - - - ),p.

Eppertanto, in base al l e m m a del n. 16, non pub esistere n e s s u n a Wp, a q u a l e h e p l u r i g e n e r e positivo, con i n v a r i a n t e gk(1 ~ k ~ p - - 1) minore di (~) e maggiore di un eerto n u m e r o iV(p, k). In altre parole, vi sono delle l a c u n e nella serie di valori a p r i o r i possibili per i caratteri g~. Su cib non ci indugiamo, ma passiamo a c o n s i d e r a r e altri risultati del genere, che gioeano un ruolo importante nella classificazione delle Wp abetiane per i primi valori di p:

I. - N o n ~ p o s s i b i l e a v e r e gl( W ~ ) - - p -=- 1, gp( ~ ) - - 1.

R a g i o n i a m o per u s s u r d o : in base alla seeonda ipotesi, possiamo a p p l i e a r e il t e o r e m a prineipale. Allora u n a q u a l u n q u e sostituzione di Gn pub m e t t e r s i sotto la form~ u~ - - u i -~- c i

(j

- - 1,

2,

..., p - - 1), u'p - - ),pup ()`~ -~- 1). Ma in questo caso dobbiamo avere gp --- P a -" 0.

Tale caso ~ e f f e t t i v a m e n t e realizzabile: sulla Vp sostegno di I n abbiamo u u fascio razionale I V~_I I di variet~ di PICARD, ed una congruenza comple- m e n t a r e (di irregolarit~t superficiale p - - 1 ) d i curve ellittiche. ~] questo un esempio di varieti~ p s e u d o - a b e l i a n a a sistema [Xp_~! virtuale (err. n. 13).

II. - N o n ~ p o s s i b i l e a v e r e g p ( W ~ ) - - 1, g p _ ~ ( ~ ) - - p - - 1.

R a g i o n a n d o di nuovo per assurdo, possiamo applicare it t e o r e m a principale. Consideriamo d u n q u e u n a q u a l u n q u e sostituzione di Gn in f o r m s cano-

(19)

L. R o ~ : Sulle v ariet~ abeliane 257 nica, u ~ - - k i u l ~ ~tl. P e r la p r i m a ipotesi, dobbiamo avere ).~)~2... k ~ - 1, e per la seconda, valgono tutte t r a n n e u n a delle equazioni quali )~).2... ).~_~ - - 1.

Ma allora r i s u l t a ~ , 1 - - ) , z - I I I . - Se, per una Wv(p - - p - - 2, allora g~_:~(~V~) -- Difatti, u n a q u a l u n q u e u ~ = u i + c ~ ( j = t , 2, . . . , p u g u a l e ad, uno. 5[a in quel r i u s c i r e i n v a r i a n t e p e r I n .

- - 2~ "- 1, siceh~ g~_~(W~) " - p , contro l'ipotesi.

2) a qualche plurigenere positivo, si ha gg W,~) "- O.

sostituzione di G~ dev'essere riducibile alla f o r m a

--2), u~_~--~u~_~, up--~u~,

f o r e n~ ), n~ ~ caso .nessun prodotto q u a l e du~du2 ... du~_~ pub Sorge e r a la d o m a n d a : sotto quali ipotesi possiamo a c c e r t a r e l ' e s i s t e n z a di q u a l e h e v a r i e t k Wr ad i n v a r i a n t i a s s e g n a t i ? P e r i tipi s u p e r f i c i a l m e n t e regolari non sappiamo dare u n a risposta eompleta, ma p e r gli altri sussiste il s e g u e n t e

Teorema di esistenza (easo pseudo-abeliano): Esiste u n a variet& abeliana W~, avente qualche plurigenere positivo, e dotala di caralteri assegnali g,~ (con g~ -- q ~ O) se, e sollanto se, esiste pure una variet~ abeliana W~_q, superficial.

mente regolare, i cui caratteri g'k (con g'~ - - 0). sono tali da soddisfare le equa.

zioni ( 1 7 ) p e r ogni valore di k (1 ~_ k ~ p ) .

Invero, come abbiamo gii~ visto al n. 14, gli i n v a r i a n t i gk, seno gli stessi t h e si ottengono applicando le f o r m u l e (17) atla v a r i e t h prodotto d ' n n a Fq di PIcAnD ed u n a ~;[~_q a b e l i a n a d' irregolarith superficiale nulla.

]~ ehiaro del resto che u n e s a m e pifi partieolareggiato delle (17) rivelerebbe a n e o r a delle l a c u n e nella serie di valori dei gk,

§ IV. - S u a l c u n e c l a s s i d i v a r i e t ~ t a b e l i a n e .

18. Variet~ i m p r o p r i a m e n t e abeliana. - I n questo capitolo passeremo in rivista varie classi interessanti di ~'arieti~ definite da funzioni abeliane o dalle loro forme degeneri. Ed i n c o m i n c i a m o con le varieth impropriamente abeliane.

Sia W~ u n a varieti~ abeliana, i m m a g i n e d ' n n a involuzione In su V~ che sia generabile con u n gruppo Gn di automorfismi di Vv. Supponiamo che W~

a p p a r t e n g a ad un corpo di funzioni c o n t e n e n t e delle funzioni di g e n e r e m i n o r e di p, il che vuol dire ehe u n a loro m a t r i c e (0 - - m a g a r i eostruita con dei periodi n o n p r i m i t i v i - - 6 impura, e cio~ riducibile alta forma ( : ~ ° ) , eve (01 e (02

(02

sono m a t r i e i di RIE~IA~N di generi q e p - - q r i s p e t t i v a m e n t e (1 __.~ q ~ p - - 1).

I n quet caso, in base ad u n t e o r e m a di PoI~cAm~, che b poi stato dimostrato g e o m e t r i e a m e n t e da Scol~zA [19], ogni V~ di PICARD associata a (0 ~ speciale di tipo q (n. 2). Alle due eongruenze c o m p l e m e n t a r i { Vq}, { V,~_q 1 giaeenti

A n n a l i eli M a t e m a t i c a 33

(20)

258 L. RoTtt: Sulle variet d abel~ane

su V v c o r r i s p o n d o n o due c o n g r u e n z e - - diciamole {Wq}, { W~_q } - - su W~, a m b e d u e senza p u n t i base.

Ora vi sono tre possibiliti~:

(i) { Vq} e { F~_q } a p p a r t e n g o n o a m b e d u e a I ~ .

(ii) U n a sola c o n g r u e n z a - - e sia { Vv_q } - - a p p a r t i e n e a I . . (iii) ~ b l ' u n a nb l'altra c o n g r u e n z a a p p a r t i e n e a I n .

Nel caso (i) { VVq } e { W t _ z } sono a m b e d u e p i c a r d i a n e , e le loro rispeitive i r r e g o l a r i t a s u p e r f i e i a l i sono uguali a quelle di { Vq} e di { V~_q}. Allora (n. 12) Wp b essa stessa p i e a r d i a n a .

Nel easo (ii) { B~_q } sola r i s u l t a pieardiana, con irregolarith superficiale q; m e n t r e la trasformata, m e d i a n t e Ga, d ' u n a Vq data, si spezza in n - - i m e m b r i d i ( Vq} (n. 9). Ne c o n s e g u e c h e { Wq} b abeliana, n o n p i c a r d i a n a , con i r r e g o l a r i t h s u p e r f i e i a l e m i n o r e di p - - q .

Nel easo (iii) { Wq} e { W~_q} sono a m b e d u e abeliane, con gl{ Wq} < p - - q , gl { Wv-q} < q. E v i d e n t e m e n t e q u e s t ' u t t i m a possibilith deve realizzarsi se Wv b s u p e r f i c i a l m e n t e regolare.

I n ogni easo, la n a t u r a delle variet/~ Wq e W~-q d i p e n d e da quella delle coincidenze in I n ; in g e n e r a l e possiamo a f f e r m a r e s o l a m e n t e che esse sono abeliane.

R i a s s u m e n d o , abbiamo il s e g u e n t e

T]~ORE~A.- Ogni Wp abeliana ehe sia impropriamente abeliana (e non picardiana) contiene due co•gruenze { Wq } e I Wv_q }, senza p u n t i base, costi.

tuite di varietb abeliane, di cui u n a al pii~ ~ picardiana: in ogni altro easo le congruenze sono ambedue abeliane. Le loro rispettive irregolaritdt superficiali non possono superare queUe delle congr,enze corrispondenti sulla Vv sostegno della relativa involuzione I , .

Se Wv ~ superficialmenle irregolare, essa r i s u l t a pseudo-abeliana di tipo q oppure p - - q. Se invece Wv ~ superficialmente regolare, ambedue le congru.

enze { Wq } e { W v _ q } risultano abeliane e superficialmente regolari. Nel p r i m o caso u n a ed u n a sola delle congruenze su Vp alaparliene a I,, : nel seeondo caso n e s s u n a delle due.

Oss. 1 . - Le p r e c e d e n t i considerazioni si e s t e n d o n o subito al caso in cui V~ e o n t e n g a ire o piil c o n g r u e n z e c o m p l e m e n t a r i .

Oss. 2 . - I1 l e g a m e ira m a t r i c i i m p u r e e periodi n o n p r i m i t i v i b messo in rilievo da e s e m p i b e n noti nella teoria delle superfieie abeliane.

(i) I1 p r i m o esempio, ehe si trova nella ~Iemoria di BAGNE:RA-DE FRANC.IS, ~ l a superficie, a p p a r t e n e n t e alla m a t r i e e ( ; 0 1 £ ~--c¢) :¢, , ehe eor- r i s p o n d e alla involuzione g e n e r a t a dalle sostituzioni u ' - - - - u , v ' = - v;

(21)

L. Ro~H: S~lle var~et4 abe liane 259

1 (1 o 0 o)

u ' - - ~ - [ - ~ , - - - - v - [ - ~ . La m a t r i e e ~ isomorfa a 0 1 2 £ ' la quale impura.

(ii) U n seeondo esempio, dovuto a SCORZ~, ~ la superficie razionale, a p p a r t e n e n t e alla m a t r i c e ( 0 ~ e--la2 0 ~[ 0 ~ che corrisponde alla involu~ione

\

3

/

g e n e r a t a da u ' = - u , v ' = - - e v (~8=1). In questo caso la m a t r i c e data ~ isomorfa a 0 1 s "

0ss. 3. - Le superfieie abeliane regolari (non razionali) sono state compiu- t a m e n t e d e t e r m i n a t e da BAGIqER/~-DE FRAI~CItIS; quelle ehe h a n n o il g e n e r e geometrieo nullo sono tutte a b i g e n e r e uno~ e sono t a t t e i m p r o p r i a m e n t e abeliane.

S a r e b b e i n t e r e s s a n t e di v e d e r e se vatesse, in parte almeno, u n a eonclusione a n a l o g a per le W~ c o n p > 2 .

19. Alcuni esempi.

(i) U n caso particolare, di notevole interesse, ~ quello in eui V~ sia speciale di d e t e r m i n a n t e uno (n. 3): allora V~ t~ b i r a z i o n a l m e n t e equivalente ad un prodotto Vq X Vp_q. U n a ulteriore particolarizzazione si ha supponendo che 1~ sia il prodotto di due involuzioni I', 1" di cui u n a abbia sostegno Vq e l ' a l t r a V~_q: allora Wp ~ essa stessa prodotto della f o r m a Wq >< W~_q, i eui fattori sono variettt abeliane, i m m a g i n i rispettive di I ' e I".

Abbiamo osservato (n. 5) che u n a variet'~ W~ chiamasi totalmente r e g o l a r e se, e soltanto se, m a n c a n o tutte le forme differenziali di p r i m a specie e di grado k (1 ~.~ k ~_~ p - 1). 0 r a possiamo d i m o s t r a r e che

Esistono variet~ abeliane lotalmenle regolari, e non razionali, per ogni p ~ 2.

Notiamo d a p p r i m a ehe nel caso attuale, W~-~ W q X W~_q, i e a r a t t e r i g~(W~) vengono forniti dalle (8). Ora risulta dalle r i c e r e h e di BAGlqE:aA-D]~

Ft~AI~C~IIS (n. 18) ehe esistono delle W~ non razionali per cui gl(l;V~)--g~(W2)--0.

E possiamo costruire esempi di IYa non razionali p e r cui gk(W3) --- 0 (k ~ 1, 2, 3)

~ e l caso p -- 4, basta c o n s i d e r a r e il prodotto W4 ~ W2 ><: W~, o r e i fattori abbiano i c a r a t t e r i come sopra. Ed a n a l o g a m e n t e p e r p > 4.

Ora, queste variett~ in g e n e r a l e non sono n~ birazionali nb unirazionali.

Difatti, in base alle (9), u n a variett~ c a n o n i c a X~_~(Wp) ~ esprimibile quale s o m m a di un certo n u m e r o di prodotti del tipo

Xh(Wp)~ Xp--h--l(Wp--q).

t~el caso che tale varieth, fosse virtuale, un suo multiplo positivo r i u s c i r e b b e g e n e r a l m e n t e effettivo, sicehb l;V, avrebbe q u a l c h e p l u r i g e n e r e uguale ad un%

e tanto basta per d i m o s t r a r e Fasserto.