Altra conseguenza

Siano A aperto semplicemente connesso, f analitica e f = 0 in A. Notiamo innanzitutto che in A non ci sono punti di diramazione perch´e Δγarg f = 2πNzed il numero di zeri di f dentro γ `e per ipotesi Nz = 0. Scelto z0∈ A, assegno ad f(z0) una delle sue possibili fasi, ho allora che la funzione g(z) = log f (z) ottenuta assegnando a f (z) la fase che si ha a partire da quella di f (z0) lungo una curva γ che va da z a z0 entro A non dipende da γ. Ho allora che per ogni f analitica e diversa da zero in A semplicemente connesso `e

f (z) = e^{log f(z)}= e^g(z) con g analitica in A.

Lemma 1.22. Se f `e analitica in un aperto A e non `e costante allora f (A) `e aperto. Dimostrazione . Sia w0 = f (z0) con z0 ∈ A. Deve esistere un intorno di z0 in cui f (z)= w0, a parte z = z<sub>0</sub> (se z<sub>0</sub> fosse un punto di di accumulazione di z<sub>n</sub> tali per cui f (z<sub>n</sub>) = w0, sarebbe f (z)≡ w0). Considero un cerchio chiuso C di centro z0 cos`ı piccolo da essere in A e tale da contenere z= z0 per cui f (z) = w0. Lo sviluppo di Taylor di f in C `e

f (z) = w₀+ a_m(z− z0)^m+ a_m+1(z− z0)^m+1+ ... con a_m= 0 dove m `e l’ordine dello zero di f (z)− w0.

Su ∂C, essendo f (z)− w0 = 0, |f(z) − w0| avr`a un minimo maggiore di zero, per cui |f(z) − w| > δ. Prendo nel piano w il cerchio |w − w0|  δ. Sia ˜w in tale cerchio, si ha

per z∈ C f (z)− ˜w = f (z)− w0+ (w0− ˜w) per z∈ ∂C |f(z) − w0| > δ mentre `e |w0− ˜w| < δ

per cui f (z)− w0e f (z)− ˜w hanno in C, per il teorema 1.21 di Rouch´e, lo stesso numero di zeri che `e m (dato che si `e preso C in modo tale che solo in z0 sia f (z) = w0). In conclusione, per ˜w tale che | ˜w− w0| < δ esistono (sono m, ma alcune potrebbero essere radici multiple, per`o almeno uno c’`e) z∈ C tali che f(z) = ˜w, quindi l’immagine di A sotto f se contiene w₀ contiene tutto|w − w0| < δ, cio`e f(A) `e aperto.4

4Osserviamo che nel caso m = 1, ricordando le propriet`a delle applicazioni differenziabili daR2 adR2, si ha che u(x, y), v(x, y), (u + iv)(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) = w<sub>0</sub>, `e invertibile in un intorno di w₀, infatti `e

J = ^u_v^{x uy}

x v_y ^{= u}

2

x+ v_x²=|f(z₀)|2= 0 Ricordando anche che lo jacobiano dell’applicazione inversa `eJ−1si ha

x_u x_v y_u y_v ⁼ 1 J v_y −uy −vx u_x da cui si vede che

x_u− yv= ¹

J^{(vy− ux) = 0}

per le condizioni (1.2) di Cauchy–Riemann, e cos`ı anche per l’altra condizione. Quindi l’inversa `e analitica.

1.10 Applicazioni del teorema dei residui Per quanto visto, se

f (z)− w0 = (z− z0)^m[am+ ...] = (z− z0)^mh(z) con m > 1

si ha h(z0) = am= 0 cio`e esiste un intorno di z0 in cui `e h= 0 e quindi si pu`o scrivere h(z) = e^g(z)=

e^g(z)/mm

da cui

f (z)− w0 =

(z− z0)e^g(z)/mm

La funzione p(z) = (z− z0)e^g(z)/m (esistono m determinazioni di p che dipendono dal-l’argomento assegnato a g = log h) `e tale che p(z0) = 0, p<sup></sup>(z0) = e<sup>g/m</sup> = 0 e quindi per un intorno appropriato |p| < r esiste un intorno di z0 tale che c’`e corrispondenza biunivoca tra p(z) e z in tali intorni. Ma i p tali che pm+ w0 = w = f (z) sono m (le radici m-esime di w− w0) e per ognuna di esse esiste uno z in un intorno di z0 tale che |p(z)| < r.

2 Funzioni armoniche e problemi di

potenziale

Se f = u + iv `e una funzione analitica nell’aperto A allora le due funzioni u e v sono funzioni armoniche in A, ovvero vale

∇2u(x, y) =  ∂² ∂x^{2 +} ∂² ∂y²  u(x, y) = 0 e ∇2v(x, y) =  ∂² ∂x^{2 +} ∂² ∂y²  v(x, y) = 0 Questo risultato pu`o essere ottenuto immediatamente derivando le condizioni (1.2) di Cauchy–Riemann (dato che, come visto, l’analiticit`a di f ci assicura la possibilit`a di eseguire derivazioni successive). Viceversa, se A `e aperto semplicemente connesso e u(x, y) `e armonica in A, allora esiste v(x, y) armonica (detta armonica coniugata ) tale che f (z) = u+iv `e analitica in A; a tale scopo basta imporre alla funzione v di soddisfare alle condizioni (1.2) di Cauchy–Riemann, le quali la determinano univocamente a meno di una costante additiva.

Se A non `e semplicemente connesso l’armonica coniugata pu`o esistere solo localmente. Lemma 2.1. Se f = u + iv `e una funzione analitica, le curve su cui u `e costante sono perpendicolari alle curve su cui v `e costante.

Dimostrazione . Presa una curva u =cost il vettore ∇u = (ux, u_y) `e ortogonale alla curva e analogamente ∇v `e ortogonale alla curva v =cost. Ci basta allora mostrare l’ortogonalit`a dei gradienti, si ha

∇u · ∇v = uxv_x+ u_yv_y= 0 per le condizioni (1.2) di Cauchy–Riemann.

Questo significa che se u =cost sono le equipotenziali di un campo di forza, le v =cost sono le linee di forza. Ad esempio, se f = ln r + iθ, le circonferenze di raggio r (per cui ln r =cost) sono le equipotenziali del campo di una carica puntiforme in un piano (di un filo nello spazio), le linee di forza sono allora quelle per θ =cost.

Cercare di risolvere un problema di potenziale in una regione con una data condizione al contorno equivale a cercare quella funzione analitica f la cui parte reale ha il valore dato al contorno.

u = b u = a ∇2u(x, y) = 0

O

con u limitata¹ Notando che arg z `e costante su una semiretta che parte dall’origine, si ha che

u = a +^b− a π ^{arg z} `e la soluzione. Se invece fosse

u = a u = c _{u = b} ∇2u(x, y) = 0

x₁ x₂

con u limitata, la soluzione sarebbe

u = c1arg(z− x1) + c2arg(z− x2) + c3

con ci determinati dalle condizioni al contorno.

2.1 Trasformazioni conformi, trasformazioni bilineari

In generale, dato ∇2u in A e u = a(x, y) su ∂A, la geometria di A non `e cos`ı semplice da permettere di trovare a vista la funzione analitica la cui parte reale ha il valore al contorno giusto. Si pu`o cercare allora una trasformazione di variabile ξ(x, y), η(x, y) che in modo univoco trasformi A in un’altra regione B.

In generale, se ϕ(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)) (e u(x, y) = ϕ(ξ(x, y), η(x, y))), l’equazione per ottenere ϕ si ricava da∇2u = 0 scrivendo

∂²ϕ ∂ξ² |∇ξ|²+ ^∂ 2ϕ ∂η² |∇η|²+ 2^∂ 2ϕ ∂ξ∂η⁽∇ξ · ∇η) +^∂ϕ_∂ξ∇²ξ +^∂ϕ ∂η∇²η = 0 (2.1) Se f (z) = ξ + iη `e una funzione analitica,∇2ξ =∇2η = 0,∇ξ · ∇η = 0 (per le condizioni (1.2) di Cauchy–Riemann), |∇ξ|² = |∇η|² = |f_(z)|2 (sempre per le condizioni (1.2) di

1La condizione di limitatezza `e necessaria per l’unicit`a della soluzione; senza tale condizione ad una soluzione si pu`o sempre aggiungere una soluzione di∇2u = 0 con u = 0 per y = 0 (per esempio y, xy).

2.1 Trasformazioni conformi, trasformazioni bilineari Cauchy–Riemann); quindi la (2.1) diventa

_f_(z)2 ∂²ϕ ∂ξ^{2 +} ∂²ϕ ∂η²  = 0

Ricordando che la condizione di invertibilit`a implica f<sup></sup> = 0 ne segue che ϕ `e una funzione armonica. Su ∂A deve essere inoltre verificata la condizione u(x, y) = a(x, y) e quindi per ϕ deve valere su ∂B

ϕ(ξ, η) = a

x(ξ, η), y(ξ, η)

Se invece il problema avesse come condizione al contorno ∂u/∂n = a, allora per ϕ dovr`a essere ∂ϕ ∂n_w^{(ξ, η) = a}  x(ξ, η), y(ξ, η) _dz dw  

dove con w si `e indicata la variabile complessa nel piano trasformato.

Le trasformazioni biunivoche da A a B realizzate con ξ ed η tali che f (z) = ξ + iη sia una funzione analitica si chiamano trasformazioni conformi . La ragione di tale nome sta nel fatto che se due curve si incontrano in z formando un angolo α, le curve trasformate si incontrano in w(z) formando lo stesso angolo. Per vederlo osservo che, se γ(t) =

x(t), y(t) `

e una certa curva, la direzione della tangente in z a tale curva `e quella di ( ˙x, ˙y). Se γ^(t) =

ξ(x(t), y(t)), η(x(t), y(t)) `

e la curva trasformata la direzione della tangente a γ^ in w(z) `e quella di

˙ ξ, ˙η

= (ξx˙x + ξy˙y, ηx˙x + ηy˙y) usando le condizioni (1.2) di Cauchy–Riemann

˙ ξ, ˙η

= (ξ_x˙x− ηx˙y, η_x˙x− ξx˙x)

= (ξ_x+ iη_x)( ˙x + i ˙y) = f^(z)( ˙x, ˙y)

ovvero la tangente a γ^ `e quella in γ ruotata di un angolo uguale a arg f<sup></sup>(z) che non dipende dalla curva; per cui due curve γ1 e γ2 che si incrociano in z sono ruotate dello stesso angolo e sono cos`ı trasformate in due curve γ₁^ e γ₂^ che in w(z) formano lo stesso angolo che γ1 e γ2 formavano in z.

Una famiglia di trasformazioni conformi `e data dalle trasformazioni bilineari : w(z) = ^{az + b}

cz + d ^{con ad}− bc = 0

Questa `e una trasformazione del piano esteso in s´e. Per w∈ C si pu`o risolvere per z (e z(w) `e bilineare in w), il punto w = ∞ `e l’immagine del punto z per cui, se c = 0, si annulla il denominatore o, se c = 0, `e l’immagine di z = ∞. La trasformazione w(z) `e analitica in z fatta eccezione per i punti che annullano il denominatore e

dw dz ⁼

ad− bc (cz + d)² = 0

fatta ancora eccezione per gli z che annullano il denominatore.

Le trasformazioni bilineari sono composizione di trasformazioni lineari e dell’inversione w = 1/z; infatti, se c = 0 la trasformazione `e lineare, mentre se c= 0 `e

w = ^a c z + b/a z + d/c momentaneamente sia a= 0 w = ^a c z + d/c + (b/a− d/c) z + d/c = ^a c ⁺ a c bc− ad ac 1 z + d/c = ^a c ⁺ bc−ad c cz + d

che `e valida anche per a = 0. Si ha allora che w `e la composizione di z−→ z _{= cz + d}−→ z₌ ¹

z^ −→ w = pz_{+ q}

Si deduce allora che ogni propriet`a valida per le trasformazioni lineari e per l’inversione `e valida anche per le trasformazioni bilineari. In particolare:

Lemma 2.2. Le trasformazioni bilineari mandano l’insieme delle rette e dei cerchi del piano complesso in se stesso.

Dimostrazione . Si pu`o pensare alle rette come cerchi di raggio infinito o, riferendoci alla sfera di Riemann, come cerchi per il punto all’infinito. L’equazione pi`u generale per un cerchio o retta `e

pzz + qz + qz + r = 0 con p, r∈ R, e |q|²> rp

infatti per p = 0 `e evidentemente una retta, mentre per p= 0 con un po’ di conti ottengo 

z +^q_p^² = |q|2

p² − ^r_p

che `e evidentemente un cerchio di centro z<sub>0</sub>=−q/p e raggio dato da R2= (|q|2−rp)/p2. `

E allora chiaro che l’applicazione lineare w = az + b trasforma l’ultima equazione in |w − (az0+ b)|²=|a|²R²

quanto all’inversione w = 1/z l’equazione in w diventa p

|w|2 + ^q w ⁺

q

w <sup>+ r = 0 cio`e r</sup>|w|<sup>2</sup>+ qw + qw + p = 0 che `e della forma da cui siamo partiti.

2.1 Trasformazioni conformi, trasformazioni bilineari Osservazione: Se `e r = 0, nel piano w la figura di arrivo `e una retta; r = 0, d’altra parte, significa che z = 0 appartiene alla curva di equazione p|z|2+ qz + qz = 0, e z = 0 `e il punto che sotto l’inversione va all’infinito. Questo `e il criterio che distingue se la curva di arrivo `e un cerchio o una retta: se il punto che va all’infinito (quello che annulla il denominatore) appartiene alla figura di partenza, la figura di arrivo passa per il punto all’infinito e quindi `e una retta, altrimenti `e un cerchio.

In una trasformazione bilineare sono importanti solo i rapporti tra le costanti a, b, c, d, infatti se si moltiplicano numeratore e denominatore per una costante la trasformazione non cambia. In effetti la trasformazione `e fissata se si richiede per tre punti

z1 −→ w1, z2−→ w2, z3−→ w3

Basta infatti osservare che l’inversa di una trasformazione bilineare `e ancora bilineare e che il prodotto di trasformazioni bilineari `e anch’essa bilineare. Se a w si associa la matrice dei coefficienti

w  

a b c d



la trasformazione prodotto ha come matrice associata il prodotto delle matrici e la trasformazione inversa la matrice inversa (a meno di un fattore che moltiplica numeratore e denominatore). Ora se t(z) `e la trasformazione che manda

z1−→ 0, z2−→ 1, z3 −→ ∞ e t(w) quella che manda

w1−→ 0, w2−→ 1, w3 −→ ∞ allora w(t(z)) manda z₁ −→ w1, z₂−→ w2, z₃−→ w3 La trasformazione t(z) `e data da t(z) = ^z− z1 z− z3 z1− z3 z2− z1

e analogamente per t(w), quindi w(t(z)) `e data implicitamente da z− z1 z− z3 z1− z3 z₂− z1 = ^w− w1 w− w3 w1− w3 w₂− w1

Per determinare la trasformazione che manda una certa curva (cerchio o retta) in un’altra `e utile una propriet`a valida per le trasformazioni lineari e per l’inversione che si esprime in termini di punti simmetrici , che sono definiti come segue:

(i) I punti z1 e z2 sono simmetrici rispetto ad un cerchio di centro z0 e raggio R se (z1− z0)(z2− z0) = R² e arg(z1− z0)− arg(z2− z0) = arg R²= 0 (la seconda relazione significa che i punti z0, z1, z2 sono allineati).

(ii) I punti z1 e z2 sono simmetrici rispetto ad una retta se tale retta `e l’asse del segmento che li unisce. L’espressione algebrica di tale propriet`a pu`o essere trovata notando che se la retta `e l’asse reale due punti sono simmetrici se sono coniugati, e che una generica retta del piano complesso pu`o ottenersi ruotando l’asse reale attorno all’origine e traslandolo lungo l’asse immaginario:

e z m z α z₁ z₂ b

Quindi z₁ e z₂ sono simmetrici rispetto alla retta (z− b)e−iα_se

(z1− b)e^−iα− (z2− b)eiα= 0

La propriet`a anticipata, di cui omettiamo la facile dimostrazione, `e la seguente

Lemma 2.3. Le trasformazioni bilineari mandano punti simmetrici in punti simmetrici. Osservazione: Se la trasformazione ha un denominatore che si annulla per uno z (cio`e non `e lineare), abbiamo che un certo z1 viene mandato all’infinito. Dato un cerchio, se z1 `e sul cerchio il suo simmetrico `e z1 stesso e quindi il cerchio viene mandato in una retta; se z1 non `e sul cerchio, avr`a un simmetrico z2, e il cerchio `e trasformato in un altro cerchio. Analogamente se si ragiona con una retta. Si ha inoltre che il centro del cerchio e z =∞ sono simmetrici nel senso che i loro trasformati sono simmetrici rispetto alla figura di arrivo, o provengono da punti che sono simmetrici rispetto alla figura di partenza.

Esempio: trasformiamo |z| = R in s´e in modo tale che il punto z0 interno al cerchio venga mandato in w(z0) = 0. L’equazione del cerchio pu`o scriversi come zz = R<sup>2</sup>, il simmetrico di z0 `e

z^s₀= ^R

2

z₀ Dato che z₀ → 0 dovr`a essere zs

0 → ∞ e quindi w(z) = α ^z− z0

z− R² z₀

2.1 Trasformazioni conformi, trasformazioni bilineari con α che deve essere scelto in modo da soddisfare |w| = R; scrivendo z = Reiθ deve essere   ^α Reiθ− z0 Reiθ− R² z₀   ⁼  ^αz0 R Reiθ− z0 z0eiθ− R   =^^αz0 R Reiθ− z0 z0− Re−iθ   =^^αz0 R   = R

cio`e α = R²/z0 (a meno di un fattore di fase) e quindi

w(z) = ^R 2 z0 z− z0 z−R² z₀

Si pu`o usare questa trasformazione per ritrovare la formula di Poisson. Basta ricordare che il valore di una funzione armonica in un cerchio `e la media dei valori sulla circonfe-renza. Se e z m z ∇2_{u(x, y) = 0} u(x, y) = f (θ) z₀ e w m w ∇2_{ϕ(ξ, η) = 0} ϕ(ξ, η) = g(θw) O w(z) si ha u(x₀, y₀) = ϕ ξ(x₀, y₀), η(x₀, y₀) = ϕ(0) = ¹ 2π  2π 0 g(θ_w)dθ_w

Se esprimiamo θ_w in termini di θ, g(θ_w(θ)) diventa f (θ) e si pu`o calcolare u(x0, y0). Notiamo che, essendo w = Re<sup>iθ</sup>w, z = Re<sup>iθ</sup> e z0= re<sup>iϕ</sup> `e

dw w ^{= idθw =} dz z− z0 − ^dz z−R² z₀ = idθRe^iθ  1 Reiθ− reiϕ − ¹ Reiθ− R² r eiϕ 

e quindi dθ_w dθ ⁼ Reiθ reiϕ− R² r eiϕ R (Reiθ− reiϕ)

eiθ− R² r eiϕ

= ^e

iϕ(r²− R2)eiθ

(Reiθ− reiϕ) (reiθ− Reiϕ)

= ^R

2− r2)

(Reiθ− reiϕ) (Re^−iθ− re−iϕ₎

= ^R

2− r2

R²+ r²− 2rR cos(θ − ϕ) in conclusione si ottiene la formula di Poisson

u(r, ϕ) = ^R 2− r2 2π  2π 0 f (θ)dθ R²+ r²− 2rR cos(θ − ϕ)

che risolve il problema di Laplace con condizioni ai limiti sulla circonferenza.

2.2 La funzione di Green ed il suo uso per la soluzione di

Nel documento Metodi Matematici della Fisica II - Appunti tratti dalle lezioni del prof. L. Bracci - (pagine 44-54)