do log z da un intorno di z0 ad un intorno di z lungo γ. La funzione ottenuta `e analitica e ad un sol valore. La scelta di arg z0 fissa la determinazione di log z. (ii) In A semplicemente connesso considero f analitica non nulla. Se in un intorno
di z0 fisso il valore di arg f (z) vicino al valore di arg f (z0), la funzione log f (z) `e analitica. Allora la funzione
F (z) = log f (z) = ln|z| + i[arg f(z0) + Δγarg f (z)]
`e il prolungamento analitico da un intorno di z0 ad un intorno di z lungo la curva γ in A; tale funzione `e analitica e ad un sol valore in A.
(iii) In A semplicemente connesso siano f, g analitiche e non nulle, come prima le fun-zioni F = log f , G = log g, H = log f g sono analitiche e ad un solo valore in A. Se in z0 ho che arg f g(z0) = arg f (z0) + arg g(z0) e in un intorno di z0 prendo arg f g(z) vicino al valore di arg f g(z0), allora in tale intorno vale H = F + G. Il prolungamento da z0 a z∈ A della funzione H − G − F `e dato da
H− G − F = ln |fg| + i[arg fg(z0) + Δγarg f g]+
− ln |f| − i[arg f(z0) + Δγarg f ]− ln |g| − i[arg g(z0) + Δγarg g] = i[Δγarg f g− Δγarg f− Δγarg g] = 0
perch´e nell’intorno di z0 era H− G − F = 0. Si ritrova allora Δγarg f g = Δγarg f + Δγarg g Il discorso fatto vale anche per f /g con f, g non nulle, per cui
Δγargf
g = Δγarg f− Δγarg g
(iv) Se si ha una f tale che per ogni z0 ∈ A non semplicemente connesso, f risulta derivabile in un intorno di z0 allora la funzione ottenuta prolungando la f definita in un intorno di z0 lungo qualsiasi curva chiusa γ in A `e ad un sol valore purch´e risulti
Δγf = 0 Questo `e il caso, ad esempio, della funzione √
z2− 1 che risulta derivabile in ogni z0 nel piano tagliato del segmento di asse reale che va da−1 ad 1, e che per ogni curva γ chiusa nel piano tagliato soddisfa Δγ√
z2− 1 = 0.
1.7 Singolarit`a isolate, removibili ed essenziali
Si dice che z0 `e per f un punto singolare isolato se esiste un intorno I di z0 tale che f (z) `e analitica e ad un sol valore per z∈ I {z0}.
Esempi: per le funzioni sin z/z, sin z/z2, e1/z, z = 0 `e un punto singolare isolato. Per √
z il punto z = 0 non `e singolare isolato, perch´e non esiste un intorno in cui la funzione `e ad un solo valore.
Se z0`e un punto singolare isolato, per quanto visto in precedenza, nella corona circolare {0 < |z − z0| R} inclusa in I per R opportuno, vale
f (z) =
+∞
k=−∞
ak(z− z0)k Ci sono allora due possibili casi:
(i) La serie ha solo potenze positive, allora la funzione g(z) =
∞
k=0
ak(z− z0)k `e analitica anche in z0 e vale
g(z0) = a0= lim
z→z0f (z)
quindi f `e prolungabile analiticamente in z0; in tal caso il punto z0 si chiama singolarit`a removibile. Esempio:
sin z
z = 1− z3!2 + z
4
5! + ...
Il fatto che f abbia limite per z → z0 implica che f `e limitata in un intorno di z0. `E importante che: se f ha in z0 un punto singolare isolato e `e |f| < M in un intorno di z0 allora z0 `e una singolarit`a removibile. Infatti, i coefficienti per i coefficienti della serie con potenze negative vale
|βk| = 2π1 |z−z0|=r f (z)(z− z0)k−1dz M 2π r n−12πr = M rn
che `e piccolo a piacere, quindi βk= 0.
Notiamo infine che, a differenza del caso di variabile reale, dire che f `e limitata in un intorno di z0 implica necessariamente l’esistenza del limite.
(ii) La serie ha almeno una potenza negativa. In questo caso non esiste il prolunga-mento analitico in z0 e z0 `e detta singolarit`a non removibile.
Notiamo anche che per quanto gi`a detto nell’intorno di una singolarit`a non remo-vibile|f| non pu`o essere limitato.
Per le singolarit`a non removibili distinguiamo altri due casi:
(a) Il numero dei coefficienti delle potenze negative diversi da zero `e finito; si dice allora che f ha in z0 un polo di ordine n, dove n `e la massima potenza negativa che compare nella serie. Esempi:
sin z z2 , sin z z3 , 1 z2 − z
1.7 Singolarit`a isolate, removibili ed essenziali (b) La parte della serie con potenze negative ha ha infiniti coefficienti diversi da
zero; si dice allora che z0 `e una singolarit`a essenziale. Esempi: ez1, z3ez21 , sin1
z `
E necessario saper riconoscere i due casi; iniziamo con i poli: (i) f ha un polo di ordine n in z0 se e solo se
lim
z→z0(z− z0)nf (z) = l= 0 Per ipotesi di polo
f (z) = a−n (z− z0)n + a0+ ... con a−n= 0 quindi lim z→z0(z− z0)nf (z) = lim z→z0[a−n+ a0(z− z0) + ...] = a−n= 0
Viceversa se g(z) = (z− z0)nf (z) ha limite l, allora g(z) ha in z0 una singolarit`a removibile, cio`e
g(z) = l + a0(z− z0) + ... =⇒ f(z) = (z− zl
0)n + ... ed essendo l= 0 si ha che f ha un polo di ordine n.
(ii) f ha un polo di ordine n in z0 ⇐⇒ |f| → ∞ per z → z0. Se f ha un polo
|f(z)| = |(z − z0)nf (z)| |z − z1
0| −→ ∞ per z → z0
dato che per quanto appena detto il primo fattore ha limite finito diverso da zero. Viceversa, se|f| → ∞ allora esiste un intorno I di z0in cui funzione f `e non nulla. La funzione g = 1/f `e analitica in I {z0}, |g| → 0 e quindi g ha una singolarit`a removibile in z0, che `e uno zero di ordine n:
g(z) = an(z− zn)n+ ... =⇒ limz→z
0
g(z)
(z− z0)n = an = 0 cio`e f → 1/an, il che implica che f ha in z0 un polo di ordine n.
Possiamo quindi dire che se f ha in z0un polo di ordine n, vicino a z0f si comporta come 1/(z− z0)n.
(iii) Quanto appena visto ci permette di osservare che: f ha un polo di ordine n in z0
Per le singolarit`a essenziali (ad esempio z = 0 per e1/z) f non `e limitata (e1/x → ∞ per x > 0), ma non tende ad∞ (e1/iy ha modulo 1); ovvero non esiste il limite n´e finito n´e infinito. Vale il seguente
Lemma 1.16. Se f ha in z0 una singolarit`a essenziale, per w∈ C e ε > 0 qualunque, in ogni intorno di z0 esistono infiniti z tali che |f(z) − w| < ε.
Dimostrazione . Se, per assurdo, il lemma non fosse vero dovrebbero esistere un w e un intorno I di z0tali che in tutto I{z0} dovrebbe essere |f(z)−w| > ε. Allora la funzione g = 1/(f (z)− w) `e analitica in I {z0} ed z0`e per g un punto singolare isolato. Dato che|f(z) − w| > ε, possiamo dire che |g| `e limitato, quindi z0 `e per g una singolarit`a removibile. Se il prolungamento di g in z0`e non nullo, f− w = 1/g `e analitica in tutto I e quindi lo `e anche f . Se g ha in z0 uno zero di ordine n, f ha un polo di ordine n e questo `e assurdo perch´e per ipotesi z0 `e una singolarit`a essenziale per f .
Questo significa che: se z0 `e una singolarit`a essenziale, dato w esiste una successione {zn} tale che
f (zn)−→ w per zn → z0
Notiamo che per f = e1/z `e immediato vedere che per w = 0, l’equazione e1/z = w ha soluzione in ogni intorno dell’origine: