Analisi del problema dell’impuntamento

Si vuole analizzare l’interazione magnetica tra rotore e statore in modo da capire il meccanismo che genera la Coppia di Cogging o d’Impuntamento .

Si può fare riferimento alla seguente figura :

Fig.3.1 : Rappresentazione schematica dell’interazione tra magneti e denti statorici

in cui è schematizzato il modo in cui le curve di campo magnetico prodotto dai magneti permanenti si richiude nel ferro di statore , passando per i denti delle cave in cui

alloggiano gli avvolgimenti .

Di fatto si alterna un magnete che funge da polo nord con uno che invece funge da polo sud e questo vuol dire che anche i denti di statore alternano la loro polarità .

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Dunque si alterneranno anche delle configurazioni in cui la forza dovuta all’interazione magnete-denti tende a generare una rotazione in senso orario con configurazioni in cui la rotazione tende in verso antiorario .

Essendo il numero di paia polari di statore e di rotore il medesimo e considerando che la macchina ha una geometria a simmetria cilindrica , possiamo subito affermare che il numero di volte in cui la forza generata dall’interazione magnete-dente ha verso positivo (inteso come verso positivo alla rotazione in senso antiorario) è lo stesso in cui ha verso negativo.

Quindi una prima considerazione molto importante su tale disturbo è che ha media nulla . Si intuisce meglio facendo riferimento alla figura seguente :

Fig.3.2 : Sequenza logica di generazione della coppia di Cogging

dove viene descritto il fatto che il momento risultante dall’alternanza di forze positive e negative deriva dalla tendenza naturale di allinearsi tra poli di statore e polarità del magnete . Nella configurazione A non si ha momento risultante in quanto si ha una situazione di perfetta simmetria magnetica ; la posizione è però instabile in termini di equilibrio infatti una qualsiasi perturbazione crea una variazione di energia magnetica . Dalla posizione A si passa ad una posizione B in cui si ha generazione di momento perché il flusso tende ad allineare il magnete con le paia di poli di statore più vicine . Una volta allineati ci si ritrova nella posizione C dove il momento risultante è nuovamente nullo essendo una configurazione di equilibrio stabile in termini energetici . Dopo di che si ricomincia con l’alternarsi di configurazioni ad equilibrio stabile ed instabile per motivi di simmetria , alternando inoltre il segno della coppia che ne risulta dipendente dal fatto che il magnete avrà in una posizione angolare congrua con la porzione di giro , una volta il nord ed una volta il sud che si affaccia con le polarità di statore .

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Avendo parlato di equilibrio , possiamo introdurre argomentazioni di tipo energetico per formalizzare una espressione che descriva il contributo della coppia di impuntamento in termini di Coppia effettivamente erogata dalla macchina .

Facciamo riferimento alla seguente figura :

Fig.3.3 : Variazione dell’energia con la posizione angolare

è ragionevole pensare di fare differenza tra due configurazioni limite in termini di

posizione reciproca tra magnete e cava di statore . La prima in cui la mezzeria del magnete passa per la mezzeria del dente di cava e la seconda in cui la mezzeria del magnete passa per la mezzeria della cava stessa .

In entrambi i casi ovviamente il campo magnetico prodotto dai magneti si richiude a partire dal magnete ne ferro di statore passando attraversando il traferro come mostrato nella figura sottostante :

Fig.3.4 : Percorso del flusso magnetico

è ovvio però che tra le due situazioni limite si avrà una variazione di energia magnetica dovuta sostanzialmente ad una modifica del circuito magnetico che descrive il percorso di

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Prendiamo in considerazione un circuito magnetico equivalente , composto da un magnete permanente e da una bobina , possiamo scrivere la co-energia come segue :

𝑊𝑐 = 1 2𝐿𝑖 2 ₊1 2(ℜ + ℜ𝑚)𝜙𝑚 2 _{+ 𝑁𝑖𝜙} 𝑚

dove ℜ e ℜ𝑚 sono la riluttanza vista dalla sorgente di f.m.m e dal campo magnetico

rispettivamente , mentre 𝜙𝑚 è il flusso he collega il magnete alla bobina .

Si può ricavare , come visto in fase di modellazione della macchina Sincrona , la coppia elettro-magnetica derivando rispetto alla posizione angolare :

𝑇 = 𝜕𝑊𝑐 𝜕𝜃 = 1 2𝑖 2𝑑𝐿 𝑑𝜃− 1 2𝜙𝑚 2 𝑑ℜ 𝑑𝜃+ 𝑁𝑖 𝑑𝜙_𝑚 𝑑𝜃

il secondo contributo è proporzionale al quadrato del flusso ma non è funzione della polarità del flusso , mentre il segno negativo deriva dal fatto che l’induttanza e la

riluttanza sono inversamente proporzionali. Dato che l’induttanza della bobina è costante ed indipendente dalla posizione angolare, in caso mancanza di corrente solo detto termine è presente.

Quindi , come ci aspettavamo dalle considerazioni qualitative , la coppia di Cogging può essere vista come il momento risultante nell’interazione statore-rotore dovuto al

cambiamento di riluttanza , ovvero la formalizziamo come : 𝑇_𝑐𝑜𝑔 = −1

2𝜙𝑔

2𝑑ℜ

𝑑𝜃

Inoltre è possibile definire il periodo della forma d’onda come :

𝜃_𝑐𝑜𝑔 = 2𝜋

𝑚. 𝑐. 𝑚(𝑁_𝑝, 𝑁_𝑠)

con 𝑁𝑝, 𝑁𝑠 numero di paia poli e numero di cave rispettivamente .

Il problema di quantificare la coppia di impuntamento tramite la relazione ricavata sopra è la effettiva conoscenza della distribuzione di induzione al traferro dovuta alla geometria dei magneti ed al materiale di cui sono costituiti , cose che spesso non sono a disposizione in quanto vi è il segreto da parte del costruttore .

Una soluzione che diminuisce le variazioni locali di energia magnetica è di utilizzare denti statorici “biforcati” in modo da rendere la richiusura del campo magnetico meno “netta” e più addolcita , cosa che però ha un certo costo di lavorazione del materiale .

Un’altra soluzione pratica per mitigare la variazione di energia magnetica dovuta all’interazione tra denti statorici e magneti permanenti descritta fin qui , è quella di

disallineare reciprocamente gli assi di simmetria cilindrica tra le due parti principali della macchina , questa soluzione è detta Skewing del rotore e possiamo schematizzare come in figura :

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Fig.3.5:Disallinamento tra asse di rotore e statore nella procedura di Skewing

È comunque possibile risalire alla forma d’onda che descrive la Coppia di Cogging tramite una misura diretta della coppia erogata dalla macchina.