4.1)
IL CONCETTO DI STRUTTURA EQUIVALENTE
Un modello strutturale equivalente potrebbe essere pensato come un modello numerico, interpretativo e sostitutivo della struttura reale e utilizzato per la previsione della risposta deformativa che una determinata struttura avrebbe fornito se sottoposta ad una determinata azione agente. Quello che ci si aspetta da un modello equivalente, è avere una stima sufficientemente precisa di quella che è la risposta globale e locale di una struttura soggetta ad una certa azione (in questo caso sismica). Quando si parla di risposta sismica si intendono, oltre ai vettori incogniti nelle equazioni del moto del sistema, quindi spostamento, velocità e accelerazione (per ogni istante di tempo considerato e per ogni punto di interesse), anche le forze agenti negli elementi strutturali e non. In tal modo la risposta sismica è definita compiutamente sia in termini cinematici (spostamenti e rotazioni) che statici (forze e momenti) e in tal modo entrambe le verifiche, sia in termini di capacità deformativa che di capacità resistente possono essere impostate.
Si ritiene implicitamente che, il modello numerico dettagliato della struttura, in accordo alla definizione del § 2.4 della presente tesi, sia il più realistico e vicino al comportamento reale della stessa e quindi, quando non si dispone di risultati di prove sperimentali condotte, il confronto della bontà di modellazioni alternative viene fatta nei confronti di questo modello. Tale modellazione risulta però, anche la più onerosa computazionalmente e poco conveniente, nel caso in cui si debbano compiere parecchie analisi dinamiche del tipo time-history. Per questo, la necessità di realizzare analisi sismiche complesse e computazionalmente dispendiose quali le time-history su strutture in ambito anelastico, ha favorito negli anni, la ricerca e il
CAPITOLO 4: Analisi di modelli strutturali equivalenti
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proliferare di metodi per la messa a punto di sistemi equivalenti in grado di semplificare le problematiche da risolvere. Non è semplice dare dei criteri e delle indicazioni per la classificazione dei modelli equivalenti esistenti, né tanto meno definire con un criterio generale per definirne l’accuratezza nei riguardi della stima della risposta sismica.
Una strada molto pragmatica e sostanziale per superare tale inconveniente, è suggerita nella norma americana FEMA 440 che, ritenendo l’analisi time-history di strutture modellate dettagliatamente, l’analisi sismica di riferimento, classifica tutte le varianti a tale analisi in funzione della modalità di simulazione dell’azione sismica piuttosto che delle semplificazioni adottate nella scelta del modello. Seguendo questa indicazione e riportando la tabella proposta in FEMA 440 (riportata in Figura 4.1), si può vedere quali siano le possibili scelte per modellazioni e analisi sismiche con una indicazione su quello che è il grado di incertezza del risultato finale.
Figura 4.1 - Matrice delle possibili procedure inelastiche di analisi sismica al variare del modello strutturale adottato e del tipo di input sismico con indicazione del livello di incertezza nei risultati.
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Da queste considerazioni si evince che ci possono essere due diverse strade da poter percorrere per la semplificazione del problema dinamico: la prima prevede di semplificare il modello usato per la ricerca della risposta sismica; la seconda prevede di adottare oltre a dei modelli semplificati, l’utilizzo di input sismici alternativi agli accelerogrammi quali ad esempio gli spettri di risposta.
Le migliori performance in termini di contenimento delle incertezze sui risultati, dopo le analisi time-history su strutture modellate in maniera dettagliata, sono fornite dalle stesse ma condotte su strutture equivalenti a più gradi di libertà (MDOF) e poi su sistemi equivalenti a un grado di libertà (SDOF). Le analisi di tipo statico non lineare (o analisi di pushover) sembrano essere secondo tale matrice le più incerte nel risultato finale fornito. L’unica giustificazione che porta a propendere per la scelta di realizzare un’analisi di pushover rispetto ad una qualsiasi analisi dinamica sembra essere quella della maggior semplicità di implementazione e realizzazione della stessa. E’ implicitamente sottointeso che, le analisi dinamiche sarebbero quindi da auspicarsi per una più precisa valutazione della risposta sismica di una struttura.
Tra i modelli equivalenti a più gradi di libertà, il documento FEMA 440 cita due tra le tipologie di modelli maggiormente diffusi: i fish-bone model e gli stick model.
I primi rappresentati in Figura 4.2 sono impiegati per lo studio di pilastrate di telai in cui le rigidezze delle travi sono confrontabili con quelle dei pilastri.
Gli stick model, rappresentati in Figura 4.3, sono invece impiegati per lo studio di elementi strutturali verticali quando la rigidezza delle travi è trascurabile rispetto a quella degli elementi verticali (Figura 4.3a) o quando tale rigidezza invece, è infinitamente più grande di quella dei pilastri (Figura 4.3b). Questa seconda famiglia di modelli rappresenta quindi alternativamente due casi limite con nodi che nel primo caso possono ruotare mentre nel secondo caso non possono ruotare come è ipotizzato del resto nella risoluzione dei telai del tipo shear-type.
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(a) (b)
Figura 4.3 - Modelli equivalenti MDOF tipo “stick” secondo FEMA 440:
(a) caso di travi a rigidezza flessionale trascurabile; (b) caso di travi a rigidezza flessionale infinita.
Tra i modelli equivalenti che sono stati proposti merita di essere ricordato sia per la sua particolarità, che per il potenziale utilizzo applicativo nella presente tesi, il metodo proposto da Kan e Chopra (in Kan e Chopra (1976) e Kan e Chopra (1979)). Tale metodo, trasversale agli argomenti che verranno trattati nei prossimi paragrafi, mediante l’utilizzo dell’analisi perturbativa delle frequenze di vibrazione e delle deformate modali, consente di esprimere le prime frequenze di una struttura asimmetrica, classicamente modi roto-traslazionali misti, come combinazione lineare di tre modi di vibrare, di un modello equivalente simmetrico in entrambe le direzioni, e quindi con tre modi disaccoppiati. Una rappresentazione del modello dettagliato della struttura reale e del modello equivalente trovato è data in Figura 4.4.
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I tre modi calcolati per il sistema equivalente, e le frequenze ad essi associati, sono ovviamente due modi traslazionali lungo le direzioni principali e un modo rotazionale. I tre modi sono tra loro disaccoppiati. La teoria descritta consente di scomporre dinamicamente una struttura anche complessa e di poterla studiare mediante tre soli modi di vibrare che opportunamente combinati sono capaci di ricostruire ciascun modo di vibrare importante della struttura principale. Le applicazioni di tale teoria potrebbero essere utili per estendere lo studio presentato nella presente tesi o per fornire una strada alternativa nella determinazione del modello equivalente stick i cui modi di vibrare devono essere il più simile possibile a quelli della struttura modellata in maniera dettagliata.
Si fa da ultimo un breve cenno al modello del tipo SDOF, modello ad un grado di libertà, definito anche “oscillatore semplice”, in quanto dotato di una sola frequenza e quindi di un solo periodo proprio. Per caratterizzare l’oscillatore, oltre al suo periodo, bisogna assegnare la legge forza-spostamento. Tale sistema, il più semplice che possa essere concepito per l’analisi dinamica di una struttura, è stato diffusamente utilizzato negli anni, vista la sua estrema economicità computazionale. Di tale modello si discuterà ampiamente nei paragrafi successivi in quanto sia le analisi statiche non-lineari (o analisi pushover) che gran parte delle analisi dinamiche non-lineari presenti in letteratura, fanno riferimento a risultati derivanti da tale, semplice, sistema.
Si riporta nel seguito una breve rassegna dei modelli anelastici che sono stati messi a punto negli anni per potervi condurre analisi statiche e dinamiche.
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