Uno dei passaggi fondamentali su cui si basa la procedura descritta prevede che la determinazione dei movimenti dei punti di un solaio dovuti ad azione sismica orizzontale, siano determinabili a partire dai movimenti di un punto identificato come rappresentativo del solaio (o in termini più ingegneristici, siano determinabili dagli spostamenti generalizzati dei gradi di libertà del nodo rappresentativo).
X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y
CAPITOLO 5: Determinazione di un modello strutturale anelastico equivalente
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Sia X-Y-Z la terna di assi ortogonali locali (riferita al generico solaio) e
X
-Y
-Z
la ternadi assi ortogonali che identifica il sistema di riferimento globale (riferito alla struttura). Tali sistemi sono localizzati e orientati secondo quanto descritto in Figura 5.1 e tali per cui gli assi
X e
X
, Y eY
, Z eZ
siano rispettivamente paralleli tra di loro.I movimenti di piano saranno nella situazione più generale due traslazioni, lungo le direzioni orizzontali di interesse X ed Y, ed una rotazione attorno all’asse perpendicolare al solaio assunto come asse Z. Come già detto in precedenza, l’ipotesi di condensare i movimenti di un intero orizzontamento nei movimenti di un solo punto ritenuto rappresentativo, è valevole in termini rigorosi solo se il solaio è infinitamente rigido nel suo piano. In tutti gli altri casi i risultati della soluzione ottenuta saranno una approssimazione. Il punto rappresentativo prescelto è il baricentro geometrico CG della superficie del solaio che viene ipotizzato nel presente lavoro essere anche la posizione del baricentro CM delle masse (o centro di massa) del solaio. Si assume inoltre che tutti i centri di massa dei vari piani siano allineati lungo l’asse
Z
.CM
CM
CM
Figura 5.2: Identificazione del punto rappresentativo di piano
La definizione del comportamento cinematico bidimensionale del singolo orizzontamento, viene qui identificata da tre curve di piano anelastiche, pensate ricavate mediante un’analisi statica incrementale, in cui si fanno crescere delle distribuzioni di forza fX ed fY applicate al piano di interesse. Possiamo tracciare tali curve di capacità di piano monitorando la forza applicata in una certa direzione, al crescere dello spostamento che il punto di controllo CM ha nella medesima direzione e calcolato rispetto al piano sottostante. Le tre curve che si considerano rappresentative del piano sono:
FX - ∆X CM
FY - ∆Y CM
MZ - θZ CM
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dove si è considerato il seguente significato dei simboli:
FX risultante della distribuzione di forza fX (agente lungo la direzione X) e applicata al piano di interesse.
FY risultante della distribuzione di forza fY (agente lungo la direzione Y) e applicata al piano di interesse.
MZ momento torcente applicato al piano (agente lungo la direzione Z) e dato dalle forze FX ed FY per le loro rispettive distanze dal punto CM.
∆X
CM spostamento lungo la direzione X, del punto CM del piano di interesse, depurato dello spostamento del baricentro geometrico del piano sottostante (spostamento di interpiano). ∆Y
CM spostamento lungo la direzione Y, del punto CM del piano di interesse, depurato dello spostamento del baricentro geometrico del piano sottostante (spostamento di interpiano). θZ
CM rotazione lungo la direzione Z, del punto CM del piano di interesse, depurata della rotazione del baricentro geometrico del piano sottostante (rotazione di interpiano) e derivante dalla torsione indotta dai carichi FX ed FY .
Si definiscono inoltre:
eY ordinata della retta d’azione di FX
eX ascissa della retta d’azione di FY tali per cui valga la relazione (5.1):
X Y Y X Z
F
e
F
e
M
=−
⋅
+
⋅
(5.1)per la determinazione del valore di MZ a partire dai valori noti di FX e FY come evidenziato in Figura 5.3. Y X CM
e
Ye
X FY FX MZ + FX FYCAPITOLO 5: Determinazione di un modello strutturale anelastico equivalente
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La distribuzione di forze può variare lungo l’asse Z identificando una distribuzione in altezza; può invece essere una distribuzione orizzontale, quando riferita a forze applicate alla superficie in pianta del generico solaio. Così per descrivere in maniera completa una distribuzione di forze occorre definire come queste ultime si ripartiscono lungo l’altezza e come la forza agente alla generica quota, sia poi applicata e distribuita a livello di solaio. La scelta della distribuzione in pianta, per il più dei casi non è un aspetto di particolare complessità. E’ invece una problematica di non semplice soluzione quando riguarda la distribuzione in altezza. Questo perché, in un sistema intelaiato multipiano, studiato in ambito anelastico, le curve di capacità di un piano sono influenzate dalla distribuzione e soprattutto dall’intensità delle forze agenti ai piani superiori e in minor misura a quelli inferiori.
I valori di forza che agiscono agli altri piani però, variando in maniera indipendente da un livello all’altro durante un evento sismico, non possono essere pensati come noti a priori nella determinazione della curva di capacità del piano studiato, poiché dipendenti dall’input sismico che si considera. La soluzione più semplice potrebbe essere quella di fissare un determinato livello di forza sismica agente agli altri piani, e mantenerlo costante mentre si incrementa la forza al solo piano che si sta analizzando. Tale strada però, porterebbe ad una forte discrezionalità dei risultati in termini di curva di capacità in quanto, fortemente legata alla distribuzione in altezza e al livello di carico prescelto (come mostra la Figura 5.4). Inoltre, così facendo, non si terrebbe in conto del fatto che, per strutture governate da un modo di vibrare fondamentale, la distribuzione verticale di forza, cresce a tutti i livelli all’aumentare del livello di intensità sismica. X Z
F
?
piano di interesse?
?
?
Figura 5.4 - Discrezionalità nella scelta delle intensità delle forze ai piani.
Potrebbe essere ragionevole ipotizzare allora, una distribuzione di carichi lungo l’altezza del telaio o dell’edificio e aumentare tale distribuzione a tutti i livelli, in maniera proporzionale o anche non proporzionale tra i piani, se giustificato.
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La metodologia di calcolo delle curve di capacità di piano in questa nuova ipotesi si riconduce pertanto alla realizzazione di un analisi di tipo pushover. Si ricorda, come accennato al capitolo precedente, che durante le analisi di pushover, prima dell’applicazione dei carichi orizzontali si deve provvedere ad applicare i carichi verticali, calcolati come combinazione dei permanenti e degli accidentali presenti sulle strutture. La scelta della distribuzione in altezza più adeguata, deve cadere sulla distribuzione capace di cogliere in maniera più realistica la distribuzione di forze derivanti da un’analisi dinamica. In considerazione di quanto detto al capitolo precedente, si sono considerate tre diverse tipologie. Esse sono rappresentate schematicamente in Figura 5.5 e nell’ordine sono la distribuzione con: (a) forze proporzionali alle masse traslazionali di piano moltiplicate per la quota del piano stesso; (b) forze proporzionali ad una distribuzione uniforme di accelerazioni in altezza; (c) forze proporzionali ai tagli di piano derivanti da uno o più modi di vibrare.
Fi=1·mi·ai m1 mn z1 z2 zi zn mi m2 z3 m3 F3=1·m3·a3 F2=1·m2·a2 F1=1·m1·a1 Fi=1·mi m1 mn mi m2 m3 F3=1·m3 F2=1·m2 F1=1·m1 (a) (b) (c) mi·hi ?mi·hi ai= + . . . . .
Tagli 1° modo Tagli 2° modo Tagli n-esimo modo
fi = t'i + t"i+....+t i
t'i t''i t ni
n
Figura 5.5 - Distribuzioni di forza adottate per la determinazione delle curve di capacità.
Per rendere la procedura di determinazione delle curve di capacità di piano indipendente dall’input sismico, successivamente utilizzato nelle analisi time-history (e quindi indipendente dallo spettro di risposta dell’accelerogramma utilizzato), nel calcolo della distribuzione di forze proporzionale a quella dei tagli di piano corrispondenti a più modi di vibrare, si è deciso di adottare uno spettro di risposta (in pseudo-accelerazione) costante e quindi indipendente dal periodo. Tale spettro è riportato in Figura 5.6.
Questa scelta è motivata dall’intenzione di mantenere la procedura di calcolo delle curve di capacità, indipendente da quella che sarà la domanda sismica richiesta da un determinato
input. Questo per non dover determinare una diversa curva di capacità da attribuire al piano per
ogni accelerogramma utilizzato come input sismico.
CAPITOLO 5: Determinazione di un modello strutturale anelastico equivalente _____________________________________________________________________________________ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 2 4 6 8 10 Periodo [s] Sa [ g ]
Figura 5.6 - Spettro di risposta in termini di pseudo-accelerazione adottato nella procedura ESMM.