Analisi dinamica nel FLAC 3D

Il FLAC consente di effettuare un’analisi dinamica bidimensionale, anche asimmetrica, dei modelli, in cui le equazioni del moto vengono risolte col metodo delle differenze finite. Rispetto alla soluzione di tipo statico si rileva una significativa differenza: anziché masse fittizie, ai punti della griglia vengono associate masse dedotte dalla reale densità delle zone circostanti. Questa formulazione può essere accoppiata a modelli che includano elementi strutturali per studiare, ad esempio, interazioni fra suolo e strutture; analogamente può essere applicata a modelli che comprendono terreni immersi o carichi termici consentendo di affrontare un ampio spettro di problematiche come eventi sismici o esplosioni sotterranee.

In ingegneria sismica, per simulare la trasmissione di onde in terreni stratificati e l’interazione dinamica all’interno della struttura del suolo, è largamente utilizzato il metodo della “equivalenza lineare”, nel quale, partendo da valori iniziali assegnati allo smorzamento e al modulo di taglio nelle diverse regioni del modello, ad ogni ciclo di calcolo e per ogni elemento, viene registrata la massima deformazione da taglio. Avvalendosi di curve sperimentali che correlano smorzamento e modulo secante allo scorrimento dovuto al taglio, applicando un fattore correttivo empirico, si individuano i valori di calcolo dei suddetti parametri. Il processo è iterativo e protratto sino ad una ragionevole stabilizzazione dei valori delle proprietà. A questo punto, si può ritenere di aver individuato dei valori di smorzamento e modulo di taglio compatibili con le deformazioni e che la simulazione che li impieghi sia rappresentativa della risposta reale del terreno. In alternativa, esiste il metodo “non lineare”, cosiddetto perchè applica una legame tensione- deformazione non lineare.

Ciascun metodo presenta vantaggi e svantaggi. Il metodo “non lineare” è più aderente alla realtà fisica, ma è più complesso nella formulazione analitica e richiede un maggior coinvolgimento dell’analista. Al contrario, il metodo della “equivalenza lineare”, a prezzo di talvolta drastiche approssimazioni nella rappresentazione della realtà fisica, offre maggiore semplicità di impiego.

Il metodo (pienamente) “non lineare”, rispetto alla sua alternativa lineare riassumibili come dal seguente elenco.

1- se nel modello è utilizzato uno smorzamento isteretico e non è specificato alcuna

ulteriore forma di smorzamento, lo smorzamento stesso e il modulo tangenziale sono appropriati al livello di eccitazione in ogni punto nello spazio e nel tempo, perchè tali parametri sono inclusi nel modello costitutivo; se viene specificato uno smorzamento di Rayleigh o di tipo local, il coefficiente di smorzamento associato rimane costante; nell’ambito del metodo della “equivalenza lineare” viene assunta la linearità delle caratteristiche per ciascun elemento che rimane costante durante la storia del moto: perciò l’elemento verrà sovrasmorzato nei periodi di quiete e sottosmorzato negli intervalli di forte eccitazione;

2- impiegando una modello non lineare per un materiale possono manifestarsi naturalmente interferenze fra differenti frequenze, il che non avviene nel metodo della “equivalenza lineare”;

3- spostamenti irreversibili ed altre modificazioni di parametri vengono modellate automaticamente; nel caso della “equivalenza lineare”, poichè vengono modellate esclusivamente moti oscillatori, le deformazioni permanenti non vengono restituite;

4- la formulazione plastica è adottata in tutti i modelli predefiniti di materiale, perciò alle tensioni vengono correlate deformazioni plastiche, contrariamente a quanto avviene nel modello della “equivalenza lineare”, ove il legame fra il tensore degli incrementi di deformazione e il tensore degli sforzi è espresso da una qualche funzione che, in ogni caso, lo definisce in modo inappropriato;

5- gli effetti dell’utilizzo di differenti modelli costitutivi possono essere facilmente studiati; con il metodo della “equivalenza lineare” il modello costitutivo del materiale è preconfezionato e consiste in una curva tensione-deformazione ellittica, sollevando l’utilizzatore dall’onere di compiere delle scelte, ma diminuendo parimenti la flessibilità d’impiego.

4.8.1 La formulazione dinamica

L’analisi dinamica può essere invocata nel FLAC solo a seguito della dichiarazione iniziale della natura dinamica del modello. Ovvero, alla stesura del listato deve essere premessa la disposizione:

config dynamic

Il comando config consente di specificare strumenti di calcolo avanzati opzionali che richiedono l’assegnazione di memoria aggiuntiva per ciascuna zona o punto della griglia. Per questo motivo deve essere impartito prima della definizione della griglia stessa.

Lo schema di calcolo, alle differenze finite, non differisce da quello impiegato in ambito statico. Unica rilevante differenza, cui già si è accennato più sopra, riguarda la sostituzione alle masse fittizie, idonee a garantire un convergenza ottimale nel caso statico, di masse dedotte dalle reali densità ed ampiezza delle zone: ciascuna sub-zona triangolare

contribuisce per un terzo della propria massa all’assegnazione a ciascuno dei propri tre punti di definizione. La massa finale di ogni punto della griglia è quindi divisa in due nel caso di due zone quadrilatere che contengano due ricoperture. Si ottiene, così, una matrice di massa diagonale.

Il valore critico del tempo di calcolo elementare si esprime come:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

Δ

=

Δ

max

min

x

C

A

t

p crit (40) ove:

=

p

C

velocità delle onde p

=

A

ampiezza della sub zona triangolare

=

Δx

max massima dimensione di zona (generalmente una diagonale)

La funzione di minimo è individuata tra tutte le zone. Ad essa si applica, nella deduzione del valore dinamico del tempo elementare di calcolo (

Δt

_d), un fattore di sicurezza pari a 0,5 perchè la formula riportata rappresenta solamente una stima approssimata. Pertanto:

2

crit d

t

t

=Δ

Δ

(41)

Tuttavia, nel caso si applichi uno smorzamento proporzionale alla rigidezza, a beneficio della stabilità della soluzione, si rende necessaria una riduzione da cui, secondo lo studio di Belytschko (1993), determina un tempo elementare di calcolo (

Δt

_β):

(

λ

λ

)

ω

β

⋅

+

−

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

Δ

2 max

1

2

t

(42) con:

=

max

ω

la più alta frequenza angolare del sistema;

=

λ

la frazione dello smorzamento critico alla frequenza angolare

ω

_max

Entrambi i suddetti parametri nel FLAC non vengono calcolati, bensì stimati, come:

d

t

Δ

=

2

max

ω

; d

t

Δ

⋅

=

β

λ

0,4

; min min

ω

ξ

β

=

(43)

ove

ξ

_min e

ω

_min sono rispettivamente la frazione di smorzamento e la frequenza angolare specificate per il modello di smorzamento di Rayleigh.

Infine, si può affermare (vd. eq. ...) che il massimo tempo elementare di calcolo nell’analisi dinamica che garantisce la stabilità dipenda dalla maggior rigidezza e dalla minor ampiezza riscontrate nel modello. Tali parametri, rigidezza e dimensione di zona, spesso, variano entro un ampio intervallo in uno stesso modello così che può darsi il caso che poche zone della griglia possano determinare lunghi tempi di calcolo laddove la maggior parte del sistema consentirebbe un tempo complessivo di calcolo molto minore (tempo elementare di calcolo più grande). Al fine di ridurre il carico computazionale richiesto per la soluzione dinamica, il FLAC fornisce una specifica funzione detta dynamic multi-stepping, invocata tramite il comando:

SET multi on

Questa istruzione attiva un algoritmo [1-Dynamic Analysis] che genera un moltiplicatore

gp

M

pari ad una potenza di 27, ottenuto come minimo valore dello stesso parametro

preventivamente calcolato e immagazzinato dal programma per ciascun punto della griglia

(

Δt

_gp) dipendente da dimensione, rigidezza e massa del sub-zone vicine e da elementi

strutturali e interfacce connessi al nodo. Viene generato quindi un moltiplicatore per

ciascuna zona

M

_z, valore minimo tra quelli calcolati per ciascuno nodo circostante. I

7

Nella versione utilizzata del programma (FLAC 4.00) il moltiplicatore è impostato al valore unitario per i nodi inclusi in zone caratterizzate da un modello di materiale tipo null, per i nodi connessi ad elementi strutturali o inclusi in una quiet boundary.

calcoli per ogni zona (dei nuovi sforzi derivati dalle velocità dei nodi di contorno; somma delle forze sui nodi dalle componenti di sforzo) vengono eseguiti ogni

M

_z volte il valore del tempo elementare di calcolo. Quindi, in ogni operazione che coinvolga il tempo elementare di calcolo, il valore globale è sostituito da

M

_z

⋅Δt

_G.

Lo stesso dicasi per le operazioni svolte sui nodi, in cui ogni calcolo è svolto ad intervalli di tempo pari a

M

_gp

⋅Δt

_G: l’effetto complessivo è la riduzione dei tempi di calcolo, tanto maggiore quanto più numerose sono le zone con un alto moltiplicatore.

Lo schema è accurato per simulazioni dinamiche in cui vengano rappresentate onde con frequenze ben al di sotto delle frequenze naturali dei singoli elementi, condizione di affidabilità garantita dal criterio rappresentato dalla seguente relazione:

10

λ

≤

Δl

(44) con:

=

λ

lunghezza d’onda associata alla frequenza più alta che abbia un apprezzabile

contenuto energetico;

=

Δl

dimensione dell’elemento

A frequenze maggiori può darsi una perdita di accuratezza perchè le velocità impiegate nel calcolo degli incrementi di deformazione non si riferiscono al punto centrale dell’intervallo di tempo per le zone con moltiplicatore diverso da quello dei nodi.

La funzione di multi-stepping non è stata implementata per gli elementi strutturali, tuttavia può essere impiegata nella maggior parte di modelli in cui essi compaiano perchè solo una piccola parte del tempo è speso nel calcolo degli elementi strutturali, causando, perciò, solo una penalizzazione marginale.

La predisposizione di un modello dinamico impone la definizione di quattro fondamentali aspetti:

(a) il caricamento dinamico (b) le condizioni di confine (c) lo smorzamento meccanico

(d) la modalità di trasmissione delle onde nel mezzo

4.8.2 Il caricamento dinamico

Il carico dinamico può essere applicato in diversa forma, attraverso una funzione che definisca l’evoluzione nel tempo di:

1) un’accelerazione

2) una velocità

3) una tensione

4) una forza concentrata

Un’onda di velocità può essere convertita in un’onda di tensione attraverso le formule:

( )

p n n

=

⋅

ρC

⋅v

σ

2

;

σ

_s

=2⋅(ρC

_s

)⋅v

_s (45) con:

=

s n,

σ

componenti normali e di taglio di tensione;

ρ

=

densità;

=

s p

C

, velocità delle onde p ed s

8

;

=

s n

Nel documento La progettazione di pavimentazioni antivibranti (pagine 161-167)