Analisi limite

Per definire il comportamento della struttura, con particolare attenzione alla valutazione dell’insorgenza di meccanismi di collasso fuori piano di porzioni limitate di muratura, è necessario seguire metodi di calcolo specifici. A tal proposito, è possibile riferirsi a quanto predisposto dalla normativa seguendo quanto riportato in allegato alla Circolare Ministeriale del 2019 nel paragrafo C8A.4. ANALISI DEI MECCANISMI LOCALI DI COLLASSO IN EDIFICI ESISTENTI IN MURATURA:

Le verifiche con riferimento ai meccanismi locali di danno e collasso (nel piano e fuori piano) possono essere svolti tramite l’analisi limite dell’equilibrio, secondo l’approccio cinematico, che si basa sulla scelta del meccanismo di collasso e la valutazione dell’azione orizzontale che attiva tale cinematismo.

Per poter svolgere un’analisi limite secondo l’approccio cinematico è necessario che le pareti murarie garantiscano una certa monoliticità in modo da generare dei blocchi rigidi durante il collasso. Questo metodo è quindi incompatibile con murature di qualità scadente, a partire da murature di tipo C, secondo la

classificazione di IQM, in cui la disgregazione avviene prima dell’attivazione di meccanismi a macroelementi.

In generale l’analisi limite consente di determinare il carico, nello specifico l’azione simica, che porta al collasso per perdita di equilibrio una parte dell’edificio dopo l’attivazione di una catena cinematica ipotizzata. I meccanismi di collasso possono essere definiti partendo dallo studio di edifici con geometrie analoghe già danneggiati da terremoti, oppure dallo studio del quadro fessurativo dell’edificio in analisi. Inoltre, è necessario considerare la qualità delle connessioni tra le pareti murarie, tra pareti e solai, la tessitura muraria, la presenza di catene, le interazioni con altri elementi della costruzione o degli edifici adiacenti. Il metodo consente di valutare il moltiplicatore 𝛼 , rapporto tra le forze orizzontali applicate ed i corrispondenti pesi delle masse presenti, da cui si ricava l’accelerazione che porta al collasso secondo il meccanismo analizzato. Quest’ultima deve essere confrontata con la domanda in accelerazione determinata a partire dal sisma di progetto.

Le ipotesi base per l’applicazione dell’analisi limite su strutture in muratura sono: - Resistenza a trazione nulla

- Resistenza a compressione infinita - Assenza di scorrimento tra i blocchi

In realtà la resistenza della muratura a compressione non è infinita anche se in rapporto a quella a trazione è molto maggiore. Questa ipotesi però risulta molto utile al fine pratico di identificare i blocchi monolitici che generano i vari meccanismi di collasso. La terza ipotesi specifica la necessità di avere una buona malta tra i singoli mattoni che se no si sgranerebbero senza rispettare la condizione di monoliticità.

Per ogni possibile meccanismo locale ritenuto significativo, la Circolare specifica come applicare il metodo tramite i seguenti passi:

- Trasformazione di una parte della costruzione in un sistema labile (catena cinematica), attraverso l’individuazione di corpi rigidi, definiti da piani di frattura ipotizzabili per la scarsa resistenza a trazione della muratura, in grado di ruotare o scorrere tra loro (meccanismo di danno e collasso); - Valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi 𝛼 che comporta

l’attivazione del meccanismo (stato limite di danno);

- Valutazione dell’evoluzione del moltiplicatore orizzontale dei carichi 𝛼 al crescere dello spostamento 𝑑 di un punto di controllo della catena

cinematica, usualmente scelto in prossimità del baricentro delle masse, fino all’annullamento della forza sismica orizzontale;

- Trasformazione della curva così ottenuta in curva di capacità, ovvero in accelerazione 𝑎∗ _{e spostamento 𝑑}∗ _{spettrali, con valutazione dello}

spostamento ultimo per collasso del meccanismo (stato limite ultimo), definito in seguito;

- Verifiche di sicurezza, attraverso il controllo della compatibilità degli spostamenti e/o delle resistenze richieste alla struttura.

Nel seguente elaborato, però, si decide di svolgere un’analisi limite cinematica lineare senza valutare l’evoluzione del cinematismo dall’attivazione al collasso in termini di accelerazione e spostamento. L’analisi lineare si articola nei seguenti step:

- Identificazione del meccanismo; - Modellazione del cinematismo;

- Valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi 𝛼 che comporta l’attivazione del meccanismo (stato limite di danno);

- Calcolo dell’accelerazione sismica spettrale 𝑎∗ _{che comporta l’attivazione}

del meccanismo; - Verifiche di sicurezza.

Da un punto di vista analitico, una volta individuato il meccanismo di collasso e modellate le geometrie del cinematismo, è possibile applicare il Principio dei Lavori Virtuali come segue:

𝛼 𝑃 𝛿 , + 𝑃 𝛿 , − 𝑃 𝛿 , − 𝐹 𝛿 = 𝐿

Dove:

- 𝑛 è il numero di tutte le forze peso applicate ai diversi blocchi della catena cinematica;

- 𝑚 è il numero di forze peso non direttamente gravanti sui blocchi le cui masse, per effetto dell’azione sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica, in quanto non efficacemente trasmesse ad altre pareti dell’edificio;

- 𝑜 è il numero di forze esterne, non associate a masse, applicate ai diversi blocchi;

- 𝑃 è la generica forza peso applicata al blocco (peso proprio del blocco, applicato nel suo baricentro, o un altro peso portato);

- 𝑃 è la generica forza peso, non direttamente applicata ai blocchi, la cui massa, per effetto dell’azione sismica, genera una forza orizzontale sugli elementi della catena cinematica, in quanto non efficacemente trasmessa ad altre parti dell’edificio;

- 𝛿 , è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’i-

esimo peso 𝑃 , assumendo come verso positivo quello associato alla direzione secondo cui agisce l’azione sismica che attiva il meccanismo; - 𝛿 _, è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione del j-

esimo peso 𝑃 , assumendo come verso positivo quello associato alla direzione secondo cui agisce l’azione sismica che attiva il meccanismo; - 𝛿 _, è lo spostamento virtuale verticale del punto di applicazione dell’i-

esimo peso 𝑃 , positivo se verso l’alto;

- 𝐹 la generica forza esterna (in valore assoluto) applicata ad un blocco; - 𝛿 è lo spostamento virtuale del punto di applicazione dell’h-esima forza

esterna, nella direzione della stessa e di segno positivo se di verso discorde;

- 𝐿 è il lavoro di eventuali forze esterne.

Ottenuto il valore del moltiplicatore di collasso 𝛼 si eseguono le verifiche di sicurezza. Innanzitutto, si calcola l’accelerazione spettrale che porta all’attivazione del cinematismo considerato 𝑎∗_{, grandezza omogenea con la}

domanda, tramite la seguente formula:

𝑎∗ = 𝛼 ∑ 𝑃 𝑀∗_𝐹 = 𝛼 𝑔 𝑒∗_𝐹 𝑒∗ = 𝑔𝑀 ∗ ∑ 𝑃

Dove 𝑒∗ _{è la frazione di massa partecipante della struttura, mentre 𝑀}∗_{, la massa}

partecipante, può essere calcolata come:

𝑀∗ = ∑ 𝑃 𝛿 ,

𝑔 ∑ 𝑃 𝛿 _,

- 𝑛 + 𝑚 è il numero di forze peso 𝑃 applicate le cui masse, per effetto dell’azione sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica;

- 𝛿 _, è lo spostamento virtuale orizzontale del punto d’applicazione dell’i- esimo peso 𝑃 ;

- 𝑔 è l’accelerazione di gravità.

Infine, la verifica di sicurezza allo SLV dei meccanismi locali, per un’analisi cinematica lineare, risulta soddisfatta se l’accelerazione spettrale 𝑎∗ _{è maggiore}

dell’accelerazione orizzontale massima di sito 𝑎 .

La verifica di sicurezza si divide in verifica con vincolo a terra, o verifica con vincolo in quota.

La prima viene esercitata quando l’oggetto di studio è un elemento isolato o una porzione di struttura sostanzialmente appoggiata a terra. In questo caso la verifica è soddisfatta se risulta:

𝑎∗ _≥𝑎 ∙ 𝑆

𝑞

Dove 𝑎 è appunto la funzione di probabilità di superamento dello stato limite di salvaguardia della vita, 𝑆 è un fattore che tiene conto delle caratteristiche del sottosuolo e 𝑞 è il fattore di struttura che si assume pari a 2.

La seconda verifica si esercita invece se il meccanismo locale interessa una porzione della costruzione posta ad una certa quota, per cui si deve tener conto del fatto che l’accelerazione assoluta alla quota della porzione di edificio interessata dal cinematismo è in genere amplificata rispetto a quella al suolo. Questo effetto è simulato moltiplicando l’accelerazione orizzontale di sito causata dal sisma per un coefficiente che tiene conto della quota 𝑍 a cui si genera il meccanismo nell’edificio e dell’altezza totale di quest’ultimo 𝐻:

𝑎∗ ≥ 𝑆 (𝑇 ) ∙ ψ(𝑍) ∙ 𝛾 𝑞

Dove:

- 𝑆 (𝑇 ) è lo spettro elastico definito nel § 3.2.3.2.1 delle NTC, funzione della probabilità di superamento dello stato limite (in questo caso 10%) e del periodo di riferimento 𝑉 come definiti al § 3.2. delle NTC, calcolato per il periodo 𝑇 ;

- ψ(𝑍) è il primo modo di vibrazione nella direzione considerata, normalizzato ad uno in sommità all’edificio; in assenza di valutazioni più

accurate può essere assunto ψ(𝑍) = , dove 𝐻 è l’altezza della struttura rispetto alla fondazione;

- 𝑍 è l’altezza, rispetto alla fondazione dell'edificio, del baricentro delle linee di vincolo tra i blocchi interessati dal meccanismo ed il resto della struttura;

- 𝛾 è il corrispondente coefficiente di partecipazione modale (in assenza di valutazioni più accurate può essere assunto 𝛾 = , con N numero di piani dell’edificio)