Raccolti i compiti e fatte le interviste abbiamo proceduto all’analisi delle risposte degli studenti. Lo schema seguito per l’analisi delle domande è il seguente:
i. Testo originale INVALSI: testo presentato nella prova INVALSI
ii. Linee guida INVALSI: sono riportate alcune informazioni e commenti tratti
dalle Guide alla lettura pubblicate da INVALSI10 sullo “Scopo delle domanda”, sul riferimento alle “Indicazioni nazionali”, e sui procedimenti attesi.
iii. Analisi a priori: studio delle opzioni di risposta alle domande e analisi delle
possibili difficoltà per gli allievi
10
Le Guide alla lettura dei risultati sono reperibili all’indirizzo http://www.invalsi.it/areaprove/index.php?action=strumenti_pr
Capitolo 4
46
iv. Analisi delle sperimentazioni: analisi dei risultati del campione nazionale e
della sperimentazione svolta in classe (difficoltà emerse dagli studenti) v. Considerazioni conclusive: osservazioni generali sui dati emersi
4.4.1 Domanda 1
I.
Testo originale INVALSI
Domanda D13 per la classe terza secondaria di primo grado (livello 8) a.s. 2011-2012 L’insegnante chiede: “Un numero pari, maggiore di 2, si può sempre scrivere come somma di due numeri dispari diversi fra loro?” Qui sotto ci sono le risposte di quattro studenti. Chi dà la risposta esatta e la giustifica correttamente? A. Antonio: Sì, perché la somma di due numeri dispari è un numero pari B. Barbara: No, perché 6 = 4 + 2
C. Carlo: Sì, perché posso scriverlo come il numero dispari che lo precede più 1
D. Daniela: No, perché ogni numero pari può essere scritto come somma di numeri uguali fra loro
II.
Linee guida INVALSI
Scopo della domanda
Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare,
verificare, giustificare, definire, generalizzare, ...)
Indicazioni nazionali
Consolidare le conoscenze teoriche acquisite e argomentare (ad esempio utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione)
La PROVA
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Il quesito richiede di validare una affermazione scegliendo anche la giustificazione corretta. Il quesito è difficile e l’affermazione da validare non banale, anche se nell’ambito delle proprietà dei numeri naturali.
La difficoltà principale è rappresentata dalla comprensione dell’enunciato, infatti il 44% degli studenti sceglie l’opzione A dove viene confusa l’ipotesi con la tesi.
Quello che si richiede è di comprendere che ogni numero pari, maggiore di 2 può essere scritto come (2n-1)+1, ad esempio 4=3+1, 6=5+1, 8=7+1,…. e non che la somma di due numeri dispari è un numero pari; il fatto che il numero sia pari e maggiore di 2 è nell’ipotesi.
III.
Analisi a priori
La domanda – ambito Numeri – fa riferimento al seguente traguardo per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola secondaria di primo grado contenuto nelle Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo di istruzione11 (2012): “Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche
acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione)”.
Una prima difficoltà nel quesito D13 potrebbe essere costituita dalla domanda: “Chi dà la risposta esatta e la giustifica correttamente?”. Si chiedono quindi due cose: la prima richiede di fissare l’attenzione sulla risposta alla domanda fatta dall’insegnante (“Un numero pari, maggiore di 2, si può sempre scrivere come
somma di due numeri dispari diversi fra loro?”), e quindi si conclude con la scelta fra
sì e no. La seconda richiede di fissare l’attenzione sull’argomento portato nelle varie opzioni a sostegno della risposta scelta. Riconoscere la differenza dei processi richiesti nelle due parti della stessa domanda non è facile.
11
Documento reperibile all’indirizzo:
http://www.indicazioninazionali.it/documenti_Indicazioni_nazionali/indicazioni_nazionali_infanzia_ primo_ciclo.pdf
Capitolo 4
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A questa difficoltà si aggiunge la comprensione dell’espressione “giustifica correttamente”, che può risultare oscura ad allievi che non abbiano avuto esperienza di attività che mettono in gioco competenze argomentative.
Un’ulteriore difficoltà può essere quella di riconoscere la presenza di un quantificatore universale nell’enunciato, “Un numero pari, maggiore di 2, si può
sempre scrivere come somma di due numeri dispari diversi fra loro. L’allievo deve
riconoscere in questa parola un sinonimo del quantificatore “per ogni” e cercare, quindi, una giustificazione corretta che valga per ogni numero pari maggiore di 2. Altra difficoltà può essere quella di confondere l’ipotesi con la tesi della domanda, soprattutto dopo aver letto la giustificazione di Antonio (risposta A); la domanda dice “Un numero pari, maggiore di 2, si può sempre scrivere come somma di due
numeri dispari diversi fra loro” e la risposta fornita da Antonio dice “la somma di due numeri dispari è un numero pari”. In una lettura veloce queste due frasi
possono sembrar dire “la stessa cosa” , ma sappiamo che non è così. Nella prima frase la condizione del numero di essere pari è un’ipotesi, “se il numero è pari allora si può scrivere come somma di due numeri dispari diversi fra loro”; nella seconda frase invece, l’ipotesi è “se due numeri sono dispari”, “se due numeri sono dispari la loro somma è pari”.
IV.
Analisi delle sperimentazioni
La difficoltà della domanda è confermata dai dati del campione nazionale (vedi Tabella 1): solo uno studente su 3 fornisce la risposta corretta C e tale risposta non è l’opzione più scelta.
Item Mancate Opzioni
A B C D
E13 1,5 44,0 6,4 34,0 14,0 Tabella 1: Risultati del campione nazionale
La PROVA
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Il 44% degli studenti sceglie l’opzione A in cui viene confusa l’ipotesi con la tesi, come è stato detto nell’analisi a priori. Quando una risposta scorretta ha un numero alto di risposte è interessante andare ad indagare i possibili motivi.
Dai risultati delle sperimentazioni (vedi Tabella 2), risultano delle differenze percentuali rispetto alle risposte del campione nazionale, sempre però sulla stessa linea, cioè il distrattore A ha sempre il maggior numero di scelte.
Item Opzioni
A B C D
E13 58,9 4,0 28,6 8,5 Tabella 2: Risultati della sperimentazione
Come preannunciato nell’analisi a priori alcuni studenti confondendo ipotesi e tesi rispondono alla domanda “è vero che la somma di due dispari è pari?” come mostrano questi 3 protocolli:
“Ho provato più operazioni con i numeri dispari e tutti danno un numero pari tipo:
3+3=6, 7+7=17, 87+87=174”
Lo studente “usa” numeri dispari sempre più grandi come per dire “vale per numeri pari sempre più grandi quindi varrà per tutti gli numeri pari”.
Capitolo 4
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“Facendo delle prove veloci (a mente) viene fuori sempre il solito risultato 7+3=10 /
11+7=18 / 5+31=36 / 109+3=112 / 45+91=136”
Lo studente scrive solito risultato ma sembra usarlo come sinonimo di numero pari, “viene fuori sempre un numero pari”. Notiamo inoltre la presenza di un certo numero di esempi, questo potrebbe testimoniare la volontà di rafforzare la dimostrazione, insomma un elemento in più per convincere l’interlocutore che l’affermazione è vera (“se non ci credi con la spiegazione a parole convinciti con gli
esempi numerici”).
“Sono andata per esclusione secondo il mio ragionamento e per me sì, si può fare perché appunto la somma di 2 numeri dispari è un numero pari, infatti 3+5=8; 3 e 5 sono numeri disperi diversi fra loro e insieme formano un numero pari. Inizialmente
La PROVA
51 concordavo con Carlo, ma poi mi sono accorta che non necessariamente bisogna
fare 7+1 per raggiungere 8 si può anche fare 5+3 do quindi ragione ad Antonio”
È interessante il ragionamento che fa la studentessa per escludere la tesi di Carlo: “mi sono accorta che non necessariamente bisogna fare 7+1 per raggiungere 8 si
può anche fare 5+3”. Nell’intervista fatta lo studente ci spiega che dopo aver
trovato un esempio (8=5+3) che non rientra nelle giustificazioni date dai quattro ragazzi ha optato per la risposta A che “si avvicina di più” alla richiesta iniziale. Particolarmente importante è l’uso dell’avverbio “sempre”. Nelle intenzioni di chi scrive, come evidenziato nell’analisi a priori, sta ad indicare “è vero che ogni numero pari maggiore di 2 si può scrivere come somma di due numeri dispari diversi fra loro?” Ma l’avverbio “sempre” potrebbe essere interpretato anche come “necessariamente”, come ad esempio succede nella frase:
Prima di scendere dal treno bisogna sempre controllare che sia fermo.
Tra coloro che hanno risposto in modo sbagliato c’è anche chi fa un esempio “giusto” che poteva indirizzarlo verso la risposta corretta C, ma poi sceglie la risposta A.
“Io ho tenuto conto del numero 4=3+1”
Nell’intervista la studentessa afferma “la risposta di Carlo è difficile da
comprendere, lui non fa un esempio per far capire quello che vuole dire, anche altri non lo fanno ma la risposta di Antonio è più chiara e poi con l’esempio che ho fatto mi tornava”.
Capitolo 4
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Ci sono studenti che segnano più risposte fornendo degli esempi
“Io ho messo sia Antonio che Carlo perché: Antonio dice che può essere, che, la somma di 2 numeri dispari forma un numero pari, infatti 3+5=8; Carlo dice che se
prendi un numero dispari a caso e ci aggiungi 1 (che è un numero dispari) da sempre un numero pari, infatti 5+1=6, 7+1=8”
Questo suggerisce che l’allievo valuta la correttezza della frase che nelle opzioni accompagna la risposta sì (quindi opzioni A e C), a prescindere dal fatto che tali frasi costituiscano un’argomentazione corretta di tale risposta.
Nell’ultimo protocollo c’è anche un’interpretazione scorretta di quello che dice Carlo, ancora una volta dovuta a un’inversione dell’ipotesi.
Carlo infatti dice: “Sì, perché posso scriverlo come il numero dispari che lo precede
più 1”, e non “Se a un numero dispari aggiungo 1 ottengo un numero pari”.
Osserviamo che il fatto che le affermazioni siano vere non significa che corrispondano a risposte esatte, cioè che siano giustificazioni adeguate della frase. La domanda esplicita del testo non è quali sono le affermazioni vere, ma: “Chi dà la risposta corretta e la giustifica correttamente?”.
La PROVA
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Analizzando infine i protocolli o le giustificazioni orali dei ragazzi che hanno risposto correttamente (opzione C) emergono due tipologie prevalenti di giustificazioni scorrette:
alcuni l’hanno giustificata fornendo un solo esempio
“Perché ad esempio 10 è uguale a 9+1”
Lo studente nell’intervista dice “Antonio era troppo difficile da dimostrare,
quindi ho provato a verificare Carlo e mi tornava con questo esempio e quindi ho scelto lui”. La scelta del ragazzo quindi era tra Antonio e Carlo,
siccome però la risposta di Antonio per lui era difficile da dimostrare allora la sua scelta è ricaduta su Carlo. Inoltre alla richiesta di aver visto o meno, e nel caso in cui l’avesse visto cosa significa, l’avverbio sempre lui risponde “si l’ho
visto, significa che la frase deve valere per tutti i numeri pari…vabbè dovevo continuare a fare altri esempi?”. Questo conferma che per il ragazzo è
sufficiente mostrare un solo esempio per validare un’affermazione: questa concezione sbagliata prevale in modo preoccupante.
alcuni scelgono Carlo perché da la risposta più semplice e ovvia o perché “lo ispirava”
Capitolo 4
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“io le risposte le ho lette tutte le risposte e quella di Carlo mi sembra la più giusta perché mi sembra la più semplice e ovvia”
Interessante è quello che la studentessa dice nell’intervista “le altre risposte
prevedevano un conto da fare mentre in Carlo no. La parola “somma” significa risultato e quindi dovevo fare un conto, mentre la parola “più”(in Carlo) sta ad indicare il simbolo dell’addizione”.
“il ragionamento non lo so però sono andato sulla C perché mi ispirava”
Nell’intervista lo studente spiega: “Ho fatto un conto a mente 4=3+1 però
non sapevo se potesse andar bene per quello che diceva Carlo e allora ho preferito dire che mi ispirava.” Lo studente non riesce a giustificare
correttamente la sua risposta; per lui non è sempre importante chiedersi
perché.
Complessivamente dei 13 studenti su 56 che scelgono C come risposta (corretta) nessuno fornisce una giustificazione corretta.
La PROVA
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V.
Considerazioni conclusive
Dall’analisi dei protocolli emerge la difficoltà per molti allievi di comprendere cosa s’intende per “giustificazione” di un’affermazione, difficoltà molto probabilmente legata ad una scarsa tradizione nella pratica scolastica di proporre attività che richiedano di argomentare. Emerge anche la tendenza a considerare vera un’affermazione matematica sulla base di un numero convincente di esempi.
La formulazione del testo, con l’uso dell’avverbio “sempre” invece che del quantificatore “ogni”, e con la domanda che contiene due richieste profondamente diverse, introduce ulteriori ostacoli alla gestione di un compito di per sé complesso.
Capitolo 4
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4.4.2 Domanda 2
I.
Testo originale INVALSI
Domanda D3 per la classe terza secondaria di primo grado (livello 8) a.s. 2013-2014
La famiglia Rossi, composta da due adulti e due bambini di 3 e 5 anni, deve noleggiare un’automobile per una settimana. Cerca su Intenet e trova le seguenti offerte.
Modello City Car Modello Economica Modello Automatica Prezzo per una
settimana
207,65€ 213,24€ 231,14€
Accessori GPS 14,50€ al giorno 15,40€ al giorno 17,00€ al giorno
Seggiolino per un bambino
Non si può montare
7,30€ al giorno 7,30€ al giorno Portasci 39,80€ per tutta
la durata del noleggio
39,80€ per tutta la durata del noleggio
45€ per tutta la durata del noleggio
Opzioni Assicurazione
aggiuntiva
8,40€ al giorno 9,00€ al giorno 9,50€ al giorno
a. La famiglia Rossi decide di noleggiare un’automobile Economica con GPS e seggiolini per bambini.
Cerchia sulla tabella i prezzi che ti permettono di calcolare la spesa della famiglia Rossi per il noleggio dell’automobile.
b. Quanto spende la famiglia Rossi per il noleggio dei seggiolini? Risposta: ………..euro
I.
Linee guida INVALSI
Scopo della domanda
a. Individuare informazioni da una tabella b. Calcolare un prezzo con numeri decimali
Indicazioni nazionali
a. Utilizzare strumenti, modelli e rappresentazioni nel trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale
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b. Conoscere e utilizzare algoritmi e procedure
Item a. Si richiede di individuare, seguendo le indicazioni date nello stimolo, i dati necessari, all’interno di una tabella, per calcolare una spesa data dalla somma di diversi fattori..
Item b. In questo item si richiede di utilizzare un intreccio di informazioni fornite sia dal testo, sia dalla tabella. Dalla tabella infatti si estrae il dato utile: costo giornaliero del seggiolino 7,30 € per poi moltiplicarlo per il numero di bambini (dato fornito nel testo) e per i giorni necessari: 7,30∙2∙7=102,2€
II.
Analisi a priori
La domanda è articolata in 2 item, entrambi a risposta aperta. Il primo è relativo all’ambito Misure, Dati e Previsioni, mentre il secondo all’ambito Numeri.
Lo scopo del primo item (D3a) è “Individuare informazioni da una tabella”: il ragazzo deve prima individuare e poi indicare i dati che gli vengono richiesti all’interno di una tabella. La tabella si presenta complessa per diversi motivi:
per la presenza di una cella vuota che potrebbe far saltare lo sguardo dello studente verso la riga successiva perdendo di vista “il prezzo per una settimana” di ciascuna macchina;
per la voce “accessori” che si articola a sua volta in una tabella; per la confusione sul significato contenuto nelle celle.
Una difficoltà ulteriore può essere il significato delle parole “accessori” e soprattutto “opzioni”, e del fatto che i prezzi in questo caso non vengano espressi a settimana.
Nell’item D3b lo studente deve estrapolare dalla tabella non solo il dato necessario per rispondere alla domanda ma anche l’informazione ad esso collegata: “prezzo del seggiolino” “al giorno”. Quindi deve moltiplicare il prezzo del seggiolino 7,30€ per
Capitolo 4
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7. Inoltre deve ricordarsi che i bimbi sono 2 e quindi deve moltiplicare il risultato precedente per 2. Gli stessi obiettivi e competenze coinvolti nel primo item qui sono messi in gioco quindi a un livello di maggiore complessità.
III.
Analisi delle sperimentazioni
Come evidenziano i dati riportati nella Tabella 3, la percentuale di risposte corrette nella rilevazione nazionale diminuisce di oltre il 30% dall’item D3a al D3b.
Significative anche le percentuali delle risposte omesse, infatti nel secondo item esse sono meno della metà di quelle del primo item. Dunque l’item D3b è quello che registra il minor numero di risposte corrette e il maggior numero di riposte errate. Possiamo considerare prevedibile, alla luce delle riflessioni fatte, un abbassamento delle risposte corrette e un aumento delle omissioni, ma il dato assoluto appare decisamente preoccupante.
Item Risposta omessa Risposta errata Risposta corretta D3a 7,5 22,9 69,6 D3b 2,9 63,6 33,5
Tabella 3: Risultato del campione nazionale
Item Risposta errata Risposta corretta D3a 46,4 53,6 D3b 55,4 44,6
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I risultati della sperimentazione mostrano un abbassamento di risposte corrette per l’item D3a e un aumento di risposte corrette per l’item D3b rispetto al campione nazionale (vedere la Tabella 4 ).
Dato rilevante, come preannunciato nell’analisi a priori, è la difficoltà degli studenti nel gestire la tabella data. Tanti studenti non hanno cerchiato il modello della macchina scelta dalla famiglia Rossi probabilmente perché hanno ignorato completamente la seconda riga della tabella o perché il testo evidenzia gli accessori più che la macchina scelta dalla famiglia. Infatti il testo dice “la famiglia Rossi decide
di noleggiare un’automobile Economica con GPS e seggiolini per bambini”; la
preposizione CON pone l’accento sugli accessori scelti nascondendo il modello della macchina.
Tra l’altro l’allievo deve riconoscere che la parola “Economica” nel testo della domanda sta ad indicare un modello di automobile (in questo la maiuscola è d’aiuto), ma l’uso nel linguaggio quotidiano della stessa parola come aggettivo può essere fuorviante per una lettura attenta e corretta.
Interessante è il seguente protocollo in cui lo studente, rispondendo in modo corretto alla prima domanda, crea una storia fantastica per giustificare non la propria scelta ma bensì quella della famiglia Rossi.
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“perché la famiglia voleva spendere pochi soldi e nel modello economico costa tutto meno e c’è il GPS e ci si può montare il sellino per il bambino”
Uno studente risponde in modo corretto (cerchiando i dati giusti nella tabella) ma nella spiegazione dice di aver escluso gli altri modelli di macchina e di aver scelto il modello più conveniente
“il modello city car non va bene perché non possono montare bambini quindi ho scelto la più conveniente tra l’economica e automatica che è l’economica”
La PROVA
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Forse un ostacolo è costituito anche in questo caso dalla parola “Economica” che nel testo sta ad indicare un modello di automobile, ma nel linguaggio quotidiano significa “conveniente”.
Per quanto riguarda la seconda parte del quesitoparticolarmente interessanti sono stati due protocolli.
Nel primo protocollo lo studente alla domanda “Quanto spende la famiglia Rossi per
il noleggio dei seggiolini” scrive così (con la presenza di errori ortografici)
“ho fatto il calcolo 7,30+7,30=14,60 poi siccome un bambino aveva il doppio del età del più piccolo ho fatto 14,60+7,30=21,90”
A prescindere dal fatto che non è vero che un bambino aveva il doppio dell’età dell’altro (le età erano 3 e 5 anni), l’allievo sembra applicare a sproposito un modello di proporzionalità.
Il secondo protocollo è per noi particolarmente interessante per il ragionamento che motiva la risposta considerata scorretta:
Capitolo 4
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“ 7,30x7=51,10€ basta prendere il costo di un seggiolino per la settimana. Il bimbo di 5 anni non ha bisogna del seggiolino”
Infatti, come emerge chiaramente dalla risposta, il ragazzo non ha un’adeguata conoscenza delle cose del mondo relative alle norme per i seggiolini nelle auto, ossia non ha un’adeguata enciclopedia che gli permette di utilizzare le informazioni presenti nel testo in modo efficace. Questo probabilmente è legato alla sua esperienza di vita, come suggerito dalle sue risposte nell’intervista fatta: “il mio
fratellino di 5 anni non si mette nel seggiolino”.
IV.
Considerazioni conclusive
L’analisi dei protocolli mette in evidenza alcune difficoltà legate alla lettura della tabella, peraltro comprensibili data la scarsa leggibilità della tabella utilizzata. Un dato importante che è emerso in questa domanda è quello della influenza sui processi risolutivi della conoscenza delle cose del mondo che l’allievo possiede relativamente al contesto del problema. Questo rischio è presente soprattutto nelle domande presentate che fanno riferimento a contesti considerati “reali”.
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D’altra parte “quello che un soggetto percepisce come reale è connesso alle sue esperienze di vita” [18], come osserva Freudenthal.
Capitolo 4
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4.4.3 Domanda 3
I.
Testo originale INVALSI
Domanda D22 per la classe terza secondaria di primo grado (livello 8) a.s. 2012-2013 Se n è un numero naturale, allora il numero n · (n + 2)
A. È sempre dispari
B. È sempre pari
C. È dispari se n è pari
D. È dispari se n è dispari
II.
Linee guida INVALSI
Scopo della domanda
Scegliere la proprietà di un’espressione algebrica nei naturali
Indicazioni nazionali
Interpretare, costruire e trasformare formule che contengono lettere per esprimere in forma generale relazioni e proprietà.
Lo studente facendo degli esempi o utilizzando conoscenze sulle successioni e prodotti di numeri naturali verificherà che se n è pari l’espressione n · (n + 2) genera un numero pari, mentre se n è dispari n · (n + 2) rappresenta un numero dispari.
La PROVA
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III.
Analisi a priori
Le Indicazioni Nazionali fissano il seguente traguardo per lo sviluppo delle