Università degli Studi di Pisa
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
TESI DI LAUREA MAGISTRALE
I limiti dei test a risposta chiusa
Analisi di alcune prove del Sistema Nazionale di Valutazione
Candidata
Giuseppina Varrecchia
Relatore Controrelatore
Prof.ssa Rosetta Zan dott. Pietro Di Martino
vii
Indice
Indice ... vii Introduzione... 1 Le PROVE STRUTTURATE ... 3 1 1.1 La valutazione... 31.2 Valutazione formativa e sommativa ... 5
1.3 Le prove strutturate ... 7
1.4 L’uso delle prove strutturate in matematica ... 9
Prodotti e Processi ... 15
2 Dietro una risposta scorretta: il ruolo della comprensione del testo ... 15
2.1 2.1.1 Il dizionario ... 17
2.1.2 La conoscenza enciclopedica ... 19
Dietro una risposta corretta: la convinzione di dimostrare con esempi ... 24
2.2 Le prove INVALSI ... 27
3 3.1 L’INVALSI ... 27
3.2 Le Prove di valutazione INVALSI ... 28
3.2.1 Il Quadro di Riferimento INVALSI per il primo ciclo di istruzione [16] ... 30
3.2.2 I contenuti matematici ... 31
3.2.3 I processi ... 32
3.2.4 Gli obiettivi di apprendimento ... 34
3.2.5 I quesiti ... 34
3.2.6 Griglie di correzione ... 37
3.2.7 Guida alla lettura ... 40
La PROVA ... 41
4 4.1 La sperimentazione ... 41
4.2 La costruzione della prova ... 41
4.3 La somministrazione della prova ... 45
Indice viii 4.4.1 Domanda 1 ...46 4.4.2 Domanda 2 ...56 4.4.3 Domanda 3 ...64 4.4.4 Domanda 4 ...71 Conclusioni ...83 5 Appendice ...87
Le Indicazioni Nazionali per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo di istruzione [19] ..87
1
Introduzione
In questa tesi parleremo di prove strutturate: una tipologia di prove a cui si fa molto ricorso negli ultimi anni per valutare in modo oggettivo l’apprendimento degli studenti. Questa tipologia di prove, di cui parleremo nel capitolo 1, viene infatti detta anche oggettiva perché la correzione dei risultati è indipendente dal correttore.
L’esigenza di una valutazione oggettiva e quindi l’uso di prove strutturate comporta molti limiti. Ad esempio, un primo limite evidente è rappresentato dalla casualità con la quale gli studenti possono rispondere ad un quesito. A differenza di una prova con domande aperte, nelle prove strutturate lo studente ha sempre la possibilità di segnare una delle possibili risposte e quindi di ragionare per esclusione o addirittura di avvalersi del caso.
Naturalmente ci sono limiti meno evidenti e più interessanti e pertanto l’attenzione di questa tesi sarà proprio mostrarne due tipologie significative nel contesto della matematica.
Come vedremo attraverso alcuni esempi introduttivi, dall’esame dei processi risolutivi degli studenti si può osservare che non tutte le risposte esatte sono figlie di un ragionamento corretto e, allo stesso modo, non tutte le risposte errate nascono da un ragionamento sbagliato. Pertanto, dietro una risposta corretta ci possono essere dei ragionamenti sbagliati e dietro una risposta errata dei ragionamenti consistenti.
Basandoci su alcuni risultati della ricerca in didattica della matematica, nel capitolo 2 mostreremo alcuni possibili motivi che portano a risposte errate nonostante ragionamenti consistenti, e che portano a risposte corrette nonostante ragionamenti inadeguati dal punto di vista matematico. Per il primo caso
Introduzione
2
prenderemo in considerazione le difficoltà degli allievi che hanno a che fare con la fase di comprensione del testo di un problema. Invece, per il secondo caso, prenderemo in considerazione argomentazioni scorrette sulla verità di semplici enunciati matematici, basate sulla convinzione, condivisa da molti studenti, di poter dimostrare solo attraverso esempi.
Nel capitolo 3 esamineremo un caso particolarmente interessante e attuale di prove strutturate: quelle proposte ogni anno da INVALSI, Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema dell'Istruzione. Le prove INVALSI sono lo strumento utilizzato per rilevare e misurare periodicamente il livello di apprendimento degli studenti italiani in italiano e matematica.
Nel capitolo 4 infine viene presentata la parte sperimentale di questa tesi, che consiste nella progettazione di una prova finalizzata ad evidenziare i fenomeni sopra descritti. La prova è stata costruita a partire da alcuni quesiti INVALSI destinati agli alunni di scuola secondaria di 1° grado, ed è stata proposta a tre classi (una seconda e due terze) dell’Istituto Comprensivo G. Gamerra di Pisa. I dati ottenuti sono stati completati da alcune interviste. L’ultima fase è stata l’analisi dei protocolli e delle interviste, che ha cercato di mettere in luce i ragionamenti fatti dagli studenti, in particolare i ragionamenti consistenti che hanno portato a risposte scorrette, e i ragionamenti inconsistenti che hanno portato a risposte corrette.
3
1
Le PROVE
STRUTTURATE
In questo capitolo analizzeremo uno degli strumenti essenziali e più discussi per l’insegnamento: la valutazione. Vedremo due particolari tipologie di valutazione: formativa e sommativa ponendo l’accento sulla valutazione sommativa esterna, che utilizza per lo più prove strutturate.
1.1 La valutazione
La parola ”valutazione” in contesto scolastico ha il potere di scatenare posizioni infuocate e contrapposte. Soprattutto da quando esiste un Servizio Nazionale di Valutazione (SNV) attraverso il quale entrano in ogni scuola del territorio italiano prove di verifica (le cosiddette prove INVALSI), il dibattito coinvolge non più solo docenti, studenti, dirigenti, ma anche famiglie intere, schierate dall’una o dall’altra parte della barricata. E’ un dibattito serrato, che pervade il territorio nazionale, e di cui la rete naturalmente è testimone.
Ma che cos’è la valutazione? Secondo Mercurio Falco “la valutazione si fonda sulla
premessa che qualunque forma di attività organizzata è finalizzata ed ha bisogno di essere continuamente controllata allo scopo di verificare il suo razionale
Capitolo 1
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procedimento ed i suoi risultati. Quindi le attività che gli insegnanti svolgono in classe, essendo attività organizzate, devono essere valutate” [1].
La valutazione quindi, è uno strumento essenziale per gli insegnanti, in quanto permette loro di verificare il proprio lavoro, la propria azione didattica e di controllare come si evolve il processo di insegnamento – apprendimento. Attraverso la valutazione, gli insegnanti possono controllare se gli obiettivi iniziali sono stati raggiunti e quindi verificare le abilità e l’acquisizione di conoscenze da parte degli allievi. Tale verifica può essere condotta in vari modi, attraverso compiti scritti, interrogazioni orali o anche prove oggettive. Tuttavia, è difficile costruire una prova che tenga conto delle realtà complesse che si possono trovare all’interno di una classe.
“Il problema consiste nel trovare degli esercizi – dei compiti – in grado
di rivelare nel miglior modo possibile ciò che si era ritenuto d’avere il diritto di aspettarsi. La prima qualità di una valutazione, a questo riguardo, consiste nell’essere pertinente, cioè di proporre compiti capaci di far emergere precisamente ciò che era oggetto di una aspettativa” [1].
La valutazione peraltro è un obbligo del docente:
“La valutazione è espressione dell'autonomia professionale propria della funzione
docente, nella sua dimensione sia individuale che collegiale, nonché dell'autonomia didattica delle istituzioni scolastiche. Ogni alunno ha diritto ad una valutazione trasparente e tempestiva. [...]
La valutazione ha per oggetto il processo di apprendimento, il comportamento e il rendimento scolastico complessivo degli alunni. La valutazione concorre, con la sua finalità anche formativa e attraverso l'individuazione delle potenzialità e delle carenze di ciascun alunno, ai processi di autovalutazione degli alunni medesimi, al miglioramento dei livelli di conoscenza e al successo formativo, anche in coerenza con l'obiettivo dell'apprendimento permanente di cui alla «Strategia di Lisbona nel
Le PROVE STRUTTURATE
5 settore dell'istruzione e della formazione», adottata dal Consiglio europeo con raccomandazione del 23 e 24 marzo 2000.
Le verifiche intermedie e le valutazioni periodiche e finali sul rendimento scolastico devono essere coerenti con gli obiettivi di apprendimento previsti dal Piano dell'offerta formativa, definito dalle istituzioni scolastiche ai sensi degli articoli 3 e 8 del D.P.R. n. 275/99. [...]
Le istituzioni scolastiche assicurano alle famiglie un’informazione tempestiva circa il processo di apprendimento e la valutazione degli alunni effettuata nei diversi momenti del percorso scolastico, avvalendosi, nel rispetto delle vigenti disposizioni in materia di riservatezza, anche degli strumenti offerti dalle moderne tecnologie.
La valutazione nel primo ciclo dell'istruzione è effettuata secondo quanto previsto dagli articoli 8 e 11 del D. Lgs. n. 59/2004, e successive modificazioni, dagli articoli 2 e 3 della legge n. 169/2008, nonché dalle disposizioni del Regolamento (D.P.R. n. 122/2009)”
A seconda delle finalità che si pone si distingue tra valutazione formativa e
valutazione sommativa.
1.2 Valutazione formativa e sommativa
La valutazione formativa “è un processo sistematico per raccogliere con continuità
informazioni sull’apprendimento. Le informazioni sono utilizzate per identificare il livello reale di apprendimento e per adattare le lezioni per aiutare lo studente a conseguire gli obiettivi desiderati. Nella valutazione formativa gli studenti sono partecipanti attivi con i loro insegnanti della valutazione condividendo con loro gli obiettivi e la comprensione di come il loro apprendimento si sta sviluppando e di quali sono i passi successivi che devono essere conseguiti e come li si raggiunge ” [2].
Capitolo 1
6
La valutazione formativa (o valutazione per l’apprendimento) sostiene e potenzia il processo di apprendimento dello studente. Si svolge durante tutto il processo educativo con frequenti osservazioni del lavoro degli allievi e quindi anche dei loro progressi. Pertanto, è parte integrante dell’insegnamento. Ha una funzione di orientamento nei confronti dell’allievo, e al tempo stesso offre all’insegnante un feedback sull’azione didattica svolta, suggerendo cosa eventualmente cambiare e migliorare della propria azione formativa.
Al termine di una attività didattica centrata su specifici obiettivi di apprendimento viene effettuata la cosiddetta valutazione sommativa (o valutazione
dell’apprendimento). L’insegnante per verificare l’apprendimento raggiunto fino a
quel determinato momento e quindi il conseguimento degli obiettivi che inizialmente si era posto svolge dei compiti o un insieme di compiti dando un giudizio sommativo sulla preparazione degli studenti. In particolare i risultati di questa valutazione possono essere utilizzati per verificare se uno studente ha raggiunto delle competenze tali da permettergli di passare al successivo grado scolastico.
Il criterio di distinzione tra valutazione formativa e sommativa secondo M. Scriven [3] non riguarda né l’appartenenza a due diverse tipologie di valutazione né l’uso di
strumenti diversi di verifica o raccolta di informazioni, ma le finalità in base alle quali le informazioni vengono utilizzate e la dimensione temporale, vale a dire la fase dell’attività educativa in cui la raccolta di informazioni viene condotta.
Una forma particolare di valutazione sommativa è quella esterna, che in Italia è effettuata dal Servizio Nazionale di Valutazione attraverso le prove INVALSI. Gli allievi di tutte le scuole vengono sottoposti periodicamente alle stesse prove elaborate a livello nazionale oltre alle attività di valutazione che svolgono regolarmente in classe. Attraverso queste prove, previste per l’italiano e per la matematica, l’INVALSI si prefigge come obiettivo quello di valutare il sistema nazionale di istruzione e il livello di apprendimento degli alunni.
Le PROVE STRUTTURATE
7
1.3
Le prove strutturate
Il ricorso a prove strutturate per acquisire informazioni sulle abilità degli studenti, per verificare le loro conoscenze o per svolgere valutazioni sulle scuole è sempre più frequente. Le prove strutturate sono costituite da domande chiuse, conosciute anche come "quesiti" o "item", seguite da una o più risposte dove una, o talvolta più di una, è quella esatta. Le risposte errate sono comunemente chiamate “distrattori”. [4]
Tra le principali tipologie di domande le più frequenti sono:
1. Domanda a scelta multipla: è formata da una domanda iniziale seguita da una serie di opzioni. Tali opzioni contengono almeno una risposta esatta.
(INVALSI 2013/2014) In quale delle seguenti sequenze i numeri sono scritti dal più grande al più piccolo?
a) 2; 5; 4; 8 b) 8; 5; 4; 2 c) 2; 4; 8; 5 d) 2; 4; 5; 8
2. Domanda a Vero/Falso: la domanda è costituita da una serie di affermazioni di ognuna delle quali va riconosciuta la verità.
La somma o la differenza di due numeri dispari qualunque è sempre pari
V F
L'uguaglianza (a-b)3 = -(b-a)3 è sempre V F
3. Domanda a corrispondenze: è costituito da due liste di elementi grafici o verbali che il soggetto deve associare secondo un criterio esplicitato nelle istruzioni.
Capitolo 1
8
Associa ogni poligono con il suo numero di lati.
1. Decagono a. 5 2. Quadrato b. 10 3. Dodecagono c. 3 4. Pentagono d. 2 5. Triangolo e. 6 6. Esagono f. 12
4. Domanda a completamento: è formata da brani o proposizioni in cui dei termini sono mancanti.
Prova a completare queste frasi inserendo le parole che mancano
La formula del ………….. di un quadrato è lato · 4
L’area di un …….. si calcola moltiplicando base e altezza. Il ………. ha 10 lati uguali.
Le prove strutturate sono conosciute anche come prove oggettive in quanto prevedono modalità di correzione indipendenti dal soggetto che effettua la correzione stessa.
Pertanto, a differenza di quello che accade con cosiddette prove tradizionali, la valutazione degli alunni attraverso prove strutturate può essere definita oggettiva in relazione al processo di correzione.
Le prove standardizzate invece sono quelle prove oggettive costruite secondo modalità trasparenti e codificate che vengono somministrate su larga scala. Queste prove hanno come obiettivo quello di misurare i livelli di apprendimento degli allievi.
Le PROVE STRUTTURATE
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1.4 L’uso delle prove strutturate in matematica
Le prove strutturate hanno l’obiettivo di verificare le competenze e le conoscenze degli studenti in uno o più ambiti. A noi interessa il loro uso in matematica: cosa ne pensano insegnanti e ricercatori?
Jan De Lange, direttore del Freudenthal Institute, Istituto per lo sviluppo dell'educazione matematica di Utrech, parla di cinque principi guida formulati per una valutazione efficiente ed efficace: [5]
a) Il primo obiettivo di un test è quello di favorire il miglioramento dell’insegnamento e dell’apprendimento. Ciò vuol dire che la valutazione dovrebbe misurare gli studenti non solo alla fine di un percorso formativo, ma anche in itinere.
b) I metodi di valutazione dovrebbero consentire agli studenti di dimostrare che cosa sanno, piuttosto che ciò che non sanno. Ciò può essere realizzato proponendo problemi che possono avere diverse soluzioni ottenibili con differenti strategie.
c) La valutazione dovrebbe consentire di misurare tutti gli obiettivi dell’educazione matematica, sia i livelli più bassi, sia quelli medi, sia quelli più alti dei processi di pensiero.
d) La qualità della valutazione matematica non è determinata dalla facilità di ottenere un punteggio oggettivo. In questo caso i test e gli esercizi più meccanici dovrebbero essere ridotti, fornendo agli studenti prove che consentano realmente di capire se essi comprendono i problemi posti. e) Gli strumenti di valutazione dovrebbero essere pratici, adeguati alle esigenze
e alla cultura dei sistemi scolastici e delle scuole e facilmente accessibili. Il punto d) è quindi quello che qui più ci interessa. A questo proposito Domingo Paola nell’articolo “Possibili conseguenze didattiche dell'uso dei test strutturati […]” [5] si sofferma sull’importanza per l’insegnante di capire il ragionamento che sta dietro una risposta corretta in quanto ci possono essere più strategie risolutive
Capitolo 1
10
dietro una stessa risposta. Tali strategie però rimangono nascoste nelle prove strutturate. Prendiamo in esame il seguente esempio tratto dalle prove INVALSI 2004/2005 della classe prima secondaria di secondo grado.
Se al numero 0,999 si aggiunge 1 centesimo, che cosa si ottiene?
A. 1 B. 1,009 C. 1,99 D. 1,999
Le possibili strategie che gli studenti potrebbero utilizzare per rispondere a questa domanda sono varie e alcune potrebbero essere:
a. 0,999 +1001 =1000999 +1001 = 999+101000 = 1,009 b. 0,999 + 0,01 = 1,009
c. 0,999 + 0,01 = 1,009
Indipendentemente dalla strategie utilizzata dallo studente, la sua risposta corretta sarà valutata con punteggio positivo. Tutte le risposte corrette vengono valutate nello stesso modo perdendo così dati importanti per una corretta analisi dei processo risolutivi degli studenti. Secondo Domingo Paola: “ […] se ci si limita a
rilevare il risultato si perdono informazioni molto importanti acuendo una tendenza tipica non solo della prassi didattica media italiana, molto rischiosa per la costruzione di una didattica attenta alla costruzione di significati e quindi, sensata.”
[5]
L’importanza per l’insegnante di riconoscere i ragionamenti diversi seppure corretti che stanno dietro una stessa risposta ai fini di una conoscenza più fine dei propri allievi è fuori discussione. Vi sono però problemi più macroscopici, in quanto le risposte corrette degli studenti possono essere conseguenza di ragionamenti non corretti oppure possono esserci delle risposte sbagliate frutto di ragionamenti sensati. Nell’articolo “Improving instruction through brief interviews” Peck, Jencks e Connell [6] suggeriscono di inserire nella pratica didattica brevi interviste agli allievi
Le PROVE STRUTTURATE
11
in modo da evidenziarne i processi risolutivi in un test. Lo scopo del loro studio è quindi chiaramente didattico: vogliono permettere all'insegnante interventi più mirati, cioè adeguati ai bisogni effettivi dell'allievo. Nell’articolo vengono descritti i risultati ottenuti da interviste individuali realizzate dopo una prova standardizzata in una classe corrispondente alla nostra prima secondaria di 1° grado. Vediamo il confronto tra due interviste: la prima è fatta ad un allievo che aveva risposto correttamente, la seconda ad un'allieva la cui risposta era stata segnata come scorretta - sulla seguente domanda
31 3− 2
5 6=
(dove la scrittura 313 sta ad indicare 3 +13 , sia nel test dato agli allievi che nelle loro produzioni).
Durante l'intervista il primo studente risolve così: 31 3− 2 5 6= 10 3 − 17 6 = 20 6 − 17 6 = 3 6= 1 2
Gli viene quindi chiesto quale numero è più grande, 1/2 o 3/6 . Lo studente risponde che è più grande 1/2 perché "il denominatore [di 1/2] è più piccolo, così le parti sono
più grandi e una di queste parti grandi [i mezzi] è più di tre parti piccole [i sesti]".
La risposta della seconda allieva invece, 9/18, era stata segnata scorretta in quanto diversa dalla risposta considerata corretta, cioè 1/2.
Nell'intervista l'allieva spiega così tale risposta:
"Qui ho disegnato tre torte ed un terzo. Devo tirar via due interi [ci fa sopra una x come in figura]. Quindi rimane un intero ed un terzo di torta."
Capitolo 1
12
"Il terzo non è abbastanza grande per levarci i cinque sesti, così lo divido in terzi e sesti."
Divide i disegni in tre strisce verticali per mostrare i terzi, e in 6 strisce orizzontali per mostrare i sesti:
"Ora cinque sesti è quindici pezzi."
E fa una x sui 15 pezzi:
"Quindi rimangono nove pezzi, e la risposta è nove diciottesimi."
All'osservazione che la risposta da dare era 1/2, osserva:
"Se si divide in questo modo puoi vedere che è la stessa cosa."
E divide con una linea il disegno precedente:
Come abbiamo detto, la risposta di questa allieva era stata segnata scorretta in quanto la risposta considerata corretta era 1/2, ma l'intervista mette in evidenza una comprensione più profonda rispetto all'allievo precedente, che invece aveva risposto correttamente.
L’aspetto più interessante è che in base alle brevi interviste realizzate vengono individuati 4 gruppi di allievi:
Le PROVE STRUTTURATE
13
- Gruppo A, formato dagli allievi che hanno risolto correttamente l'esercizio e che nell'intervista dimostrano una comprensione sia della procedura da applicare che dei concetti in gioco1.
- Gruppo B, formato dagli allievi che hanno risposto correttamente al test, ma nell'intervista dimostrano una scarsa comprensione dei concetti.
- Gruppo C, formato dagli allievi che hanno risposto scorrettamente, e che nell'intervista evidenziano una scarsa comprensione dei concetti.
- Gruppo D, formato dagli allievi che hanno dato una risposta scorretta all'esercizio richiesto, ma che nell'intervista dimostrano un'adeguata comprensione dei concetti, suggerendo che l'errore nel test è dovuto a distrazione, scarsa padronanza dei calcoli, o altri problemi di questo tipo. Nello studio riportato da Peck, Jencks e Collins gli allievi del gruppo B costituiscono il 41% del totale, e quelli del gruppo D l'11%. I ricercatori concludono che in mancanza delle informazioni supplementari ottenute con le interviste, gli allievi dei gruppi A e B sarebbero stati considerati pronti per passare ad argomenti successivi, mentre per gli allievi dei gruppi C e D sarebbe stato pianificato un intervento di recupero. In definitiva gli allievi dei gruppi B e D sarebbero stati classificati in modo “errato”, nel senso che questa classificazione avrebbe portato ad un insegnamento inefficace o a qualche studente frustrato. Questo è particolarmente inquietante, dato che i gruppi B e D insieme costituiscono il 52% del totale. Focalizzeremo l’attenzione su due dei quattro gruppi di studenti individuati da Peck, Jencks e Connell nelle interviste: il gruppo B e il gruppo D.
1La distinzione fra comprensione della procedura e comprensione dei concetti richiama quello che
Skemp (1976) definisce rispettivamente instrumental understanding e relational understanding. Torneremo più avanti su questa distinzione.
15
2
Prodotti e Processi
Nel capitolo precedente abbiamo descritto alcuni limiti dei test a risposta chiusa. Vogliamo approfondire ora due tipologie di motivi che possono portare l’allievo a dare una risposta errata pur avendo attivato un ragionamento sensato, oppure a dare una risposta corretta pur avendo attivato un ragionamento non adeguato.
Dietro una risposta scorretta: il ruolo della
2.1
comprensione del testo
Come abbiamo detto nel capitolo precedente le prove strutturate hanno l’obiettivo di verificare in modo più oggettivo possibile le conoscenze, le abilità e le competenze degli studenti in varie discipline tra cui la matematica. Tuttavia queste prove sono formulate in italiano per cui richiedono anche competenze linguistiche da parte degli studenti. In effetti secondo molti ricercatori e insegnanti le difficoltà degli allievi hanno spesso a che fare con la fase di comprensione del testo di un problema. Gli studi condotti da De Corte e Verschaffel [7] mostrano che la mancata soluzione di un problema è spesso dovuta alla mancata costruzione di una rappresentazione mentale adeguata del problema stesso. I due studiosi hanno messo in evidenza questo fenomeno attraverso due tecniche:
Capitolo 2
16
la richiesta di riformulare il testo di un problema (re-telling) la richiesta di drammatizzarlo
Per la prima tecnica hanno proposto ai bambini di ripetere il seguente problema, in cui è presente l’espressione “ha 5 palline più di Joe”, che rappresenta un ostacolo cognitivo riconosciuto dalla ricerca e dalla pratica didattica:
Joe ha 3 palline.
Tom ha 5 palline più di Joe. Quante palline ha Tom?
Alcuni bambini hanno riformulato il problema così:
Joe ha 3 palline. Tom ha 5 palline. Quante palline ha Tom?
cancellando quindi proprio quell’espressione. Questo mostra che più che una difficoltà di natura matematica, ci sia una difficoltà di comprensione del termine “più di”.
Un esempio di drammatizzazione riportato da De Corte e Verschaffel riguarda il seguente problema:
Pete ha 3 mele.
Ann gli dà altre 5 mele. Quante mele ha adesso Pete?
Di fronte alle difficoltà di una bambina nel risolverlo, lo sperimentatore interagisce con lei drammatizzando la situazione descritta:
I: (Intervistatore): Proviamo insieme. Io ti leggo la storia frase per frase e tu la
devi rappresentare usando questi pupazzi e questi blocchi. Facendo così troverai la risposta.
- Pete ha 3 mele.
B: (Bambina): prende 3 blocchi e li mette con il pupazzo che rappresenta Pete. I: O.K. Ann gli dà altre 5 mele.
Prodotti e Processi
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I: Perché?
B: Perché Ann non ha mele. I: Puoi darle quante mele vuoi.
La difficoltà della bambina sembra riguardare la fase di rappresentazione della situazione descritta e questo potrebbe spiegare il blocco successivo nel risolverla. Più in generale risolvono correttamente un problema perché non riescono a ricostruire la situazione problematica descritta.
2.1.1 Il dizionario
Nel comprendere un testo ci possono essere difficoltà legate al dizionario: lo studente non conosce il significato di alcune parole utilizzate nel testo cruciali per la risoluzione del problema. Vediamo questo esempio, “La Popolarità del Presidente”, tratto dalle prove di matematica OCSE-PISA2:
In Zedlandia sono stati effettuati alcuni sondaggi di opinione per determinare il livello di popolarità del Presidente in vista delle prossime elezioni.
Quattro editori di giornali hanno svolto sondaggi indipendenti su scala nazionale. I risultati dei quattro sondaggi dei giornali sono i seguenti:
- Giornale 1: 36,5% (sondaggio effettuato il 6 gennaio su un campione di
500 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),
- Giornale 2: 41,0% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un campione
di 500 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),
- Giornale 3: 39,0% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un campione
di 1000 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),
- Giornale 4: 44,5% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un campione
di 1000 lettori che hanno telefonato alla redazione per votare).
Capitolo 2
18
Quale giornale è più attendibile per prevedere il livello di popolarità del Presidente, se le elezioni si svolgono il 25 gennaio? Scrivi due motivi che giustifichino la tua risposta.
Ma cosa significa “attendibile”? Cosa significa “popolarità”? Queste due domande, sono state rivolte a degli studenti quindicenni attraverso un questionario. [8]
Cosa vuol dire che un giornale è attendibile? A. che rispecchia sempre le tue idee;
B. che aspetta un po' di tempo prima di pubblicare le notizie; C. che riporta i fatti con obiettività;
D. che esce regolarmente (ad esempio tutti i giorni, o una volta alla settimana, o una volta al mese…);
E. altro (nel caso specifica).
Ben 4 studenti scelgono la risposta D, interpretando forse “attendibile” come qualcosa che si attende, in quanto succede con regolarità. Complessivamente 12 studenti su 44 dimostrano di non conoscere il significato della parola.
Nello stesso questionario alla domanda aperta: “Cosa vuol dire che una persona è
popolare?” sono state raccolte le seguenti risposte:
“Che fa parte del popolo”
“Che sta nel mondo dello spettacolo”
“Se fa il suo lavoro per bene”.
Non stupiscono allora i risultati degli studenti italiani a tale quesito: solo il 35,6% di risposte corrette, e soprattutto ben il 29,2% di risposte omesse.
Altre difficoltà posso essere create dalla cosiddette parole polisemiche cioè quelle parole cha hanno più significati. Chi legge il testo può dare un significato inadeguato alla parola per quel contesto. Vediamo questo esempio “Il maglificio” [9]:
Per evadere l’ordine di un cliente, in un mese di 24 giorni lavorativi un maglificio ha prodotto in media ogni giorno 50 maglie di lana da uomo, del peso di 450 g l’una; 60 da donna, del peso di 300g l’una e 80 da bambino, del peso di 110 g l’una.
Prodotti e Processi
19 Quante maglie, in totale, erano state ordinate da quel cliente?
Quanti chilogrammi di lana, sono stati utilizzati per confezionare tutte le maglie?
In questo problema compare la parola evadere con accezione diversa da quella del linguaggio quotidiano. La parola evadere ha diversi significati nel linguaggio quotidiano, ma il più comune è quello di fuggire, scappare. Cosa vorrà dire allora
Per scappare l’ordine di un cliente? Per fuggire l’ordine di un cliente? Se non viene
dato il giusto significato a questa parola, in base al contesto del problema, il testo apparirà insensato al lettore.
2.1.2 La conoscenza enciclopedica
Per comprendere un testo non basta però conoscere il significato delle parole presenti. La comprensione di un testo presuppone sempre in chi legge una certa conoscenza del mondo, necessaria per riconoscere gli impliciti presenti.
Tale conoscenza, che gli studiosi chiamano conoscenza enciclopedica o semplicemente enciclopedia, richiama nella memoria del lettore situazioni già vissute in passato.
Se il lettore non possiede la conoscenza enciclopedica presunta dall’autore, non sarà in grado di riempire gli spazi vuoti del testo, come mostra il seguente esempio (Levinson, 1983) [10]:
"Giovanni voleva comprare un regalo a Carlo per il suo compleanno, perciò andò a prendere il suo maialino; lo agitò ma non udì nessun rumore; avrebbe dovuto fare un regalo a Carlo con le sue mani".
Con il termine maialino si vuole indicare il salvadanaio di coccio che veniva usato un tempo per conservare i risparmi. Tuttavia, i ragazzi di oggi non solo non posseggono tale salvadanaio ma molto probabilmente non l’hanno neanche mai visto. Dunque il testo ai loro occhi e in base alle loro conoscenze rimane incoerente e le parti del
Capitolo 2
20
testo rimangono sconnesse: Perché Carlo per fare un regalo è andato a prendere il
maialino? Voleva regalargli un animale? E perché nell’agitarlo non ha sentito nulla? Ma non può fare il maialino con le sue mani!
La conoscenza enciclopedica è organizzata in “schemi”, chiamati anche “sceneggiature comuni”. Solo se il testo richiama queste sceneggiature comuni condivise dal lettore allora egli sarà in grado di comprenderlo. Lo vediamo in questo “esempio dei palloncini” tratto da (Bransford e Johnson (1973) [11]
“Se i palloncini scoppiassero, il suono non raggiungerebbe più la sua
meta, perché il tutto verrebbe a trovarsi troppo lontano dal piano giusto. Anche una finestra chiusa impedirebbe al suono di arrivare dove deve arrivare, poiché la maggior parte degli edifici tende ad essere bene isolata. Dato che l’intera operazione dipende da un flusso continuo di elettricità, se il cavo si rompesse anche questo creerebbe dei problemi. Naturalmente l’individuo potrebbe urlare, ma la voce umana non arriva così lontano.
Un ulteriore problema è che una corda dello strumento potrebbe rompersi. Se ciò succedesse non ci sarebbe più accompagnamento al messaggio. E’ chiaro che la situazione migliore richiederebbe una minore distanza. Allora ci sarebbero meno problemi potenziali. Meglio di tutto sarebbe se ci fosse contatto faccia a faccia.”
Prodotti e Processi
21
Le frasi dell’esempio sono tutte sensate e sicuramente comprensibili, ma è difficile inserirle in un contesto coerente. Solo attraverso un disegno il lettore può dare un senso all’intero testo e collegare le frasi tra loro.
Ma non accade solo questo: il lettore potrebbe non comprendere il testo perché esso evoca una conoscenza enciclopedica diversa da quella necessaria per la comprensione. Un esempio di questo fenomeno in ambito scolastico è il seguente:
il torneo” tratto dalle prove INVALSI 2012/2013 della classe prima secondaria di 1°.
Gianni partecipa a un torneo. Il regolamento del torneo stabilisce che:
- ogni giocatore gioca 5 partite e parte con un punteggio iniziale di 100 punti;
- a ogni partita vinta, il punteggio raggiunto raddoppia;
- a ogni partita persa, il punteggio raggiunto si dimezza. Gianni perde la seconda e la quarta partita, vince tutte le altre.
a. Completa la tabella. Punteggio di Gianni Punteggio iniziale 100 Partita 1 200 Partita 2 … Partita 3 … Partita 4 … Partita 5 …
b. Se Gianni avesse vinto tutte le partite, quale sarebbe stato il suo punteggio finale?
Capitolo 2
22
I risultati del campione nazionale mostrano che la risposta corretta all’item a è stata data dal 74,11% degli studenti, mentre la risposta corretta all’item b è stata data solamente dal 29,4% degli studenti.
Da una sperimentazione3 condotta da un gruppo di ricerca-azione in didattica della matematica dell’Università di Pisa per indagare sul crollo di risposte corrette per l’item b, alla richiesta di dare una giustificazione (Spiega come hai ragionato), è emerso che la risposta sbagliata giù gettonata è “1000” ottenuta assegnando 200 a ogni partita vinta. Una risposta scorretta ricorrente è “1000”, ottenuta assegnando 200 a ogni partita vinta, e quindi moltiplicando tale punteggio per il numero delle partite vinte. Tale procedimento sembra essere influenzato dall’esperienza dell’allievo, dato che in genere il punteggio finale è la somma dei punteggi parziali, e i punteggi delle singole partite sono indipendenti fra loro.
Particolarmente interessante è il caso in cui l’allievo applica correttamente l’algoritmo richiesto per calcolare il punteggio delle varie partite, ma produce una risposta scorretta, proprio perché per ottenere il “punteggio finale” somma i punteggi delle 5 partite.
Nel protocollo seguente si riconosce questo procedimento, anche se il risultato dell’ultimo calcolo è scorretto, portando al risultato “5000”. Caterina scrive:
“Se alla 1 partita a 200 punti fino alla 5 partita avrebbe avuto 5.000 punti perché o fatto il doppio di 200 che è 400 il doppio di 400 e 800 il doppio di 8000 è 1600 e il doppio di 3200. Ho fatto la somma di tutti i numeri e mi è tornata 5.000”.
In questo processo risolutivo a differenza dei precedenti l’allievo dimostra di aver capito il regolamento da applicare, e di saperlo applicare, ma l’interpretazione dell’espressione “punteggio finale” lo spinge verso un procedimento più vicino alla sua esperienza. Quindi la situazione del torneo evoca in molti allievi una conoscenza enciclopedica che li spinge ad interpretare “punteggio finale” in modo diverso da
Prodotti e Processi
23
quello atteso.
Vediamo ora un altro esempio che in cui emerge il fenomeno descritto sopra. “La
gita scolastica” è tratto dalle prove INVALSI 2012/2013 della classe seconda della
scuola primaria:
Una classe di 9 maschi e 10 femmine, accompagnati dalla maestra Gianna e dalla maestra Luisa, sale sul pulmino per andare in gita. Restano due posti liberi. Quanti sono in tutto i posti a sedere per i viaggiatori sul pulmino?
A. 19 B. 21 C. 23
I risultati del campione nazionale mostrano che il 43,2% degli studenti ha scelto la risposta A, il 36,2% la risposta B e solo il 17,3% la risposta corretta C.
Da una sperimentazione effettuata sempre dal gruppo di ricerca-azione in didattica della matematica dell’Università di Pisa alla richiesta di spiegare il ragionamento è emerso che diversi studenti nel sommare il numero dei bambini e dei posti liberi non hanno contato le maestre “perché le maestre quando usciamo tutti in pulmino
non si mettono a sedere”. La conoscenza enciclopedica evocata dal testo anche in
questo caso spinge quindi i bambini a dare una risposta considerata scorretta.
Fra l’altro anche in questa domanda emergono problemi legati alla conoscenza del significato di alcune parole: a molti bambini le parole “viaggiatori” e “posti a sedere” hanno creato difficoltà o ambiguità. Il fatto che queste due parole siano proprio all’interno della richiesta finale “Quanti sono in tutti i posti a sedere per i viaggiatori del pulmino?” amplifica l’effetto di questa difficoltà linguistica sulla mancata scelta della risposta corretta. In particolare, interpretando “viaggiatori” come “persone che viaggeranno sul pulmino per andare in gita” e non come viaggiatori ipotetici, virtuali, la risposta corretta è 21, ovvero la B.
Capitolo 2
24
Dietro una risposta corretta: la convinzione di
2.2
dimostrare con esempi
Nelle prove strutturate non solo dietro le risposte sbagliate possono esserci ragionamenti sensati ma anche dietro le risposte corrette possono esserci ragionamenti sbagliati. Un motivo banale è che le risposte possono essere state date in modo casuale o semplicemente per esclusione; questo può accadere in particolare perché manca l’opzione non so rispondere. Ma ci possono essere naturalmente motivi più interessanti.
Questo fenomeno si osserva in particolare quando si chiede allo studente di controllare la correttezza di un’affermazione matematica e quindi di fornire un’argomentazione corretta.
Vediamo questo esempio: si chiede se è vero che
il prodotto di un numero pari per un numero dispari è un numero pari
Per riconoscere la verità di quest’affermazione matematica lo studente può iniziare con un’esplorazione di alcuni casi, ma poi deve produrre un’argomentazione di carattere generale, che a seconda dell’età può assumere carattere più o meno formale. Già a livello di scuola secondaria di primo grado l’allievo può riconoscere che un numero pari si può esprimere come il prodotto di 2 per un opportuno numero naturale, e quindi il fattore 2 rimane quando si moltiplica il numero dato per un numero dispari.
In realtà molti allievi identificano la fase di esplorazione con quella di dimostrazione: la proposizione viene considerata vera perché è stata controllata in un numero sufficiente di casi.
Prodotti e Processi
25
Queste due argomentazioni sono completamente diverse e solo nel primo caso la risposta corretta garantisce un procedimento corretto dal punto di vista matematico.
In definitiva molti studenti sono convinti di poter dimostrare in matematica solo con esempi. Pensano che per verificare un enunciato basti fornire uno o due esempi o a volte si preoccupano di presentare un numero sufficiente di esempi per convincere l’interlocutore. Molti di loro non comprendono né la necessità di una dimostrazione né quale sia la differenza tra “verificare” e “dimostrare”.
Il ruolo della dimostrazione è fondamentale in matematica. Gabriele Lolli scrive:
“La dimostrazione è presente ovunque in matematica; ne è la caratteristica essenziale, nel bene e nel male.” [12] “Non c’è matematica senza dimostrazione. È vero che la matematica non si esaurisce in dimostrazioni e neanche può ridursi a esse la comprensione della matematica. C’è l’euristica per la risoluzione dei problemi, c’è la tecnica di calcolo in senso lato, e c’è l’aspetto della modellizzazione. […] Ma la dimostrazione segna in genere il passaggio alla matematica vera e propria da una fase propedeutica di acquisizione di abilità e nozioni che si dicono matematiche ma che sono solo il prolungamento della padronanza fisica dell’ambiente esterno e che servono a un controllo più efficiente dello stesso” [13]
Se nell’insegnamento della matematica non si sottolinea il ruolo della dimostrazione (che nei primi anni del percorso scolastico potrà assumere la forma di un’argomentazione) nel mettere in evidenza le relazioni che intercorrono tra le varie parti di essa, i “fatti” della matematica verranno percepiti come scollegati l’uno dall’altro, e lo studente identificherà l’apprendimento della matematica con la memorizzazione e applicazione di “regole”.
27
3
Le prove INVALSI
Dopo aver descritto alcuni limiti delle prove strutturate di matematica nella pratica didattica ed analizzato alcune delle difficoltà che si celano dietro le risposte fornite dagli studenti, passiamo ora a considerare un esempio di prove strutturate, oggetto di un dibattito molto vivace a livello nazionale: le prove INVALSI.
3.1 L’INVALSI
L’INVALSI (Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema Educativo di Istruzione e di Formazione) è un Ente di ricerca che, sulla base delle vigenti leggi, frutto di un’evoluzione normativa significativamente sempre più incentrata sugli aspetti valutativi e qualitativi del sistema scolastico, svolge, fra gli altri, i seguenti compiti: [14]
effettua verifiche periodiche e sistematiche sulle conoscenze e abilità degli studenti e sulla qualità complessiva dell’offerta formativa delle istituzioni di istruzione e di istruzione e formazione professionale, anche nel contesto dell’apprendimento permanente; in particolare gestisce il Sistema Nazionale di Valutazione (SNV);
Capitolo 3
28
studia le cause dell’insuccesso e della dispersione scolastica con riferimento al contesto sociale ed alle tipologie dell’offerta formativa;
effettua le rilevazioni necessarie per la valutazione del valore aggiunto realizzato dalle scuole;
predispone annualmente i testi della nuova prova scritta, a carattere nazionale, volta a verificare i livelli generali e specifici di apprendimento conseguiti dagli studenti nell’esame di Stato al terzo anno della scuola secondaria di primo grado;
predispone modelli da mettere a disposizione delle autonomie scolastiche ai fini dell’elaborazione della terza prova a conclusione dei percorsi dell’istruzione secondaria superiore;
provvede alla valutazione dei livelli di apprendimento degli studenti a conclusione dei percorsi dell’istruzione secondaria superiore, utilizzando le prove scritte degli esami di Stato secondo criteri e modalità coerenti con quelli applicati a livello internazionale per garantirne la comparabilità;
L’INVALSI è soggetto alla vigilanza del Ministero della Pubblica Istruzione che individua le priorità strategiche delle quali l’Istituto tiene conto per programmare la propria attività.
3.2 Le Prove di valutazione INVALSI
Le prove di valutazione INVALSI riguardano l’italiano e la Matematica e attualmente sono effettuate in seconda e quinta primaria (precisamente dal 2008/2009), III secondaria di I grado (precisamente dal 2009/2010 nell’ambito dell’esame di Stato conclusivo del primo ciclo di istruzione) e II secondaria di II grado (precisamente dal 2010/2011). Dal 2013/2014 non è più effettuata alcuna rilevazione nella I secondaria di primo grado.
Gli obiettivi della valutazione esterna sui livelli di apprendimento degli studenti, effettuata dall’INVALSI sono: “promuovere un generale e diffuso miglioramento
Le prove INVALSI
29 della qualità degli apprendimenti nel nostro Paese, avendo riguardo, in particolare, agli apprendimenti di base.
Per ciascuna scuola le rilevazioni nazionali consentiranno di acquisire i risultati nazionali di riferimento e i propri dati aggregati a livello di classe e disaggregati per ogni singolo item.
Ciò con l’obiettivo di disporre della necessaria base conoscitiva per:
individuare elementi di criticità in relazione ai quali realizzare piani di
miglioramento dell’efficacia dell’azione educativa, e aspetti di qualità da mantenere e rafforzare;
apprezzare il valore aggiunto realizzato in relazione al contesto
socio-economico-culturale, al fine di promuovere i processi di autovalutazione d’istituto.
Per l’Amministrazione scolastica il progressivo consolidamento delle rilevazioni sistematiche e periodiche sugli apprendimenti degli studenti costituirà insostituibile occasione per acquisire e disporre delle serie storiche dei dati sui livelli di apprendimento, che permetteranno di rilevarne l’andamento complessivo nel tempo. Tali informazioni rappresentano la necessaria base conoscitiva per orientare le politiche scolastiche e per definire le azioni di governo del sistema scolastico, con particolare riferimento allo sviluppo dell’autonomia e alla valutazione delle scuole, alla formazione del personale e al miglioramento della didattica.” [15]
Le Prove INVALSI non intendono quindi costituire una prova valutativa dei singoli alunni e neanche uno strumento valutativo delle singole classi o dei singoli insegnanti, anche se possono dare indicazioni agli insegnanti per la propria pratica didattica. Infatti la valutazione dell’INVALSI, riferendosi all’intera popolazione studentesca, può costituire un termine di confronto per le singole scuole o anche per i singoli insegnanti, che possono condurre una riflessione autonoma sia sulle abilità e conoscenze acquisite dagli alunni (curricolo raggiunto), sia sulla validità delle scelte didattiche effettuate, sulla efficacia dell’offerta formativa programmata
Capitolo 3
30
e infine sulla ampiezza, profondità e coerenza del curriculum effettivamente svolto (curricolo effettivo)
Ciò può avvenire sia confrontando correttamente gli esiti della valutazione che riguarda le singole scuole con quelle di altre scuole analoghe, sia tramite un’analisi approfondita sugli esiti di ogni singolo quesito, che potrà poi portare a modificazioni positive da parte delle scuole e dei singoli insegnanti nell’impostare la propria offerta formativa in matematica.
3.2.1 Il Quadro di Riferimento INVALSI per il
primo ciclo di istruzione [16]
Prendiamo in esame il Quadro di Riferimento (QdR) per la prova di matematica per il primo ciclo di istruzione.
Il QdR presenta i principali punti di riferimento concettuali, le idee chiave che guidano la progettazione delle prove. In particolare, esplicita
- gli ambiti della valutazione, cioè quali aspetti della matematica del primo ciclo della scuola si valutano e la scelta degli argomenti oggetto della valutazione;
- i modi della valutazione, ossia le caratteristiche degli strumenti di valutazione e i criteri seguiti nella costruzione delle prove.
I quesiti delle prove INVALSI di matematica per il primo ciclo scolastico sono costruiti in relazione a due dimensioni:
I. i contenuti matematici: divisi per grandi blocchi o nuclei: Numeri, Spazio e figure, Relazioni e funzioni, Misure, dati e previsioni;
Le prove INVALSI
31
Questa bi-dimensionalità della valutazione è utilizzata in quasi tutte le indagini4 per fotografare correttamente gli apprendimenti dello studente, individuandone le componenti strutturali.
È importante sottolineare il fatto che in matematica non è possibile in generale stabilire una corrispondenza univoca tra il singolo quesito e un unico contenuto o processo il cui possesso venga verificato in esclusiva mediante quello stesso quesito. Infatti, in generale, la risposta a ciascuna domanda coinvolge diversi livelli di conoscenze di vario tipo e richiede contemporaneamente il possesso di diverse abilità. È questa una conseguenza della natura stessa del pensiero matematico, che non consiste solo in convenzioni o procedure di calcolo, ma in ragionamenti complessi, che coinvolgono rappresentazioni, congetture, argomentazioni, deduzioni. Ogni quesito delle prove del Servizio Nazionale di Valutazione viene quindi riferito a un ambito di contenuti e a un singolo processo, ma va sempre inteso che quelli indicati sono l'ambito e il processo prevalenti.
3.2.2 I contenuti matematici
La divisione dei contenuti in grossi blocchi5 è condivisa a livello internazionale, tuttavia le scelte operate dall’Italia differiscono, almeno in parte, dalle scelte operate a livello internazionale (OCSE-PISA, TIMSS 2007 e NCTM 20007). [16]
4 L'indagine OCSE-PISA utilizza le categorie di Mathematical Content Knowledge e di Mathematical
Processes and the Underlying Mathematical Capabilities; va notato che nel Framework di OCSE-PISA il termine mathematical process è utilizzato per descrivere le diverse fasi del ciclo della
matematicizzazione; quelli che qui sono chiamati processi sono avvicinabili maggiormente alle capabilities.
5
Per una descrizione degli ambiti di contenuto dell’indagine vedere Appendice :Errore. L'origine
Capitolo 3 32 Indicazioni nazionali e Indicazioni per il curricolo OCSE-PISA 2006 Overarching ideas (idee chiave) TIMSS 2007 Content domains (domini di contenuto) NCTM Standards 2000 Contents (contenuti)
NUMERI QUANTITA’ NUMERO NUMERI E
OPERAZIONI SPAZIO E FIGURE SPAZIO E FORME GEOMETRIA GEOMETRIA RELAZIONI E FUNZIONI CAMBIAMENTI E RELAZIONI ALGEBRA ALGEBRA MISURE, DATI E PREVISIONI
INCERTEZZA DATI E CASO ANALISI DEI
DATI E PROBABILITA’
Come si dice in “Le indicazioni per il curricolo: la parola alla scuola” [17] l’Italia sceglie “di utilizzare come titoli dei temi i nomi di oggetti matematici e non di teorie, e cioè numeri anziché aritmetica, spazio e figure anziché geometria, relazioni e funzioni anziché algebra, dati e previsioni anziché statistica e probabilità. Questa scelta tende a valorizzare nel primo ciclo gli oggetti con cui gli alunni devono fare esperienza, rispetto alla sistemazione teorica, che peraltro non deve essere tralasciata”.
3.2.3 I processi
Alcuni processi che possono essere valutati attraverso le prove INVALSI e di cui si tiene conto nella preparazione delle prove stesse sono:
1. conoscere e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...);
Le prove INVALSI
33
2. conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico...);
3. conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e sapere passare da una all’altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, ...);
4. sapere risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare le informazioni utili, confrontare strategie di soluzione, individuare schemi risolutivi di problemi come ad esempio sequenza di operazioni, esporre il procedimento risolutivo,... );
5. sapere riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti di misura (saper individuare l’unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, saper stimare una misura, …);
6. acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, ...);
7. utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell’informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o funzioni, utilizzare modelli matematici per descrivere e interpretare situazioni e fenomeni, ...);
8. saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …).
Capitolo 3
34
3.2.4 Gli obiettivi di apprendimento
Le prove INVALSI fanno riferimento agli obiettivi di apprendimento nel primo ciclo di istruzione contenuti nelle Indicazioni nazionali per il curriculo della scuola
dell’infanzia e del primo ciclo di istruzione6. [16]
Nella parte specifica della matematica vengono definiti gli obiettivi di apprendimento e i traguardi per lo sviluppo delle competenze con un chiaro ed esplicito riferimento alla continuità verticale fra scuola primaria e scuola secondaria di primo grado.
Su di essi è costruita la valutazione del Servizio Nazionale di Valutazione e a essi vengono agganciati i singoli item delle prove - per permettere un corretto posizionamento del risultato della valutazione rispetto al percorso scolastico curricolare. Per ogni domanda proposta per il Servizio Nazionale di Valutazione si cerca di stabilire un collegamento con uno o più di questi obiettivi di apprendimento e queste informazioni sono riportate nelle Guide alla lettura (vedi paragrafo 3.2.7).
3.2.5 I quesiti
Le prove di Matematica sono costituite da quesiti di diverse categorie: a “risposta chiusa”, a “risposta falsa-aperta”, a “risposta aperta”, “cloze”. [16]
La prima categoria consiste in quesiti con risposta a scelta multipla che presentano diverse alternative di risposte secondo quanto è richiesto dalla natura del quesito (attualmente sono previste 3 alternative per la prova di seconda primaria e 4 per le altre prove). Una sola delle alternative di risposta è corretta.
6
Per informazioni sulle Indicazioni nazionali per il curriculo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo
Le prove INVALSI
35
Per quesiti a “risposta falsa-aperta” si intendono domande aperte a risposta univoca (come ad esempio il risultato di un calcolo algebrico o numerico oppure ancora l’adesione o la negazione di determinate affermazioni) che sono perciò suscettibili di una valutazione rapida e univoca.
I quesiti a “risposta aperta” possono richiedere semplici argomentazioni, giustificazioni, sequenze di calcoli. La richiesta di giustificare una risposta o una scelta (Sì, perché … No, perché …) fa riferimento a competenze “innovative” esplicitamente indicate già nei traguardi per lo sviluppo delle competenze dalle Indicazioni per il curricolo del primo ciclo di istruzione. Ad esempio, nei traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria, si legge: “Impara a costruire ragionamenti (seppure non formalizzati) e a sostenere le proprie tesi […]”.
I quesiti di tipo “cloze” richiedono il completamento di frasi, calcoli o espressioni mediante l'utilizzo di elementi forniti nel testo. Non viene assegnato punteggio negativo per le risposte sbagliate.
Nella preparazione dei quesiti e delle prove si cerca di seguire i seguenti criteri: 1. Formulare i quesiti impiegando diversi registri: testi, figure, immagini,
tabelle, grafici.
2. Non formulare i quesiti necessariamente legati all’idea di contenuto minimo o irrinunciabile.
3. Formulare i quesiti, soprattutto per la seconda classe della scuola primaria, in un contesto che li collega a situazioni concrete; per le classi successive si potranno via via essere formulare quesiti con sempre maggiore riguardo alla matematica per sé.
4. Evitare espressioni vaghe, ambigue o inutilmente complicate (ad esempio l’uso della doppia negazione o domande con formulazione negativa) nella formulazione dei quesiti.
Capitolo 3
36
6. Cercare di fare in modo che la lunghezza e possibilmente la struttura delle risposte di un singolo quesito siano omogenei.
7. Richiamare nel testo del quesito la definizione da utilizzare nel caso si utilizzino definizioni su cui non vi sia completo accordo nei libri di testo e in generale nella prassi scolastica
8. Richiamare esplicitamente, ogni volta che è opportuno, il significato dei simboli; e cercare di non utilizzare simboli non standard.
9. Corredare i grafici e le tabelle di tutti gli elementi (etichette, legende,...) necessari per interpretarli e per contestualizzarli; questi elementi possono essere presenti, se si ritiene opportuno, anche quando non sono strettamente necessari per rispondere al quesito.
10. Indicare esplicitamente (nel testo o con un’adeguata e chiara simbologia sulla figura) quando in una figura geometrica o in una immagine due elementi sono congruenti.
Come abbiamo già osservato i quesiti a risposta chiusa non sono uno strumento
utilizzabile per valutare i singoli studenti, in quanto non consentono ad esempio di
capire se la risposta è stata data a caso, per esclusione delle altre opzioni o a seguito di un ragionamento (come abbiamo stato detto nel primo capitolo).
Tuttavia essi costituiscono un ottimo strumento quando, come nel caso delle Prove INVALSI, si vuole valutare un intero Sistema, e quindi è necessario poter disporre di un gran numero di dati analizzabili in modo relativamente veloce, obiettivo e con basso margine di incertezza.
Le prove INVALSI
37
3.2.6 Griglie di correzione
Ogni prova INVALSI è accompagnata da griglie per la correzione delle risposte degli studenti; fornisce inoltre i criteri per l’attribuzione di un punteggio unitario in centesimi e per la sua conversione in un voto unico espresso in decimi. [16]
Prendiamo in esame una risposta aperta e una risposta chiusa dalle griglie di correzione della prova di matematica dell’anno 2013/2014 della III secondaria di primo grado7.
Domanda D14 a risposta aperta:
La somma di due numeri naturali a e b è pari. Se aggiungo 1 a entrambi i numeri, come sarà ora la somma? Scegli una delle due risposte e completa la frase.
La somma sarà pari perché ……… La somma sarà dispari perché ………
Vediamo ora nella griglia di valutazione come deve essere corretta questa domanda:
7
La griglia di correzione della prova di matematica relativa all’anno 2013/2014 è consultabile al sito http://www.invalsi.it/areaprove/documenti/strumenti/PN/Attribuzione_Voto_PN2014_F1.pdf
Capitolo 3
38
Item Risposta corretta
D14
La somma sarà pari perché ….
Esempi di risposte fornite dagli allievi nel pretest valutabili come corrette: La somma sarà pari perché, se la somma è apri aggiungo 2 e allora
rimane pari perché P+P=P;
La somma sarà pari perché, se gli addendi sono D+D diventa P+P quindi pari, se gli addendi sono P+P diventa D+D che è ancora pari;
La somma è il pari successivo;
Se aggiungo 2 a un numero apri il risultato è pari; a+b=2n a+1+b+1=2n+2;
Sono inoltre accettabili le seguenti risposte fornite dagli allievi nel pretest: Ho aumentato tutti e due gli addendi con lo stesso numero;
Se aggiungo o tolgo la stessa quantità da entrambi i numeri che hanno come somma un numero pari, il risultato sarà sempre pari;
……..
È anche accettabile se lo studente mostra un esempio numerico seguito da lettere come P e D per indicare una generalizzazione del ragionamento proposto.
Non accettabile che:
Fanno riferimento solo a un esempio numerico (5+9=14; 6+10=16) Sono generiche (Dispari+Dispari=Pari; si aggiunge 1 a entrambi i
numeri;……..)
Trattandosi di domanda aperta nella griglia di correzione vi sono le risposte fornite dagli studenti nel pretest8 con i loro esempi/ragionamenti. Quindi le risposte non
8
Il pre-test è lo strumento utilizzato per verificare gli aspetti psicometrici rilevanti al fine di avere una prova che rispetti i requisiti di affidabilità e validità. Il pre-test viene svolto su alunni degli stessi livelli scolari coinvolti nell’indagine principale.
Le prove INVALSI
39
vengono valutate oggettivamente, ma da esse emergono “facilmente” eventuali difficoltà dello studente. Questo non può accadere invece nelle domande chiuse, dove viene dato punteggio massimo a chi dà la risposta considerata corretta, e punteggio minimo a chi non risponde o dà una risposta considerata scorretta, a prescindere dal ragionamento seguito. Come accade in questa domanda9:
Domanda D12 a risposta chiusa:
A un torneo di tennis, uno contro uno, partecipano 16 giocatori. Il torneo si svolge a eliminazione diretta, cioè chi perde una partita viene eliminato.
a. Qual è il numero di partite necessarie per stabilire il vincitore del
torneo?
A. 8 B. 15 C. 16 D. 32
b. Gabriele ha vinto il torneo. Quante partite ha giocato? Risposta: ……….
La sua griglia di correzione:
Item Risposta corretta
D12a. B D12b. 4
9
La domanda è stata oggetto della sperimentazione di questa tesi. I risultati sono riportati nel La PROVA
Capitolo 3
40
3.2.7 Guida alla lettura
La Guida alla Lettura è uno strumento di supporto per insegnanti e scuole in cui è presente un’analisi dei quesiti INVALSI. Per ogni quesito vi sono tre tabelle in cui vengono indicati:
nella prima il testo del quesito;
nella seconda le sue caratteristiche facendo riferimento al Quadro di riferimento delle prove SNV pubblicato sul sito INVALSI e alle Indicazioni nazionali;
nella terza una descrizione e un commento didattico; talvolta vengono segnalati errori che gli studenti potrebbero avere commesso nel dare una certa risposta: si tratta di errori rilevati in sede di pretest, oppure studiati dalla ricerca. Ovviamente non hanno alcuna pretesa di costituire una lista completa degli errori possibili e delle loro motivazioni.
Le caratteristiche proposte sono solo indicative e non vogliono rappresentare un vincolo per l'interpretazione del risultato: in matematica ogni domanda coinvolge spesso diversi ambiti, e la risposta richiede processi di diversa natura. Seguendo la prassi internazionale, si indicano l'ambito e il processo prevalenti, tenendo presente che spesso la scelta di un particolare distrattore può indicare difficoltà o lacune in altri ambiti o in altri processi.
41
4
La PROVA
4.1 La sperimentazione
Dato che l’obiettivo di questa tesi è evidenziare i limiti di test a risposta chiusa, la parte sperimentale è finalizzata ad indagare il ragionamento che sta dietro una risposta fornita dagli allievi corretta o scorretta che sia, in modo da riconoscerne l’adeguatezza. Per raggiungere questo obiettivo abbiamo costruito una prova utilizzando alcuni quesiti INVALSI destinati agli alunni di scuola secondaria di 1° grado.
La parte sperimentale consta essenzialmente di tre parti: 1. la costruzione della prova;
2. la somministrazione della prova e la raccolta dei dati; 3. l’analisi delle risposte.
4.2 La costruzione della prova
Nella fase iniziale abbiamo selezionato quattro quesiti dell’ambito Numeri che a nostro parere potevano dare origini a delle risposte interessanti; risposte che potevano far emergere aspetti significativi del processo risolutivo utilizzato dagli
Capitolo 4
42
allievi. Facendo riferimento a quanto discusso nel capitolo precedente, la scelta si è indirizzata verso due domande di tipo “matematico” e due di tipo “narrativo”. Le domande di tipo narrativo sono state scelte perché la loro formulazione suggerisce la possibilità che alcuni allievi diano una risposta scorretta per problemi legati alla comprensione del testo. Le domande di tipo matematico sono state scelte perché chiedono di pronunciarsi sulla verità di un enunciato, e quindi ci si aspetta che alcune risposte corrette non siano frutto di un ragionamento corretto dal punto di vista matematico.
L’analisi a priori dettagliata delle quattro domande è riportata nel paragrafo relativo ai risultati.
La prova presentata è questa:
Domanda 1
L’insegnante chiede: “Un numero pari, maggiore di 2, si può sempre scrivere come somma di due numeri dispari diversi fra loro?” Qui sotto ci sono le risposte di quattro studenti. Chi dà la risposta esatta e la giustifica correttamente?
A. Antonio: Sì, perché la somma di due numeri dispari è un numero pari B. Barbara: No, perché 6 = 4 + 2
C. Carlo: Sì, perché posso scriverlo come il numero dispari che lo precede più 1
D. Daniela: No, perché ogni numero pari può essere scritto come somma di due numeri uguali fra loro
Scrivi qui sotto il ragionamento che hai fatto per rispondere.
……… ……… ………
