4.2 Transitorio in una serie RL
5.1.2 Analisi delle soluzioni
Z (1−α)dt = e−(1−α)t Quindi: d dt ye−(1−α)t= αe−(1−α)t Integrando primo e secondo membro rispetto a t:
y (t, C) = − α 1 − α + Ce −(α−1)t, ∀C ∈ R Ripristinando la variabile x: x (t, C) = α 1 α−1 + Ce−(α−1)t,
che `e l’integrale generale (5.3). Imponendo la condizione iniziale x (t0) = x0 6= 0, otteniamo l’unica soluzione1: x (t) = x0(α − 1) αx0 + (α − 1 − αx0) e−(α−1)(t−t0) (5.4) Riesce: lim t→+∞x (t) = α − 1 α , ∀x0 ∈ R − {0, 1} (5.5)
per cui il grafico della soluzione del problema (5.2) ha un asintoto orizzontale; precisamente, la retta di equazione x = α−1α > 0, dato che α > 1. Inoltre, la (5.5) `e indipendente da x0:
lim t→+∞x (t) = α − 1 α = ( α−1 α − , se x0 < α−1α α−1 α + , se x0 > α−1 α (5.6) In fig. 5.1 riportiamo la soluzione x (t) per α = 3 e per diversi valori dello stato iniziale x0.
5.1.2 Analisi delle soluzioni
Assumendo t0 = 0, dalla (5.6) segue che il grafico γα della soluzione x (t) = x0(α − 1)
αx0+ (α − 1 − αx0) e−(α−1)t, (5.7)
`e contenuto nella regione Rα del piano cartesiano Otx: Rα = [0, +∞) ×x0,α−1 α , se x0 < α−1 α [0, +∞) × α−1α , x0 , se x0 > α−1α , (5.8)
La derivata della funzione (5.7) `e:
˙x (t) = αx0(α − 1) α−1 α − x0 e−(α−1)t αx0+ α−1α − x0 e−(α−1)t2 , (5.9) 1La funzione (5.1) `e manifestamente lipschitziana, per cui sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Cauchy-Lipschitz.
t Α-1
Α x
Figura 5.1: Andamento della soluzione del problema di Cauchy (5.2) per α = 3 e per diversi valori di x0.
da cui vediamo che il segno di ˙x (t) `e controllato dal termine α−1α − x0: x0 < α − 1
α =⇒ ˙x (t) > 0, ∀t (5.10)
x0 > α − 1
α =⇒ ˙x (t) < 0, ∀t
Cio`e la funzione x (t) `e strettamente crescente se x0 < α−1α , altrimenti `e strettamente decrescente. Il caso interessante `e 0 < x0 < α−1
α , e il comportamento delle corrispondenti soluzioni pu`o essere determinato dalla (5.3) che riscriviamo come:
˙x (t) = (α − 1) x (t) 1 −x (t)x ∞ , ∀t (5.11) essendo x∞ def = α−1 α . Riesce: t ∈ R | x (t) x∞ < 1 =⇒ ˙x (t) > 0, ∀t Cio`e x (t) `e strettamente crescente per ogni t tale che x(t)x
∞ < 1. Ne consegue:
∃t∗ < +∞ | x (t ≪ t∗) ≪ x∞=⇒ ˙x (t) ≃ (α − 1) x (t) , ∀t ∈ [0, δt] , con δt ≪ t∗, onde:
x (t) = x0e(α−1)t, ∀t ∈ [0, δt] (5.12)
Conclusione 38 Nell’intervallo di tempo [0, δt] la grandezza x (t) segue la legge esponenziale (5.12). Nel limite opposto:
x (t) −→
t≫t∗ x∞ Tale conclusione `e corroborata dal grafico di fig. 5.2.
CAPITOLO 5. MACCHINE RICORSIVE NON LINEARI: LA MAPPA LOGISTICA ∆t t Α-1 Α x0 x
Figura 5.2: In questo grafico confrontiamola soluzione esatta del problema di Cauchy (5.2) con quella approssimata (5.12), valida in un intorno destro di t = 0.
Determiniamo ora l’integrale particolare che verifica la condizione iniziale a (t0) = t0. A tale scopo calcoliamo il valore della costante di integrazione (che ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza): C = e βt0 aM aM a0 − 1 > 0, giacch`e `e a0 < aM. La soluzione `e:
a (t) = aM
1 +aM
a0 − 1e−β(t−t0) (5.13) La derivata prima `e:
˙a (t) = aMβ aM a0 − 1 e−β(t−t0) h 1 +aM a0 − 1e−β(t−t0)i2 (5.14) Esaminiamo il comportamento agli estremi della soluzione (5.13). Risulta:
lim
t→+∞a (t) = aM
Dallo studio del segno della derivata prima (5.14) segue che a (t) `e strettamente crescente in [t0, +∞). Inoltre, dall’analisi qualitativa delle soluzioni, abbiamo visto che:
∃t∗ | a (t ≪ t∗) ∝ eβ(t−t0)
Resta quindi confermata la legge esponenziale a tempi brevi. In fig. 5.3`e riportata la grandezza a (t) (normalizzata su aM) in funzione del tempo t − t0.
La velocit`a di crescita di a (t) `e misurata dalla seguente grandezza avente le dimensioni dell’inverso di un tempo: H (t) = ˙a (t) a (t) = βaM a0 − 1 aM a0 − 1+ eβ(t−t0) (5.15)
t-t0 1
a aM
Figura 5.3: Andamento qualitativo della soluzione (5.13). Inizialmente la grandezza a (t) cresce con legge esponenziale. Successivamente, la crescita rallenta e il “valore massimo aM viene raggiunto asintoticamente.
CAPITOLO 5. MACCHINE RICORSIVE NON LINEARI: LA MAPPA LOGISTICA Per t ∈ (t0, t0 + δt): a (t) ∝ eβ(t−t0), Abbiamo: H (t) ≃ β, ∀t ∈ (t0, t0+ δt) (5.16) Asintoticamente: lim t→+∞H (t) = 0,
come appunto c’era da aspettarsi, poich`e per t → +∞, a (t) tende alla costante aM . Il tempo caratteristico del sistema `e:
τH(t) = 1 H (t) = aM a0 − 1+ eβ(t−t0) βaM a0 − 1 Per t ∈ (t0, t0 + δt): τH(t) ≃ β1 (5.17)
Calcolo della rotta iniziale
La navigazione del sommergibile procede per ortodromia [1], ovvero seguendo l’arco di circolo massi-mo (sulla sfera terrestre) minore di 180◦ che unisce i punti A e B le cui coordinate geografiche sono date dalle (1.1)-(1.2). Da questi dati `e possibile determinare la grandezza M [1]:
tan M = cos ∆λ tan cB, (A.1)
dove1
∆λ = λB− λA= 61◦ 05′W, `e la differenza di longitudine tra A e B, mentre
cB = 90◦− ϕB = 45◦ 44′ `e la colatitudine del punto di arrivo B. La rotta iniziale `e data da:
tan Ri = tan ∆λ sin M sec (ϕA+ M ) Sostituendo i valori delle varie grandezze si trova Ri =N 61◦
33′ 30′′ W. Come `e noto, l’ortodromia `e la distanza pi`u breve tra due punti sulla sfera. A differenza della lossodromia, l’ortodromia inter-seca i meridiani sotto un angolo variabile, per cui il sommergibile sar`a costretto a cambiare rotta con continuit`a. Tale problema viene risolto sostituendo all’arco di circolo massimo una opportuna spezzata lossodromica. Tipicamente, l’angolo di rotta lossodromica Rv del primo tratto di spezzata, viene fatto coincidere con Ri. Si pone, dunque, Rv = Ri.
Appendice B
Alcuni metodi di integrazione delle
equazioni differenziali ordinarie
B.1 Integrazione per separazione di variabili
Riprendiamo l’equazione differenziale del primo ordine e di forma normale:
˙x = F (x) (B.1)
Abbiamo visto che il tutto “si gioca” sulla regolarit`a o meglio, sulla lipschitzianit`a della funzione F (x) e, conseguentemente, della funzione f (x) = x + F (x) del corrispondente sistema dinamico a tempo discreto. Inoltre, come `e ben noto dalla teoria delle equazioni differenziali, la (B.1) si integra per separazione di variabili. Escludendo il caso banale in cui F (x) `e identicamente nulla1, studiamo il problema di Cauchy:
P :
˙x = F (x)
x (t0) = x0 , (B.2)
Esaminiamo i seguenti casi: 1. F (x0) = 0
2. F (x0) 6= 0
Caso 1: x0 `e uno zero di F (x). La funzione costante x (t) ≡ x0 verifica l’equazione differenziale ˙x = F (x). Infatti:
d
dtx0 = F (x0) ⇐⇒ 0 = 0
Quindi x (t) ≡ x0 risolve il problema di Cauchy (B.2) per qualunque istante iniziale t0 ∈ R. Esempio 39 Sia dato il problema
P :
˙x = x − 1
x (t0) = 1 , (B.3)
Qui `e F (x) = x − 1 ed `e manifestamente Lipchitziana. Il punto x0 = 1 `e uno zero di F (x) per cui la funzione costante ξ (t) ≡ 1 risolve il problema di Cauchy proposto. Tale soluzione `e unica, in forza della lipchitzianit`a di F (x). Quindi:
∀t0 ∈ R, ξ (t) = 1 | ˙ξ (t) = ξ (t) − 1
ξ (t0) = 1 , t ∈ R (B.4)
La funzione di trasferimento del corrispondente sistema dinamico a tempo discreto `e: f (x) = 2x − 1,
e x0 = 1 `e il suo punto fisso, onde riesce xn= fn(x0) = x0, ∀n ∈ N. Ne consegue che P∗(x∗, x∗) ≡ P0(x0, x0) , ∀n ∈ N. Cio`e, l’orbita del sistema si riduce al solo punto iniziale P0(1, 1): Ω = {P0}, come illustrato in fig. B.1.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 xn -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 xn+1
Figura B.1: Diagramma di K¨onig-Lemaray del sistema dinamico con funzione di trasferimento f (x) = 2x − 1 e stato iniziale x0 = 1.
Caso 2. Rammentando che la lipchitzianit`a di F : X → R implica la continuit`a: F (x0) 6= 0F `e continua=⇒ ∃Jε(x0) = (x0− ε, x0+ ε) ⊆ X | x ∈ Jε(x0) =⇒ F (x) 6= 0 Senza perdita di generalit`a, supponiamo F (x0) > 0, come illustrato in fig. B.2.
Risulta:
˙x = F (x) ⇐⇒ ˙x (t) = F [x (t)] , ∀t ∈ [t1, t2]
Se esiste una funzione x (t) che risolve il problema di Cauchy (B.2), necessariamente deve valere la seguente implicazione:
∃Jε(x0) | ∀x ∈ Jε(x0) , F (x) 6= 0 =⇒
APPENDICE B. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE x0 x0-Ε x0+Ε x x x =FHxL
Figura B.2: Grafico della funzione F (x) e determinazione di un intorno Jε(x0) tale che F (x) > 0, ∀x ∈ Jε(x0).
t0
t0-∆Ε t0+∆Ε t
x
come illustrato in fig. B.3. Ci`o implica: assegnato un opportuno ε > 0 =⇒ (∃Iδε(t0) | t ∈ [t1, t2] ∩ Iδε(t0) =⇒ F [x (t)] 6= 0 Quindi: t ∈ [t1, t2] ∩ Iδε(t0) =⇒ ˙x (t) F [x (t)] = 1 Integrando primo e secondo membro2:
t Z t0 ˙x (τ ) F [x (τ )]dτ = t Z t0 dτ, ∀t ∈ [t1, t2] ∩ Iδε(t0)
Se nell’integrale a primo membro eseguiamo il cambio di variabile t → x = x (t), l’equazione precedente si scrive: x(t) Z x0 dξ F (ξ) = t − t0, ∀t ∈ [t1, t2] ∩ Iδε(t0) Se G (x) `e una primitiva di 1 F (x): G [x (t)] − G (x0) = t − t0
O ci`o che `e lo stesso:
G (x) − t − [G (x0) − t0] = 0, (B.5)
Quindi, se esiste un integrale x (t) che risolve il problema di Cauchy (B.2), x (t) `e necessariamente definito (implicitamente) dalla (B.5). Infatti, derivando la (B.5) rispetto a t:
G′(x) ˙x − 1 = 0 =⇒ ˙x
F (x) − 1 = 0, cio`e la ˙x = F (x). Inoltre:
G [x (t0)] − t0− [G (x0) − t0] = 0 =⇒ G [x (t0)] = G (x0) =⇒ x (t0) = x0
In pratica si procede nel seguente modo. Assegnato il problema di Cauchy:
˙x = F (x) x (t0) = x0
1. Si determinano le eventuali soluzioni costanti, cio`e gli zeri della funzione F (x). 2. Si separano le variabili:
dx
F (x) = dt Integrando primo e secondo membro:
Z dx
F (x) = C + t,
2In tal caso, si dice che l’equazione differenziale viene risolta per quadrature. L’origine di questo termine deriva dal fatto che calcolare un integrale definito equivale a determinare un’area.
APPENDICE B. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
dove abbiamo incorporato in C ∈ R i valori delle costanti generate dall’integrazione indefinita a primo e secondo membro. Otteniamo:
G (x) = C + t
Tale relazione definisce implicitamente l’integrale generale dell’equazione differenziale ˙x = F (x). A questo punto si determina il valore C0 della costante di integrazione C in modo da avere x (t0) = x0. G [x (t0)] = C0+ t0 Cio`e: G (x0) = C0+ t0, da cui: C0 = G (x0) − t0
Quindi l’integrale particolare che verifica la condizione iniziale x (t0) = x0 `e definito implicita-mente dall’equazione:
t = G (x0) − t0+ G [x (t)]
Esempio 40 Riprendiamo l’equazione differenziale dell’esempio 39, riferendoci al seguente proble-ma:
P :
˙x = x − 1
x (t0) = x0 , (B.6)
con x0 6= 1, ma “prossimo” a 1. Separando le variabili e integrando si perviene alla seguente equazione che definisce implicitamente l’integrale generale x (t, C) della ˙x = x − 1:
ln |x − 1| = t + C, ∀C ∈ R (B.7)
Per esplicitare la funzione x (t, C), consideriamo i due casi distinti: 1. x0 ∈ (1 − δ, 1) con 0 < δ ≪ 1
2. x0 ∈ (1, 1 + δ) con 0 < δ ≪ 1 Nel caso 1 riesce
x (t) − 1 < 0, ∀t ∈ [t0, +∞) , onde la (B.7) si scrive:
ln (1 − x) = t + C, da cui:
x (t, C) = 1 − eCet
Definendo la nuova costante di integrazione C′ = eC, l’equazione precedente diventa:
x (t, C′) = 1 − C′et, ∀C ∈ [0, +∞) (B.8)
Deve essere
x (t0) = x0 ⇐⇒ 1 − C′et0 = x0,
onde il valore della costante di integrazione che risolve il problema (B.6) `e C0′ = (1 − x0) e−t0
cosicch`e la soluzione del problema `e ξ1(t) = 1 − (1 − x0) et−t0 (B.9) Quindi: ξ1(t) = 1 − (1 − x0) et−t0 | ˙ξ1(t) = ξ1(t) − 1 ξ1(t0) = x0 , ∀t ∈ [t0, +∞)
Si noti che la (B.9) riproduce il caso x0 = 1, giacch`e ξ1(t) = 1, ∀t ∈ [t0, +∞). Dalla (B.9): lim
t→+∞ξ1(t) = −∞ Il grafico della soluzione ξ1(t) `e riportato in fig. B.4.
t0 t1
t
1
x0
x
Figura B.4: Grafico della soluzione del problema di Cauchy (B.6) con x0 ∈ (1 − δ, 1). Nel caso 2 la (B.7) si scrive:
ln (x − 1) = t + C, da cui
x (t, C′) = 1 + C′et,
dove C′ = eC. Imponendo la condizione iniziale x (t0, C′) = x0 si trova la soluzione per questo secondo caso, e cio`e:
ξ2(t) = 1 + (x0 − 1) et−t0 , riuscendo:
lim
t→+∞ξ1(t) = −∞ E il cui grafico `e riportato in fig. B.5.
Passando al corrispondente sistema dinamico a tempo discreto, si ha che la funzione da iterare `e:
f (x) = 2x − 1, ∀x ∈ R
Assumendo x0 ∈ (1 − δ, 1), si ottiene l’evoluzione dinamica graficata in fig. B.6,da cui vediamo che lo stato del sistema si allontana definitivamente da x0 per tendere a −∞. Tale comportamento `e in accordo con il corollario (33), giacch`e `e f′(x) > 1.
APPENDICE B. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE t0 t 1 x0 x
Figura B.5: Grafico della soluzione del problema di Cauchy (B.6) con x0 ∈ (1, 1 + δ).
-0.5 0.5 1.0 1.5 xn -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 xn+1
Figura B.6: Diagramma di K¨onig-Lemaray del sistema dinamico con funzione di trasferimento f (x) = 2x − 1 e stato iniziale x0 = 1.
1 2 3 4 5 xn 2 4 6 8 xn+1
Figura B.7: Diagramma di K¨onig-Lemaray del sistema dinamico con funzione di trasferimento f (x) = 2x − 1 e stato iniziale x0 = 1.
APPENDICE B. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Una conclusione analoga per x0 ∈ (1, 1 + δ), come illustrato in fig. B.7,da cui vediamo che lo stato del sistema si allontana definitivamente da x0 per tendere a +∞.
Dal corollario 30 segue che comunque prendiamo una contrazione f di [a, b], la successione di funzioni iterate {fn(x)} converge alla funzione costante. Ci proponiamo ora di studiare il comporta-mento della successione {fn(x)} nel caso in cui f non sia una contrazione o, al pi`u, `e una contrazione locale. Consideriamo il caso pi`u semplice, cio`e quello di un sistema lineare:
f (x) = αx + β, (B.10)
con |α| > 1 e β ∈ R. Ne consegue che comunque prendiamo [a, b] ⊂ R, si ha che (B.10) non `e una contrazione di [a, b]. Iteriamo la funzione (B.10) a partire da x0:
f0(x) = αx + b (B.11)
f1(x) = α2x + β (α + 1) f2(x) = α3x + β α2+ α + 1
...
fn(x) = αn+1x + β αn+ αn−1+ ... + α + 1,
da cui vediamo che fn(x) `e ancora una funzione lineare il cui grafico ha coefficiente angolare αn+1, per cui limn→+∞αn = +∞. Ne concludiamo che nel caso della funzione lineare (B.10) la successione {fn(x)} non converge.
Esaminiamo il caso della trasformazione (3.45) che qui riscriviamo: f (x) = x2, ∀x ∈ [0, 1]
[1] Capasso I., Fede S., 1976. Navigazione. Hoepli
[2] Fiorenza R., Greco D. 1978. Lezioni di Analisi Matematica. Liguori Editore. [3] Ghizetti A., 1978. Lezioni di Analisi matematica. Vol. II. Veschi
[4] Arbib. Brains M. A., 1987. Machines and Mathematics, McGraw-Hill. [5] Wagon S., 1995, Guida a Mathematica, McGraw-Hill.