MarcelloColozzo MacchineRicorsive MatematicaOpenSource

(1)

Macchine Ricorsive

Marcello Colozzo

0.5 1.0 1.5

x_n 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x_n+1

(2)

Indice

1 Un esempio di Macchina ricorsiva: il Sistema di Navigazione Inerziale 4

2 Equazioni differenziali e sistemi dinamici 8

2.1 Sistemi dinamici a tempo continuo . . . 8

2.2 Sistemi autonomi . . . 13

2.3 Sistemi lineari . . . 14

2.4 Lo spazio delle configurazioni . . . 16

2.5 Caso omogeneo (β0 = 0) . . . 17

2.6 Caso non omogeneo (β0 6= 0) . . . 20

3 Macchine ricorsive 23 3.1 Il metodo di Eulero . . . 23

3.2 Il metodo di K¨onig-Lemaray . . . 27

3.3 Il Teorema del punto fisso di Brouwer . . . 35

3.4 Punti periodici. Oscillatore. . . 53

4 Macchine ricorsive lineari: alcune applicazioni 55 4.1 Transitorio in una serie RC . . . 55

4.2 Transitorio in una serie RL . . . 58

5 Macchine ricorsive non lineari: la mappa logistica 62 5.1 L’equazione di Riccati . . . 62

5.1.1 Problema di Cauchy . . . 62

5.1.2 Analisi delle soluzioni. . . 63

A Calcolo della rotta iniziale 68 B Alcuni metodi di integrazione delle equazioni differenziali ordinarie 69 B.1 Integrazione per separazione di variabili. . . 69

Bibliografia . . . 78

1

(3)

Consideriamo un problema matematico P. In linea assolutamente generale, esistono due procedimenti di “attacco” per risolvere P:

1. Procedimento analitico (Π1).

2. Procedimento algoritmico (Π2).

Π₁è il procedimento, per cos`ı dire, classico. Si pensi, ad esempio, alla dimostrazione di un teorema (quindi, ciò che abbiamo denotato con P non è necessariamente un problema nel senso letterale del termine): si parte da una ipotesi per giungere, attraverso una successione ordinata di passaggi logici, alla tesi del teorema¹.

Π2 è, invece, tipico dei linguaggi di programmazione e più in generale, dei sistemi di computer algebra (C.A.S). Per inciso, anche Π1è - in linea di principio - riducibile a un algoritmo². Tuttavia, nel caso 2 ci riferiamo esclusivamente agli algoritmi nel senso dei linguaggi di programmazione, nonchè dei sistemi di computer algebra.

Per comprendere appieno la differenza tra Π1 e Π2 è utile la metafora delle due interfacce. Più specificatamente, consideriamo una “Interfaccia Umana” ed una “Interfaccia Artificiale”. Con la prima intendiamo la modalità umana di elaborare concetti matematici. L’interfaccia artificiale, invece, è una modalità di tipo algoritmico che caratterizza i linguaggi di programmazione.

Interfaccia Umana Interfaccia Artificiale

Successione ordinata di passaggi logici Esecuzione di un algoritmo In linea di principio, abbiamo le seguenti possibilit`a:

• P `e risolto da entrambi i procedimenti. In simboli:

∀k ∈ {1, 2} , Π^k risolve P

• P `e risolto da uno solo dei due procedimenti:

∃!k ∈ {1, 2} | Π^k risolve P

• P non `e risolto da nessuno dei due procedimenti:

∄k ∈ {1, 2} | Π^k risolve P

1Ci stiamo riferendo al caso generale, poich`e esistono altri metodi di dimostrazione, come ad esempio il procedimento induttivo e la dimostrazione per assurdo.

2Non sempre, si pensi all’indecidibilit`a g¨odeliana.

2

(4)

INDICE Nel primo caso il procedimento algoritmico Π2 pu`o produrre degli effetti inaspettati, ossia non presenti se P viene risolto da una interfaccia umana Π¹. Ad esempio, ci`o si verifica per i problemi di Cauchy relativi ad un’equazione differenziale del tipo Riccati:

P :

y^′ = αy − (α + 1) y²

y (0) = u0 , (1)

con α > 0 e u₀ 6= 0. Come vedremo, per tale problema la precedente tabella si scrive:

Interfaccia Umana Interfaccia Artificiale y (x) = ^y^∞

1+

y∞

u0−1

e⁻^αx, y∞

def= _α+1^α {yⁿ}n∈N−{0} |

yn+1 = (α + 1) yn− (α + 1) y²n

y₀ = u₀

Per inciso, un sistema di computer algebra `e perfettamente in grado di ottenere la soluzione in forma chiusa y (x) = ^y^∞

1+

y∞

u0−1

e^αx, poich`e tali sistemi operano su simboli oltre che su numeri. Noi, per`o, utilizzeremo l’approccio numerico per i suddetti sistemi. Nello specifico, la procedura algoritmica Π2

`e il Metodo di Eulero che nel caso del problema assegnato (1) genera il caos deterministico.

Infine, in altri casi, gli andamenti asintotici della soluzione in forma chiusa y (x) (si pensi, ad esempio, a un transitorio in un circuito RC o RL), si traducono in interessanti propriet`a topologiche dell’insieme di punti associati alla successione {yⁿ}n∈N−{0} generata da Π2

In questo libro si danno per scontate le principali nozioni di Analisi Matematica (reale e complessa) e Algebra lineare. La sua struttura si articola nel modo seguente:

1. Nel Capitolo 1 viene presentato il sistema di computer algebra Mathematica. Focalizzere- mo la nostra attenzione sui processi ricorsivi, poich`e svolgeranno un ruolo fondamentale nella risoluzione di P attraverso il procedimento Π².

2. Il Capitolo 2 `e dedicato alle equazioni differenziali del primo ordine di forma normale. Viene enunciato, ma non dimostrato, il Teorema di esistenza ed unicit`a che conduce fisiologicamente alla nozione di sistema dinamico deterministico.

3. ...

3

(5)

Un esempio di Macchina ricorsiva: il Sistema di Navigazione Inerziale

L’Operazione Paukenschlag¹ fu un’azione a sorpresa ideata dall’ammiraglio Karl D¨onitz della marina militare tedesca durante la seconda guerra mondiale, e comandante della flotta sottomarina. Tale operazione impegn`o due distinte squadre di U-boat lungo le coste Usa e del Canada.

Nello stesso periodo storico, un ufficiale della marina tedesca, G.M. Boykon, in collaborazione con l’ing. Von Braun, realizz`o il primo sistema di navigazione inerziale di guida dei razzi V2. Da alcuni archivi storici `e emerso che il sistema inerziale venne utilizzato a bordo dei sommergibili tedeschi.

Lo start up dell’Operazione Paukenschlag avvenne il 9 gennaio 1942. Ma diamo il via alla storia...

L’U-boat 130 part`ı da un punto A al largo della base francese di La Rochelle:

A ≡

ϕA= 46^◦ 14^′ N

λA = 01^◦ 27^′ W , (1.1)

diretto verso un punto B al largo di Halifax (Canada):

B ≡

ϕB = 44^◦ 16^′ N

λB = 62^◦ 32^′ W , (1.2)

Le formule (1.1)-(1.2) forniscono le coordinate geografiche (latitudine ϕ e longitudine λ) del pun- to di partenza e del punto di arrivo. Senza scrivere un trattato di Navigazione, è necessaria una precisazione. Assegnate le coordinate di partenza e di arrivo, è possibile determinare la distanza e l’angolo di rotta, a patto di specificare il tipo di traiettoria seguita. Vengono, allora, formulate delle ipotesi circa la forma della superficie che più approssima quella terrestre, e quella più semplice

è la superficie di una sfera. E, come è noto, il percorso più breve che unisce due punti sulla sfera

è l’arco di circolo massimo (minore di 180^◦) passante per essi. In Appendice A abbiamo esegui- to i calcoli servendoci di formule ricavate dalla trigonometria sferica [1]. Inoltre, uno dei problemi principali in Navigazione è la determinazione del punto-nave, ovvero la determinazione delle coordinate geografiche (ϕ, λ). I sistemi, per cos`ı dire, tradizionali, risolvono tale problema eseguendo misure/osservazioni (astronomiche, ricezioni di segnali elettromagnetici, etc.). Tuttavia, tali sistemi dipendono dall’esterno: si pensi a problemi di visibilità o a propagazione anomale delle onde elet- tromagnetiche. In quest’ultimo caso, c’è da aggiungere la possibilità di intercettazione dei segnali e quindi della posizione di una nave nemica. Diversamente, il sistema di navigazione inerziale è esclusivamente basato sulla misura dell’accelerazione della nave. Più precisamente, approssimando la superficie terrestre a quella di una sfera di raggio R, fissiamo una terna di assi cartesiani ortogonali

1Operazione colpo di tamburo.

4

(6)

CAPITOLO 1. UN ESEMPIO DI MACCHINA RICORSIVA: IL SISTEMA DI NAVIGAZIONE INERZIALE T (Oxyz) con l’origine nel centro della sfera, il piano coordinato xy coincidente con il piano equato- riale terrestre, orientando l’asse x in direzione del meridiano di Greenwhich. Chiamiamo T (Oxyz) terna terrestre. A rigore non si tratta di un sistema di riferimento inerziale², a causa della rotazione diurna della Terra e del suo moto di rivoluzione intorno al Sole. Tuttavia, con buona approssimazione T (Oxyz) pu`o essere considerata una terna inerziale. Le equazioni che legano le coordinate cartesiane (x, y, z) alle coordinate geografiche (ϕ, λ) sulla sfera terrestre sono:







x = R cos ϕ cos λ y = R cos ϕ sin λ z = R sin ϕ

, (1.3)

dove R è il raggio della sfera terrestre, mentre gli angoli ϕ e λ sono espressi in radianti. A bordo dell’U-boat 130 è montato un accelerometro, ovvero uno strumento in grado di determinare in un generico istante t, l’accelerazione del sommergibile rispetto alla terna terrestre T (Oxyz), che è il vettore:

a (t) = a_x(t) i + a_y(t) j + a_z(t) k, (1.4) essendo i, j, k i versori degli assi coordinati. Ma a = ˙v^def= ^dv_dt, cio`e la derivata rispetto al tempo della velocit`a, per cui:

v (t) = Z

a (t) dt =

Z

ax(t) dt

i +

Z

ay(t) dt

j +

Z

az(t) dt

k

Eseguendo una seconda integrazione, possiamo determinare il vettore posizione x (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k dell’U-boat, giacch`e v = ˙x. Note le coordinate cartesiane al tempo t, invertendo le (1.3) si ottengono le coordinate geografiche al tempo t, ovvero il punto-nave. Possiamo quindi tracciare uno schema a blocchi per ci`o che riguarda il “funzionamento” di un sistema di navigazione inerziale (cfr. fig. 1.1).

Figura 1.1: Schema a blocchi che illustra il principio di un sistema di navigazione inerziale. Un accelerometro fornisce al tempo t il valore dell’accelerazione a della nave. Il calcolatore esegue una prima integrazione (rispetto al tempo), fornendo la velocit`a v all’istante t. L’output di una seconda integrazione `e la posizione x e, quindi, le coordinate geografiche.

E chiaro che l’affidabilit`a di un sistema di navigazione inerziale dipende essenzialmente dai due` fattori:

2In un sistema di riferimento inerziale è valida la legge di inerzia: una particella non sottoposta a forze (o se la risultante è nulla) o è in quiete o si muove di moto rettilineo ed uniforme.

5

(7)

1. Possibilit`a di misurare l’accelerazione con una precisione adeguata.

2. Possibilit`a di eseguire l’integrazione di una funzione vettoriale di una variabile reale.

D’altra parte, per la seconda legge di Newton F = ma, segue che il problema della navigazione inerziale `e riconducibile a ci`o che nella teoria delle equazioni differenziali si chiama problema di Cauchy. Precisamente:

x =¨ _m^F

x (t₀) = x₀ , (1.5)

dove t0 è un istante iniziale e x0 la posizione iniziale, supposta nota. ˙x = _m^F è un’equazione differenziale vettoriale (quindi, un sistema di equazioni differenziali) del secondo ordine che, però, può essere ridotto al primo,:

˙v = _m^F

˙x = v (1.6)

Infatti, integrando la prima delle (1.6) si perviene alla funzione vettoriale v (t) che, a sua volta, ci darà la possibilità di determinare la posizione x (t). Senza perdita di generalità, ci si può riferire (per poi generalizzare) a moti unidimensionali, cosicchè il sistema precedente si scrive:

˙v = _m^F

˙x = v (1.7)

Quindi il problema di Cauchy che ci interessa `e:

˙v = ^F_m

v (t0) = v0 (1.8)

Una volta determinata la velocit`a v (t), integrando otteniamo la posizione x (t) = R

v (t) dt. Tipi- camente, la forza F dipende dal tempo, dalla posizione e dalla velocità, per cui è F (t, x, ˙x). Par- ticolarmente interessante è il caso in cui F dipende (esplicitamente) solo dalla velocità ˙x, per cui il problema (1.8) diventa:

˙v = f (v)

v (t0) = v0 , (1.9)

avendo definito f (v) = ^{F (v)}_m . L’equazione ˙v = f (v) appartiene a una particolare classe di equazioni differenziali: i cosiddetti sistemi autonomi. Questi ultimi sono l’argomento principale del presente lavoro.

Nell’ipotesi (1.9) l’accelerometro dar`a “in pasto” al calcolatore di bordo l’espressione della funzione f (v), i.e. la derivata ˙v = ^dv_dt. Il calcolatore dovr`a, quindi, integrare tale equazione differenziale.

In questa nostra simulazione virtuale immaginiamo che il calcolatore disponga di un unico algoritmo per l’integrazione (numerica) della suddetta equazione: il metodo di Eulero. Vedremo che per una classe di funzioni f (v) il calcolatore entrer`a in un loop caotico, con tanto di punti periodici, punti di biforcazione e di tutti quegli elementi che caratterizzano il cosiddetto caos deterministico.

L’aggettivo deterministico si riferisce al fatto che i sistemi in istudio obbediscono al determinismo fisico. Nel caso specifico del problema (1.5) o della sua versione “ridotta” (1.9), il determinismo fisico si traduce matematicamente in un teorema secondo cui sotto ragionevoli ipotesi di regolarità della funzione f (v) (cioè se f (v) è onesta, come amano dire i fisici teorici), il problema (1.5) ammette una ed una sola soluzione. Detto in altro modo, assegnato lo stato iniziale v (t₀) = v₀ e la “legge” f (v), resta univocamente determinato lo stato (cioè la velocità) a tutti i tempi. Tuttavia, esistono sistemi autonomi che pur essendo deterministici (in quanto la funzione f (v) è onesta) risultano impreved- ibili, nel senso che non è possibile conoscere v (t) per t > t₀. È altres`ı necessario osservare che tale comportamento si realizza integrando numericamente la ˙v = f (v) con il metodo di Eulero.

Questo lavoro `e cos`ı suddiviso:

(8)

CAPITOLO 1. UN ESEMPIO DI MACCHINA RICORSIVA: IL SISTEMA DI NAVIGAZIONE INERZIALE

• Nel Capitolo2dopo una necessaria introduzione sulle equazioni differenziali, daremo la definizione assiomatica di sistema dinamico a tempo continuo, prestando particolare attenzione a quelli lineari.

• Nel Capitolo 3 affronteremo lo studio del Metodo di Eulero per l’integrazione di equazioni differenziali del primo ordine, definendo, poi, l’importante nozione di Macchina ricorsiva.

• Nella sezione 4 esploreremo alcune interessanti applicazioni delle macchine ricorsive, ovvero il metodo di Eulero applicato all’integrazione di un sistema autonomo lineare. Passeremo in rassegna il fenomeno dei transitori circuitali in una serie RC e RL rispettivamente, mostrando in seguito, che il comportamento di un diodo a giunzione non pu`o essere simulato da un sistema autonomo. Come ultima applicazione, consideriamo la caduta libera di una palla da tennis in un campo gravitazionale uniforme.

• Nella sezione ?? studieremo, come anticipato, il sistema di navigazione inerziale a bordo di un sommergibile.

(9)

Equazioni differenziali e sistemi dinamici

2.1 Sistemi dinamici a tempo continuo

Denotiamo con x una grandezza¹ che dipende dal tempo t attraverso una legge x = x (t), dove x (t)

`e una funzione reale della variabile reale t. In molte situazioni sperimentali non abbiamo accesso all’espressione analitica della funzione x (t), mentre `e possibile dedurre il legame funzionale tra la variabile indipendente t, la grandezza x e le prime n ∈ N − {0} derivate di x rispetto a t. In simboli:

Φ

t, x,dx dt,d²x

dt², ...,dⁿx dtⁿ

= 0, (2.1)

dove Φ : A → R, con A ⊆ Rⁿ⁺². In altri termini, Φ è una funzione reale delle n + 2 variabili reali t, x,^dx_dt,^d_dt²²^x, ..., ^d_dtⁿn^x. Dall’Analisi matematica sappiamo che la (2.1) è una ODE, acronimo che tradotto dall’inglese significa equazione differenziale ordinaria. Più precisamente, è un’equazione di ordine n in forma non normale, in quanto non risolta rispetto alla derivata di ordine massimo della funzione x (t). In questo lavoro siamo interessati alle equazioni del primo ordine e di forma normale, cioè²:

˙x = F (t, x) , (2.2)

avendo utilizzato, come è consuetudine, la notazione puntata per indicare l’operazione di derivazione rispetto al tempo, ovvero ˙x = ^dx_dt. Nella (2.2) è F : D → R con D ⊆ R². Per una questione di comodità matematica e senza perdita di generalità, supponiamo che D sia:

D =

(t, x) ∈ R² | t1 ≤ t ≤ t2, −∞ < x < +∞

(2.3)

= [t1, t2] × (−∞, +∞)

L’equazione differenziale (2.2) determina l’evoluzione temporale di un sistema dinamico. Quest’ultimo modellizza un sistema fisico caratterizzato dalla grandezza x. Dalla teoria delle equazioni differenziali sappiamo che l’integrale generale di (2.2) ha la forma x (t, C) che geometricamente rappresenta una famiglia di curve piane ad un parametro. Infatti, C `e una arbitraria costante di integrazione. Da un punto di vista fisico siamo interessati a una soluzione che verifica una assegnata condizione iniziale. Matematicamente, ci`o si traduce nella ricerca delle soluzioni del problema di Cauchy:

P :

˙x = F (t, x)

x (t₀) = x₀ (2.4)

1Come vedremo in seguito, x potrebbe essere la carica elettrica sulle armature di un condensatore alimentato da una f.e.m. Vin. Ma non `e detto che sia necessariamente una grandezza fisica. Si pensi, ad esempio, ad una popolazione batterica che evolve nel tempo secondo una legge x (t).

2Le grandezze x e t sono espresse in unit`a adimensionali.

(10)

CAPITOLO 2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI E SISTEMI DINAMICI

dove t₀ ∈ [t1, t₂] `e un istante iniziale assegnato.

Definizione 1 Il problema di Cauchy (2.4) è compatibile e determinato se esiste ed è unica la soluzione. Il problema è incompatibile (o impossibile) se è privo di soluzioni. Infine, il problema

`e compatibile e indeterminato, se ammette pi`u soluzioni.

Definizione 2 Il sistema dinamico ˙x = F (t, x) si dice deterministico se il problema (2.4) `e compatibile e determinato, i.e. ammette una ed una sola soluzione.

In altri termini, l’evoluzione dinamica di un sistema deterministico `e univocamente determinata dalla condizione iniziale x (t0) = x0 e dalla legge ˙x = F (t, x). Premettiamo la seguente definizione:

Definizione 3 La funzione reale di n variabili reali x₁, x₂, ..., x_n:

f : A → R, con A ⊆ Rⁿ (2.5)

si dice di classe r su A (o anche C^r) e si scrive f ∈ C^r(A), se `e ivi continua e dotata di derivate parziali continue in A fino all’ordine r.

La funzione (2.5) `e C^∞ su A e si scrive f ∈ C^∞(A), se `e di classe r per ogni r ∈ N:

f ∈ C^∞(A)⇐⇒ f ∈ C^def ^r(A) , ∀r ∈ N Ci`o premesso, enunciamo (senza dimostrare) il seguente teorema:

Teorema 4 (Teorema di esistenza) Sia dato il problema di Cauchy:

P :

˙x = F (t, x)

x (t0) = x0 , (2.6)

dove F : D → R, essendo D ⊆ R² tale che D = [t1, t2] × (−∞, +∞).

Hp. F ∈ C⁰(D).

Th. ∀ (t⁰, x0) ∈ ˚D, ∃ξ (t) ∈ C¹(I (t0)) | ˙ξ (t) = F [t, ξ (t)]

ξ (t0) = x0 , ∀t ∈ I (t⁰), essendo I (t0) ⊆ [t¹, t2] un intorno di t0.

Osservazione 5 Il teorema 4 garantisce l’esistenza della soluzione localmente, ovvero in un intorno di t0 contenuto in [t1, t2].

Illustriamo quanto detto considerando l’equazione differenziale:

˙x = −x²t (2.7)

per cui F (t, x) = −x²t =⇒ F ∈ C^∞(R²). Pertanto `e verificata l’ipotesi del Teorema di esistenza.

Conseguentemente, comunque prendiamo (t0, x0) ∈ ˚D = R², esiste, in un opportuno intorno I di t0, la soluzione del problema di Cauchy:

P :

˙x = −x²t

x (t0) = x0 6= 0 (2.8)

Per verificare tale asserzione, integriamo innanzitutto la (2.7) per separazione di variabili (cfr.

Appendice §B.1), ottenendo:

x (t, C) = 2 t² + C

(11)

Deve essere:

x (t0, C) = x0, cio`e

2

t²+ C = x0, da cui l’unico valore della costante di integrazione

C0 = 2

x0 − t²0, (2.9)

che individua l’integrale particolare risolvente il problema di Cauchy assegnato. Pi`u precisamente:

ξ (t) = x (t, C0) = 2x0

(t²− t²0) x₀+ 2 (2.10)

Se (t0, x0) ∈ R² sono tali che t₀² − _x²²₀ > 0, la funzione (2.10) `e definita in R −n

±q t²₀− _x²0

o. In tal caso riesce:

I (t₀) =







qt²₀ −_x²0, +∞

, se t²₀− _x²²₀ > 0 e x0 > 0

−q

t²₀− _x²0, +q t²₀− _x²0

, se x0 < 0 (2.11)

Un andamento tipico per t²₀−_x²²₀ > 0 e x₀ > 0 `e riportato in fig. 2.1.

t₀ t²₀- ²

x₀

t²₀- ²

x₀

t x₀

x

Figura 2.1: La curva in rosso è il grafico della soluzione del problema di Cauchy (2.8) per t0 = 2 e x0 = 1. L’altro ramo (curva in blu) non è accettabile, poichè deve essere ξ (t) ∈ C¹(I (t0)).

Per x₀ < 0 un tipico andamento `e illustrato in fig. 2.2.

Notiamo, infine, che la soluzione del problema di Cauchy (2.8) `e unica:

∀ (t⁰, x0) ∈ R², ∃!ξ (t) = 2x₀

(t²− t²0) x0+ 2 | ˙ξ (t) = −tξ (t)²

ξ (t0) = x0 , t ∈ I (t⁰) , (2.12) dove I (t0) è dato dalla (2.11). Tuttavia, il Teorema 4 non garantisce l’unicità della soluzione del problema (2.6). Ciò perchè la continuità della funzione F è condizione necessaria ma non sufficiente

(12)

t²₀- ²

x₀

t²₀- ²

x₀

t x₀

x

t₀

Figura 2.2: La curva in rosso è il grafico della soluzione del problema di Cauchy (2.8) per t0 = 2 e x0 = −1. L’altro ramo (curva in blu) non è accettabile, poichè deve essere ξ (t) ∈ C¹(I (t0)).

per l’unicit`a della soluzione. Ad esempio, mostriamo che il seguente problema di Cauchy:

P :

˙x = 4t√ x

x (t₀) = x₀ > 0 , (2.13)

ha pi`u soluzioni. In (2.13) l’equazione differenziale `e del tipo ˙x = F (t, x) dove F (t, x) = 4t√

x. Tale funzione `e definita in:

D =

(t, x) ∈ R² | −∞ < t < +∞, 0 ≤ x < +∞

= R × [0, +∞) ,

che è il semipiano x ≥ 0 del piano cartesiano tx, e la funzione è ivi continua. Pertanto è verificata l’ipotesi del Teorema di esistenza. Conseguentemente, comunque prendiamo (t0, x0) ∈ ˚D = R × (0, +∞), esiste, in un opportuno intorno I di t0, la soluzione del problema di Cauchy (2.13).

Integrando per separazione di variabili otteniamo l’integrale generale:

x (t, C) = t²+ C2

Deve essere

x (t0, C) = x0 (2.14)

Cio`e:

C± = −t²0 ±√

x0 (2.15)

Ne consegue che il problema di Cauchy (2.13) ammette due soluzioni:

ξ±(t) = ξ (t, C±) = t² − t²0±√x0

2

(2.16) Ci`o implica:

∀ (t⁰, x0) ∈ ˚D, ∃ξ^±(t) = t²− t²0±√ x0

2

| ˙ξ±(t) = 4tp ξ±(t)

ξ±(t0) = x0 , t ∈ R

(13)

Ad esempio, per t₀ = 2, x₀ = 1:

ξ₊(t) = t² − 32

, ξ₋(t) = t²− 52

, il cui grafico `e riportato in fig. (2.3). Risulta:

(2, 1) ∈ ˚D =⇒ ∃ξ⁺(t) = t²− 32

, ξ−(t) = t²− 52

|

˙ξ±(t) = 4tp ξ_±(t) ξ±(2) = 1

t₀ t

x₀ x

Ht₀,x₀L Γ_0,+:x=Ξ+HtL

Γ_0,-:x=Ξ-HtL

Figura 2.3: Grafico delle due soluzioni del problema di Cauchy (2.13) per t0 = 2 e x0 = 1.

Congettura 6 La non unicità della soluzione del problema di Cauchy (2.13) è dovuta alla non continuità della derivata F_x(t, x) in D.

Infatti, Fx(t, x) = 2tx^−1/2 ha una singolarit`a in (t, 0), ∀t ∈ R, i.e. in ogni punto dell’asse t.

Pertanto, l’insieme delle singolarit`a di F_x `e:

S = {(t, x) ∈ R | −∞ < t < +∞, x = 0}

Risulta S ⊂ D, per cui la funzione F^x è continua in D − S ma non in D. In realtà la condizione di continuità della derivata parziale Fx(t, x) è sovrabbondante. Per enunciare una condizione più debole in grado comunque di garantire l’unicità della soluzione del problema di Cauchy (2.4) premettiamo la seguente definizione:

Definizione 7 (Condizione di Lipschitz) Sia f : X → R con X ⊆ R.

f verifica

la condizione di Lipschitz

def

⇐⇒ ∃α > 0 | |f (x^′) − f (x^′′)| ≤ α |x^′− x^′′| , ∀x^′, x^′′ ∈ X (2.17) Il numero reale positivo α si dice coefficiente di Lipschitz.

(14)

Le funzioni che verificano la condizione (2.17) si dicono lipschitziane. Sussiste il seguente teorema per la cui dimostrazione rimandiamo a [2].

Teorema 8

f è lipschitziana in X) =⇒ f è uniformemente continua in X Osservazione 9 La condizione di Lipschitz (2.17) si può scrivere come:

f (x^′) − f (x^′′) x^′− x^′′

≤α, ∀x^′, x^′′∈ X, (x^′ 6= x^′′)

In altri termini, una funzione lipschitziana f ha i rapporti incrementali limitati.

Teorema 10 (Teorema di esistenza ed unicit`a o di Cauchy-Lipschitz) Sia dato il problema di Cauchy:

P :

˙x = F (t, x)

x (t₀) = x₀ , (2.18)

dove F : D → R, essendo D ⊆ R² tale che D = [t1, t2] × (−∞, +∞).

Hp. La funzione F è continua in D ed è lipschitziana rispetto alla variabile x. Cioè, per un assegnato t ∈ [t¹, t2]:

∃α > 0 | |F (t, x^′) − F (t, x^′′)| ≤ α |x^′− x^′′| , ∀x^′, x^′′ ∈ (−∞, +∞) Th. ∀ (t⁰, x0) ∈ ˚D, ∃!ξ (t) ∈ C¹(I (t0)) | ˙ξ (t) = F [t, ξ (t)]

ξ (t₀) = x₀ , ∀t ∈ I (t⁰) , essendo I (t0) ⊆ [t¹, t2] un intorno di t0.

In altri termini, una condizione sufficiente per l’esistenza e l’unicit`a delle soluzioni del problema di Cauchy (2.4), `e che F (t, x) sia lipchitiziana rispetto alla variabile x.

2.2 Sistemi autonomi

Definizione 11 Un sistema dinamico si dice autonomo se la funzione F non dipende esplicitamente dal tempo. Cio`e, se:

˙x = F (x) (2.19)

Per un sistema autonomo l’insieme di punti (2.3) si riduce all’insieme X di definizione di F (x), per cui il problema di Cauchy (2.4) diventa:

P :

˙x = F (x)

x (t0) = x0 (2.20)

Per tale classe di sistemi dinamici, il teorema 10si enuncia:

Teorema 12 (Teorema di esistenza ed unicit`a o di Cauchy-Lipschitz) Hp. F (x) `e lipschitziana

Th. ∀ (t⁰, x0) ∈ ˚D, ∃!ξ (t) ∈ C¹(I (t0)) | ˙ξ (t) = F [ξ (t)]

ξ (t0) = x0 , ∀t ∈ I (t⁰) , essendo I (t0) ⊆ [t¹, t2] un intorno di t0.

(15)

2.3 Sistemi lineari

Definizione 13 Un sistema dinamico ˙x = F (t, x) si dice lineare se la funzione F `e lineare in x.

Cio`e, se:

˙x = α (t) x + β (t) , (2.21)

dove α (t) e β (t) sono funzioni definite in [t1, t2] se F `e definita in [t1, t2] × X. In particolare, se il sistema `e autonomo:

˙x = α0x + β0, α0, β0 ∈ R, con α⁰ 6= 0 (2.22) In altri termini, l’equazione differenziale che determina l’evoluzione temporale di un sistema lineare autonomo `e lineare e a coefficienti costanti.

Se β0 = 0 il sistema

˙x = α0x si dice autonomo, lineare ed omogeneo.

Proposizione 14 Un sistema autonomo lineare `e deterministico.

Dimostrazione.

F (x) = α0x + β0, x ∈ X) =⇒ F ∈ C^∞([y1, y2]) ,

per cui `e sovrabbondantemente verificata l’ipotesi del Teorema di esistenza ed unicit`a.

Nel caso di un sistema lineare ma non autonomo, sussiste la proposizione:

Proposizione 15

α (t) , β (t) ∈ C⁰([t1, t2]) =⇒

il sistema dinamico lineare ˙x = α (t) x + β (t)

`e deterministico

Dimostrazione. La continuit`a di α (t) e β (t) in [t1, t2] garantisce la continuit`a di F (t, x) = α (t) x+

β (t) in D = [t1, t2]×X . Inoltre, riesce continua in D la derivata parziale F^x(t, x) = α (t), per cui F `e lipschitziana rispetto alla variabile x. Per il teorema10segue che comunque prendiamo (t0, u0) ∈ ˚D, esiste (localmente) una ed una sola soluzione del corrispondente problema di Cauchy associato al sistema dinamico ˙x = α (t) x + β (t).

I sistemi dinamici lineari hanno un costo computazionale minimo, nel senso che la loro integrazione `e immediata. Infatti, applichiamo il procedimento standard di integrazione di un’equazione differenziale lineare [3].

˙x = α (t) x + β (t) (2.23)

assumendo che α (t) e β (t) siano funzioni continue in [t1, t2] si ha che il fattore integrante `e:

I (t) = e

−

Z

α(t)dt

Moltiplichiamo primo e secondo membro³ della (2.23) per I (t):

xe

−

Z

α(t)dt

= α (t) xe

−

Z

α(t)dt

+ β (t) e

−

Z

α(t)dt

⇐⇒ d dt



xe

−

Z

α(t)dt



 = β (t) e

−

Z

α(t)dt

3Operazione lecita, in quanto `e I (t) 6= 0, ∀t ∈ [t¹, t2].

(16)

Integrando primo e secondo membro dell’ultima equazione:

x (t, C) e

−

Z

α(t)dt

= Z

β (t) e

−

Z

α(t)dt

dt + C,

avendo incorporato nella costante C i valori delle costanti generate dall’integrazione indefinita a primo e secondo membro. Quindi:

x (t, C) =



 Z

β (t) e

−

Z

α(t)dt

dt + C



 e Z

α(t)dt

(2.24)

La (2.24) è l’integrale generale dell’equazione differenziale (2.23). Dall’ipotesi di continuità di α (t) eb(t) in [t1, t2], segue dalla proposizione15che il sistema dinamico ˙x = α (t) x+β (t) è deterministico, i.e. il problema di Cauchy

P :

˙x = α (t) x + β (t)

x (t0) = x0 , (2.25)

ammette una ed una sola soluzione. Ci`o equivale a dire:

∃!C0 ∈ R | x (t0, C₀) = x₀

Risolvendo l’equazione x (t0, C0) = u0 si ottiene C0 e quindi l’integrale particolare che risolve il problema di Cauchy:

ξ (t) =



 Z

β (t) e

−

Z

α(t)dt

dt + C0



 e Z

α(t)dt

Consideriamo il caso particolare di un sistema autonomo lineare, onde (2.25) si scrive:

P :

˙x = α0x + β0

x (t0) = x0 (2.26)

Senza perdita di generalit`a, supponiamo che F (x) = α₀x + β₀ sia definita in X = (−∞, +∞).

L’integrale generale si ottiene dalla (2.24):

x (t, C) = Ce^α⁰^t− β0

α0

, ∀C ∈ R (2.27)

Geometricamente la (2.27) definisce una famiglia di curve esponenziali ad un parametro. A questo punto siamo in grado di risolvere il problema (2.26). Deve essere:

x (t0, C) = x0 ⇐⇒ Ce^α⁰^t⁰ − β0

α₀ = x0, da cui ricaviamo il valore della costante di integrazione:

C0 =

x0+ β₀ α0

e^−α⁰^t⁰,

che `e il valore della costante di integrazione che individua l’unica soluzione del problema di Cauchy (2.26). Sostituendo tale valore nella (2.27):

ξ (t) = x (t, C0) =

x0+ β0

α0

e^α⁰^(t−t⁰⁾− β0

α0

(2.28)

(17)

Dalla (2.28) segue:

∀ (t⁰, u0) ∈ R², ∃!ξ (t) ∈ C^∞(R) , (2.29)

ξ (t) =

x₀+ β0

α0

e^α⁰^(t−t⁰⁾− β0

α0 | ˙ξ (t) = α0ξ (t) + β0

ξ (t0) = u0 , t ∈ R

Pertanto, nel caso di un sistema autonomo lineare, il teorema di esistenza ed unicit`a garantisce l’unicit`a della soluzione globalmente, i.e. su tutto R. Inoltre, dalla (2.29) vediamo che la soluzione ha un andamento esponenziale, crescente o decrescente a seconda del segno di α0 6= 0.

2.4 Lo spazio delle configurazioni

L’evoluzione dinamica di un sistema autonomo (non necessariamente lineare) pu`o essere studiata nello spazio delle configurazioni. In generale, assegnato un sistema autonomo di ordine n, i.e.

un’equazione differenziale di ordine n in⁴ y (t):

x⁽ⁿ⁾ = F x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾

, (2.30)

con F : D → R, essendo D ⊆ Rⁿ. Il problema di Cauchy si formula nel seguente modo:

P :

x⁽ⁿ⁾ = F x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾

x (t0) = u0, x^′(t0) = u1, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾ = un−1 , (2.31) mentre il teorema di esistenza ed unicit`a:

Teorema 16 (Teorema di esistenza ed unicit`a)

Hp. F `e lipschitziana rispetto alle variabili x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾.

Th. ∀ (u0, u₁, ..., u_n−1) ∈ ˚D, ∃!ξ (t) ∈ C¹(I) | ξ (t) risolve P in un intorno I di t0. Lo spazio delle configurazioni del sistema (2.30) `e:

Rⁿ⁺¹ =

x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁾

| −∞ < x^(k) < +∞, k = 0, 1, ..., n

, (2.32)

ovvero lo spazio euclideo n+1-dimensionale. Sugli assi coordinati riportiamo le grandezze x, x^′, x^′′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾. Nel nostro caso `e n = 1, onde lo spazio delle fasi `e:

R² = {(x, ˙x) | −∞ < x, ˙x < +∞} ,

cioè il piano cartesiano sui cui assi coordinati riportiamo le grandezze x e ˙x. Inoltre è ˙x = F (x) con F definita in D^def= X ⊆ R, per cui è definito il seguente sottoinsieme di R²:

Γ (F ) =

(x, ˙x) ∈ R² | x ∈ X, ˙x = F (x)

, (2.33)

cio`e la curva piana di equazione ˙x = F (x) che `e il diagramma cartesiano della funzione reale F della variabile reale x. Sussiste la seguente definizione:

4Per ovvi motivi quando n > 2, utilizziamo la notazione apicale per le derivate, avendosi:

x⁽ⁿ⁾=dⁿx dtⁿ

(18)

Definizione 17 Il luogo geometrico (2.33) `e la regione dello spazio delle configurazione accessibile al sistema dinamico ˙x = F (x).

Nel caso particolare di un sistema dinamico autonomo deterministico, la regione (2.33) una curva continua e liscia⁵, Per essere pi`u precisi `e una curva regolare (nel senso della geometria differenziale).

Nel caso speciale di un sistema autonomo lineare Γ (F ) `e la retta di equazione⁶ ˙x = α0x + β0. E istruttivo esaminare gli ordini superiori al primo. Ad esempio, per un sistema autonomo del` secondo ordine:

¨

x = F (x, ˙x) , (2.34)

con F : D → R, dove D ⊆ R². Lo spazio delle configurazioni del sistema (2.34) `e:

R³ = {(x, ˙x, ¨x) | −∞ < x, ˙x, ¨x < +∞} ,

cio`e lo spazio ordinario sui cui assi coordinati riportiamo le grandezze x, ˙x, ¨x. La regione dello spazio delle fasi accessibile al sistema (2.34) `e:

Γ (F ) =

(x, ˙x, ¨x) ∈ R³ | (x, ˙x) ∈ D, ¨x = F (x, ˙x)

, (2.35)

cioè la superficie di equazione ¨x = F (x, ˙x). Se F verifica le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità e D è un dominio internamente connesso, segue che Γ (F ) è una superficie regolare.

Infine, la regione dello spazio delle configurazioni accessibile a un sistema autonomo di ordine n

`e:

Γ (F ) =

x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁾

∈ Rⁿ⁺¹ | x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾

∈ D, x⁽ⁿ⁾= f x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾ , cio`e l’ipersuperficie di equazione x⁽ⁿ⁾ = F x, x^′, ..., x⁽ⁿ⁻¹⁾

. Se F verifica le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità e D è un dominio internamente connesso, segue che Γ (F ) è una ipersuperficie regolare.

Applichiamo tali nozioni ai sistemi autonomi (del primo ordine) distinguendo i due casi β0 = 0 e β0 6= 0.

2.5 Caso omogeneo (β

₀

= 0 )

La (2.28) si scrive:

ξ (t) = x0e^±^τc^t =

( x0e^τc^t , se α0 > 0

x0e⁻^τc^t , se α0 < 0 , (2.36) dove abbiamo assunto t0 = 0 e definito la grandezza τc = |α⁰|⁻¹ avente le dimensioni di un tempo⁷. Dalla (2.36) (e, più in generale dalla (2.28)) vediamo che τc è un tempo caratteristico del sistema, nel senso che fissa la scala dei tempi. Per tale ragione τ_c è la costante di tempo del sistema medesimo.

Abbiamo, dunque, una crescita esponenziale per α0 > 0 e una decrescita esponenziale per α0 < 0.

Nelle figg. 2.4-2.5 sono riportati i due casi (assumendo x0 > 0).

5Cio`e priva di interruzioni e di punti angolosi/cuspidali.

6Supponendo che F (x) = α0x+ β0 sia definita in R. Diversamente, cioè se è definita in X ⊂ R la regione dello spazio delle fasi accessibile al sistema è l’insieme di punti:

(y, ˙y) ∈ R²| x ∈ X, ˙y = α⁰y+ β0 , che si identifica con un segmento della retta ˙x = α0x+ β0se X `e un intervallo.

7Ricordiamo, tuttavia, che abbiamo assunto le grandezze x, t adimensionali.

(19)

t Τ_c x₀

x

HΑ₀>0L

Figura 2.4: Andamento della soluzione (2.36) per α₀ > 0 in funzione di _τ^t

c.

t Τ_c x₀

x

HΑ₀<0L

Figura 2.5: Andamento della soluzione (2.36) per α0 < 0 in funzione di _τ^t

c.

(20)

La regione dello spazio delle configurazioni accessibile per il sistema autonomo lineare ed omogeneo

˙x = α0x `e:

Γ (F ) =

(x, ˙x) ∈ R² | x⁰ ≤ x < +∞, ˙x = α⁰x , come illustrato nelle figg. 2.6-2.7.

x₀

x Α₀x₀

x

P_¥

Figura 2.6: Regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema autonomo lineare ed omogeneo ˙x = α₀x nel caso α₀ > 0. Il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale (x0, α0x0).

x₀

x

Α₀x₀ x

P'_¥

Figura 2.7: Regione dello spazio delle fasi accessibile al sistema autonomo lineare ed omogeneo

˙x = α₀x nel caso α₀ < 0. Il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale (x0, ˙x0 = α0x0).

In entrambi i casi α0 > 0 e α0 < 0, il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale (x₀, ˙x₀), essendo ˙x₀ = α₀x₀, i.e. il valore assunto dalla derivata prima di x (t) a t₀ = 0. In simboli:

(x0, ˙x0)evoluzione deterministica−→

P∞, se α0 > 0

P_∞^′ , se α₀ < 0 , (2.37)

(21)

dove:

P∞

def= lim

x→+∞˙x→+∞

(x, ˙x) , P_∞^′ ^def= lim

x→+∞˙x→−∞

(x, ˙x)

2.6 Caso non omogeneo (β

0

6= 0)

Come vedremo in seguito, il caso di interesse fisico `e α0 < 0, β0 > 0, x0 = 0, onde la (2.28) si scrive:

ξ (t) = β0

|α⁰|

1 − e⁻^τc^t

, (2.38)

cio`e la salita esponenziale. Tale denominazione `e giustificata dall’andamento del grafico della soluzione (2.38) riportato in fig.2.8.

t Τ_c -^Β⁰

Α₀

x

Figura 2.8: Andamento della soluzione ξ (t) = _|α^β⁰₀_|

1 − e⁻^τc^t

in funzione di _τ^t

c.

Il comportamento di tale sistema dinamico si esplica, dunque, attraverso un transitorio seguito da una fase di regime. La scala dei tempi del transitorio `e fissata dalla costante di tempo τc, poich`e:

t→+∞lim ξ (t) = β0

|α⁰|

def= ξM

Quindi:

ξ (t) = x_M

1 − e⁻^τc^t

(2.39) Conseguentemente:

ξ (t ≫ τ^c) ≃ x^M

Per discutere il comportamento nel limite opposto (t ≪ τc) `e conveniente normalizzare la funzione (2.39) sul valore xM, dopo aver eseguito il cambio di variabile t (x) = τcx:

g (x) = 1 − e^−x, (2.40)

avendo definito la funzione composta g (x) ^def= ^ξ[t(x)]_x

M = ^ξ(τ_x^c^x)

M . La (2.40) `e una salita esponenziale universale, ossia indipendente dai valori di α0, β0. Per t ∈ (0, ∆) con ∆ ≪ τ^c `e x ∈ (0, δ) con

(22)

δ = ^∆_τ

c ≪ 1. Ci`o ci consente di sviluppare la funzione (2.40) in serie di Taylor troncata al secondo ordine, ottenendo:

g (x) ≃ x − x²

2 , x ∈ (0, δ) (2.41)

Per tempi “brevissimi”, cio`e per t → 0 troviamo il comportamento lineare (serie di Taylor troncata al primo ordine):

g (x) ≃ x (2.42)

In fig. 2.9 riportiamo i tre casi (2.40)-(2.41)-(2.42). Ne consegue che per tempi brevi, la grandezza x aumenta linearmente in funzione del tempo.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x= t Τ_c 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 y

Figura 2.9: Andamento della salita esponenziale universale g (x) = 1 − e^−x (curva blu) con le cor- rispondenti serie di Taylor troncate al secondo (termine quadratico) e al primo ordine rispettivamente (termine lineare).

Ricapitolando, l’unica soluzione del problema di Cauchy:

P :

˙x = − |α⁰| x + β⁰

x (0) = 0 ,

con β0 > 0, `e la funzione (2.38). Discutiamo ora il comportamento nello spazio delle fasi R² = {(x, ˙x) | −∞ < x, ˙x < +∞}. La regione accessibile al sistema `e

Γ (F ) =

(x, ˙x) ∈ R² | 0 ≤ x < x^M, ˙x = − |α⁰| x + β⁰ ,

cio`e il segmento di retta la cui equazione `e ˙x = − |α0| x+β0, e avente per estremi i punti (0, β₀) , (x_M, 0), come illustrato in fig. 2.10.

Ne consegue che il sistema evolve a partire dallo stato iniziale (0, β0) convergendo asintoticamente e deterministicamente allo stato finale (y_M, 0). In simboli:

(0, β0) −→

evoluzione deterministica(xM, 0)

Abbiamo una convergenza asintotica giacch`e lo stato finale (xM, 0) `e raggiunto nel limite per t → +∞.

In simboli:

t→+∞lim (x, ˙x) = (xM, 0) (2.43)

(23)

x_M x Β₀

x

Figura 2.10: Per il sistema autonomo lineare ˙x = − |α0| x + β0, la regione dello spazio delle configurazione accessibile `e il segmento di estremi (0, β0) , (xM, 0).

(24)

Capitolo 3

Macchine ricorsive

3.1 Il metodo di Eulero

L’analisi svolta nel capitolo precedente mostra l’esistenza di due paradigmi alternativi per lo studio dei sistemi dinamici autonomi.

1. Analisi nel dominio del tempo.

Si tratta dell’approccio tradizionale basato sulle equazioni differenziali. Si integra l’equazione

˙x = f (x), studiando la soluzione x (t) quale funzione reale della variabile reale t.

2. Analisi nel dominio delle configurazioni.

L’evoluzione del sistema viene studiata esaminando il “moto” del punto rappresentativo (x, ˙x) lungo la curva Γ (F ).

Per studiare il sistema nel dominio delle configurazioni, dobbiamo esaminare come si sposta il punto (x, ˙x) su Γ (F ). Il punto iniziale è (x0, ˙x0) e per stabilire le posizioni successive dobbiamo procedere per “passi discreti”. Ciò può essere fatto discretizzando la variabile continua t. A tale scopo riprendiamo il problema di Cauchy (2.20)

P :

˙x = F (x)

x (t0) = x0 (3.1)

Assumendo F definita in [x0, +∞) si ha che la regione accessibile al sistema `e:

Γ (F ) =

(x, ˙x) ∈ R² | x⁰ ≤ x < +∞, ˙x = F (x)

, (3.2)

come illustrato in fig. 3.1.

Osserviamo che nel diagramma di fig. 3.1 il tempo t non compare. Ciò perchè ˙x = F (x) anzichè essere vista come un’equazione differenziale che lega la derivata prima _dt^dx (t) alla funzione x (t), è interpretata alla stregua dell’equazione di un luogo geometrico nel piano cartesiano Ox ˙x.

Naturalmente nulla ci impedisce di costruire una successione di stati a partire dallo stato iniziale (x0, ˙x0) = (x0, F (x0)):

{(xⁿ, ˙xn)}n∈N : (x0, ˙x0) , (x1, ˙x1) , (x2, ˙x2) , ... (xn, ˙xn) , ... (3.3) come rappresentato in fig. 3.2.

Tuttavia la (3.3) non fornisce informazioni su come il punto (x, ˙x) = (x, F (x)) si sposta lungo la curva (3.2). Ci`o che ci occorre `e la legge che permette di passare dallo stato (xn, ˙xn) allo stato

(25)

x₀ x x

0

x

Figura 3.1: Regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema autonomo ˙x = F (x). Il sistema evolve dallo stato iniziale rappresentato dal punto P0(x0, ˙x0 = F (x0)).

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

x x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

Figura 3.2: Una possibile successione di stati del sistema dinamico autonomo ˙x = F (x).

(26)

CAPITOLO 3. MACCHINE RICORSIVE

successivo (x_n+1, ˙x_n+1) , ∀n ∈ N. Per ricavare tale legge, osserviamo innanzitutto che l’equazione

˙x = F (x) `e in realt`a la seguente relazione funzionale:

d

dtx (t) = F [x (t)] , t ∈ [t⁰, +∞) , (3.4) o, ci`o che `e lo stesso:

∆t→0lim

x (t + ∆t) − x (t)

∆t = F [x (t)] , t ∈ [t⁰, +∞) (3.5)

Appare chiaro, allora, che per generare una successione di stati del tipo (3.3) `e necessario discretiz- zare la variabile t. Matematicamente ci`o si traduce nell’eseguire una decomposizione dell’intervallo [t0, +∞) che denotiamo con D (t⁰, t1, ..., tN). A tale scopo prendiamo arbitrariamente N istanti t1, t2, ..., tN ∈ (t⁰, +∞) tali che

t0 < t1 < t2 < ... < tN, N ∈ N − {0} (3.6) Quindi:

[t0, tN] =

N −1[

n=0

[tn, tn+1] cosicch`e:

[t₀, +∞) = lim

N →+∞

N −1[

n=0

[t_n, t_n+1] Sia ∆ la norma di D (t⁰, t1, ..., tN), cio`e:

∆ = max

n∈N (tn+1− tⁿ)

Senza perdita di generalit`a, ci riferiamo alle decomposizioni in cui gli intervalli (tn, tn+1) hanno la stessa ampiezza, onde:

tn+1− tⁿ = ∆, ∀n ∈ N, (3.7)

da cui ricaviamo:

tn+1 = tn+ ∆ (3.8)

Ci`o implica:

tn= tn−1+ ∆, (3.9)

e quindi:

tn−1 = tn−2+ ∆, che sostituita nella (3.9) porge:

tn= tn−2+ 2∆

Iterando:

t_n = t₀+ n∆, ∀n ∈ N (3.10)

Per ∆ “sufficientemente piccolo” possiamo approssimare l’intervallo [t0, +∞) con l’insieme numerabile {t0, t₁, t₂, ..., t_n, ...}:

[t0, +∞) −→

0<∆≪1{t⁰, t1, t2, ..., tn, ...} , cosicch`e:

∆t→0lim

x (t + ∆t) − x (t)

∆t ≃ x (t_n+1) − x (tn)

∆

(27)

In tale approssimazione, l’equazione differenziale ˙x = F (x) diventa:

xn+1− xⁿ

∆ = F (xn) , (3.11)

dove xn = x (tn). Dalla (3.11) otteniamo:

xn+1= f∆(xn) , n = 0, 1, 2, ..., (3.12) dove:

f∆(x)^def= x + F (x) · ∆, (3.13)

`e una funzione reale della variabile reale x, definita nello stesso insieme X ⊆ R di definizione di F (x).

La (3.12) rappresenta una soluzione approssimata del problema di Cauchy (3.1). Pi`u precisamente, la (3.12) genera una successione {xⁿ}n∈N di valori approssimati della soluzione di (3.1).

La (3.12) rappresenta la giusta successione di stati attraversati dal sistema durante la sua evoluzione dinamica nel tempo discreto. Dall’Analisi numerica sappiamo che il procedimento appena esposto `e il metodo di Eulero, un algoritmo utilizzato per l’integrazione numerica di equazioni differenziali del primo ordine.

Esempio 18

P :

˙x = x

x (0) = 1 , (3.14)

cioè F (x) = x, che è manifestamente lipschitziana, per cui il problema proposto è compatibile e determinato, i.e. ammette una ed una sola soluzione ξ (t). L’integrale generale dell’equazione differenziale

˙x = x `e

x (t, C) = Ce^t, ∀t ∈ R, dove C `e un’arbitraria costante di integrazione. Deve essere:

x (0, C) = 1 ⇐⇒ C = 1, onde

ξ (t) = e^t, ∀t ∈ R

Ricerchiamo ora una soluzione approssimata con il metodo di Eulero. Abbiamo:

f∆(xn) = xn(1 + ∆) , (3.15)

per cui la (3.12) diventa:

x_n+1= x_n(1 + ∆) , n = 0, 1, 2, ...

x0 = 1 (3.16)

Esplicitiamo alcuni valori:

x0 = 1

x1 = x0(1 + ∆) = 1 + ∆ x2 = x1(1 + ∆) = (1 + ∆)²

...

xn = (1 + ∆)ⁿ,

(28)

1 2 3 4

n 1

5 4 25 16 125 64 625 256

x_n

Figura 3.3: In questo grafico riportiamo i valori (3.17) in funzione di n.

cioè la successione {xⁿ} di elementi di R il cui termine n-esimo è xⁿ = (1 + ∆)ⁿ. Per ∆ = ¹₄ è x_n= ⁵₄n

. Quindi i primi 4 termini sono:

x0 = 1, x1 = 5

4, x2 = 25

16, x3 = 125

64 , x4 = 625

256 (3.17)

In fig. 3.3 riportiamo xn (n = 0, 1, 2, 3, 4) in funzione di n.

Ma a noi interessa x in funzione di tn = n∆ e non di n. In fig. (3.4) riportiamo, dunque, xn in funzione di t_n.

In fig. 3.5 confrontiamo la soluzione esatta x (t) = e^t con quella approssimata.

3.2 Il metodo di K¨ onig-Lemaray

Riprendiamo l’equazione (3.12)

xn+1 = f∆(xn) , n = 0, 1, 2, ... (3.18) essendo:

f∆(x) = x + F (x) · ∆ (3.19)

La (3.18) `e un’equazione di ricorrenza e definisce l’evoluzione del sistema a tempo discreto che simula il comportamento del sistema a tempo continuo governato dall’equazione differenziale ˙x = F (x).

Definizione 19 Chiamiamo macchina ricorsiva M∆ ogni sistema dinamico a tempo discreto associato al sistema dinamico a tempo continuo ˙x = F (x). La funzione (3.19) si dice funzione di trasferimento di M^∆ e si assume definita in X ⊆ R.

Per quanto precede, per un assegnato sistema a tempo continuo ˙x = F (x) esistono infinite macchine ricorsive, ciascuna definita da una norma ∆ > 0.

(29)

1 4

1 2

3

4 1

t_n 1

5 4 25 16 125 64 625 256

x_n

Figura 3.4: In questo grafico riportiamo i valori (3.17) in funzione di tn = n∆ per ∆ = ¹₄..

1 4

1 2

3

4 1

t x₀

x

Figura 3.5: Grafico della soluzione approssimata del problema confrontato con la soluzione esatta (3.14)

(30)

Assegnato lo stato iniziale x₀ ∈ X, il processo di ricorrenza genera, dunque, una successione {xn} di elementi di R:

x1 = f∆(x0)

x2 = f∆(x1) = f∆(f∆(x0)) ...

x_n= f_∆ⁿ(x₀) ...

Qui fⁿ indica la composizione n-esima di una funzione f con se stessa. Cio`e:

fⁿ= f ◦ f ◦ ... ◦ f

| {z }

n

, n = 1, 2, ...

Quindi:

f¹ = f, f² = f ◦ f, f³ = f ◦ f ◦ f, ...

Ne consegue:

fⁿ(x0) = f (f (...f (x0)))

| {z }

n

, n = 1, 2, ...

Esplicitando alcuni valori di n:

f¹(x0) = f (x0) , f²(x0) = f (f (x0)) , f³(x0) = f (f (f (x0))) , ...

In altri termini, lo stato n-esimo del sistema `e il risultato dell’applicazione della composizione n-esima di f∆ sullo stato iniziale x0. Riassumendo:

Sistema a tempo continuo Macchina ricorsiva

˙x = F (x) x (t0) = x0 ∈ X

xn+1 = f∆(xn)

x0 ∈ X , n = 0, 1, 2, ...,

Il metodo di König-Lemaray è un procedimento grafico che permette di visualizzare il processo ricorsivo (3.18) ed è illustrato in fig. 3.6, dove abbiamo considerato la funzione dell’esempio 18.

Proviamo ora ad applicare il suddetto metodo al seguente problema di Cauchy:

P :

˙x = 2√ x

x (2) = 1 , (3.20)

che ammette le due soluzioni¹:

ξ+(t) = (t − 1)², ξ−(t) = (t − 3)² (3.21) Risolviamo lo stesso problema con il metodo di Eulero. In questo caso la funzione da iterare `e:

f∆(x) = x + 2√ x · ∆, per cui

x_n+1 = x_n+ 2√x_n· ∆, n = 0, 1, 2, ...

1La funzione F (x) = 2√

xnon `e lipschitziana, per cui non `e applicabile il Teorema10.