4.4 Tracking
4.4.3 Applicazione alla tavola e verifica del funzionamento
mento
Per applicare questo tipo di controllore alla tavola, `e stato discretizzato il parallelo dei due blocchi (quello dell’integratore e quello di Kalman) e se ne sono ricavate le matrici in rappresentazione di state space. Queste sono state inserite nel DSP tramite l’interfaccia Damping. Sono stati aggiunti, inoltre, tre segnali in ingresso modificabili da utente che rappresentano la traiettoria di riferimento scomposta nelle tre direzioni, denominati rx, ry, rt. Una volta aggiornate le matrici che rappresentano il sistema di controllo si procede a testare il funzionamento. Si osservano le letture degli LVDT nelle direzioni del moto, imponendo una componente della traiettoria alla volta.
Nelle figure 4.15, 4.16, 4.17 e 4.18 si pu`o osservare come il sistema della tavola segua la traiettoria imposta, rispettivamente per un segnale lungo la direzione x, y, θ e per traiettoria nulla.
Si nota inoltre, che le direzioni diverse da quella in cui `e imposto il segnale di riferimento seguono una leggera oscillazione dovuta all’accoppiamento delle componenti, la cui ampiezza risulta comunque trascurabile rispetto al moto indotto. La direzione θ `e quella che si muove di pi`u quando non `e direttamente eccitata, in quanto pi`u difficile da disaccoppiare dalle direzioni traslatorie.
In tabella 4.1 `e riportato il valore RMS degli spostamenti letti dagli LVDT nelle varie configurazioni di traiettoria inviate.
Figura 4.15: Risposta del sistema ad un segnale di traiettoria nella compo- nente x. Nella riga in alto si hanno le componenti della traiettoria imposte ed in basso le letture degli LVDT corrispondenti.
Figura 4.16: Risposta del sistema ad un segnale di traiettoria nella compo- nente y. Nella riga in alto si hanno le componenti della traiettoria imposte ed in basso le letture degli LVDT corrispondenti.
Figura 4.17: Risposta del sistema ad un segnale di traiettoria nella compo- nente θ. Nella riga in alto si hanno le componenti della traiettoria imposte ed in basso le letture degli LVDT corrispondenti.
Figura 4.18: Risposta del sistema ad un segnale di traiettoria nulla. Nella riga in alto si hanno le componenti della traiettoria imposte ed in basso le letture degli LVDT corrispondenti.
rx = 0 mm
ry = 0 mm 6.36 ·10−4 6.36 ·10−4 7.5 ·10−2
rθ = 0 mrad
Tabella 4.1: Valore RMS degli spostamenti letti dagli LVDT per varie configurazioni della traiettoria.
I risultati presenti in tabella 4.1 confermano quanto detto, ovvero che gli spostamenti della tavola nelle direzioni del moto non eccitate sono di due ordini di grandezza pi`u piccoli di quest’ultime, per le direzioni trasversali, mentre per θ la differenza `e molto meno accentuata. Ci`o pu`o essere ricon- dotto alla difficolt`a di disaccoppiare questa direzione dalle altre due. Dai risultati ottenuti con traiettoria nulla si pu`o invece ottenere una stima della precisione del sistema di controllo. Gli spostamenti in questo caso, che dovrebbero essere il pi`u vicino possibile allo zero, risultano dell’ordine di 10−3 mm per le direzioni trasversali e 10−1 mrad per θ.
Tra i fattori che contribuiscono a questi valori vi sono, oltre ai limiti fisici del sistema di controllo, il disaccoppiamento non perfetto tra le direzioni del moto (in particolare per quanto riguarda la direzione θ) ed il contributo del rumore sismico e dei rumori di lettura e di attuazione, che verranno discussi nella prossima sezione.
4.5
Noise budget
A questo punto si procede alla stima dell’ordine di grandezza dei rumori presenti nel sistema.
Questi sono principalmente di tre tipi: - rumore sismico;
- rumore di attuazione; - rumore di misura.
Il primo si trasmette alla tavola tramite la connessione al soffitto, ed `e piuttosto complesso da stimare, mentre dei restanti si conosce la densit`a
Figura 4.19: Schematizzazione dei rumori del sistema. d rappresenta il rumore di attuazione, s quello sismico e m quello di misura.
spettrale di potenza S. Il rumore di attuazione `e quello dell’elettronica che pilota le bobine, mentre quello di misura `e quello dell’elettronica collegata agli LVDT. I valori della radice della densit`a spettrale sono 10−7 V /√Hz per il rumore di attuazione e 3.5 · 10−8 V /√Hz per il rumore di misura, per ogni canale [6]. Le densit`a spettrali riportate sono essenzialmente legate al rumore dei convertitori da digitale ad analogico e da analogico a digitale. Per prima cosa, sono stati stimati i rumori dal modello, per poi effettuare delle misure mirate sulla tavola, in modo da verificarne la coerenza.
4.5.1
Modello
Attraverso SIMULINK `e possibile rappresentare i rumori secondo lo schema in figura 4.19.
Per capire in che proporzione incidano sul sistema si calcola la densit`a spet- trale di potenza in uscita di ciascun contributo e se ne fa un grafico in funzione della frequenza.
La densit`a spettrale di potenza in uscita di ciascun contributo Sout `e data
dalla densit`a spettrale del rumore in ingresso Sinmoltiplicato per il modulo
quadro della sua funzione di trasferimento |T F |2, secondo la formula: Sout(f ) = |T F |
2
· Sin(f ) (4.6)
nella forma in figura 4.20 si calcola tramite la formula [8]: T Fr = Y (s) R(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) (4.7)
Al numeratore si ha la funzione di trasferimento diretta, dal segnale in ingresso all’uscita, mentre al denominatore si ha uno pi`u il prodotto delle funzioni di trasferimento del loop chiuso.
Nel caso presente, facendo riferimento allo schema in figura 4.19, si hanno le seguenti funzioni di trasferimento per i rumori:
T Fd = G 1 + GT (4.8) T Fs= Gd 1 + GT (4.9) T Fm = 1 1 + GT (4.10)
dove del sistema T , che `e il blocco del controllo, sono stati considerati solo gli ultimi tre dei sei ingressi, in quanto i primi tre sono gli ingressi delle componenti della traiettoria di riferimento.
Facendo il calcolo con le quantit`a note si ottiene che ciascun rumore con- tribuisce con una densit`a spettrale in uscita uguale per ogni canale, per cui per fare il confronto tra i rumori `e sufficiente considerare un solo grado di libert`a.
In figura di 4.21 si pu`o osservare il confronto grafico tra le densit`a spettrali in uscita dei diversi rumori, per un canale.
Si osserva che il contributo del rumore sismico risulta maggiore di quelli degli altri due, per frequenze superiori a 10−4 Hz.
Per il nostro sistema, le cui frequenze di risonanza sono dell’ordine di 10−1 Hz si ha quindi una netta prevalenza del rumore sismico rispetto a quello di misura ed a quello di attuazione. Questi possono essere quindi trascurati, essendo la loro densit`a spettrale minore di pi`u di cinque ordini di grandezza rispetto a quella del rumore sismico, nella banda in cui si lavora.
Figura 4.21: Confronto grafico tra le densit`a spettrali in uscita dei singo- li rumori, per un grado di libert`a. Rumore sismico in rosso, rumore di attuazione in blu e di misura in nero.
4.5.2
Errore sistematico
Per verificare il contributo del rumore nel sistema, si impone la traiet- toria nulla e si studiano i segnali in uscita, che sono mantenuti pi`u vicino possibile allo spostamento nullo dal sistema di controllo. Il rumore residuo comunque presente sui canali rappresenta una stima dell’errore sistematico dell’apparato.
Per ciascuna uscita del sistema, ovvero per ogni LVDT, si procede acquisen- do l’andamento dello spostamento nel tempo con l’imposizione di traiettoria nulla. Il passo successivo `e il calcolo degli RMS, che viene effettuato con Matlab. Il tempo di osservazione `e stato scelto di 60 secondi.
I risultati ottenuti sono riportati in tabella 4.2 e rappresentano gli errori sulla traiettoria nulla.
uscita RMS misurato (mm)
LVDT1 6.82 ·10−4
LVDT2 6.04 ·10−4
LVDT3 6.21 ·10−4
Tabella 4.2: Valore RMS degli spostamenti letti dagli LVDT per traiettoria nulla.
I valori ottenuti rappresentano la sensibilit`a del sistema allo spostamen- to.
(mm) (mm)
LVDT 1 6.82 ·10−4 1.53 ·10−4
LVDT 2 6.04 ·10−4 1.81 ·10−4
LVDT 3 6.21 ·10−4 2.10 ·10−4
Tabella 4.3: Confronto tra RMS misurati con traiettoria nulla e calcolati da modello.
Si osserva che i valori RMS misurati e calcolati risultano dello stesso ordine di grandezza, suggerendo un buon accordo tra sistema e modello. Il fattore 2/3 `e dovuto alla sottostima del rumore sismico introdotto nel modello.
Si osserva inoltre, che sono confermate le considerazioni della sezione pre- cedente, in quanto il contributo del rumore sismico risulta nettamente su- periore a quello degli altri due.
Uscita RMS calcolato RMS calcolato RMS calcolato RMS calcolato
totale (mm) sisma (mm) misura (mm) attuazione (mm)
LVDT 1 1.53 ·10−4 1.53 ·10−4 2.76 ·10−13 1.69 ·10−16
LVDT 2 1.81 ·10−4 1.81 ·10−4 2.76 ·10−13 1.77 ·10−16
LVDT 3 2.10 ·10−4 2.10 ·10−4 2.76 ·10−13 1.67 ·10−16
Tabella 4.4: Confronto tra RMS calcolato totale e le singole componenti.
Posizionamento del giroscopio
Una volta studiate a fondo le caratteristiche del sistema della tavola e del modello ad esso associato, si procede al suo utilizzo operativo, posizio- nando il giroscopio e utilizzando l’apparato per verificarne le caratteristiche presentate nel datasheet fornito dal costruttore [14].
5.1
Il giroscopio
Il sensore a disposizione `e un giroscopio del tipo HRG, Hemispherical Resonator Gyroscope, una classe di dispositivi che hanno avuto applicazio- ne anche in numerose missioni spaziali, tra le quali la sonda Cassini [12]. Questo tipo di sensore `e stato sviluppato ed `e tutt’ora utilizzato soprattutto nel campo della navigazione inerziale, che sfrutta un insieme di computer e dispositivi tra cui giroscopi ed accelerometri, per stimare posizione, velocit`a ed orientamento di un mezzo come un aereo, una nave o un satellite, senza sfruttare riferimenti esterni.
Il giroscopio di cui sono state studiate le caratteristiche fornite nel datasheet `
e il modello GI-CVG-U2210A della Innalabs, una casa produttrice che ha sede in Irlanda (figura 5.1). Si tratta del modello a due assi, che `e sensibi- le alla velocit`a angolare lungo due direzioni perpendicolari tra loro (figura 5.2).
All’interno del giroscopio vi sono due Sensitive Elements (SE), uno per ogni asse, che consistono di un risonatore di forma cilindrica con due modi degeneri risonanti del secondo ordine che vengono eccitati [20]. I due modi di risonanza oscillano assumendo forma ellittica con quattro nodi e quattro antinodi collocati lungo il bordo come mostrato in figura 5.3.
Ciascun SE viene eccitato in modo che il primo modo (Mode 1) sia mante- nuto ad ampiezza costante, mentre il secondo (Mode 2) viene utilizzato per rilevare la rotazione. Quando il giroscopio `e sottoposto a rotazione lungo uno dei suoi assi, un sistema di controllo, detto Force Rebalanced Mode, fornisce una forza tale da annullare l’oscillazione del secondo modo. L’in- tensit`a di questa forza applicata risulta proporzionale al rate di rotazione a cui il sensore `e sottoposto e fornisce quindi il valore della velocit`a angolare
Figura 5.1: Giroscopio a due assi GI-CVG-U2210A, Innalabs.
Figura 5.2: Giroscopio a due assi.
imposta sul dispositivo.
5.2
Verifica delle caratteristiche del datasheet
Il giroscopio viene fissato al centro della tavola, nel punto di origine delle coordinate scelte, in modo che i suoi due assi perpendicolari coincidano con le direzioni x ed y del set-up.
Le caratteristiche studiate e confrontate coi valori forniti dal datasheet sono le seguenti:
- fattore di calibrazione; - densit`a spettrale di rumore;
- risposta a moto imposto in varie direzioni; - sensibilit`a all’accelerazione lineare.
Tutte le caratteristiche sopraelencate sono state studiate utilizzando le fun- zionalit`a implementate nell’apparato progettato e costruito in questo lavoro di tesi. La valutazione di queste propriet`a ha il doppio scopo di studiare il giroscopio e di verificare il buon funzionamento del set-up.
5.2.1
Fattore di calibrazione
Per misurare il fattore di calibrazione del giroscopio `e stato imposto al sistema un segnale sinusoidale a 0.1 Hz, valore selezionato in quanto lonta- no dalla frequenza di risonanza del sistema, lungo una direzione del moto scelto.
Per prima cosa `e stata verificata la differenza di fase tra il segnale di spo- stamento fornito dal LVDT nella direzione del moto scelta e la lettura del canale corrispondente del giroscopio. Essendo la velocit`a la derivata dello spostamento, si deve ottenere una differenza di fase tra i due segnali pari a 90◦.
Come si vede in figura 5.4, questa condizione risulta verificata, in quanto nello stesso istante, ad un massimo dello spostamento corrisponde lo zero della velocit`a angolare. Successivamente sono state misurate le ampiezze dei due segnali, in modo da trovare il fattore di calibrazione sfruttando l’equazione 2.3, ricavata nella sezione 2.1:
˙
ϕ = ∆R
Rd · ωx (5.1)
con ˙ϕ valore di picco della velocit`a angolare calcolata da spostamento noto, x valore di picco della lettura del LVDT, ∆R, R, d dimensioni geometriche del sistema come in figura 2.1. Il fattore di calibrazione si calcola quindi
Figura 5.4: Differenza di fase tra lo spostamento letto dal LVDT (in alto) e la velocit`a angolare fornita dal giroscopio (in basso), per movimento sinu- soidale imposto lungo una direzione scelta. La linea rossa unisce due punti corrispondenti allo stesso istante di tempo.
facendo il rapporto tra il valore di picco della velocit`a angolare letta dal giroscopio e quello calcolato tramite l’equazione precedente, nel modo:
CF = ϕ˙mis ˙ ϕcalc = ∆Rϕ˙mis Rd · ωx (5.2)
con CF fattore di calibrazione e ω = 2πf con f frequenza scelta, ovvero 0.1 Hz.
Il metodo viene applicato ad entrambe le direzioni del moto in cui il sensore `
e sensibile e porta ai risultati presentati in tabella 5.1.
CFx CFy
Misure 187 mV/(◦/s) ± 10% 186 mV/(◦/s) ± 10% Datasheet 200 mV/(◦/s) ± 3% 200 mV/(◦/s) ± 3%
Tabella 5.1: Confronto tra i valori misurati del fattore di calibrazione e quelli presenti nel datasheet.
I valori dei fattori di calibrazione misurati risultano in ottimo accordo con quelli forniti nel datasheet.
Figura 5.5: Densit`a spettrale di rumore del sensore, come presentata sul datasheet.
Questi fattori sono stati applicati nel seguito di questa analisi in modo da avere la giusta proporzione tra le ampiezze dei segnali di di lettura degli LVDT e del giroscopio. In questo modo si ottengono anche le giuste unit`a di misura per la velocit`a angolare.
5.2.2
Densit`a spettrale di rumore
Il costruttore ha inserito nel datasheet un grafico che raffigura la densit`a spettrale di rumore del sensore, che viene riportato in figura 5.5. Si osserva che la distribuzione risulta centrata su valori di frequenza pi`u alti di quelli solitamente considerati in questa analisi e che questi superano i 10 Hz, fre- quenza superiore alla banda scelta per il nostro sistema, ovvero circa due decadi a cavallo delle frequenze dei modi fondamentali.
Per ottenere la densit`a spettrale di potenza dal dispositivo posto sulla ta- vola, si manda agli attuatori il segnale corrispondente alla traiettoria nulla, in modo da mantenere il sistema pi`u fermo possibile, compatibilmente coi limiti sistematici del controllo. In questo modo si ottiene la distribuzione in figura 5.6, relativa al canale del giroscopio corrispondente a spostamento angolare lungo l’asse x. Per l’altro canale, `e stato verificato che si ottiene la stessa distribuzione. Per effettuare il confronto tra le due distribuzioni, quella misurata e quella del datasheet, `e stato quindi selezionato il ran- ge comune, scartando i valori a bassa frequenza non presenti nella densit`a spettrale del datasheet, e quelli maggiori di 10 Hz, che sono filtrati in quella misurata tramite il set-up. Il confronto nel range 1 - 10 Hz `e visibile in figu-
Figura 5.6: Densit`a spettrale di potenza del sensore misurata tramite il set-up.
Figura 5.7: Confronto nel range 1 - 10 Hz della densit`a spettrale di potenza.
ra 5.7. Osservando la figura si nota che le due distribuzioni sono in accordo, nel range selezionato. Si ha, infatti, un valore di circa 10−8(◦/sec)2/Hz in
corrispondenza di 7 Hz per entrambe. Analogamente, tutte e due assumono circa il valore 10−10(◦/sec)2/Hz per la frequenza di 1 Hz.
5.2.3
Risposta al moto imposto in varie direzioni
In questa sezione si studia la risposta del giroscopio all’imposizione di traiettorie note. Per ciascuna direzione `e stato mandato in ingresso un se- gnale sinusoidale a frequenza 0.1 Hz, in modo da provocare uno spostamen- to angolare nella stessa direzione. I canali del giroscopio sono denominati gx e gy, dove il pedice si riferisce alla direzione in cui `e orientato l’asse del
Figura 5.8: Risposta allo spostamento per un segnale sinusoidale imposto nella direzione x a 0.1 Hz. In alto a sinistra vi `e il canale gy, sensibile allo
spostamento lungo x, in alto a destra il canale gx, sensibile a quello lungo
y. In basso vi sono gli spostamenti lungo x (sinistra) e y (destra).
pendicolare. Ci`o significa che il canale gx ha l’asse orientato nella direzione
x ed `e sensibile alla velocit`a angolare nella direzione y. Discorso speculare vale per l’altro canale.
Si applica per comodit`a una conversione ai canali in uscita del giroscopio per ottenere i valori in rad/s piuttosto che in◦/sec. In figura 5.8 si osservano le risposte dei canali del giroscopio e degli LVDT per un segnale sinusoidale a 0.1 Hz imposto nella direzione x.
Come ci si aspetta, per segnale inviato lungo la direzione x si ha una risposta solo nel canale gy del giroscopio. In figura 5.9 si ha la situazione
analoga con segnale sinusoidale lungo y.
Anche in questo caso, si ha una conferma di ci`o che era atteso, osservando segnale solo nel canale gx del giroscopio.
Una ulteriore prova, del fatto che i canali del giroscopio siano sensibili solo alla velocit`a angolare nella direzione in cui sono sensibili, si attua inviando in segnale sinusoidale nella direzione θ, sempre a 0.1 Hz. In questa situa- zione si ha spostamento angolare lungo la direzione θ stessa, per cui ci si aspetta che entrambi i canali del giroscopio non percepiscano movimento. In figura 5.10 si osserva come questa ipotesi sia confermata.
Per ottenere un’ulteriore conferma del fatto che ciascun canale del girosco- pio sia sensibile solo al moto angolare nella direzione perpendicolare al suo asse, si studiano gli spettri per i due canali per le configurazioni precedenti, al variare per`o della frequenza del segnale sinusoidale. Ci si aspetta che gli
Figura 5.9: Risposta allo spostamento per un segnale sinusoidale imposto nella direzione y a 0.1 Hz. In alto a sinistra vi `e il canale gy, sensibile allo
spostamento lungo x, in alto a destra il canale gx, sensibile a quello lungo
y. In basso vi sono gli spostamenti lungo x (sinistra) e y (destra).
spettri presentino dei picchi in corrispondenza della frequenza del segnale imposto, quando questo `e inviato nella direzione perpendicolare all’asse del canale in questione. In configurazioni diverse da questa appena descritta, ci si aspetta una totale assenza di picco.
In figura 5.11 si osserva come questa ipotesi sia verificata. `E il caso infatti, di spettro creato per il canale gy nel caso in cui vi sia il segnale sinusoidale
lungo la direzione x. Come atteso si osservano i picchi in corrispondenza delle frequenze del segnale, scelte pari a 0.1 Hz, 0.2 Hz, 0.4 Hz e 0.8 Hz.
In figura 5.12, che rappresenta la stessa configurazione precedente ma relativa al canale gx, si nota come i picchi presenti nell’altro canale siano
completamente assenti, per ogni valore della frequenza del segnale sinusoi- dale della traiettoria imposta, come atteso.
In figura 5.13 e 5.14 si ha la situazione analoga a quanto appena studiato, nel caso in cui il segnale sinusoidale venga imposto lungo la direzione y. Si osserva che, come previsto, lo spettro del canale gx presenti i picchi in
corrispondenza delle frequenze del segnale, mentre questi siano assenti per il canale gy.
5.2.4
Sensibilit`a all’accelerazione lineare
In questa fase `e stato calcolato un limite superiore della sensibilit`a del giroscopio per una accelerazione lineare imposta nella direzione del suo asse.
Figura 5.10: Risposta allo spostamento per un segnale sinusoidale imposto nella direzione θ a 0.1 Hz. In alto a sinistra vi `e il canale gy, sensibile allo
spostamento lungo x, in alto a destra il canale gx, sensibile al quello lungo
y. In basso vi sono gli spostamenti lungo x (sinistra) e y (destra).
Figura 5.11: Spettri del canale gy per sollecitazione sinusoidale a varie
Figura 5.12: Spettri del canale gx per sollecitazione sinusoidale a varie
frequenze nella direzione x. Risonanze assenti.
Figura 5.13: Spettri del canale gx per sollecitazione sinusoidale a varie
Figura 5.14: Spettri del canale gy per sollecitazione sinusoidale a varie
frequenze nella direzione y. Risonanze assenti.
Eccitando ciascuna direzione del moto tramite segnale sinusoidale, si calcola il valore dell’accelerazione lineare ottenuta, sfruttando il fatto che l’accele- razione `e la derivata seconda dello spostamento. Si calcola poi l’RMS del rumore nel canale del giroscopio il cui asse `e parallelo alla direzione del mo- to. Si ottengono in questo modo i risultati seguenti:
amaxx = 1.546 · 10
−4 m/s2 a cui corrisponde un RMS = 0.52 · 10−5 rad/s nel
canale gx.
amaxy = 1.546 · 10
−4 m/s2 a cui corrisponde un RMS = 1.39 · 10−5 rad/s nel
canale gy.
Si tratta di limiti superiori in quanto il rumore nei canali del giroscopio `e dovuto a diverse cause, tra cui lo spostamento, minimo ma presente, del sistema lungo le direzioni del moto non eccitate, dovuto all’accoppiamento residuo delle direzioni e alla sensibilit`a del controllo.