Applicazioni delle leggi di NEWTON

Regole da utilizzare nella soluzione di problemi che richiedono l’uso delle leggi di NEWTON

1. Individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto.

In qualche problema è presente più di un punto materiale: le operazioni descritte ai successivi punti dal 2 al 6 vanno ripetute per ogni punto materiale presente nel problema.

2. Stabilire il sistema di riferimento inerziale che si intende utilizzare per lo studio del moto

In molti problemi si farà uso del sistema del laboratorio, ma in qualche altro caso come nei problemi di gravitazione converrà usare un sistema geocentrico (moto della luna e dei satelliti artificiali) o eliocentrico (moto della terra, moto dei pianeti). In qualche altro caso, come per descrivere moti che avvengono in un treno, su una nave, si potranno usare dei sistemi di riferimento legati al treno, alla nave etc purchè questi oggetti si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto al sistema del laboratorio, altrimenti occorrerà considerare sempre il sistema del laboratorio.

3. Determinare tutte le forze agenti sul punto materiale sotto osservazione.

Per ricercare le forze dobbiamo tener presente che nei sistemi di riferimento inerziali le forze sono forze di interazione, nel senso che oltre ad esserci il corpo che le subisce (il corpo sotto osservazione) per ciascuna forza si può determinare il corpo che la origina. Per ricercare le forze agenti sul corpo sotto osservazione occorre quindi guardare nell’ambiente circostante il corpo stesso ed individuare quei corpi che possono dare origine a forze.

È utile tener presente che le forze si possono suddividere in

1. forze che agiscono a distanza (non è richiesto il contatto tra il corpo che origina la forza ed il corpo che la subisce). Per esempio la forza peso, la forza di gravitazione universale, la forza elettrostatica tra cariche elettriche, la forza di Lorentz.

2. forze di contatto (agiscono solo se c’è contatto tra il corpo che origina la forza ed il corpo che la subisce). Per esempio la reazione vincolare (composta dalla componente normale al vincolo N e dalla componente parallela, la forza di attrito), la tensione della corda, la forza elastica, la resistenza passiva.

Pertanto, una volta riconosciute le forze che possono agire a distanza, basta guardare i corpi a contatto con il corpo sotto osservazione.

Nel determinare le forze agenti sul corpo si suggerisce di localizzare il corpo stesso in una posizione possibilmente diversa sia da quella iniziale che da quella finale, una posizione intermedia scelta arbitrariamente.

4. Costruire il diagramma del corpo libero.

È utile raffigurare con dei vettori le forze agenti sul corpo in quanto questa operazione semplifica quella prevista dal successivo punto 6.

Molto spesso vengono semplicemente riportate le forze nello schizzo che raffigura la situazione fisica in cui avviene il moto ed in cui sono rappresentati tutti i vincoli presenti.

Si suggerisce comunque di raffigurare le forze agenti sul punto materiale oggetto dell’osservazione in uno schizzo in cui non sono rappresentati né i vincoli, né i dispositivi utilizzati per applicare le forze, molle, corde, etc.

Lo schizzo così costruito si chiama diagramma del corpo libero. 5. Scrivere la seconda legge della dinamica (in forma vettoriale).

∑

^{F r} =mr a

6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoriale).

Ogni equazione vettoriale è equivalente a tre equazioni scalari ottenute eguagliando le componenti dei vettori lungo tre direzioni tra loro ortogonali.

r F

∑

( )

x =

( )

mr a x r F

∑

( )

y =

( )

mr a y r F

∑

( )

z =

( )

mr a _z

Per proiettare la seconda legge della dinamica non è necessario utilizzare gli assi del sistema di riferimento inerziale utilizzato per scriverla. Infatti quando due vettori sono uguali devono essere uguali anche le loro componenti lungo una qualsiasi delle infinito alla tre direzioni dello spazio. Per trovare le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale di partenza basta eguagliare le componenti dei vettori lungo tre direzioni

arbitrariamente scelte purché perpendicolari tra loro.

È chiaro quindi che si ha la massima libertà nella scelta delle direzioni degli assi su cui proiettare l’equazione vettoriale. Ricordando che: r F

∑

( )

x =

∑

Fx r F

∑

( )

y =

∑

Fy r F

∑

( )

z =

∑

Fz mr a

( )

x =ma_x mr a

( )

y=ma_y mr a

( )

z=ma_z

∑

Fx =ma_x ⇒

∑

Fy =ma_y

∑

Fz =ma_z 7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema,

− se due corpi sono connessi da una corda ideale, quindi di lunghezza costante, è possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le loro velocità e le loro accelerazioni.

− Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti dell’accelerazione sono nulle.

− In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dell’accelerazione sono nulle.

− Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la componente normale dell’accelerazione vale a_n = ^v2

r ^{(v=modulo della velocità, r raggio di curvatura della traiettoria).}

− Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo:

1. Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge. 2. Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda.

− Etc.

8. Determinare le componenti dell’accelerazione o, detto in altri termini, le accelerazioni dei punti proiezione nei loro moti rettilinei sugli assi coordinati.

F

∑

x =ma_x F

∑

y =ma_y F

∑

z =ma_z ⇒ a_x =

∑

^Fx m a_y =

∑

^Fy m a_z =

∑

^Fz m 9. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate.

1. se qualcuna delle componenti dell’accelerazione è costante, allora vuol dire che il moto del punto proiezione sull’asse considerato è un moto uniformemente accelerato.

2. L’accelerazione è costante se tutte le grandezze da cui dipende sono delle costanti: per esempio m,g,µ_s, µ_c, senθ (con θ costante), etc.. Per essere costante l’accelerazione non deve dipendere dal tempo o da grandezze dipendenti dal tempo come la posizione o la velocità.

3. Se qualcuna delle componenti dell’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione corrispondente allora il moto è armonico.

4. Se qualcuna delle componenti dell’accelerazione è proporzionale all’opposto della corrispondente componente della velocità, il moto lungo quella direzione è smorzato.

5. Se nessuno di questi casi particolari è verificato occorre procedere con la risoluzione delle equazioni differenziali.

Moto uniforme Accelerazione nulla a_x=0 x=x_o+v_xot v_x =v_xo Moto uniformemente accelerato Accelerazione costante: a_x=costante ^x=x_o+v_xot+¹ 2^axt 2 v_x =v_xo +a_xt

Moto armonico Accelerazione proporzionale all’opposto della posizione:

a_x = −ωp 2

x

x=Acos

(

ω_pt+ϕ_o

)

v_x =−Aωpsen

(

ωpt+ϕo

)

Moto smorzato Accelerazione proporzionale all’opposto della velocità

a_x = −γv_x v_x =v_xoe^−γt x=x_o+^vxo γ ^1−e −γt

( )

10. Scrivere le leggi orarie facendo attenzione ad inserire correttamente le condizioni iniziali.

Se qualcuna delle condizioni descritte al punto 9 è verificata si può passare a scrivere la corrispondente legge oraria sulla base della corrispondenza mostrata nella tabella precedente. Altrimenti andranno risolte le tre equazioni differenziali se dovessero risultare indipendenti o il sistema di equazioni differenziali in caso contrario.

Vanno individuate infine le condizioni iniziali, cioè la posizione e la velocità all’istante di tempo iniziale (generalmente l’istante t=0 s) per ciascuno dei corpi presenti nel problema e, sulla base di queste, vanno determinati i parametri liberi nelle soluzioni generali.

11. Determinare le forze mancanti.

Quando sul corpo agiscono reazioni vincolari, con componente normale e forza di attrito, oppure la tensione di una corda, poiché queste forze non sono note a priori esse vanno determinate sulla base delle tre equazioni scalari descritte precedentemente.

Ho voluto riassumere in questo paragrafo la procedura da seguire per la soluzione dei problemi che richiedono l’applicazione delle leggi di Newton. Per apprezzarne la loro utilità è necessario applicarle ad un caso concreto. Si prega pertanto di rileggere questo paragrafo dopo aver seguito alcuni degli esempi proposti o aver svolto qualche problema.

Moto sul piano inclinato.

Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore θ_s=30° il corpo inizia a muoversi. Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valore θ_s=30°, si osserva che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene rapidamente diminuita e portata al valore

θ_d=25°, il moto risulta essere rettilineo uniforme. Determinare i

valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico µ_s e µ_d tra il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a θ_s=30°.

Cerchiamo in questo esempio di utilizzare la procedura illustrata nel paragrafo precedente. 1. individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto.

Nel nostro caso si tratta del corpo di massa m poggiato sul piano inclinato.

2. fissare il sistema di riferimento inerziale. Per moti che avvengono nel laboratorio si può scegliere il sistema del Laboratorio. Ovviamente siamo liberi di scegliere l'orientazione del sistema di riferimento in maniera tale da semplificare i calcoli. Nel nostro caso, per esempio, possiamo scegliere un sistema riferimento il cui piano xy sia il piano verticale contenete la normale al piano stesso, l'asse y coincidente con la normale al piano, l'asse x parallelo al piano, diretto verso la base del piano, e l'asse z diretto in maniera da formare una terna destrorsa. Possiamo anche fissare l'origine del sistema di riferimento coincidente con la posizione del punto

θ

m

y

materiale all'inizio del moto.

3. determinare tutte le forze che agiscono sul corpo.

Per trovare le forze occorre guardare ai corpi che sono intorno al corpo di massa m.

1. interazioni a distanza: l’aggettivo inclinato, riferito al piano, presente nella traccia ci fa capire che siamo nelle vicinanze della superficie terrestre (infatti aggettivi come orizzontale, verticale e inclinato hanno solo significato sulla superficie terrestre). Il corpo di massa m sarà dunque soggetto alla forza peso P ^r =mr g . 2. Interazioni con contatto: il corpo di massa M è a contatto con il piano inclinato. E’ logico attendersi una

interazione tra il corpo di massa m ed il piano inclinato.

Dato che il piano inclinato costituisce un vincolo al moto del corpo di massa m, la forza che il piano inclinato eserciterà sul corpo di massa m è la reazione vincolare.

Questa avrà sia la componente normale N ^r che la componente tangente, la forza di attrito F ^r _a.

Per piccoli valori dell’angolo di inclinazione, fino all’angolo di θ_s=30°, la forza di attrito sarà di attrito statico. Ovviamente quando il corpo si muove la componente parallela della reazione vincolare sarà di attrito dinamico.

La direzione della forza di attrito statico è determinata della componente parallela al piano della forza agente sul corpo, che nel nostro caso è la forza peso. Quest'ultima può essere decomposta in una componente normale ed una parallela al piano. La componente parallela è contenuta nel piano xy, il piano verticale contenente anche la normale al piano inclinato. Anche la forza di attrito statico giace in questo piano. Quando l'angolo del piano inclinato viene aumentato, la componente parallela al piano della forza peso aumenta fino a diventare più grande della massima10 forza di attrito che il piano può esercitare: a questo punto il corpo si mette in movimento. Siccome il corpo parte da fermo, il suo moto avverrà nella direzione della componente parallela della forza peso. Ne deriva che il moto avviene nel piano verticale contenente la normale al piano inclinato. La forza di attrito dinamico, che si oppone al moto, è anch'essa contenuta in questo piano.

10 Si osservi che anche la normale N diminuisce. Con l’aumentare dell’angolo diminuisce anche la massima forza di attrito che il piano inclinato può esrcitare, perché diminuisce N.

P N Fa

4. costruire il diagramma del corpo libero:

in un diagramma separato si riportano nel sistema di riferimento fissato, le forze che agiscono sul punto materiale. P N Fa y x 5. applicare la seconda legge di Newton in forma vettoriale.

^{P r} +N ^r +F ^r _a =mr a

6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica. x mgsenθ− F_a =ma_x

y N−mgcosθ = ma_y z 0=ma_z

7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema,

Per θ leggermente minore, per esempio un infinitesimo più piccolo, di θ_s, il corpo è ancora fermo, cioè a_x è uguale a zero, mentre la forza di attrito statico F_s è solo un infinitesimo più piccola di quella massima. Si può scrivere che:

θ ≅ θs⇒^ax =0 F_a =F_s^max Inoltre, poiché il corpo è fermo, anche a_y=0

8. Determinare le accelerazioni dei punti proiezione.

9. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate 10. Scrivere le leggi orarie.

Possiamo tralasciare nel nostro caso questi tre punti perché sappiamo che il corpo è fermo. 11. Determinare le forze mancanti.

Utilizzando le equazioni scritte al punto 6 e le condizioni riportate al punto 7 troviamo: F_a^max =mgsenθ_s N=mgcosθ_s

Ricordando che il modulo della forza di attrito statico massima e data da: F_a^max = µsN possiamo ricavare il coefficiente di attriti statico:

µs= ^Fa max N = ^mgsenθs mgcosθ_s ⁼ senθs cosθ_s ^=tanθs

Il coefficiente di attrito statico è proprio uguale alla tangente dell’angolo limite θ_s (µ_s=0.58). Consideriamo ora il caso in cui l’angolo θ_s viene ridotto al valore θ_c.

I punti dall’uno al sei sono esattamente uguali a quelli del caso predente ad eccezione del fatto che in questo caso la forza di attrito da considerare è quella di attrito dinamico.

6bis. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica. x mgsenθ− F_a =ma_x

y N−mgcosθ = ma_y z 0=ma_z

7bis. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema, 1. Essendo l’attrito dinamico, il modulo della forza di attrito dinamico vale:

F_a =µ_dN 2. L’inclinazione del piano inclinato è θ_d.

3. Poiché la traccia afferma che quando l’angolo è θ_d il moto è uniforme allora vuol dire che in questo caso a_x è uguale a zero.

a_x =0

4. Poiché durante il moto il corpo si mantiene sempre a contatto con il piano inclinato, questo vuol dire che la sua coordinata y, nel sistema di riferimento adottato, non cambia. Pertanto la componente y della velocità è costante ed è uguale zero, e anche la componente y della accelerazione è nulla, visto che la corrispondente componente della velocità non varia (è sempre uguale a zero).

a_y =0 8bis. Determinare le accelerazioni dei punti proiezione.

9bis. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate 10bis. Scrivere le leggi orarie.

Anche in questo caso possiamo tralasciare questi tre punti perché sappiamo già dalla traccia che il moto è uniforme.

Forse vale la pena soffermarsi un’attimo sulla equazione del moto lungo l’asse z: 0=ma_z

Questa equazione ci dice che il moto lungo l’asse z è un moto uniforme. La legge oraria di un moto uniforme è:

z(t)=z_o+v_zot

Dalla traccia ricaviamo che il corpo parte da fermo: al tempo t=0 (s) v_zo=0 (m/s) e la posizione z_o=0(m). Pertanto z(t) è costantemente uguale a zero. Il moto avviene nel piano xy, anzi in questo caso solo lungo l’asse x.

z(t)=0 (m) 11bis. Determinare le forze mancanti.

Utilizzando le equazioni scritte al punto 6bis e le condizioni riportate al punto 7bis troviamo: F_ad =mgsenθ_d N=mgcosθ_d Da cui ricaviamo: µ_d =^Fad N = ^mgsenθd mgcosθd =^senθd cosθd =tanθ_d

Consideriamo ora il terzo caso in cui l’angolo θ_s viene mantenuto al valore limite di 30°.

I punti dall’uno al sei sono esattamente uguali a quelli dei casi predenti tenendo però conto del fatto che in questo caso la forza di attrito da considerare è quella di attrito dinamico.

6ter. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica. x mgsenθ− F_a =ma_x

y N−mgcosθ = ma_y z 0=ma_z

7ter. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema, 1. L’inclinazione del piano inclinato è θ_s.

2. La forza di attrito da considerare è quella di attrito dinamico, il modulo della forza di attrito dinamico vale: F_a =µ_cN

3. Poiché durante il moto il corpo si mantiene sempre a contatto con il piano inclinato, questo vuol dire che la sua coordinata y, nel sistema di riferimento adottato, non cambia. Pertanto la componente y della velocità è costante ed è uguale zero, e anche la componente y della accelerazione è nulla, visto che la corrispondente componente della velocità non varia (è sempre uguale a zero).

a_y =0

4. Per quanto riguarda il punto proiezione sull’asse z valgono le considerazioni svolte precedentemente al punto 10bis. Ne risulta che il moto del punto materiale è un moto rettilineo sull’asse x.

8ter. Determinare le accelerazioni dei punti proiezione.

In questo caso siamo interessati solo alla componente dell’accelerazione lungo l’asse x. Abbiamo già mostrato che il moto del punto materiale è un moto rettilineo lungo l’asse x.

Utilizzando la prima delle equazioni elencate al punto 6ter e le ulteriori condizioni elencate al punto 7ter, troviamo che la componente x dell’accelerazione, che tra l’altro è l’unica componente non nulla, vale:

a_x = ^mgsenθs−F_ac

m =^mgsenθs−µcN m

Dalla seconda delle equazioni elencate al punto 6ter, determiniamo il valore del modulo della componente normale della reazione vincolare, anticipiamo cioè il punto 11ter:

N=mgcosθ_s

La componente x dell’accelerazione diventa dunque:

a_x = ^mgsenθs−µ_cN

m =^mgsenθs −µ_cmgcosθ_s

m =g sen

(

θ_s −µ_ccosθ_s

)

9ter. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate

La componente x dell’accelerazione è costante

a_x =g sen

(

θs −µccosθs

)

essa dipende infatti da g, µ_c e θ_c , parametri che non variano durante il moto del corpo di massa m. essa vale infatti:

a_x =0,9 m s²

Il moto del punto proiezione sull’asse x è quindi un moto rettilineo uniformemente accelerato. 10ter. Scrivere le leggi orarie.

Limitiamoci sempre a considerare il moto del punto proiezione sull’asse delle x. La soluzione generale del moto uniformemente accelerato è data da:

x(t)=x_o +v_xot+¹

2^axt

2

tempo t=0 secondi. Poiché come si desume dalla traccia il punto materiale parte da fermo e dato che abbiamo scelto il sistema di riferimento con l’origine coincidente con la posizione iniziale del punto materiale, entrambe le due quantità precedenti sono nulle.

La legge oraria diventa quindi:

x(t)=¹

2^axt

2 =¹

2^{g sen}

(

θs −µccosθs

)

t² 11ter. Determinare le forze mancanti.

Abbiamo già anticipato al punto 7ter il calcolo del modulo della componente normale della reazione vincolare.

Moto del proiettile.

Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale v_o=60m/s ad un angolo di 60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,

1. la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). 2. la velocità di impatto al suolo

3. la durata del moto

4. l’altezza massima raggiunta dal proiettile. 5. il tempo impiegato per raggiungerla.

6. il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. 7. la gittata quando l’angolo è di 30°.

1. Individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto. Il punto materiale è il proiettile

2. Stabilire il sistema di riferimento inerziale che si intende utilizzare per lo studio del moto

Scegliamo un sistema di riferimento con l’origine nella posizione del cannone, cioè coincidente con la posizione iniziale del proiettile, l’asse y verticale, l’asse x orizzontale in maniera che il vettore della velocità iniziale sia contenuto nel piano xy (l’asse x cioè è diretto nella direzione in cui punta la canna del cannone). L’asse z è automaticamente fissato da queste scelte e dal fatto che la terna cartesiana deve essere costruita con

la regola della mano destra.

3. Determinare tutte le forze agenti sul punto materiale sotto osservazione.

Una volta che il proiettile ha abbandonato la canna del cannone, nell’ipotesi di poter trascurare la resistenza dell’aria, l’unica forza agente è la fora peso P ^r =mr g .

4. Costruire il diagramma del corpo libero.

In questo caso il diagramma del corpo libero è abbastanza semplice:

5. Scrivere la seconda legge della dinamica (in forma vettoriale).

^{P r} =mr a ⇔ g ^r =a ^r

6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoriale).

x 0=a_x y −g=a_y

z 0=a_z

7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema. Nessuna condizione particolare.

8. Determinare le componenti dell’accelerazione o, detto in altri termini, le accelerazioni dei punti proiezione nei loro moti rettilinei sugli assi coordinati.

x a_x =0 y a_y = −g z a_z =0 9. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate.

0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 θ_o x (m) y (m) P

Il moto lungo l’asse x è un moto uniforme. Quello lungo l’asse y è uniformemente accelerato.

Quello lungo l’asse z è uniforme come quello lungo l’asse z.

10. Scrivere le leggi orarie facendo attenzione ad inserire correttamente le condizioni iniziali.

Avendo scelto l’origine del sistema di riferimento coincidente con la posizione iniziale del proiettile risulta che: x_o =0 y_o =0 z_o=0

mentre le componenti della velocità iniziale

v_xo =v_ocosθo v_yo =v_osinθo v_zo =0 La legge oraria del proiettile diventa:

x(t)=v_ocosθ_ot y(t)=v_osinθot− ¹ 2^gt 2 z(t)=0 v_x =v_ocosθo v_y =v_osinθo −gt v_z =0

Il fatto che la coordinata z sia costantemente uguale a zero significa che il moto è piano ed avviene nel piano xy.

Le equazioni parametriche della traiettoria sono:

x(t)=v_ocosθot y(t)=v_osinθ_ot− ¹

2^gt

2

L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il parametro tempo. Ricaviamo il tempo dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda:

x(t)=x_o+v_oxt y(t)=y_o+v_oyt−¹

2^gt

2

t= ^x v_ocosθ_o ^{⇒ y=v}osinθo x v_ocosθ_o ⁻ 1 2^g x v_ocosθ_o    ^   2 y=xtanθo −¹

Nel documento Lezioni di Fisica Generale Per il corso di laurea in Ingegneria Edile A.A. 2001/2002 (versione del 22-2-2002) Politecnico di Bari (pagine 160-188)