quando tocca terra.
Per calcolare la massima altezza raggiunta dal corpo m2, è necessario fare un attimo di attenzione. Quando il corpo m1 tocca terra, si ferma. L’effetto sul corpo di massa m2 è che dal momento in cui il corpo di massa m1 tocca terra, la tensione della corda si annulla (la corda si affloscia). L’unica forza che agisce sul corpo di massa m2, dopo che il corpo di massa m1 ha toccato terra, è il suo peso (P2=m2g)
La seconda legge della dinamica per il corpo m2 vale: P r 2 =m2a r
2 m2r g =m2r a
2
la cui proiezione sull’asse delle y ci da:
−g=ay2
Nell’ipotesi di far ripartire l’orologio dall’istante in cui il corpo di massa m1 ha toccato terra (t=0), il moto del corpo m2 è un moto rettilineo lungo l’asse verticale, uniformemente accelerato con accelerazione –g, velocità iniziale pari a 3,71 m/s e posizione iniziale y2o=2 m.
La corrispondente legge oraria vale:
y2(t) =h+vyot−1
2gt
2
vy(t)=vyo−gt
La massima altezza verrà raggiunta quando la velocità si annulla:
m2 P2 m1 h y x
vy(tmax)=0 0=vyo−gtmax
⇓
tmax = vyo
g Sostituendo nella legge oraria, si ottiene:
y2max =y2(tmax)=h+vyovyo g −1 2g vyo g 2 ⇒ y2max =h+1 2 vyo2 g =2m +1 2 3.712m2 s2 9.81m s2 =2,7m e questo completa la soluzione del problema.
Il pendolo semplice.
Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nell’ipotesi che l’ampiezza delle
oscillazioni sia di 5° e possa essere considerata piccola. Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione verticale. 1. Individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto.
Il punto materiale di cui si vuol conoscere i lmoto è il corpo di massa m.
2. Stabilire il sistema di riferimento inerziale che si intende utilizzare per lo studio del moto
Come sistema di riferimento usiamo quello del Laboratorio, che sappiamo essere inerziale.
3. Determinare tutte le forze agenti sul punto materiale sotto osservazione. Azioni a distanza: la forza peso
Azioni per contatto: la tensione della fune 4. Costruire il diagramma del corpo libero.
θ
P T
Vedi disegno al lato.
5. Scrivere la seconda legge della dinamica (in forma vettoriale). P r +T r =mr a 6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge
della dinamica (vettoriale).
Nel caso del pendolo conviene proiettare la seconda legge della dinamica non lungo gli assi x,y,z del laboratorio, ma lungo tre direzioni tra loro perpendicolari indicate nella figura a lato.
u r r è il versore radiale, il versore del vettore posizione
u r θ è il versore trasverso (perpendicolare al vettore posizione) u r z è un versore perpendicolare agli altri due. Esso è perpendicolare al piano della figura.
Si ottiene quindi: r u r r u θ r u z mgcosθ −T =mar −mgsenθ = maθ 0=maz
L’ultima equazione, insieme con la considerazione che la
componente della velocità nella direzione perpendicolare al piano della figura è sempre nulla e tale quindi doveva essere anche all’inizio del moto, ci permette di dire che il moto del pendolo è un moto piano che avviene nel piano che all’istante iniziale era individuato dalla verticale passante per il punto di sospensione (la linea tratteggiata nella figura) e dalla fune.
7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema,
1. Poiché il pendolo si muove su di una traiettoria circolare, la componente radiale dell’accelerazione coinciderà con l’accelerazione centripeta la cui intensità vale v2/L, dove v è il modulo della velocità nel punto considerato.
θ
ur uθ r
ar = −v2
L
2. Il segno meno deriva dal fatto che l’accelerazione centripeta è diretta verso il centro della traiettoria circolare, mentre il versore u r r è diretto verso l’esterno.
L’accelerazione trasversa coincide con l’accelerazione tangenziale quando il pendolo si muove in verso antiorario.
Nello studio del moto circolare avevamo fatto vedere che in queste condizioni:
aθ =at =αL dove α è
l'accelerazione angolare α = d2θ
dt2 8. Determinare le componenti dell’accelerazione
L’equazione secondo u r θ si può riscrivere nella seguente forma:
−mgsenθ = maθ Lα = −gsenθ ⇓
d2θ
dt2 =− g
Lsenθ
9. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate
Se l’ampiezza delle oscillazioni è piccola, l’angolo massimo espresso in radianti è molto minore di 1 radiante, allora vale l’approssimazione che
senθ = θ
e l’ultima equazione diventa:
d2θ
dt2 = −g
Lθ
Risulta che l’accelerazione angolare ( d2θ
dt2) è proporzionale all’opposto della posizione angolare (θ). Si tratta quindi di un moto armonico. La legge oraria sarà data da:
θ(t)= θmaxcos
(
ωpt+ϕo)
con ωp = g
L
θmax e ϕo da determinare con le condizioni iniziali
10. Scrivere le leggi orarie facendo attenzione ad inserire correttamente le condizioni iniziali.
Nel nostro caso la traccia non specifica le condizioni iniziali, sappiamo solo che l’ampiezza delle oscillazioni vale θmax=5°, mentre ϕo non è determinabile.
11. Determinare le forze mancanti.
Utilizzando la prima delle relazioni elencate al punto 6 insieme con la prima osservazione del punto 7, possiamo calcolarci la tensione nella fune del pendolo.
mgcosθ −T=mar ar = −v2 L ⇓ T=mgcosθ+ mv 2 L
che ci dà il valore della tensione T in funzione dell’angolo θ se è noto il valore del modulo della velocità del punto materiale in quella posizione.
Il problema ci chiede di calcolare il valore della tensione quando θ è uguale a zero, cioè quando la fune passa per la direzione verticale. È necessario conoscere il valore della velocità quando il punto materiale passa per la posizione θ=0.
Dalla legge oraria possiamo calcolarci la velocità angolare e poi possiamo passare alla velocità moltiplicando per il raggio della traiettoria circolare (L in questo caso).
θ(t) = θmaxcos
(
ωpt+ϕo)
ω =dθdt = −θmaxωpsen
(
ωpt+ϕo)
θ(t)=0 ⇒ ωpt +ϕo = π
2 ⇒ ω θ =
(
0)
= −θmaxωp⇒ v(
θ = 0)
=LθmaxωpCon L=2.5m, θmax=5°= 0.087 radianti e ωp = g
L = 9.81
2.5 =1.98 rad/s la tensione vale: T =mgcosθ +mv 2 L ⇓ T =1kg*9.81m s2 +1kg 2.5m *0.087*1.981 s 2 2.5m =9.81N+0.07N =9.88N
Si osservi che il valore della tensione è più grande di quello della forza peso11, valore che assume la tensione
11 La posizione θ=0 è anche la posizione di equilibrio del pendolo. Le forze agenti sul punto materiale sono infatti la tensione della fune e la forza peso. La posizione di equilibrio del pendolo si ottiene quando la risultante della forze applicate è nulla (corpo in quiete=accelerazione nulla):
r r
T P 0
da cui si ottiene:
r r
T P
Questa condizione si realizza quando la fune è disposta nella direzione verticale (filo a piombo) e l'intensità della tensione vale mg.
nella fune quando il corpo è fermo nella posizione di equilibrio.
Possiamo infine valutare il periodo T del pendolo sfruttando la relazione tra il periodo e la pulsazione angolare ωp: T = 2π
ωp
= 6,28
1.98 =3.17 s Dinamica del moto circolare uniforme.
Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un foro al centro del tavolo, come illustrato in
figura. Si determini la velocità del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm. 1. Individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto.
In questo problema ci sono due punti materiali da tenere sotto controllo: il corpo di massa m e quello di massa M.
2. Stabilire il sistema di riferimento inerziale che si intende utilizzare per lo studio del moto
Anche in questo caso useremo il sistema di riferimento del laboratorio, che è inerziale.
3. Determinare tutte le forze agenti sul punto materiale sotto osservazione. Sul corpo di massa m
− Azioni a distanza: la forza peso
− Azioni per contatto: la tensione T della fune, la reazione vincolare (in
questo caso c’è solo la componente normale N, poiché per ipotesi il piano è liscio). Sul corpo di massa M
− Azioni a distanza: la forza peso
− Azioni per contatto: la tensione T della fune
4. Costruire il diagramma del corpo libero. r m v N P1 T1 T2 P2 M
5. Scrivere la seconda legge della dinamica (in forma vettoriale). Per il corpo di massa m
P r 1+N r +T r 1 =mr a 1 Per il corpo di massa M
P r 2 +T r 2=Mr a 2
6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoriale).
r m v N P1 T1 un j ut
Per il corpo di massa m proiettiamo nelle direzioni u r n, r u t,r
r u n r u t r j T1=man =mv 2 r 0=mat N−mg=ma1y y : T2 −Mg=Ma2 y 7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema,
6. l’accelerazione a2y è uguale a zero.
7. La tensione T1=T2=T per le proprietà delle funi. 8. L’accelerazione an è l’accelerazione centripeta.
8. Determinare le componenti dell’accelerazione o, detto in altri termini, le accelerazioni dei punti proiezione nei loro moti rettilinei sugli assi coordinati.
Il fatto che l’accelerazione tangenziale sia nulla ci dice il moto del corpo di massa m si muove di moto circolare uniforme.
9. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate.
10. Scrivere le leggi orarie facendo attenzione ad inserire correttamente le condizioni iniziali. Si passa direttamente al punto 11.
11. Determinare le forze mancanti.
Utilizzando le equazioni del punto 6 e le ulteriori condizioni elencate al punto 7, si trova: T =T2 =Mg=2.94N N=mg=4.09N T =T1 =mv 2 r da cui v = rT m = rMg m =1.71m s
La tensione nella corda fornisce in questo caso la forza centripeta.
La forza centripeta non è un nuovo tipo di forza, né specifica alcunché circa la sua natura. Con tale denominazione si indica quella componente della risultante delle forze applicate in grado di produrre l’accelerazione centripeta che sicuramente è presente in caso di traiettoria curva.
devono combinare in modo tale che la loro risultante abbia una componente diretta verso il centro di curvatura della traiettoria e di intensità pari a mv2/r=mω2
r. A seconda dei casi la forza centripeta potrà essere una forza elastica, una reazione vincolare, una forza di attrito, la tensione in una corda, una forza gravitazionale, come nel caso del moto della luna o dei satelliti intorno alla terra, oppure elettrostatica, come nel moto dell'elettrone attorno al nucleo atomico.
Il pendolo conico
Un corpo di massa m, sospeso mediante una corda di lunghezza L, che si muove in modo tale che la fune forma costantemente un angolo θ con la verticale. In questo modo il punto materiale percorre una circonferenza di raggio R in un piano orizzontale con velocità costante. Determinare la velocità del punto materiale assumendo m=0.5 kg, L=1m, θ=30°.
1. Individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto.
In questo problema non ci sono dubbi: il punto materiale sotto osservazione è il corpo di massa m.
2. Stabilire il sistema di riferimento inerziale che si intende utilizzare per lo studio del moto
Anche in questo caso useremo il sistema di riferimento del laboratorio, che è inerziale.
3. Determinare tutte le forze agenti sul punto materiale sotto osservazione. Sul corpo di massa m
1. Azioni a distanza: la forza peso
2. Azioni per contatto: la tensione T della fune 4. Costruire il diagramma del corpo libero.
Le forze sono rappresentate nel grafico al lato.
5. Scrivere la seconda legge della dinamica (in forma vettoriale). Per il corpo di massa m
P r +T r =mr a θ T P O R L
6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoriale). Proiettiamo nelle direzioni u r n, r u t,r
j . r u n r u t r j Tsenθ = man =mv 2 r 0=mat Tcosθ− mg=may
7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema,
il moto avviene nel piano orizzontale.
L’accelerazione an è l’accelerazione centripeta.
Il raggio R della traiettoria circolare è data da:R=Lsenθ =0.5m
8. Determinare le componenti dell’accelerazione o, detto in altri termini, le accelerazioni dei punti proiezione nei loro moti rettilinei sugli assi coordinati.
Il fatto che l’accelerazione tangenziale sia
nulla ci dice il moto del corpo di massa m si muove di moto circolare uniforme. 9. Esaminare con cura la dipendenza delle accelerazioni appena calcolate.
10. Scrivere le leggi orarie facendo attenzione ad inserire correttamente le condizioni iniziali. Si passa direttamente al punto 11.
11. Determinare le forze mancanti.
Utilizzando le equazioni del punto 6 e le ulteriori condizioni elencate al punto 7, si trova: Tcosθ = mg da cui T = mg cosθ =5.66N j un ut y P T y
Tsenθ = mv 2 R da cui v = RTsenθ m = Rmgsenθ mcosθ = Rgtanθ =1.68ms
In questo caso la componente orizzontale della tensione fornisce la forza centripeta, la forza necessaria per fornire l'accelerazione centripeta e quindi mantenere il corpo sulla traiettoria circolare.
La componente verticale della tensione, Tcosθ, equilibra il peso del corpo. Il rotor.
E' un’attrazione da luna park in cui una stanza cilindrica è posta in rotazione attorno al suo asse verticale. Gli utilizzatori si muovono insieme con il rotor appoggiandosi alla parete: quando il rotor raggiunge una certa velocità v, viene abbassato il pavimento: gli utilizzatori restano comunque attaccati alla parete senza cadere verso il basso. Determinare qual è il numero minimo di giri al minuto con cui deve ruotare il rotor affinché gli utilizzatori restino attaccati alla parete e non scivolino verso il basso seguendo il pavimento.
x
y
P
F
sN
ω
1. Individuare il punto materiale di cui si vuole determinare il moto.
Il punto materiale che si vuole osservare è il generico utilizzatore del rotor u r n
2. Stabilire il sistema di riferimento inerziale che si intende utilizzare per lo studio del moto
Si intende utilizzare un sistema di riferimento legato al terreno, quindi il sistema di riferimento del Laboratorio. Questo sistema di riferimento è inerziale.
3. Determinare tutte le forze agenti sul punto materiale sotto osservazione. Azioni a distanza: la forza peso
− Azioni per contatto: la reazione vincolare esercitata dalla parete sul punto materiale avente quindi sia la componente normale che quella tangenziale di attrito (poiché stiamo supponendo che il punto materiale resti fermo rispetto alla parete,cioè non scivoli, si tratterà di attrito statico)
4. Costruire il diagramma del corpo libero.
Il digramma del corpo libero è quello illustrato in figura 5. Scrivere la seconda legge della dinamica (in forma vettoriale).
P r +N r +Fs =mr a
6. Scrivere le tre equazioni scalari corrispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoriale).
r u n : r u t : y : N=man 0=mat −mg+Fs =may 7. Determinare tutte le ulteriori condizioni particolari presenti nel problema,
− ay = 0 proprio perché vogliamo che il copro non scivoli lungo la parete.
− Il fatto che at sia uguale a zero è una conseguenza del fatto che il moto circolare sia uniforme, con modulo della velocità costante.
− L’accelerazione centripeta an vale:
an = v2
R
8. Determinare le componenti dell’accelerazione o, detto in altri termini, le accelerazioni dei punti proiezione nei loro moti rettilinei sugli assi coordinati.